(完整版)高中数学圆锥曲线试题(含答案)

理 数
圆锥曲线
1. (2014大纲全国,9,5分)已知双曲线C的离心率为2,焦点为F
1
、F
2,点A在C上.若|F
1
A|=2|F
2
A|,则
第1页 共 20页

cos∠AF
2
F
1
=( )
A. B. C. D.
[答案] 1.A
[解析] 1.由题意得解得|F
2
A|=2a,|F
1
A|=4a,
又由已知可得=2,所以c=2a,即|F
1
F
2
|=4a,
∴cos∠AF
2
F
1
===.故选A.
2. (201 4大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F
1
、F
2
,离心率为,过
F
2
的直线l交C于A、B两点.若△AF
1B的周长为4,则C的方程为( )
A.+=1 B.+y
2
=1 C.+=1 D.+=1
[答案] 2.A
[解析] 2.由题意及椭圆的定义知4a=4
+=1,选A.
,则a=,又==,∴c=1,∴b
2
=2,∴C的方程为
3. (2014 重庆,8,5分)设F
1
、F
2
分别为双曲线
P使得|PF
1
|+|PF
2
|=3b,|PF
1
|·|PF
2
|=
-=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存在一点
ab,则该双曲线的离心率为 ( )
A. B. C. D.3
[答案] 3.B
第2页 共 20页

[解析] 3.设|PF
1
|=m,|PF
2
|=n,依题意不妨设m>n>0,
于是
∴m·n=··?m=3n.
∴a=n,b=n?c=n,∴e=,选B.
4. (2014广东,4,5分)若实数k满足0A.焦距相等 B.实半轴长相等 C.虚半轴长相等 D.离心率相等
[答案] 4.A
[解析] 4.∵00,25-k>0.
∴-=1与-=1均表示双曲线,
又25+(9-k)=34-k=(25-k)+9,
∴它们的焦距相等,故选A.
5. (2014福建,9,5分)设P,Q分别为圆x
2
+(y-6)
2
=2和椭圆+y
2
=1上的点,则P,Q两点间 的最大距
离是( )
A.5 B.+ C.7+ D.6
[答案] 5.D
[解析] 5.设Q(cos θ,sin θ),圆心为M,由已知得M(0,6),
则|MQ|=
第3页 共 20页

=
=
=≤5,
故|PQ|
max
=5+=6.

6.(20 14山东,10,5分)已知a>b>0,椭圆C
1
的方程为
与C
2
的离心率之积为
+=1,双曲线C
2
的方程为-=1,C
1
,则C< br>2
的渐近线方程为( )
A.x±y=0B.x±y=0
C.x±2y=0D.2x±y=0
[答案] 6.A
[解析] 6.设椭圆C< br>1
和双曲线C
2
的离心率分别为e
1
和e
2
,则e
1
=,e
2
=.因为
e
1
·e
2< br>=,所以=,即=,∴=.
故双曲线的渐近线方程为y=±x=±x,即x±y=0.
7.(2014天津,5,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:y=2x +10,双曲线的
一个焦点在直线l上,则双曲线的方程为( )
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
第4页 共 20页

[答案] 7.A
[解析] 7.由题意得=2且c=5.故由c
2
=a< br>2
+b
2
,得25=a
2
+4a
2
,则a< br>2
=5,b
2
=20,从而双曲线方程为
-=1.
8.(2014山东青岛高三第一次模拟考试, 10) 如图，从点
发出的光线，沿平行于抛 物线
向射向此抛物线上的点
抛物线上的点
的对称轴方
，经抛物线反射后，穿过 焦点射向
，再经抛物线反射后射向直线
上的点，经直线反射后又回到点，则
等于（ ）
A． B． C． D．
[答案] 8. B
[解析] 8.由题意可得抛物线的轴为轴，，所以所在的直线方程为，
在抛物线方程
从而可得，
中，令
，
可得，即
因为经抛物线反射后射向直线
所以直线
故选B．
的方程为，
上的点，经直线反射后又回到点，
9.(2014安徽合肥高三第二次质量检测，4) 下列双曲线中，有一个焦点在抛物线
是（ ）
准线上的
A. B.
C. D.
[答案] 9. D
第5页 共 20页

