高考数学圆锥曲线及解题技巧

椭圆与双曲线的性质
椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
2. PT 平分△PF
1
F
2
在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长
轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x
0
x y
0
y
x
2
y
2
?
2
?1
.
??1
5. 若
P
在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
(x, y)P
0000
2
22
ab
ab
x
2
y< br>2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)< br>在椭圆
2
?
2
?1
外 ，则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
，则切点弦P
1
P
2
的直线ab
xxyy
方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7. 椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上任意一点?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆
ab
?< br>2
的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?b tan
.
2
x
2
y
2
8. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a? ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)M(x
0
,y
0
)
).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应
于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上 的顶点，A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2
P
和A< br>1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2
b
2
11. AB是椭圆
2?
2
?1
的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
k
OM
?k
AB
??2
，
a
ab
b
2
x
0
即
K
AB
??
2
。
ay
0
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
x
2
y
2
?
2
?
2
?
2
. 12. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则被Po所平分的中点弦的方程是
a
2
bab
ab
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
?
2
. 13. 若
P0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?aba
2
b
ab
双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
2. PT 平分△PF
1
F
2
在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除
去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必 与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5.
6.
7.
8.
x
2
y
2
若
P
?? 1
（a＞0,b＞0）上，则过
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
0
的双曲线的切线方程是
a
2
b
2
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
x
2
y
2
若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P
1
、
a b
xxyy
P
2
，则切点弦P
1
P
2
的直 线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
双曲线
2
?
2
?1
（ a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为双曲线上任意一点
?F
1
PF
2
?
?
，
ab
?2
则双曲线的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?bcot
.
2
x
2
y
2
双曲线
2< br>?
2
?1
（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)

ab
当M(x
0
,y
0
)
在右支上时，
|MF
1|?ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
.
当
M(x
0
,y
0
)
在左支上 时，
|MF
1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex
0
?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ
分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线 实轴上的顶点，A
1
P和A
2
Q交
于点M，A
2
P 和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2
11. AB是双曲线
2
?
2< br>?1
（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
ab
b
2
x
0
b
2
x
0
K
OM
?K
AB
?
2，即
K
AB
?
2
。
ay
0
ay0
x
2
y
2
?
2
?1
（a＞0,b＞ 0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是12. 若
P
0
(x
0
, y
0
)
在双曲线
2
ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
.
a
2
bab
x
2
y
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 13. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
ab
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
???
2
.
a
2
b
2
a
2
b
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）

椭 圆
x
2
y
2
1. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞o）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A< br>2
(a,0)
，与y轴平行的直线交椭圆于P
1、
ab
x2
y
2
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1.
ab
x
2
y
2
2. 过椭圆
2
?
2
?1
(a＞0, b＞0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C
a b

两点，则直线BC有定向且
k
BC
b
2
x
0
?
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为椭圆
2?
2
?1
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
ab
?P F
2
F
1
?
?
，则
a?c
??
? tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4. 设椭 圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的两个焦点为F
1
、 F
2
,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在
ab
△PF
1F
2
中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
??e
.
sin
?
?sin
?
a
x
2< br>y
2
5. 若椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0 ）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，则当0＜e≤
2? 1
时，
ab
可在椭圆上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d 与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上任一点,F
1
,F< br>2
为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab
2a?|AF?|PA|?|PF|2 a?|AF|A,F
2
,P
三点共线时，等号成立.
2
|
1
?
1
,当且仅当
(x?x
0
)
2
(y? y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共 点的充要条件是7. 椭圆
22
ab
2222
Aa?Bb?(Ax
0
?By
0
?C)
2
.
x
2
y
2
8. 已知椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
OP?OQ
.（1）
ab
4a
2
b
2
a
2
b
2
1111
22
???
;（2）|OP|+|OQ|的最大值为
2
; （3）
S
?OPQ
的最小值是
22
.
a?b
2< br>a?b
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
x
2
y
2
9. 过椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分
ab< br>|PF|e
?
. 线交x轴于P，则
|MN|2
x
2
y
2
10. 已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点 ，线段AB的垂直平分线与x轴相交
ab
a
2
?b
2
a2
?b
2
?x
0
?
于点
P(x
0,0)
, 则
?
.
aa
x
2
y
2
11. 设P点是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点 ,F
1
、F
2
为其焦点记
?F
1
PF
2< br>?
?
，
ab
?
2b
2
2
则(1)< br>|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?btan
.
2
1?cos
?

