湘西州高中数学黄宏清名师工作室-高中数学中比较大小的常用方法
圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内
的限制条件:椭圆中,
与两个定点F
1
,F
2
的距离的和等于常数<
br>2a
,且此常
数
2a
一定要大于
F
1
F2
,当常数等于
F
1
F
2
时,轨迹
是线段F<
br>1
F
2
,当常数小于
F
1
F
2
时,
无轨迹;双曲线
中,与两定点F
1
,F
2
的距离的差的绝对值等于常
数
形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为__(答:
22
)
于双曲线
S?
b
2
tan
?
2
。 如
(1)短轴长为
5
,
2a
,且此常数
2a
一定要小于|F
1
F
2
|,定义中的“绝
对值”与
2a
<|F1
F
2
|不可忽视。若
2a
=|F
1
F
2
|,则
轨迹是以F
1
,F
2
为端点的两条射线,若2a
﹥|F
1
F
2
|,
则轨迹不存在。若去掉定义中的
绝对值则轨迹仅表示双
曲线的一支。
如方程
(x?6)
2
?y2
?(x?6)
2
?y
2
?8
表示的
x
2
y
2
(2)双曲线(以
??1
(
a?0,b?0
)为
a
2
b
2
例):①范围:
x??a
或
x?a,y?R
;②焦点:两个
焦点
(?c,0)
;③对称性:两条对称轴
x?0,y?0
,一
个对称中心(0,0),两个顶点
(?a,0)
,其中实轴长为
2
a
,虚轴长为2
b
,特别地,当实轴和虚轴的长相
等
时,称为等轴双曲线,其方程可设为
y
2
?1
上一点,
F
1
,F
2
为练习:点P是双曲线上
x?
12
双曲线
的两个焦点,且
PF
求
?PF
1
F
2
的周
1
PF
2
=24,
2
a
2
x?y?k,k?0;④准线:两条准线
x??
; ⑤
c
c
离心率:
e?<
br>,双曲线
?
e?1
,等轴双曲线
a
?
e?2
,
e
越小,开口越小,
e
越大,开口越大;
22
长。 8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质:(1)
以过焦点的弦为直径的圆和准线相切;(
2)设AB为焦
点弦, M为准线与x轴的交点,则∠AMF=∠BMF;(3)
设AB为焦点
弦,A、B在准线上的射影分别为A
1
,B
1
,
若P为A
1
B
1
的中点,则PA⊥PB;(4)若AO的延长线
交准线于C,则BC平行
于x轴,反之,若过B点平行
于x轴的直线交准线于C点,则A,O,C三点共线。
曲线是_____(答:双曲线的左支)
2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指
中心(顶点)在
原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
(1)椭圆:焦点在
x
轴上时
x
2
y
2
a
2
?
b2
?1
a?b?0
),焦点在
y
轴上时
y
2<
br>x
2
(
a
2
?
b
2
=1
(
a?b?0
)。方程
Ax
2
?By
2
?C
表示椭圆的充要条
件是什么?(ABC≠0,且A,B,C同号,A≠B)。
若
x,y?R
,且
3x
2
?2y
2
?6
,则
x?y
的最大
值是____,
x
2
?y
2
的最小值
是___(答:
5,2
)
22
(2)双曲线:焦点在
x
轴
上:
x
a
2
?
y
b
2
=1,焦
点在
y
轴上:
y
2
x
2
a
2
?<
br>b
2
=1(
a?0,b?0
)。方程
Ax
2
?By
2
?C
表示双曲线的充要条件是什么?(ABC
≠0,且A,B异号)
。
如设中心在坐标原点
O
,焦点
F
1
、
F
2
在坐标轴
上,离心率
e?2
的双曲线C过点
P(4,?10)<
br>,则C
的方程为_______(答:
x
2
?y
2
?