[解析] 9. 因为抛物线
上 ，双曲线
的焦点坐标为
的焦点在轴且为
，准线方程为
满足条件. 故选D.
，所以双曲线的焦点在轴
10. (2014江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为- 的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两
点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率 等于________.
[答案] 10.
[解析] 10.设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则+=1①,
+=1②.
①、②两式相减并整理得=-·.
把已知条件代入上式得,-=-×,
∴=,故椭圆的离心率e==.
11. (2014湖南,15,5分)如图,正方形ABC D和正方形DEFG的边长分别为a,b(a点,抛物线y
2
=2px(p>0)经过C,F两点,则=________.
[答案] 11.1+
[解析] 11.|OD|=,|DE|=b,|DC|=a,|EF|=b,
故C,F,
又抛物线y
2
=2px(p>0)经过C、F两点,
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从而有即
∴b
2
=a
2
+2ab,∴-2·-1=0,
又>1,
∴=1+.
12.(2014安徽,14,5分)设F
1
,F
2< br>分别是椭圆E:x
2
+=1(01
的 直线交椭圆
E于A,B两点.若|AF
1
|=3|F
1
B|,AF< br>2
⊥x轴,则椭圆E的方程为____________.
[答案] 12.x
2
+y
2
=1
[解析] 12.不妨设点A在第一象限, ∵AF
2
⊥x轴,∴A(c,b
2
)(其中c
2
=1-b< br>2
,00).
又∵|AF
1
|=3|F
1< br>B|,∴由
c
2
=1-b
2
,∴b
2
=.
=3得B,代入x
2
+=1得+=1,又
故椭圆E的方程为x
2+y
2
=1.

13.(2014浙江,16,4分)设直线x-3y +m=0(m≠0)与双曲线-=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交
于点A,B.若点P(m, 0)满足|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是________.
[答案] 13.
[解析] 13.由得A,
由得B,
则线段AB的中点为M.
由题意得 PM⊥AB,∴k
PM
=-3,得a
2
=4b
2
=4c2
-4a
2
,故e
2
=,∴e=.
14. (2014天津蓟县第二中学高三第一次模拟考试，12) 抛物线+12y=0的准线方程是___________.
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[答案] 14. y=3
[解析] 14. 抛物线的标准方程为：
所以其准线方程为y=3.
，由此可以判断焦点在y轴上，且开口向下，且p=6，
15. (2014大纲全国,21, 12分)已知抛物线C:y
2
=2px(p>0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P, 与C
的交点为Q,且|QF|=|PQ|.
(Ⅰ)求C的方程;
(Ⅱ)过F的直线 l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线l'与C相交于M、N两点,且A、M、B、
N四点在同 一圆上,求l的方程.
[答案] 15.查看解析
[解析] 15.(Ⅰ)设Q(x
0
,4),代入y
2
=2px得x
0
=.
所以|PQ|=,|QF|=+x
0
=+.
由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2.
所以C的方程为y
2
=4x.(5分)
(Ⅱ)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0).
代入y
2
=4x得y
2
-4my-4=0.
设A(x1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则y
1
+y
2
=4m,y
1
y
2
=-4.
故AB的中点为D(2m
2
+1,2m),|AB|=|y
1
-y
2
|=4(m
2
+1).
又l'的斜率为-m,所以l'的方程为x=-y+2m
2
+3.
将上式代 入y
2
=4x,并整理得y
2
+y-4(2m
2
+3)=0 .
设M(x
3
,y
3
),N(x
4
,y
4
),则y
3
+y
4
=-,y
3
y
4=-4(2m
2
+3).
第8页 共 20页