x
2
y
2
12. 设A、B是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
?PAB?
?
,
ab
2ab
2
|cos
?
|
.(2)
? PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则 有(1)
|PA|?
222
a?ccos
?
2a
2
b
2
2
cot
?
.
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
22
b?a
x
2
y
2
13. 已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过椭圆右焦点
F
的直线与椭
ab
圆相交 于A、B两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直线 AC经过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应焦点的连线必
与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂
直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
双曲线
x
2
y
2
1. 双曲线
2
?
2
? 1
（a＞0,b＞0）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
，与y轴平行的直线交
ab
x
2
y< br>2
双曲线于P
1、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线交双曲
ab
b
2< br>x
0
线于B,C两点，则直线BC有定向且
k
BC
??
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点 外的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P F
2
F
1
?
?
，则
c?a
??
c ?a
??
?tancot
（或
?tancot
）.
c?a22c?a22

x
2
y
2
4. 设双 曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F
1、F
2
,P（异于长轴端点）为双曲线上任
ab
意一点，在△PF
1
F
2
中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
si
?
n< br>?(si
?
n?
c
??e
.
?
sina)
x
2
y
2
5. 若双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，则当1＜e≤
2?1
ab
时，可在双曲线上求一点 P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上任一点,F
1
,F
2
为二焦点，A为双 曲线内一定点，则
ab
|AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P
和< br>A,F
2
在y轴同侧时，等号成
立.
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
? 1
（a＞0,b＞0）与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
.
x
2
y
2
8. 已知双曲线
2
?
2
?1
（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且
OP?OQ
.
ab
4 a
2
b
2
1111
22
???
;（2）|OP|+ |OQ|的最小值为
2
（1）;（3）
S
?OPQ
的最小值是
b?a
2
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
a
2
b
2
.
b
2
?a
2
x
2
y
2
9. 过双 曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的 右支于M,N两点，弦MN
ab
|PF|e
?
. 的垂直平分线交x轴于P，则
|MN|2
x
2
y
2
10. 已知双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两 点，线段AB的垂直平分线与x
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
轴相交于点
P(x
0
,0)
, 则
x
0
?
或
x
0
??
.
a
a
x
2
y
2
11. 设P点是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F
1
、F
2
为其焦点记
ab
?
2b
2
2
.( 2)
S
?PF
1
F
2
?bcot
.
? F
1
PF
2
?
?
，则(1)
|PF
1||PF
2
|?
2
1?cos
?
x
2
y
2
?PAB?
?
, 12. 设A、B是双曲线
2
?2
?1
（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，
ab
? PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是双曲线的半焦距离心率， 则有
2ab
2
|cos
?
|
(1)
|PA|?2
.
|a?c
2
cos
2
?
|

(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
2
2a
2
b
2
?
2
cot
?
.
b?a
2
x
2
y
2
13. 已知 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过双曲线右焦点
F
的
ab
直线与双曲线 相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则 直线AC经过线段EF 的
中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴 为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点
的连线必与切线垂直.
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径
互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

圆锥曲线问题解题方法

圆锥曲线中的知识综合性较强，因 而解题时就需要运用多种基础知识、采用多种数学手段来处理
问题。熟记各种定义、基本公式、法则固然 重要，但要做到迅速、准确解题，还须掌握一些方法和技巧。
一. 紧扣定义，灵活解题
灵活运用定义，方法往往直接又明了。
y
2
?1
，P为双曲线上一点。 例1. 已知点A（3，2），F（2，0 ），双曲线
x?
3
1
求
|PA|?|PF|
的最小值。
2
2
解析：如图所示，

?
双曲线离心率为2，F为右焦点，由第二定律知

?|PA|?
1
|PF|
即点P到准线距离。
2

15
|PF|?|PA|?|PE|?AM?