6
)
(3)抛物线:开口向右时
y
2
?2px(p?0)
,开
口向左时
y
2
??2px(p?0)
,开口向上时
x<
br>2
?2py(p?0)
,开口向下时
x
2
??2py(p?0
)
。
3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后
再判断):
(1)椭圆:由
x
2
,
y
2
分母的大小决定,焦点
在
分母大的坐标轴上。
x
2
已知方程
m?1
?
y
2
如
2?m
?1
表示焦点在y轴
上的椭圆,则m的取值范围
是__(答:
(??,?1)?(1,
3
2
)
)
(2)双
曲线:由
x
2
,
y
2
项系数的正负决定,焦
点在系
数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项
的符号决定开口方向。
提醒:在椭圆中,
a
最大,
a
2
?b
2
?
c
2
,在双曲
线中,
c
最大,
c
2
?a<
br>2
?b
2
。
4.圆锥曲线的几何性质:
1)椭
圆(以
x
2
y
2
(
a
2
?
b2
?1
(
a?b?0
)为例):
①范围:
?a?x?a
,?b?y?b
;②焦点:两个焦点
(?c,0)
;③对称性:两条对称轴
x
?0,y?0
,一个对
称中心(0,0),四个顶点
(?a,0),(0,?b),其中长轴长
2
为2
a
,短轴长为2
b
;④准线:两条
准线
x??
a
c
;
⑤离心率:
e?
c
a
,椭圆
?
0?e?1
,
e
越小,椭圆
越圆;
e
越大,椭圆越扁。
x
22
如(1)若椭圆
5
?
y
m
?1
的离心率
e?
10
5
,则
m<
br>的值是__(答:3或
25
3
);
(2)以椭圆上一点和椭圆两焦点
为顶点的三角
⑥两条渐近线:
y??
b
a
x
。
(
3)抛物线(以
y
2
?2px(p?0)
为例):①范围:
x?0,
y?R
;②焦点:一个焦点
(
p
2
,0)
,其中
p
的几
何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴
y?0
,没有对称
中心,只有一个顶点(0,0);④准线:
一条准线
x??
p
2
;
⑤离心率:
e?
c
a
,抛物线
?
e?1
。
如设
a?0,a?R
,则抛物线
y?4ax
2
的焦点坐标为
________(答:
(0,
1
16a
)
);
5、点
P(x
x
2
y
2
0
,y
0
)和椭圆
a
2
?
b
2
?1
(
a?b?0
)的
关系:(1)点
P(x)
在椭圆外
?
x
22<
br>0
y
0
0
,y
0
a
2
?
b
2
?1
;(2)
点
P(x)
在椭圆上
?
x
22
0
y
0
0
,y
0
a
2
?
b
2
=1;(3)点
P(x,y
x
22
0y
0
00
)
在椭圆内
?
a
2
?
b
2
?1
6.直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)相交:
??0
?
直线与椭圆相交;
??0?
直线与
双曲线相交,但直线与双曲线相交不一定有
??0
,当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双
曲
线相交且只有一个交点,故
??0
是直线与双曲线相交
的充分条件,但不是
必要条件;
??0?
直线与抛物
线相交,但直线与抛物线相交不一定有
??0
,当直线
与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一
个交点,故
?
?0
也仅是直线与抛物线相交的充分条
件,但不是必要条件。
(2)相切:
??0
?
直线与椭圆相切;
??0
?
直
线与双曲线相切;<
br>??0
?
直线与抛物线相切;
(3)相离:
??0
?
直线与椭圆相离;
??0
?
直
线与双曲线相离;
??0
?
直线与抛物线相离。
提醒:(1)直线与双曲线、抛物线只有一个公共点
时的位置关系有两种情形:相切和相交。如果直线与双
曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有
一个交
点;如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,
(2)过双曲线
x2
y
2
也只有一个交点;
a
2
?
b
2
=1外一点
P(x
0
,y
0
)
的直线与双曲线只有
一个公共点的情况如
下:①P点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内
时,有两条与渐近线平
行的直线和分别与双曲线两支相
切的两条切线,共四条;②P点在两条渐近线之间且包
含双曲线
的区域内时,有两条与渐近线平行的直线和只
与双曲线一支相切的两条切线,共四条;③P在两条渐近线上但非原点,只有两条:一条是与另一渐近线平行
的直线,一条是切线;④P为原点时不存在这
样的直线;
(3)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有
一个公共点:两条切线和一条
平行于对称轴的直线。
7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点
所构成的三角形)问题:
S?b<
br>2
tan
?