故MN的中点为E,|MN|=|y
3
-y
4
|=.(10分) < br>由于MN垂直平分AB,故A、M、B、N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=
|AB|
2
+|DE|
2
=|MN|
2
,
|MN|,从而
即4(m
2
+1)
2
++=.
化简得m
2
-1=0,解得m=1或m=-1.
所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.(12分)
16. (2014四川,20,13分)已知椭圆C:
个端点构成正三角形.
+=1(a>b>0)的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设F为椭圆C的左焦点,T为直线x=-3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.
(i)证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);
(ii)当最小时,求点T的坐标.
[答案] 16.查看解析
[解析] 16.(Ⅰ)由已知可得
解得a
2
=6,b
2
=2,
所以椭圆C的标准方程是+=1.
(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)可得,F的坐标是(-2,0),设T点的坐标为(-3,m).
则直线TF的斜率k
TF
==-m.
当m≠0时,直线PQ的斜率k
PQ
=,直线PQ的方程是x=my-2.
当m=0时,直线PQ的方程是x=-2,也符合x=my-2的形式.
第9页 共 20页

设P(x
1
,y
1
),Q(x< br>2
,y
2
),将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得
消去x,得(m
2
+3)y
2
-4my-2=0,
其判别式Δ=16m
2
+8(m
2
+3)>0.
所以y< br>1
+y
2
=,y
1
y
2
=,
x< br>1
+x
2
=m(y
1
+y
2
)-4=.
所以PQ的中点M的坐标为.
所以直线OM的斜率k
OM
=-,
又直线OT的斜率k
OT
=-,所以点M在直线OT上,
因此OT平分线段PQ.
(ii)由(i)可得,
|TF|=,
|PQ|=
=
==.
所以==≥=.
当且仅当m
2
+1=,即m=±1时,等号成立,此时取得最小值.
所以当最小时,T点的坐标是(-3,1)或(-3,-1).
17. (2014广东,20,14分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
第10页 共 20页

(2)若动点P(x
0
,y
0
)为椭圆C外一点,且点P到椭圆C的两条切线 相互垂直,求点P的轨迹方程.
[答案] 17.查看解析
[解析] 17.(1)由题意知c=,e==,
∴a=3,b
2
=a
2
-c
2
=4,
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设两切线为l
1
,l
2
,
①当l
1
⊥x轴或l
1
∥x轴时,l
2
∥x轴或l
2
⊥x轴,可知 P(±3,±2).
②当l
1
与x轴不垂直且不平行时,x
0
≠± 3,设l
1
的斜率为k,且k≠0,则l
2
的斜率为-
y-y
0
=k(x-x
0
),与+=1联立,
,l
1
的方程为
整理得(9k
2
+4)x
2
+18(y
0
-kx< br>0
)kx+9(y
0
-kx
0
)
2
-36= 0,
∵直线l
1
与椭圆相切,∴Δ=0,即9(y
0
-kx
0
)
2
k
2
-(9k
2
+4)·[(y
0
-kx
0
)
2
-4]=0,
∴(-9)k
2
-2x
0
y
0
k+-4=0, < br>∴k是方程(-9)x
2
-2x
0
y
0
x+-4=0 的一个根,
同理,-是方程(-9)x
2
-2x
0
y
0< br>x+-4=0的另一个根,
∴k·=,整理得+=13,其中x
0
≠±3,
∴点P的轨迹方程为x
2
+y
2
=13(x≠±3).
检验P(±3,±2)满足上式.
综上,点P的轨迹方程为x
2
+y
2
=13.
18. ( 2014江西,20,13分)如图,已知双曲线C:
线上,AF⊥x轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).
-y
2
=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近
第11页 共 20页

(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x
0
,y
0
)(y
0
≠0)的直线l:-y
0
y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.
证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.