22

二. 引入参数，简捷明快
参数的引入，尤如化学中的催化剂，能简化和加快问题的解决。
例2. 求共焦点F、共准线
l
的椭圆短轴端点的轨迹方程。
解：取如图所示的坐标 系，设点F到准线
l
的距离为p（定值），椭圆中心坐标为M（t，0）（t为
参数）

b
，而
c?t

c
2

?b?pc?pt


?p?
再设椭圆短轴端点坐标为P（x，y），则
2
?
x?c?t
?

?

?
?
y?b?pt
消去t，得轨迹方程
y?px


三. 数形结合，直观显示
将“ 数”与“形”两者结合起来，充分发挥“数”的严密性和“形”的直观性，以数促形，用形助数，
结合使 用，能使复杂问题简单化，抽象问题形象化。熟练的使用它，常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦
的问题 。
例3. 已知
x,y?R
，且满足方程
x?y?3(y?0)
， 又
m?
22
2
y?3
，求m范围。
x?3

解析：
?m?
如图所示
y?3的几何意义为，曲线
x
2
?y
2
?3(y?0)
上的点 与点（－3，－3）连线的斜率，
x?3

k
PA
?m?k
PB


?

3?33?5

?m?
22

四. 应用平几，一目了然
用代数研究几何问题是解析几何的本质特征，因此，很多“解几”题中的一些图形性质就和“平几”知识相关联，要抓住关键，适时引用，问题就会迎刃而解。
?OQ|
的值为________。 例4. 已知圆
(x?3)
2
?y
2
?4
和直线
y?mx
的交点为P、Q，则
|OP||
解：
??OMP~?OQN

?OQ|?|OM||?ON|?5

|OP||

五. 应用平面向量，简化解题
向量的坐标形式与解析几何有机融为一体，因此，平面向量成为解决解析几何知识的有力工具。
xy
x
2
y
2
??1
，直线
l
：
??1
，P是
l
上一点，射线OP交椭圆于一点R，点Q例5. 已知椭圆：
128
2416
在OP上且满足
|OQ||?OP|?|OR|
2
，当点P在
l
上移动时，求点Q的轨迹方程。

分析：考生见到此 题基本上用的都是解析几何法，给解题带来了很大的难度，而如果用向量共线
的条件便可简便地解出。
????????
解：如图，
OQ，OR，OP
共线，设
O R?
?
OQ
，
OP?
?
OQ
，
OQ?(x ，y)
，则
??
OR?(
?
x，
?
y)
，
OP?(
?
x，
?
y)

???
2
?OP|?|OR|

?|OQ||
?
2
?
22

?
?
|OQ|?
?
|OQ|


?
?
?
?


?
点R在椭圆上，P点在直线
l
上
2

?
?
2
x
2
12
2416
x
2
y
2
xy
???
即
2416128
?
?
2
y
2
?1
，
?< br>x
?
?
y
8
?1

化简整理得点Q的轨迹方程为：
2
(x?1)
2
(y?1)
2??1
（直线
y??x
上方部分）
55
3
23

六. 应用曲线系，事半功倍
利用曲线系解 题，往往简捷明快，收到事半功倍之效。所以灵活运用曲线系是解析几何中重要的解题
方法和技巧之一。
例6. 求经过两圆
x
2
?y
2
?6x?4?0
和
x
2
?y
2
?6y?28?0
的交点，且圆心在直线
x?y?4?0
上的圆的方程。
解：设所求圆的方程为：
x
2
?y
2
?6x?4?
?
(x
2
? y
2
?6y?28)?0


(1?
?
)x
2
?(1?
?
)y
2
?6x?6
?
y?( 28
?
?4)?0

?3?3
?
，)
，在直线
x?y?4?0
上
1?
?
1?
?

