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高考圆锥曲线考点
解圆锥曲线问题常用方法+经典结论+对偶性质总结
解圆锥曲线问题常用以下方法
:
1、定义法
(1)椭圆有两种定
义。第一定义中,r
1
+r
2
=2a。第二定义中,r
1
=
ed
1
r
2
=ed
2
。
(2)双
曲线有两种定义。第一定义中,
r
1
?r
2
?2a
,当r<
br>1
>r
2
时,注意r
2
的最小值为c-a:第二定义中,r<
br>1
=ed
1
,
r
2
=ed
2
,尤其
应注意第二定义的应用,常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。
(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是二次的,故直线与圆锥曲
线的问题常转化为方程组关系问题,最
终转化为一元二次方程问题,故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲
线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,
弦长问题,可用韦达定理直接解决,但应注意不要忽视判别
式的作用。
3、解析几何的运算中,常设一些量而并不解解出这些量,利用这些量过渡使问题
得以解决,这种方法称为
“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题,常
用“点差法”,即设弦的两个端点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),弦AB中点为M(x
0
,y
0
),
将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦斜率的关
系,这是一种常见的“设而不求”
法,具体有:
xy
0
x
2
y
2
?k?0
。 (
1)
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线相交于A、B,设弦AB中点
为M(x
0
,y
0
),则有
0
22
ab
a
b
xy
0
x
2
y
2
?k?0
(
2)
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线l相交于A、B,设弦A
B中点为M(x
0
,y
0
)则有
0
22
ab
ab
(3)y
2
=2px(p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x<
br>0
,y
0
),则有2y
0
k=2p,即y
0
k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上一点P到点A(3,4
2
)与到准线的距离和最小,则点
P的坐标为______________
(2)抛物线C:
y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为
。
分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则
PH?PF
,因而易发现,
P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时,
最小。
解:(1)(2,
2
)
连PF,当A、P、F三点共线时,
AP?
PH?AP?PF
最小,此时AF的方程为
y?
H
P
F
A<
br>Q
B
当A、
距离和
42?0
(x?1)
即
3?1
1
高考圆锥曲线考点
y=2
2
(x-1),代入y
2
=4x得P(2,2
2
),(注:另一交点为
(
(2)(
1
,?2
),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)
2
1
,1
)
4
过Q作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点
共线时,
BQ?QF?BQ?QR
最小,此时Q点的纵坐标为1,代
入y
2<
br>=4x得x=
1
4
,∴Q(
1
4
,1
)
点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题,请仔细体会。
例2、F是椭圆
x
2
y
2
4
?
3
?1的右焦点,A(1,1)为椭圆内一定点,P为椭圆上一动点。
(1)
PA?PF
的最小值为
y
A
P
H
(2)
PA?2PF
的最小值为
F
0
F
x
分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径
PF
?
或准线作出来考
′
题。
解:(1)4-
5
设另一焦点为
F
?
,则
F
?
(-1,0)连A
F
?
,P
F
?
PA?PF?PA?2a?PF
?
?2a?(PF
?
?PA)?2a?AF
?
?4?5
当P是
F
?
A的延长线与椭圆的交点时,
PA?PF
取得最小值为4-
5
。
(2)3
作
出右准线l,作PH⊥l交于H,因a
2
=4,b
2
=3,c
2=1, a=2,c=1,e=
1
2
,
∴
PF?
1
2
PH,即2PF?PH
∴
PA?2PF?PA?PH
当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值
为
a
2
c
?x
A
?4?1?3
例3、动圆M与圆C
1
:(x+1)
2
+y
2
=36内切
,与圆C
2
:(x-1)
2
+y
2
=4外切,求圆心M的轨
迹方程。
分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个圆心与切点这三点
y
(
如图中的A、M、C共线,B、D、M共线)。列式的主要途径是动圆的
C
等于半径”(如图中
的
MC?MD
)。
D
M
解:如图,
MC?MD
,
A
0
B
5
x
∴
AC?MA?MB?DB即6?MA
?MB?2
2
虑问
共线
“半径
高考圆锥曲线考点
∴
MA?MB?8
(*)
x
2
y
2
??1
∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4
,c=1,b=15轨迹方程为
1615
2
点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆
的定义写出方程,而无需再用距离公式列式求解,即列出
(x?1)
2
?y
2
?(x?1)
2
?y
2
?4
,再移项,平方,?相当于将椭
圆标准方程推导了一遍,较繁琐!