[答案] 18.查看解析
[解析] 18.(1)设F(c,0),因为b=1,所以c=,
直线OB的方程为y=-x,直线BF的方程为y=(x-c),解得B.
又直线OA的方程为y=
a
2
=3,
x,则A,k
AB< br>==.又因为AB⊥OB,所以·=-1,解得
故双曲线C的方程为-y
2
=1 .
(2)由(1)知a=,则直线l的方程为-y
0
y=1(y
0
≠0),
即y=.
因为直线AF的方程为x=2,所以直线l与AF的交点为M;
直线l与直线x=的交点为N,
则===·.
因为P(x
0
,y
0
)是C上一点,则-=1,代入上式得
=·=·=,
所求定值为==.
19. (2014陕西,2017,13分)如 图,曲线C由上半椭圆C
1
:+=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线
. C2
:y=-x
2
+1(y≤0)连接而成,C
1
与C
2
的公共点为A,B,其中C
1
的离心率为
第12页 共 20页

(Ⅰ)求a,b的值;
(Ⅱ)过点B的直线l与C
1,C
2
分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.

[答案] 19.查看解析
[解析] 19.(Ⅰ)在C
1
,C
2
的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C
1
的左,右顶点.
设C
1
的半焦距为c,由=及a
2
-c
2
=b
2
=1得a=2.
∴a=2,b=1.
(Ⅱ)解 法一:由(Ⅰ)知,上半椭圆C
1
的方程为+x
2
=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1
的方程,整理得(k
2
+4)x
2
-2k
2
x+k
2
-4=0.(*)
设点P的坐标为(x
P
,y
P
),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得x
P
=,从而y
P
=,
∴点P的坐标为.
同理,由得点Q的坐标为(-k-1,-k
2
-2k).
∴=(k,-4),=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,∴·=0,即[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,∴k-4(k+2)=0,解得k=-.
经检验,k=-符合题意,
第13页 共 20页

故直线l的方程为y=-(x-1).
解法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照解法一给分.
20.(2014 江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F
1
、F
2
分别是 椭圆+=1(a>b>0)的左、
右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF
2
并 延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,
连结F
1
C.
(1)若点C的坐标为,且BF
2
=,求椭圆的方程;
(2)若F
1
C⊥AB,求椭圆离心率e的值.

[答案] 20.查看解析
[解析] 20.设椭圆的焦距为2c,则F
1
(-c,0),F
2
(c,0).
(1)因为B(0,b),所以BF
2
==a.
又BF
2
=,故a=.
因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b
2
=1.
故所求椭圆的方程为+y
2
=1.

(2)因为B(0,b),F
2
(c,0)在直线AB上,
所以直线AB的方程为+=1.
解方程组得
所以点A的坐标为.
又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为
第14页 共 20页
.

因为直线F
1
C的斜率为=,直线AB的斜率为-, 且F
1
C⊥AB,所以·=-1.又b
2
=a
2
-c< br>2
,整理得a
2
=5c
2
.故e
2
=.因此 e=.
21.(2014辽宁,20,12分)圆x
2
+y
2
=4 的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成一个三角形,当该三角形面积
最小时,切点为P(如图),双曲线 C
1
:-=1过点P且离心率为.
(Ⅰ)求C
1
的方程;
(Ⅱ)椭圆C
2
过点P且与C
1
有相同的焦点,直线l过C
2的右焦点且与C
2
交于A,B两点,若以线段AB为
直径的圆过点P,求l的方程 .

[答案] 21.查看解析
[解析] 21.(Ⅰ)设切点坐标为(x
0
,y
0
)(x
0
>0,y
0
>0),则切线斜 率为-,切线方程为y-y
0
=-
··=
(x-x
0
),即
.由x
0
x+y
0
y=4,此时,两个坐标轴的正半轴与切线围成的 三角形面积为S=
+
(,
=4≥2x
0
y
0
知当且 仅当x
0
=y
0
=
).
时x
0
y
0
有最大值,即S有最小值,因此点P的坐标为
由题意知解得a
2
=1,b
2
=2,
故C
1
的方程为x
2
-=1.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知C
2
的焦点坐标为(-,0),(,0),由此设C
2
的 方程为+=1,其中b
1
>0.
由P(,)在C
2
上,得+=1,
解得=3,因此C
2
的方程为+=1.
显然,l不是直线y=0.设l的方 程为x=my+,点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y2
),由
得(m
2
+2)y
2
+2my-3=0,又 y
1
,y
2
是方程的根,
因此
第15页 共 20页