?
解得
?
??7

故所求的方程为
x
2
?y
2
?x?7y?32?0

则圆心为
(

七. 巧用点差，简捷易行
在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程，往往采用点差法，此法比其它方法更简捷一些。
y
2
?1
相交于两点P
1
、P
2
，求线段P
1P
2
中点的轨迹方程。 例7. 过点A（2，1）的直线与双曲线
x?
2
解：设
P
1
(x
1
，y
1
)
，
P
2
(x
2
，y
2
)
，则
2
?
2
y
12
x??1
?
?
1
2

?
2< br>y
2
?
x?
2
?1
2
?
2
?
<2>－<1>得

(x
2
?x
1)(x
1
?x
2
)?
?1?

?2?
(y
2
?y
1
)(y
1
?y
2
)

2
y?y
1
2(x
1
?x
2
)
即
2

?
x
2
?x
1
y
1
?y
2
设P
1
P
2
的中点为
M(x0
，y
0
)
，则
y?y
1
2x
0

k
P
1
P
2
?
2

?
x
2
?x
1
y
0
y?1
又
k
AM
?
0
，而P
1
、A、M、P
2< br>共线
x
0
?2
y?12x
0

?k
P
1
P
2
?k
AM
，即
0

?
x
0
?2y
0

?P
1
P
2
中点M的轨迹方程是
2x?y?4x?y?0

解析几何题怎么解
22

高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知
识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥
曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组
与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识,这
点值得考生在复课时强化.

例1 已知点T是半圆O的直径AB上一点，AB=2、OT=t (0AA
?
B
?
B
，
使
AA
?
垂直 且等于AT，使
BB
?
垂直且等于BT，
A
?
B
?
交半圆于P、Q两点，建立如图所示的直角坐标系.
(1)写出直线
A
?
B
?
的方程； （2）计算出点P、Q的坐标；
（3）证明：由点P发出的光线，经AB反射后，反射光线通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出
A
'
,B
'
点的坐标.
‘
(1 ) 显然
A
'
?
1,1?t
?
,
B
于是 直线
A
?
B
?

?
?1，1?t
?
，
的方程为
y??tx?1
；
?
x
2
?y
2
?1,
2
t
1?< br>t
2
,)
；（2）由方程组
?
解出
P(0,1)、
Q
(

22
1?
t
1?
t
?
y??tx?1,
1?01
??
,
k
QT
0?
tt
1?
t
2
?0
2
1?
t
2
1
1?
t
.
???
2
2
t
t
t(
1?
t)
?
t
1?
t
2
（3）
k
PT
?
由直线PT的斜率和直线QT的斜率互为相反数知，由点P发出的光线经点T反射，反射光线通过点Q.
需要注意的是, Q点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?
x
2
y
2
例2 已知直线l与椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
有且仅有一个交点Q，且与x轴、y轴分别交于R、S，求
ab
以线段SR为对角线的矩形ORPS的一个顶点P的轨迹方程．
讲解：从直线
l
所处的位置, 设出直线
l
的方程,
由已知，直线l不过椭圆的四个顶点，所以设直线l的方程为
y?kx?m(k?0).
代入椭圆方程
b
2
x
2
?a
2
y
2< br>?a
2
b
2
，
得
b
2
x
2
?a
2
(k
2
x
2
?2kmx?m< br>2
)?a
2
b
2
.

化简后，得关于
x
的一元二次方程
(a
2
k
2
?b
2
)x
2
?2ka
2
mx?a
2
m
2
?a
2
b
2
?0.

于是其 判别式
??(2ka
2
m)
2
?4(a
2
k
2
?b
2
)(a
2
m
2
?a
2
b
2
)?4a
2
b
2
(a
2
k
2
?b
2
?m
2
).

由已知，得△=0．即
a
2
k
2
?b
2
?m
2
.
①
在直线方程
y?kx?m
中，分别令y=0，x=0，求得
R(?
m
,0),S(0,m).

k
my
??
x??,k??,
??
kx

?
令顶点P的坐标为（x，y）， 由已知，得
?
解得
??y?m.
??
m?y.
??
??
22
代入①式并整理，得
a
?
b
?1
, 即为所求顶点P的轨迹方程．
x
2
y
2

22
方程
a
?
b
?1
形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
x
2
y
2

x
2y
2
233
例3已知双曲线
2
?
2
?1
的离心率
e?
，过
A(a,0),B(0,?b)
的直线到原点的距 离是
.