例4、△ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC-
sinB=
3
sinA,求点A的轨迹方程。
5
分析:由于sinA、si
nB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆半径),可转化为边长的关系。
解:sinC-sinB=
33
sinA
2RsinC-2RsinB=·2RsinA
55
3
BC
5
∴
AB?AC?
即
AB?AC?6
(*)
∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)
∵2a=6,2c=10
∴a=3,
c=5, b=4
x
2
y
2
??1
(x>3) 所求轨
迹方程为
916
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲
线右支)
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x
2
上移动,AB中点为M,
求点M到x轴的最短距离。
分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设A(x
1
,x
1
2
),B(x
2
,X
2
2
),又设AB
中点为M(x
0
y
0
)用弦长公式及中点
公式得出y
0关于x
0
的函数表达式,再用函数思想求出最短距离。
(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离,想到用定义法。
解法
一:设A(x
1
,x
1
2
),B(x
2
,x
2
2
),AB中点M(x
0
,y
0
)
22?
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
2
?x
2
)?9
①
则
?
②
?
x
1
?x
2
?2x
0
③
?<
br>22
x?x?2y
20
?
1
由①得(x
1
-
x
2
)
2
[1+(x
1
+x
2
)
2
]=9
即[(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
]·[1+(x
1
+x
2
)
2
]=9 ④
由②、③得2x
1
x
2
=(2x
0
)
2
-2y
0
=4x
0
2
-2y0
3
高考圆锥曲线考点
代入④得 [(
2x
0
)
2
-(8x
0
2
-4y
0
)]·[1+(2x
0
)
2
]=9
∴
4y
0
?4x
0
?
2
9
, <
br>2
1?4x
0
2
4y
0
?4x
0
?
99
2
?(4x?1)??1
0
22
4x
0
4x
0
?1
5
4
≥
29?1?5,
y
0
?
当4x
0
2
+1=3 即
x<
br>0
??
5
225
时,
(y
0
)
mi
n
?
此时
M(?,)
4
224
法二:如图,2MM
2
?AA
2
?BB
2
?AF?BF?AB?3<
br>
∴
MM
2
?
313
,
即
MM
1
??
,
242
A
A
1
A
2
y
M
B
5
∴
MM
1
?
, 当AB经过焦点F时取得最小值。
4
5
∴M到x轴的最短距离为
4
0
M
1
M
2
B
1
B
2
x
点评:解法一是列出方程组,利用整体消元思想消x
1
,x
2
,从而
形成y
0
关于x
0
的函数,这是一种“设而不
求”的方法。而解法二
充分利用了抛物线的定义,巧妙地将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利
用梯形的中位线,
转化为A、B到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”
时,两边之
和等于第三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有验证AB是否能经过焦点
F,
而且点M的坐标也不能直接得出。
x
2
y
2
??1(2?m?5)
过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线从左到右依次变于A、例6、已知椭圆
mm?1B、C、D、设f(m)=
AB?CD
,(1)求f(m),(2)求f(m)的最值。
分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“不同系统”,A在准线上,
B在椭
圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“投影”到x轴上,立即可
得防
f(m)?(x
B
?x
A
)2?(x
D
?x
C
)2?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?X
C
)
y
4
C
F
1
0
F
2
D
A
B
x
高考圆锥曲线考点
?
?
2(x
B
?xC
)?(x
A
?x
D
)
2(x
B
?X
C
)
此时问题已明朗化,只需用韦达定理即可。
x
2
y
2
??
1
中,a
2
=m,b
2
=m-1,c
2
=1,左焦
点F
1
(-1,0) 解:(1)椭圆
mm?1
则BC:y=x+1,代入椭
圆方程即(m-1)x
2
+my
2
-m(m-1)=0
得(m-1
)x
2
+m(x+1)
2
-m
2
+m=0
∴(2m-1)x
2
+2mx+2m-m
2
=0
设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),则x<
br>1
+x
2
=-
2m
(2?m?5)
2m?
1
f(m)?AB?CD?2(x
B
?x
A
)?(x
D?x
C
)
2m
?2(x
1
?x
2<
br>)?(x
A
?x
C
)?2x
1
?x
2
?2?
2m?1
(2)
f(m)?2
2m?1?11
?2(1?)