2
?c|y
0
|
,当
|
y
0
|?b
即
P
为短轴端点时,
S
max
的最大值为bc;对
9、弦长公式:若直线
y?kx?b
与圆锥曲线相交于
两
点A、B,且
x
1
,x
2
分别为A、B的横坐标,则AB
=
1?k
2
x
1
?x
2
,若y
1
,y
2
分别为A、B的纵坐标,则
AB
=
1?
1
k
2
y
1
?y
2
,若弦AB所在直
线方程设为
x?ky?b
,则
AB
=
1?k
2
y<
br>1
?y
2
。特别地,焦
点弦(过焦点的弦):焦点弦的弦长的计算,一
般不用
弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和
后,利用第二定义求解。
10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦
达定理”或“点差法”求解。
x
2
在椭圆
y
2
a
2
?
b
2<
br>?
1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中
点的弦所在
k=-
b
2
直线的斜率
x
0
a
2
y
;
0
弦所在直线的方程:
垂直平分线的
方程:
在双曲线
x
2
a
?
y
2
2
b
2
?1
中,以
P(x
0
,y0
)
为中点的弦所在
直线的斜率k=
b
2
x
0
2
a
2
y
;在抛物线
y?2px(p?0)
中,<
br>0
以
P(x
k=
p
0
,y
0
)为中点的弦所在直线的斜率
y
。
0
提醒:因为
??0
是直线与圆锥曲线相交于两点的必要
条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检
验<
br>??0
!
11.了解下列结论
(1)双曲线
x
2
y
2
的渐近线方程为
x
a
2
?
b
2
?1
a
?
y
b
?0
;
(2)以y??
b
a
x
为渐近线(即与双曲线
x
2
y<
br>2
x
2
y
2
a
2
?
b
2<
br>?1
共渐近线)的双曲线方程为
a
2
?
b
2
?
?
(
?
为参数,
?
≠0)。
(3)中心在原点
,坐标轴为对称轴的椭圆、双曲
线方程可设为
mx
2
?ny
2
?1
;
(4)椭圆、双曲线的通径(过焦点且垂直于对称
轴的弦)为
2b
2
a
,焦准距(焦点到相应准线的距离)
为
b
2
c
,抛物线的通径为
2p
,焦准距为
p
;
(5)通径是所有焦点弦(过焦点的弦)中最短的
弦;
(6)若抛物线
y<
br>2
?2px(p?0)
的焦点弦为AB,
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则①
|AB|?x<
br>1
?x
2
?p
;
②
x
p
2
1
x
2
?
4
,y
1
y
2
??p<
br>2
(7)若OA、OB是过抛物线
y
2
?2px(p?0)
顶点
O的两条互相垂直的弦,则直线AB恒经过定点
(2p,0)
12.圆锥曲线中线段的最值问题:
例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上
一点P到点A(3,4
2
)
与到准线的距离和最小,则点
P的坐标为
故k的取值范围为
______________
(?1,?
133
(2)抛物线C: y
2
=4x上一点Q到点B
(4,1)与到焦点
15
)U(?
3
,?
1
2
)U
(
1
2
,
3
3
)U(
13
15
,
1)
F的距离和最小,则点Q的坐标为 。
2、在平面
直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B点在
分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则<
br>直线y = -3上,
A
M点满足
Q
PH?PF
MBOA,
MA?AB
H
A、P、F三点共线时,
P
B
=
MB?BA,M
,因而易发现,当
点的轨迹为曲
F
线C。
距离和最小。
(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)P
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l
交于R,则
为C上的动点,l为C在P点处得切线,求O点到l距
当B、Q、R三点共线时,距
离和最小。 解:(1)(2,
离的最小值。
2
)(2)(
1
4
,1
)
(Ⅰ)设M(x,y)
,由已知得B(x,-3),A(0,-1).所以
u
MA
uur
=
1、已知椭圆
C
x
2
1
的方程为
4
?y
2
?1
,双曲线
C
2
的左、
(-x,-1-y),
u
MB
uur
=(0,-3-y),
u
AB
uu
r
=(x,-2).再由愿意
右焦点分别为
C
得知(
u
MA
uur
+
u
MB
uur
)?