32
ab
（1）求双曲线的方程；
（2）已 知直线
y?kx?5(k?0)
交双曲线于不同的点C，D且C，D都在以B为圆心的圆上，求 k的值.
abab
d???
c23
xy
讲解：∵（1）
22
?,
原点到直线AB：
??1
的距离
c
a?b
ab
a3
?b?1,a?3.
2
故所求双曲线方程为
x
?y
2
?1.

3
.
2
. < br>3
（2）把
y?kx?5代入x
2
?3y
2
?3中消去y，整理得
(1?3k
2
)x
2
?30kx?78?0
.
设
C(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2< br>),CD
的中点是
E(x
0
,y
0
)
，则
y
0
?1
51

x
0
?
x
1
?x
2
?
15k
?y
0
?kx0
?5?,k???.
BE
21?3k
2
1?3k
2< br>x
0
k
15k5k
2
??k?0,又k?0,?k?7

?x
0
?ky
0
?k?0,
即
221?3k1?3k
故所求k=±
7
. 为了求出
k
的值, 需要通过消元, 想法设法建构
k
的方程.
例4 已知椭圆C的中心在原点，焦点F
1
、F
2
在x轴上，点P为椭圆上的 一个动点，且∠F
1
PF
2
的最大值
为90°，直线l过左焦点F< br>1
与椭圆交于A、B两点，△ABF
2
的面积最大值为12．
（1）求椭圆C的离心率； （2）求椭圆C的方程．
讲解：（1）设
|PF
1
F
2
,
由余弦定理, 得 1
|?r
1
,|PF
2
|?r
2
,|F
1
F
2
|?2c
, 对
?PF
2
r
1< br>1
?r
2
2
?4c
2
(r
1
?r< br>2
)
2
?2r
1
r
2
?4c
24a
2
?4c
2
4a
2
?4c
2
co s?F
1
PF
2
????1??1
?1?2e?0
， r?r
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2r
1
r
2
2(
12
)
2
2
解 出
e?
2
.

2
（2）考虑直线
l
的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k存在时，设l的方程为
y?k(x?c)
??????①
x
2
y
2
椭圆方程为
2
?
2
?1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
由
e?
2
.
得
a
2
?2c
2
,b
2
?c
2
.
ab
2
于是椭圆方程可转化为
x?2y?2c?0
??????②
将①代入②，消去
y
得
x
2
?2k
2
(x?c)
2
?2c
2?0
,
整理为
x
的一元二次方程，得
(1?2 k
2
)x
2
?4ck
2
x?2c
2
(k< br>2
?1)?0
.
2
22c1?k
22c(1?k
2
)
，
2
则x
1
、x
2
是上述方程的两根．且
|x
2
?x
1
|?
，
|AB|?1?k|x?x|?
21
1?2k2
1?2k
2
也可这样求解：
AB边上的高
h?|F
1
F
2
|sin?BF
1
F
2
?2c?
| k|
,

1
1?k
2
S?|F
1
F
2
|?|y
1
?y
2
|

2
222

?c?|k|?|x
1
?x
2
|

11?k
2
|k|
S?22c()2c

2
2
2
1?2k
1?k
2
k
2
?k
4
1
2

?22c
2
1?k|k|
?22c< br>2
?22c?2c
2
.

224
1
1?2k 1?4k?4k
4?
4
k?k
2
ii) 当k不存在时，把直线x??c
代入椭圆方程得
y??
21
c,|AB|?2c,S?2c?2 c
2

22
由①②知S的最大值为
2c
2
由题意得
2c
2
=12 所以
c
2
?62?b
2

a
2
?122

22
故当△ABF
2
面积最大时椭圆的方程为：
x
?
y
?1.