2m?12m?1
∴当m=5时,
f(m)
min
?102
9
42
3
当m=2时,
f(m
)
max
?
点评:此题因最终需求
x
B
?x
C,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法”设BC中点为M(x
0
,y
0
),通过将B、
C坐标代入作差,得
x
0
yxx?1
m
?
0
?k?0
,将y
0
=x
0
+1,k=1代入得<
br>0
?
0
?0
,∴
x
0
??
,可见<
br>mm?1mm?1
2m?1
x
B
?x
C
??
2m
2m?1
当然,解本题的关键在于对
f(m)?AB?CD
的
认识,通过线段在x轴的“投影”发现
f(m)?x
B
?x
C
是解此
题的要点。
5
高考圆锥曲线考点
【同步练习】
x
2
y
2
1、已知:F
1
,F
2
是双曲线
2
?
2
?1
的左、右焦点
,过F
1
作直线交双曲线左支于点A、B,若
AB?m
,
ab
△ABF
2
的周长为( )
A、4a B、4a+m
C、4a+2m D、4a-m
2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程是
( )
A、y
2
=-16x
B、y
2
=-32x C、y
2
=16x
D、y
2
=32x
3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列,
且
AB?AC
,点B、C的坐标分别为(-1,0),
(1,0),则顶点A的轨迹方
程是( )
x
2
y
2
x
2
y
2
??1(x?0)
??1
B、A
、
43
43
x
2
y
2
x
2
y2
??1(x?0)
D、
??1(x?0且y?0)
C、
4343
4、过原点的椭圆的一个焦点
为F(1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程是
( )
A、
(x?)?y?
C、
x?(y?)?
2
1
2
22
919
(x??1)
B、
(x?)
2
?y
2
?(x??1)
424
919
(x??1)
D、
x
2
?(y?)
2
?(x??1)
424<
br>1
2
2
x
2
y
2
??1
上一点M的
横坐标为4,则点M到左焦点的距离是 5、已知双曲线
916
6、抛物线y=2x
2
截一组斜率为2的平行直线,所得弦中点的轨迹方程是
7、
已知抛物线y
2
=2x的弦AB所在直线过定点p(-2,0),则弦AB中点的轨迹方程是
8、过双曲线x
2
-y
2
=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x
2
-y
2
=1的交点个数只有一个
,则k=
x
2
y
2
??1
上的动点,F
1
,F
2
是椭圆的两个焦点,求sin∠F
1
PF
2
的最大值。 10、设点P是椭圆
259
11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,左焦点到坐标原点、右焦点、右准
线的距离依次成等差数列,
6
高考圆锥曲线考点
若直线
l与此椭圆相交于A、B两点,且AB中点M为(-2,1),
AB?43
,求直线l的方程和
椭圆方程。
x
2
y
2
12、已知直线l和双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
及其渐近
线的交点从左到右依次为A、B、C、D。求证:
ab
AB?CD
。
【参考答案】
1、C
AF
2
?AF
1
?2a,BF
2
?BF<
br>1
?2a
,
∴
AF
2
?BF
2
?
AB?4a,AF
2
?BF
2
?AB?4a?2m,
选C
2、C
点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线
p=8开口向右,则方程为y
2
=16x,选C
3、D
∵
AB?AC?2?2
,且
AB?AC
∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线,即y≠0,故选D。
4、A
22
设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦
点距离和为4得
1?(2x?1)?(2y)?4
,∴
19
(x?)
2
?y
2
?
24
22
①又c(x?1)?y?2
∴(x-1)
2
+y
2
<4 ②,由①,②得x≠-1,选A
5、
29
3
992952929
?
,M到左准线
距离为
d?4?(?)?
则M到左焦点的距离为
ed??
555353
7
左准线为x=-
高考圆锥曲线考点
6、
x?
11
(y?)
22
设弦为AB,A(x
1
,y
1
),B(x
2<
br>,y
2
)AB中点为(x,y),则y
1
=2x
1
2
,y
2
=2x
2
2
,y
1
-y
2
=2(x
1
2
-x
2
2
)
∴
y
1
?y
2
1
?2(x
1
?x
2
)
∴2=2·2x,
x?
2
x
1
?x
2
1111
代入y=2x
2
得
y?
,轨迹方程是
x
?
(y>)
2222
将
x?