u
ABuur
1
的左、右顶点,而
C
2
的左、右顶点分
=0,
即(-x,-4-2y)
别是
C
1
的左、右焦点。
(1)
求双曲线
C
2
的方程;
? (x,-2)=0.
(2)
若直线
l
:
y?kx?2
与椭圆
C
所以曲线C的方程式为y
=
1
1
及双曲线
C
2
4
x
2
-2
. (Ⅱ)设P(x
0
,y
0
)
恒有两个不同的交点,且
l
与
C
2
的两个交点
A
和
B
满
为曲
线C:y=
1
2'
1
足
OA?OB?6
(其中
O<
br>为原点),求
k
的取值范围。
4
x-2上一点,因为y=
2
x,所以
l
的
斜率为
1
解:(Ⅰ)设双曲线C
2<
br>的方程为
x
22
2
x
0
因此直线
l
的方程为
a
2
?
y
b
2
?1
,则
y?y
1
0
?
a
2
?4?1?3,再由a
2
?b
2
?c
2
得b
2
?1.
2
x
0
(x?x
0
)
,即
x
0
x?2y?
2y
0
?x
2
?0
。
则O点到
l
的距离<
br>d?
|2y
2
0
?x
0
|
.又
故C
x
2
x
2
4
y
1
2
0
?
x
0
?2
,
2
的方程为
?y
2
?1.(II)将
0
?
4
3
1
y?kx?2代入
x<
br>2
x
2
0
?4
222
所以
d?
2<
br>?
1
(x
2
4
4
?y?1得(1?4k)x?82k
x?4?0.
x
2
2
0
?4?
x
2
)?2
,
0
?4
0
?4
2
由直线
l
与椭圆C
当
x
0
=0时取等号,所以O点到
l
距离
的最小值为2.
1
恒有两个不同的交点得
?
1
?(82)
2
k
2
?16(1?4k
2
)?16(4k
2
?
1)?0,
3设双曲线
x
2
y
2
a
2
?<
br>b
2
?1
(a>0,b>0)的渐近线与抛物
即
k
2
?
1
4
.
①
线y=x
2
+1相切,则该双曲线的离心率等于( )
?2代入x
2
将y?kx
3
?y
2
?1得(1?3k
2
)x
2
?62kx
4、过椭圆
?9?0
x
2
a
?
y
2
2
b
2
?1
(
a?b
?0
)的左焦点
F
1
作
x
轴
.由直线
l<
br>与双曲线C
2
恒有两个不同的交点A,B得
?
?
2
的
垂线交椭圆于点
P
,
F
若
?F
o
2
为右焦
点,
1
PF
2
?60
,
?
1?3k?0,
2
1
2
?
?
?(?62k)
2
?36(1?3k<
br>2
)?36(1?k
2
)?0.
即k?且k?1.
2
?
3
则椭圆的离心率为
x
2
设A(xy),则x
62k
5、已知双曲线
?9
y
2
?
2
?1(b?
0)
的左、右焦点分别
A
,
A
),B(x
B
,y<
br>BA
?x
B
?
1?
2
,x
A
?x<
br>B
?
2
2
b
由
u
OA
uur
3k1?3k
?
u
OB
uur
?6得x
A
xB
?y
A
y
B
?6,而
是
F
1
、
F
2
,其一条渐近线方程为
y?x
,点
P(3,y0
)
x
A
x
B
?y
A
y
B<
br>?x
A
x
B
?(kx
A
?2)(kx
B?2)
在双曲线上.则
PF
1
·
PF
2
=( )0
?(k
2
?1)x
A
x
B
?2k(x
A
?x
B
)?2
6、已知直线
y?
k
?
x?2
??
k?0
?
