高中数学圆锥曲线压轴题集锦2-高考数学圆锥曲线压轴题

2020年9月22日发(作者：班婕妤)

高中数学圆锥曲线压轴题集锦2



一．解答题（共60小题）

1．如图，F
1
（﹣c，0），F2
（c，0）分别是双曲线C：=1（a，b＞0）的左，右焦点，
过点F
2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F
1
作直线PF
1
的垂线 交直线l：x=﹣
于点Q．

（1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；

（2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；

（3）若过l：x=﹣上任一点M 作双曲线C：=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别
为T
1
，T
2
，问：直线T
1
T
2
是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明 理由．


2．已知曲线C
1
：+=1（a＞b＞0，x≥0）和曲 线C
2
：x
2
+y
2
=r
2
（x≥0）都 过点A（0，﹣1），

且曲线C
1
所在的圆锥曲线的离心率为
（1 ）求曲线C
1
，C
2
的方程

（2）设点B，C分别在曲线 C
1
，C
2
上，k
1
，k
2
分别为直线A B，AC的斜率，当k
2
=4k
1
时，

①直线BC是否经过定点？请说明理由

②设E（0，1），求||?||的最大值．

第1页（共113页）

3．已知B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且 满足|
（1）求点P（x，y）的轨迹C对应的方程．

|?||=?．
< br>（2）如果点A（m，2）在曲线C上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，问直
线DE是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

4．已知F< br>1
、F
2
为椭圆C：
的最大值为1，最小值为﹣2．

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点 ，A为椭圆的左顶点．试
的左，右焦点，M为椭圆上的动点，且?
判断∠MAN是否为直角，并 说明理由．

5．已知F
1
，F
2
分别是椭圆
圆C 的一条直径的两个端点．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）设过点F
2
的直线l被椭圆E和圆C所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l
的方程．
6．过抛物线E：x
2
=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k
1
，k
2
的两条不同直线l
1
，l
2
，且k
1
+k
2
=2．l
1
与E交于点A，B，l
2
与 E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公
共弦所在直线记为l．

（Ⅰ）若k
1
＞0，k
2
＞0，证明：
（Ⅱ）若点M到直线 l的距离的最小值为
7．如图，椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；

（2）A B是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，
第2页（共11 3页）

的左、右焦点F
1
，F
2
关于直线x+y﹣2= 0的对称点是
；

，求抛物线E的方程．

经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．

PB，PM的斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
．问：是否存 在常数λ，使得k
1
+k
2
=λk
3
？若存在，求λ的值；
若不存在，说明理由．


8．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．

（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹 C交于不同的两点P，Q，若x轴
是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

9．平 面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点的直线x+y﹣=0交
M于A，B两点，P为 AB的中点，且OP的斜率为．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的 两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大
值．

1 0．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为3，直
．

线y=2与C的两个交点间的距离为
（I）求a，b；

（II）设过F2
的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF
1
|=|BF1
|，证明：|AF
2
|、
|AB|、|BF
2
|成等 比数列．

11．如图，已知双曲线C
1
：，曲线C
2
：| y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P
的直线与C
1
，C
2都有公共点，则称P为“C
1
﹣C
2
型点”

（1）在 正确证明C
1
的左焦点是“C
1
﹣C
2
型点“时，要使用一 条过该焦点的直线，试写出一条这
样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线y =kx与C
2
有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C
1
﹣C2
型点”；

（3）求证：圆x
2
+y
2
=内 的点都不是“C
1
﹣C
2
型点”

第3页（共113页）

12．如图，已知椭圆C
1
与C2
的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为
2m，2n（m＞n）， 过原点且不与x轴重合的直线l与C
1
，C
2
的四个交点按纵坐标从大到小依
次为A，B，C，D，记，△BDM和△ABN的面积分别为S
1
和S
2．

（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S
1
=λS
2
， 求λ的值；

（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S
1
=λS
2
？并说明理由．


13．已知椭圆C：
C经过点．

（a＞b＞0）的两个焦点分别为F
1
（﹣1，0），F
2
（1，0），且椭圆
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
，求点Q的轨迹方程．

14．椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除 顶点外的任意点，直线DP交x轴于
点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m， 证明2m﹣k为定值．


15．已知抛物线C：x
2
=2py（p＞0）的焦点为

，准线为 l，点P（x
0
，y
0
）（y
0
＞p）为
第4页（ 共113页）

抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若圆F的方程为x
2
+（y﹣1 ）
2
=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求
△PMN面积的最小值 及此事y
0
的值．


16．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上 ，一个顶点为B（0，﹣1），且其右焦点到直线
的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使 l与椭圆交于两个不同的点
M、N，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请 说明理由．