7、y
2
=x+2(x>2)
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
AB中点M(x,y),则
22
y
1
2
?2x
1
,y
2
?2x
2
,y
1
2
?y
2
?2(x
1
?x
2
),
y
1
?y
2
?(y
1
?y
2
)?2
x
1
?x2
∵
k
AB
?k
MP
?
y?0y
?2
y?2
,即y
2
=x+2 ,∴
x?2x?2
又弦中点在已知抛物线
内P,即y
2
<2x,即x+2<2x,∴x>2
8、4
a
2<
br>?b
2
?4,c
2
?8,c?22
,令
x?22代入方程得8-y
2
=4
∴y
2
=4,y=±2,弦长为4
9、
?2或?1
y=kx+1代入x
2
-y
2<
br>=1得x
2
-(kx+1)
2
-1=0
∴(1-k
2
)x
2
-2kx-2=0
?
1?k
2
?0
①
?
得4k
2
+8(1-k
2)=0,k=
?2
?
??0
②1-k
2
=0得k=±1
10、解:a
2
=25,b
2
=9,c
2
=16
设F
1
、F
2
为左、右焦点,则F
1
(-4,0)
F
2
(4,0)
①
2
?
?
设
PF<
br>1
?r
1
,PF
2
?r
2
,?F
1
PF
②
则
?
r
1
?r
2
?2
?
?
222
?
r
1
?r
2
?2r
1
r
2
cos
?
?(2c)
y
P
F
1F
2
x
①
2
-②得2r
1
r
2
(1+cosθ)=4b
2
4b
2
2b
2
∴1+cosθ=
∵r
1
+r
2
?2r
1
r
2
,
∴r
1
r
2
的最大值为a
2
?
2r1
r
2
r
1
r
2
18
2b
2
∴1+cosθ的最小值为
2
,即1+cosθ
?
25
a
cosθ
??
77
?
,
0?
?
?
?
?arccos
则当
?
?
时
,sinθ取值得最大值1,
25252
8
高考圆锥曲线考点
即sin∠F
1
PF
2
的最大值为1。
x
2y
2
11、设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0)<
br>
ab
a
2
由题意:C、2C、
?c
成等差数列,
c
a
2
?c即a
2
?2c
2
, ∴
4c?c?
c
∴a
2
=2(a
2
-b
2
),∴a
2
=2b
2
x
2
y
2
椭圆方程为
2
?
2
?1
,设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
2bb
22
x
1
2
y
1
2
x
2
y
2
?
?1
② 则
2
?
2
?1
①
2bb2b
2
b
2
22
x
1
2
?x
2
y
1
2
?y
2
??0
①-②得
2b
2
b
2
∴
x
m
y
m
??k?0
22
2bb
?2
?k?0
∴k=1
2
1
12
2
?12(18?2b
2
)2?43
3
即
直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x
2<
br>+2y
2
-2b
2
=0得x
2
+2(x+3)
2
-2b
2
=0
∴3x
2
+12x+18-2b
2
=0,
AB?x1
?x
2
1?1?
2
x
2
y
2
??1
,直线l方程为x-y+3=0 解得b=12, ∴椭圆方程为
2412
12、证明:设A(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),AD中点为M(x
0
,y
0
)直线l的斜率为k,则
?
x
1
2
y
1
2
2x
0
??1
①
?
①-②得
?
a
2
b
2
2
?
2<
br>a
2
?
x
2
?
y
2
?1
②
?
?
a
2
b
2
?
2y
0
?k?0
③
2
b
?
,y
1
?
),C(
x
2
?
,y
2
?
),BC中点为M
?
(x
0
?
,y
0
?
)
, 设
B(x
1
?
x
1
2
y
1
2
1
?
1
2
?0
④
则
?
?
a
2
b
?
1
22
y
1
?
x
2
?
2
2
?0
⑤
?2
b
?
a
1
?
2y
0
2x
1
④-⑤得
2
?
2
?k?0
⑥
ab
由③
、⑥知M、
M
?
均在直线
l
?
:
2x2y
??k?0
上,而M、
M
?
又在直线l上 ,
a
2
b
2
9
若l过原点,则B、C重合于原点,命题成立
高考圆锥曲线考点
若l与x轴垂直,则由对称性知命题成立
若l不过原点且与x轴不垂直,则M与
M
?
重合
∴
AB?CD
椭圆与双曲线的对偶性质总结
椭 圆
1.
点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
2. PT
平分△PF
1
F
2
在点P处的外角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是
以长轴为直径的圆,除去长轴的
两个端点.