12262
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣：
设过左焦点的直线方程为：
x?my?c
????①
（这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）
22
椭圆的方程为：
x
?
y
?1,A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)

22
ab
2
得：< br>2
a?2c
2
,b
2
?c
2
,
于是 椭圆方程可化为：
x
2
?2y
2
?2c
2
?0??②
.
2
把①代入②并整理得：
(m
2
?2)y< br>2
?2mcy?c
2
?0

于是
y
1
,y
2
是上述方程的两根.
由
e?
|AB|?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?1?m
2
|y
2
?y
1
|
?
AB边上的高
h?
2c
1?m
2
2c
1?m
2
1?m
2
4m
2
c
2
?4c
2
(m
2
?2)
m
2
?222c(1?m
2
)
,
?
m
2
?2
,
1?m
2
2
(m ?2)
2
?22c
2
从而
S?
1
|AB|h?1
?
22c(1?m)
?
2
22m?2
?22c
2
1
m
2
?1?
1
?2
m?1
2
?2c
2
.

当且仅当m=0取等号，即
S
max
?2c
2
.

由题意知
2c
2
?12
, 于是
b
2
?c
2
?62,a
2
?122
.
22
故当△ABF
2
面积最大时椭圆的方程为：
x
?
y
?1.

12262

x
2
y
2
例5 已知直线
y??x?1
与椭圆< br>2
?
2
?1(a?b?0)
相交于A、B两点，且线段AB的中点在直
ab
线
l:x?2y?0
上.（１）求此椭圆的离心率；
（2 ） 若椭圆的右焦点关于直线
l
的对称点的在圆
x?y
22
?4
上，求此椭圆的方程.

?
y??x?1，
?
讲解:（1）设A、 B两点的坐标分别为
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).则由
?
x
2
得
y
2
?
2
?
2
?1
b
?
a

( a
2
?b
2
)x
2
?2a
2
x?a
2
?a
2
b
2
?0
,
2a
2
2b
2
,y
1
?y
2
??(x
1
?x
2
)?2?
2
,
根据韦达定理，得
x
1< br>?x
2
?
2
a?b
2
a?b
2
a< br>2
b
2
∴线段AB的中点坐标为（
2
）.
,
222
a?ba?b
2
a
2
2b
2
222 222
由已知得
2
，故椭圆的离心率为 .
e?
??0,?a ?2b?2(a?c)?a?2c
2
a?b
2
a
2
?b2
（2）由（1）知
b?c,
从而椭圆的右焦点坐标为
F(b,0),
设F(b,0)
关于直线
l:x?2y?0
的对称点为
(x
0,y
0
),则
y
0
?0
1
x?by
3 4
???1且
0
?2?
0
?0,
解得
x
0
?b且y
0
?b

55
x
0
?b222
2
0
2
0
3
2
4
2
x
2
y
2
2
??1
. 由已知得
x ?y?4,?(b)?(b)?4,?b?4
，故所求的椭圆方程为
55
84
例6 已知⊙M：
x
2
?(y?2)
2
?1,Q是x
轴 上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点，
（1）如果
|AB|?
42，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的
3
轨迹方程.
讲解:（1）由
|AB|?
42
，可得
3
|MP|?|MA|2
?(
|AB|
2
22
2
1
)?1
2
?()?,
由射影定理，得
233
|MB|
2
?|MP|?|MQ|,得|MQ|?3,
在Rt△MOQ中，
22

|OQ|?|MQ|?|MO|?3
2
?2
2
?5
，故
a?5或a??5
，

所以直线AB方程是
2x?5y?25?0或2x?5y?25?0;

（ 2）连接MB，MQ，设
P(x,y),Q(a,0),
由点M，P，Q在一直线上，得
2y?2
?,(*)

?ax
222
2
由射影定理得|MB|?|MP|?|MQ|,
即
x?(y?2)?a?4?1,(**)

把（*）及（**）消去a，并注意到
y?2
，可得
x?(y?)?

2
7
4
2
1
(y?2).