由x
1
=my
1
+,x
2
=my
2
+,得

因=(-x
1
,-y
1),=(-x
2
,-y
2
).
由题意知·=0,
所 以x
1
x
2
-(x
1
+x
2
)+y
1
y
2
-(y
1
+y
2
)+4=0.⑤
将①,②,③,④代入⑤式整理得
2m
2
-2m+4-11=0,
解得m=-1或m=-+1. 因此直线l的方程为
x-y-=0或x+y-=0.
22.(2012太原高三月考，20,12分)
已知曲线C:x
2
+=1.
(Ⅰ)由曲线C上任一点E向x轴作垂线,垂足 为F,动点P满足:=3,求P点的轨迹方程,并讨论其轨
迹的类型;
(Ⅱ)如果直线l的斜率为
方程.
,且过点M(0,-2),直线l与曲线C交于A、B两点,又·=-,求曲线C的
[答案] 22.(Ⅰ)设E(x
0
,y
0
),P(x,y),
则F(x
0
,0),∵=3,
∴(x-x
0
,y)=3( x-x
0
,y-y
0
),
∴代入曲线C中得x
2
+=1为所求的P点的轨迹方程.(2分)
①当λ=时,P点轨迹表示:以(0,0)为圆心,半径r=1的圆;(3分)
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②当0<λ<时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆;(4分)
③当λ>时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆;(5分)
④当λ<0时,P点轨迹表示:中心在坐标原点,焦点在x轴上的双曲线.(6分)
(Ⅱ)由题设知直线l的方程为y=x-2,代入曲线C中得
(λ+2)x
2
-4x+4-λ=0,(7分)
令A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
∵以上方程有两解,∴Δ=32-4(λ+2)(4-λ)>0,且λ+2≠0,(8分)
∴λ>2或λ<0且λ≠-2,
x
1
+x
2
=,x
1
·x
2
=.
又·=x
1
·x
2
+(y
1
+2)(y
2
+2)=3x
1
·x
2
==-.(10分)
解得λ=-14,(11分)
∴曲线C的方程是x
2
-=1.(12分)
22.
23.(2012山西大学附中高三十月月考，21，12分）设椭圆
，右焦 点到直线的距离为坐标原点.
的离心率
（I）求椭圆的方程；
（II）过点作两条互相垂直的射线，与椭圆
长度的最小值.
分别交于两点，证明：点到直线的距离为
定值，并求弦
[答案] 23.（I）由题意得，∴，∴.
由题意得椭圆的右焦点到直线即
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的距离为

，
∴，
∴
∴椭圆C的方程为
（II）设，直线AB的方程为
则，
，
直线AB的方程与椭圆C的方程联立得
消去得
整理得
则是关于的方程的两个不相等的实数根，
∴

，
∴，

整理得，
∴，
∴O到直线AB的距离
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即O到直线AB的距离定值. ……8分

∴，当且仅当OA=OB时取“=”号.
∴，
又，∴,

即弦AB的长度的最小值是
23.
24.(2012广东省“六校教研协作体”高 三11月联考,20，14分）已知椭圆
离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积 为.
的
（１）求椭圆的方程；
（２）已知动直线与椭圆相交于、两点，
①若线段中点的横坐标为，求斜率的值；
②已知点，求证：为定值.
[答案] 24.（1）由题意得……2分
解得，
所以椭圆C的方程为.…4分
（2）①设，
直线方程与椭圆C的方程联立得
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消去，整理得，……6分
则是关于的方程两个不相等的实数根，
恒成立，，……7分
又中点的横坐标为，所以，
解得.…………9分
②
则，
由①知，

，
，…………11分 所以

…………12分


.…14分
24.

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