3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4.
以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
5.
6.
7.
8.
x
0
xy
0
y
x
2
y
2
?
2
?1
.
??1
若
P<
br>在椭圆上,则过的椭圆的切线方程是
(x,y)P
0000
a
2
b
a
2
b
2
x
2
y
2
若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
,则切点弦P
1
P
2
的直线方程
ab
xxyy<
br>是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,点P为椭圆上任意一点?F
1
PF
2
?
?
,则椭圆的焦点
ab
?
2
角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?b
tan
.
2
x
2
y
2
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的焦半径公式:
ab
|MF
1|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)M(x
0
,y
0
)
).
点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交
P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ分别交相应于焦
10.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上
的顶点,A
1
P和A
2
Q交于点M,A
2
P
和A<
br>1
Q交于点N,则MF⊥NF.
x
2
y
2
b
2
11. AB是椭圆
2?
2
?1
的不平行于对称轴的弦,M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点,则
k
OM
?k
AB
??2
,
a
ab
b
2
x
0
即
K
AB
??
2
。
ay
0
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2
y
2
?
2
?
2
?
2
. 12. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内,则被Po所平分的中点弦的方程是
2
abab
ab
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?
2
. 13. 若
P
0<
br>(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2?1
内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2<
br>abab
ab
10
高考圆锥曲线考点
双曲线
1.
点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
2. PT
平分△PF
1
F
2
在点P处的内角,则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是
以长轴为直径的圆,除去长
轴的两个端点.
3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必
与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外切:P在左支)
x
0
xy
0
y
x
2
y
2
?
2
?1
.
??1
5. 若
P
在双曲线(a>0,b>0)上,则过的双曲线的切线方程
是
(x,y)P
0000
2
22
ab
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)外
,则过Po作双曲线的两条切线切点为P
1
、P
2
,则
ab
xxyy
切点弦P
1
P
2
的直线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,点P为双曲线上任意一点
?F
1
PF
2
?
?
,<
br>ab
?
2
则双曲线的焦点角形的面积为
S
?F
1PF
2
?bcot
.
2
x
2
y
2
8. 双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)的焦半径公式:(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
ab
当
M(x
0
,y
0
)
在右支上时,
|MF
1
|?ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
.
当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时,
|MF
1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??e
x
0
?a
9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交
P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP
和AQ分别
交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥NF.
10.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线
实轴上的顶点,A
1
P和A
2
Q交于
点M,A
2
P
和A
1
Q交于点N,则MF⊥NF.
x
2
y
2
11. AB是双曲线
2
?
2<
br>?1
(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点,则
ab
b
2
x
0
b
2
x
0
K
OM
?K
AB
?
2,即
K
AB
?
2
。
ay
0
ay0
x
2
y
2
?
2
?1
(a>0,b>
0)内,则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若
P
0
(x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
.
a
2
bab
x
2
y
2
?
2
?1
(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
13. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?
2
?
2
?
2
.
2
abab
椭圆与双曲线的经典结论
椭
圆
11
高考圆锥曲线考点
x
2
y
2
1. 椭圆
2
?
2
?1
(a>b>o)的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
,与y轴平行的直线交椭圆于P
1
、
P
2<
br>时
ab
x
2
y
2
A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2?1
.
ab
x
2
y
2
2.
过椭圆
2
?
2
?1
(a>0, b>0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,ab
b
2
x
0
则直线BC有定向且
k
BC?
2
(常数).
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为椭圆
2?
2
?1
(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F
1
,
F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
ab
?P
F
2
F
1
?
?
,则
a?c
??
?
tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4. 设椭
圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的两个焦点为F
1
、
F
2
,P(异于长轴端点)为椭圆上任意一点,在△PF
1
F
2ab
中,记
?F
1
PF
2
?
?
, <
br>?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
,则有
sin
?
c
??e<
br>.
sin
?
?sin
?
a
x
2
y
2
5. 若椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的左、
右焦点分别为F
1
、F
2
,左准线为L,则当0<e≤
2?1
时,可
ab
在椭圆上求一点P,使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF<
br>2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)上任一点,F
1
,F
2
为二焦点,A为椭圆内一定点,则
ab
2a?|AF
2
|?|PA|
?|PF
1
|?2a?|AF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线时,等号成立.