与抛物线
C:y
2
?8x
?(k
2
?1)?
?9
相交于
1?3k<
br>2
?2k?
62k
1?3k
2
?2
A、B
两点,
F
为
C
的焦点,若
|FA|?2|FB|
,
则
k?
?
3k
2
?7
( )
3k
2
?1
.
于是
3k
2
?7
15k
2
?
7、已知直线
l
1
:4x?3y?6?0
和直线
l
2
:x??1
,抛
3k?1
6,即
13
2
?
3k
2
?1
?0.
解此不等式得
物线
y
2
?4x
上一动点
P
到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之
k
2
?
131
15
或k
2
?
3
.
③
和的最小值是( )
由①、②、③得
1
4
?k
2?
1
3
或
13
15
?k
2
?1.
8、设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,
0),直线l与抛物
线C相交于A,B两点。若AB的中
点为(2,2),则直线l的方程为_____________.
9、椭圆
x
2
y
2
9
?
2
?1<
br>的焦点为
F
1
,F
2
,点P在椭圆上,
若
|
PF
1
|?4
,则
|PF
2
|?
;
?F
1
PF
2
的大小
为 .
10、过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点F作倾斜角为
45
o
的直线交抛物线于A、B两点,若线段AB的长为8,
则
p?
________________
【解析】设切点
P(x
0
,y<
br>0
)
,则切线的斜率为
y
'
|
x?x
0?2x
0
.
由题意有
y
0
x
?2x
0
又
y
0
?x
2
0
?1
解得:
0
x
2
0
?1,?
b
a
?2,e?1?(
b
a
)
2
?5
2
双曲线
x
a2
?
y
2
b
2
?1
的一条渐近线为
y
?
b
a
x
,由方程组
?
?
b
?
y
?
a
x
,消去y,得
x
2
?
b
?
?
y?x
2
?1
a
x?1?0
有唯一解,所以△
=
(
b
a
)
2
?4?0
,所以
b
c
a
2
?b
2
a
?2
,
e?
b
a<
br>?
a
?1?(
a
)
2
?5
由渐近
线方程为
y?x
知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程
是
x
2
?y
2
?2
,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),
且
P(3,1)
或
P(3,?1)
.不妨去
P(3,1)
,则
PF
1
?(?2?3,?1)
,
PF
2
?(2?3,?1
)
.
∴
PF
1
·
PF
2
=
(?
2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0
【解析】设抛物线C:y
2
?8x
的准线为
l:x??2
直线
y?k
?
x?2
??
k?0
?
恒过定点P
?
?2
,0
?
.如图过
A、B
分
别作
AM?l
于
M
,
BN?l
于
N
, 由
|FA|?2|FB|
,则
|AM|?2|BN|
,点B为AP的中点.连结
OB
,则
|OB|?
1
2
|AF|
,
?|OB|?|BF|
点
B
的横坐标为
1
,
故点
B
的坐标为
(1,22)?k?
22?022
1?(?2)
?
3
,
故选D
2
?
?
y
1
?4x
1
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则有x
1
?x
2
,
?
2
?
?
y
2
?4x
2
y?y
2
4
2
两式相减得,y
1
2
?
y
2
?4
?
x
1
?x
2
?
,?<
br>1
??1
x
1
?x
2
y
1
?y
2
?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
高中数学小题大全-如何学好高中数学的发言稿
高中数学人教版必修选修-高中数学 考点
高中数学不等式五分钟试讲-高中数学垂直关系教学反思
高中数学 概率 文科-高中数学八个c及要求
高中数学公式大全及例题-高中数学函数的单调性与最值
高中数学优秀教学设计-排列组合在高中数学几
教师用书电子版高中数学必修二课本答案-高中数学人教版必修四课B版后题答案
绝对值方程的解法高中数学-北京一零一中学高中数学老师马
-
上一篇:人教版高中数学选修2-1第二章圆锥曲线与方程练习题
下一篇:高考圆锥曲线经典考点