17．已知直线L：y=x+1与曲线C：
原点．

（ 1）若|OA|=|OB|，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为
由；

（2）若OA⊥OB，且a＞b，
18．设抛物线
心率
，试求曲线C的离心率e的取 值范围．

？并说明理
交于不同的两点A、B，O为坐标
（m＞0）的准线与 x轴交于F
1
，焦点为F
2
；以F
1
、F
2
为焦点，离
的椭圆C
2
与抛物线C
1
的一个交点为P．

（1）当m=1时，直线l经过椭圆C
2
的右焦点F
2
，与抛物线C
1
交于A
1
、A
2
，如果弦长|A
1
A< br>2
|
等于三角形PF
1
F
2
的周长，求直线l的斜率 ．

（2）求最小实数m，使得三角形PF
1
F
2
的边长是 自然数．

第5页（共113页）

19．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率
C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

，且点P（﹣2，0）在椭圆
（Ⅱ）已知A、B为 椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求证：直线AB恒过一个定点．并求出
该定点的坐标．

20．已知椭圆C：
与椭圆C相切于点P．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于 不同的两点M、N，使得
36|AP|
2
=35|AM|?|AN|？若存在，试求出 直线m的方程；若不存在，请说明理由．

21．已知椭圆C：
标平面内一点，且|OP|=
（1）求椭圆C的方程；

（2）过点S（﹣，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得
VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

22．如图， 已知抛物线C：y
2
=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线
l与抛物线C交于A、B两点．

（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若，求k的值；
< br>=1（a＞b＞0）的离心率为
，
，其左、右焦点为F
1
、F
2
，点P是坐
的离心率为，直线l过点A（4，0），B（0，2），且
=，其中O为 坐标原点．Q为椭圆的左顶点．

（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存 在点Q，使得QA⊥QB，若存在，
第6页（共113页）

求出k的取值范围；若不存在，说明理由．


23．已知椭圆的左焦点为F ，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B．过F、
B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．
（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；

（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

24．设F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点．

的最大值和最小值；

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求
（Ⅱ）是否存在 过点A（5，0）的直线l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F
2
C|=|F
2< br>D|？若
存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

25．设椭圆D：
轴上有一点B，满足
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，上顶点为A，在x轴负半
，且AB⊥AF
2
．

y﹣ 3=0相切，求圆C方程及椭圆D的（Ⅰ）若过A、B、F
2
三点的圆C恰好与直线l：x﹣< br>方程；

（Ⅱ）若过点（T3，0）的直线与椭圆D相交于两点M、N，设P为椭圆上一 点，且满足
（O为坐标原点），求实数t取值范围．


26．已知椭圆C的离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

，长轴的左右端点 分别为A
1
（﹣2，0），A
2
（2，0）．

（Ⅱ）设直 线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A
1
P与A
2
Q交于点S，试 问：当m变化
时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，
第7页（共113页）

请说明理由．

27．已知A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）是抛物线y
2
=4x上相异两点，且满足x
1
+x
2=2．

（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线AB的方程；

（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

28．如图，过抛物线x
2
=4y焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点（A在第一象限） ，点C（0，
t）（t＞1）．

（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程；

（II）若，且∠FAC为锐角，试求t的取值范围．


29．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4
（1）求椭圆C的标准方程；

．

（2）直线x=2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线PQ两侧 的动点，且直线
AB的斜率为．

（i）求四边形APBQ面积的最大值；

（ii）设直线PA的斜率为k
1
，直线PB的斜率为k
2
，判断k
1
+k
2
的值是否为常数，并说明理由．


30．焦点分别为F
1
，F
2
的椭圆
的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

过点M（2，1），抛物线的准线过椭圆C
第8页（共113页）

（Ⅱ）不过M的动直线l交椭圆C于A、B两点，若
出该定点的坐标．

?= 0，求证：直线l恒过定点，并求
31．设抛物线M方程为y
2
=2px（p＞0）， 其焦点为F，P（a，b）（a≠0）为直线y=x与抛物线
M的一个交点，|PF|=5

（1）求抛物线的方程；

（2）过焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，试问在 抛物线M的准线上是否存在一点Q，
使得△QAB为等边三角形，若存在求出Q点的坐标，若不存在请说 明理由．


32．已知椭圆
积为4．

+=1（a＞b＞ 0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面
（1）求椭圆的方程；

（2 ）过点（m，0）（m＞）且斜率为﹣的直线l交椭圆于C，D两点，F为椭圆的右焦
点，如果|CD|
2
=4|FC|?|FD|，求∠CFD的大小．

33．已知椭圆的离心率为．

（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．

（i）当，求b的值；

，求实数λ，μ满足的关系式．

，其左、 右焦点为F
1
、F
2
，点P是坐
（ii）对于椭圆上任一点M，若< br>34．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为
第9页（共113页）