(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是7. 椭圆
22
ab
A
2
a
2?B
2
b
2
?(Ax
0
?By
0
?C
)
2
.
x
2
y
2
8. 已知椭圆
2?
2
?1
(a>b>0),O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
O
P?OQ
.(1)
ab
4a
2
b
2
a
2<
br>b
2
1111
22
???
;(2)|OP|+|OQ|的最大
值为
22
;(3)
S
?OPQ
的最小值是
22
.
a?ba?b
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
x
2
y
2
9. 过椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交<
br>ab
|PF|e
?
.
x轴于P,则
|MN|2
x
2
y
2
10.
已知椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点
,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
?x
0
?
.
P(x
0
,0)
,
则
?
aa
x
2
y
2
11.
设P点是椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)上异于长轴端点的任一点
,F
1
、F
2
为其焦点记
?F
1
PF
2<
br>?
?
,则
ab
12
高考圆锥曲线考点
?
2b
2
2
(1)|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?btan
.
2
1?cos
?
x
2
y
2
12.
设A、B是椭圆
2
?
2
?1
(
a>b>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点,
?PAB?
?
,
ab
2ab
2
|cos
?
|
.(2)
?
PBA?
?
,
?BPA?
?
,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则
有(1)
|PA|?
22
a?ccos
2
?
2a
2
b
2
2
cot
?
.
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
2
b?a
2
x
2
y
2
13. 已知椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)的右准线
l
与x轴相交于点
E
,过椭圆右焦点
F
的直线与椭圆相交
ab
于A、B两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴
,则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的
圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线
垂直.
15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.
椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
x
2
y
2
1. 双曲线
2
?
2
?
1
(a>0,b>0)的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
,与y轴平行的直线交双曲线
ab
x
2
y
2
于P
1
、
P
2
时A
1
P<
br>1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过双曲
线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于
ab
b
2
x
0
B,C两点,则直线BC有定向且
k
BC
?
?
2
(常数).
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为双曲线
2<
br>?
2
?1
(a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P
F
2
F
1
?
?
,则
c?a
??
c
?a
??
?tancot
(或
?tancot
).
c?a22c?a22
x
2
y
2
4. 设双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的两个焦点为F
1
、F
2
,P(异于长轴端点)为双曲线上任意一点,
ab
13
高考圆锥曲线考点
在△PF
1
F
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
,则有
sin
?
c
??e
.
?(
sin
?
?sin
?
)a
x
2
y
2
5. 若双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别
为F
1
、F
2
,左准线为L,则当1<e≤
2?1
ab时,可在双曲线上求一点P,使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为双曲线
2
?<
br>2
?1
(a>0,b>0)上任一点,F
1
,F
2
为
二焦点,A为双曲线内一定点,则
ab
|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P
和
A,F
2
在y轴同侧时,等号成立.
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
?
1
(a>0,b>0)与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
.
x
2
y
2
8.
已知双曲线
2
?
2
?1
(b>a
>0),O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且
OP?OQ
.
ab
4
a
2
b
2
a
2
b
2
1111
22
??
2
?
2
;(2)|OP|+|OQ|的最小值为
2(1);(3)
S
?OPQ
的最小值是
2
.
2222
b?ab?a
|OP||OQ|ab
x
2
y
29. 过双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的右焦点F作直
线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的
ab
|PF|e
?
.
垂直平分线交x轴于P,则
|MN|2
x
2
y
2
10. 已
知双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点
,线段AB的垂直平分线与x轴相
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
交于点
P(x
0
,0)
,
则
x
0
?
或
x
0
??
.
a
a
x
2
y
2
11. 设P点是双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F
1
、F
2
为其焦点记
?F
1
PF
2
?
?<
br>,
ab
?
2b
2
2
则(1)
|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?bcot
.
2
1?cos
?
x
2
y
2
12. 设A、
B是双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲
线上的一点,
?PAB?
?
,
ab
2ab
2
|c
os
?
|
?PBA?
?
,
?BPA?
?
,
c、e分别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)
|PA|?
22
.
2|a?ccos
?
|
2a
2
b
2
2
c
ot
?
. (2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
22
b?a
x
2
y
2
13.
已知双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的右准线
l与x轴相交于点
E
,过双曲线右焦点
F
的直线与
ab
双
曲线相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴
,则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直
径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线
必与切线垂直.
15.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
14
高考圆锥曲线考点
直.
16.
双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.
双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
15