16
适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.
例7 如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，AB=2，AC=
2
。DO⊥AB于O点，OA=OB，DO=2，曲线E
2

过C点，动点P在E 上运动，且保持| PA |+| PB |的值不变.
（1）建立适当的坐标系，求曲线E的方程；
（2）过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间，设
DM
?
?
，试确定实数
?
的
DN
C
取值范围．
讲解: （1）建立平面直角坐标系, 如图所示∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB |
y=
22
?2
2
?()
2
?22< br>∴动点P的轨迹是椭圆∵
a?2,b?1,c?1
22
A O B
∴曲线E的方程是
x
2
2
?y
2
?1
.
（2）设直线L的方程为
y?kx?2
, 代入曲线E的方程
x
2
?2y
2
?2
，
得
(2k
2
?1)x
2< br>?8kx?6?0
设M
1
（
x
1,
y
1),N(x
2
,y
2
)
, 则
?
?
?
??(8k)
2
?4(2k?1)?6?0,
①
?
8k

?
x
?
1
?x
2
??
2k
2
?1
,

②
?
x
6

?
?
1
x
2
?
2k
2
?1
.
③
i) L与y轴重合时，
?
?
|DM|1
|DN|
?
3

ii) L与y轴不重合时， 由①得
k
2
?
3
.
又∵
?
?
DM< br>?
x
D
?x
M
x
x
?
1
2
DNx
,
D
?
N
x
2
∵
x2
?x
1
?0,
或
x
2
?x
1
?0,
∴0＜
?
＜1 , < br>∴
(x
2
1
?x
2
)
x
?
x
1
?
x
2
?2?
?
?
1
?2< br>∵
(x?x
2
2
)
?
64k
2
?< br>32

1
?x
2
x
2
x
1
?
x
1
?x
2
6(2k
2
?1)
3(2?
1
k
2
)
而
k
2
?
3
,
∴
6?3(2?
1
2
)?8.
∴
4?
32
2
k
?
16
3
,
∴
4?
?
?
116
3(2?
1
?
?2?3
,
k
2
)
?
?
0?
?
?1,
2?
?
?
110
?
?
?
?
3
,
?
?
?
1
?2,?
1
?
?
3< br>?
?
?1.
∴
?
的取值范围是
?
?
1
?
?
3
,1
?
?
.
??
?
?
?
1
?
?
10
3
,< /p>

值得读者注意的是，直线L与y轴重合的情况易于遗漏，应当引起警惕.
例8 直线
l
过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点，且与抛物线相交于A
(x
1
,y
1
)和B(x2
,y
2
)
两点.
（1）求证：
4x
1
x
2
?p
2
;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD， 直线l不是CD的垂直平分
线.
2
讲解: （1）易求得抛物线的焦点
F(
P
,0)
. 若l⊥x轴，则l的方程为< br>x?
P
,显然x
1
x
2
?
P
.若l 不垂直于
2
24
22
x轴，可设
y?k(x?
P
)
,代入抛物线方程整理得
x
2
?P(1?
2P
)x?
P
?0,则x
1
x
2
?
P
. 综上可知 2
2
k
44
4x
1
x
2
?p
2
.
22
22
（2）设
C(
c
,c),D(d
,d)且c?d
，则CD的垂直平分线
l
?
的方程为
y?
c?d
??
c?d
(x?
c?d
)

2p2p
22p4p
22
假设
l
?
过F，则
0?< br>c?d
??
c?d
(
p
?
c?d
)
整理得
(c?d)(2p
2
?c
2
?d
2
)?0

?p?0

22p24p
2
?2p
2
?c
2
?d
2
?0
，
?c?d?0
. 这时
l
?
的方程为y=0，从而
l
?
与抛物线
y?2px
只相交 于原点. 而l
与抛物线有两个不同的交点，因此
l
?
与l不重合，l不是C D的垂直平分线.
此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考
试题的生长点，复课切忌忘掉课本！
例9 某工程要将直线公路l一侧的土石， 通过公路上的两个道口A和B，沿着道路AP、BP运往公路
另一侧的P处，PA=100m，PB=1 50m，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？
讲解: 以直线l为x轴，线段AB的中点 为原点对立直角坐标系，则在l一侧必存在经A到P和经B
到P路程相等的点，设这样的点为M，则|M A|+|AP|=|MB|+|BP|,即|MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,
22< br>xy
?
|AB|?507
,∴M在双曲线
2
?
2?1
的右支上.
2525?6
故曲线右侧的土石层经道口B沿BP运往P处，曲 线左侧的土石层经道口A沿AP运往P处，按这种方法运
土石最省工.