标平面内一点，且|OP|=
（1）求椭圆C的方程；

，=其中O为坐标原点．

（2）过点S（﹣，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于 A、B两点，在x轴上是否存在定点
M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若 不存在，请说明理由．

35．已知直角坐标平面内的动点M满足：|MA|
2
﹣|MB|
2
=4（|MB|﹣1），其中A（0，﹣1），
B（0，1）．

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过N（﹣2，1）作两条直线交（Ⅰ） 中轨迹C于P，Q，并且都与“以A为圆心，r为半
径的动圆”相切，求证：直线PQ经过定点．


36．已知A，B，C均在椭圆
F
2
，当时，有．

上，直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F
1
、
（Ⅰ）求椭圆M的方程；< br>
（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x
2
+（y﹣2）
2< br>=1的任一条直径，求
值．

37．已知点B（0，1），A，C为椭圆
的直角三角形．

（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．

（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？

38．设抛物线 C：y
2
=2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x
1
，y
1
），
B（x
2
，y
2
）且y1
y
2
=﹣4．

（1）求抛物线C的方程；

第10页（共113页）

的最大
上的两点，△ABC是以B为直角顶点

（2）若=2（+）（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求△EAB的面积；

（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k
0
，k
1
，k
2
．

求证：当k
0
为定值时，k
1
+k
2
也为定值．

39．已知椭圆x
2
+= 1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方程为x
2
﹣=1．设点P
在第一象限 且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T．

（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x< br>1
，x
2
，证明x
1
?x
2
=1；

（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O为坐标原点）的面积分别为S
1
与S
2
，且
﹣S的取值范围．

+|=?
?≤15，求S
40．已 知三点O（0，0），A（﹣2，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|
（+）+ 2．

（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x
0
，y
0
）（﹣2＜x
0
＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是否 存
在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△P DE的
面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

41．已知抛物 线C：y=（x+1）
2
与圆
A处两曲线的切线为同一直线l．

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

42．设抛物线C：x
2
=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以 F为圆心，FA为半径
的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

（r＞0 ）有一个公共点A，且在
（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个 公共点，求坐
标原点到m，n距离的比值．

43．已知经过点的双曲线的离心率为2．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；
< br>（Ⅱ）是否存在经过（0，﹣1）的直线l与双曲线C有两个不同的交点A、B，且线段AB的
垂 直平分线分别交x轴，y轴与点P、Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，求出直线l的方
第11页 （共113页）

程，若不存在，请说明理由．

44．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（2，0）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过N（﹣1，0）的直线l交曲C于A，B两点， 又AB的中垂线交y轴于点D（0，t），求
t的取值范围．

45．已知椭圆
的动点．

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣，问：是否存在定点
（a＞b＞0）的左焦点为F， 离心率e=，M，N是椭圆上
F
1
，F
2
，使得|PF
1< br>|+|PF
2
|为定值？，若存在，求出F
1
，F
2
的坐标，若不存在，说明理由．

（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x 轴上的射影为A，连接NA并
延长交椭圆于点B，设直线MN、MB的斜率分别为k
MN
、k
MB
，求k
MN
?k
MB
的值．

46．设椭圆C
1
：的左、右焦点分别是F
1
、F
2
，下顶 点为A，线段OA的中
点为B（O为坐标原点），如图．若抛物线C
2
：y=x
2
﹣1与y轴的交点为B，且经过F
1
，F
2
点．

（Ⅰ）求椭圆C
1
的方程；

（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C< br>2
上的一动点，过点N作抛物线C
2
的切线交椭圆C
1
于P、
Q两点，求△MPQ面积的最大值．


47．已知抛物线L：x
2
=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L上存在不同的两点A、B满足
．

（1）求实数p的取值范围；

（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的 点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物
线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不 存在，请说明理由．

第12页（共113页）

48．设椭圆C
1
、抛物线C
2
的焦点均在x轴上，C
1
的中心和C
2
的顶点均为原点，从每条曲线
上至少取两个点，将其坐标记录于表中：< br>
x

y

3

﹣2

﹣2

0

4

﹣4







﹣

（1）求C
1
、C
2
的标准方程；

（2）设直线 l与椭圆C
1
交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛
物线C
2
的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

49．中心在原 点O，焦点F
1
、F
2
在x轴上的椭圆E经过C（2，2），且
（1 ）求椭圆E的方程．

（2）垂直于OC的直线l与椭圆E交于A、B两点，当以AB为直径的 圆P与y轴相切时，求
直线l的方程和圆P的方程．

50．已知椭圆Γ：+=1（a ＞b＞0）的离心率为，半焦距为c（c＞0），且a﹣c=1．经过
．

椭圆的左焦 点F，斜率为k
1
（k
1
≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点 ．

（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）当k
1
=1时，求S
△
AOB
的值；
（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k
2
，求证：
为定值．

51．已知A、B是抛物线y
2
=4x上的两 点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．

（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；

（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x﹣y=0的距离的最小值．

52．抛 物线C
1
的方程是（y﹣2）
2
=﹣8（x+2），曲线C
2
与C
1
关于点（﹣1，1）对称．

（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过点（8，0）的直线l交曲线C
2
于M、N两点，问在坐标平面上能否找到某个定 点Q，
不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．若找不到，请说明理由；若能找到，写出满足要求
的所有的点Q的坐标．

53．已知椭圆E：的左焦点，若椭圆上存在一点D，满足以
第13页（共113页）

椭圆短轴为直径的圆与线段DF
1
相切于线段D F
1
的中点F．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）已知两 点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G：，过点Q作斜率为k的直线
l交椭圆G于H，K两点，设线 段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何值时，直线MN过
椭圆G的顶点？

（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A两点，其中P在第一象限，过
P作x轴的垂线 ，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥PB．

54．已知抛物线C：x< br>2
=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为
（I）求p与m的值；
（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点 M，
过点M作抛物线的切线MN，N（非原点）为切点，以MN为直径作圆A，若圆A恰好经过
点Q，求t的最小值．

．


55．已知直线x+y﹣1=0与椭圆
线上．

相交于A，B两点，线段AB 中点M在直
（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x
2+y
2
=1上，求椭圆
的方程．

56．直线l：y=k（x﹣ 1）过已知椭圆经过点（0，），离心率为，经过椭圆
C的右焦点F的直线l交椭圆于A、B两点，点A 、F、B在直线x=4上的射影依次为点D、K、
第14页（共113页）

E．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ） 若直线l交y轴于点M，且，当直线l的倾斜角变化时，探求λ+μ
的值是否为定值？若是，求出λ+μ 的值，否则，说明理由；

（Ⅲ）连接AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE 与BD是否相交于定点？若是，
请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．


57．已知抛物线C的方程为y
2
=2x，焦点为F，

（1）若C 的准线与x轴的交点为D，过D的直线l与C交于A，B两点，且|
直线l的斜率；

（2）设点P是C上的动点，点R，N在y轴上，圆M：（x﹣1）
2
+y
2
=1内切于△PRN，求△PRN
面积的最小值．

58．过x轴上的动点A（a，0 ）的抛物线y=x
2
+1引两切线AP、AQ，P、Q为切点．

（1）若切 线AP，AQ的斜率分别为k
1
，k
2
，求证：k
1
?k< br>2
为定值；

（2）求证：直线PQ过定点；

（3）若a≠0，试求S
△
APQ
：|OA|的最小值．

59．已知F（1，0），P是平面上一动点，P到直线l：x=﹣1上的射影为点N，且满足

|=2||，求
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过点M（1，2）作 曲线C的两条弦MD，ME，且MD，ME所在直线的斜率为k
1
，k
2
，< br>满足k
1
k
2
=1，

求证：直线DE过定点，并求出这个定点．

60．已知圆C：（x+1）
2
+y
2
=8，定点A（1，0），M为圆上一动点，点P在AM上，点N在CM
上，且满足=2，?=0，点N的轨迹为曲线E．

（1）求曲线E的方程；

第15页（共113页）

（2）若直线y=kx+
且≤


?
与（1）中所求点N的 轨迹E交于不同两点F，H，O是坐标原点，
≤，求△FOH的面积的取值范围．

第16页（共113页）

高中数学组卷0060题2

参考答案与试题解析



一．解答题（共60小题）

1．如图，F
1
（﹣c，0），F2
（c，0）分别是双曲线C：=1（a，b＞0）的左，右焦点，
过点F
2作x轴的垂线交双曲线的上半部分于点P，过点F
1
作直线PF
1
的垂线 交直线l：x=﹣
于点Q．

（1）若点P的坐标为（4，6），求双曲线C的方程及点P处的切线方程；

（2）证明：直线PQ与双曲线C只有一个交点；

（3）若过l：x=﹣上任一点M 作双曲线C：=1（a，b＞0）的两条切线，切点分别
为T
1
，T
2
，问：直线T
1
T
2
是否过定点，若过定点，请求出该定点；否则，请说明 理由．


【分析】（1）根据点P的坐标为（4，6），建立方程组，求出a，b， 即可求得双曲线C的方
程；求导数可得切线斜率，进而可求点P处的切线方程；

（2 ）求出QF
1
的斜率为﹣，方程为y=﹣（x+4），可得Q的坐标，从而可得直线PQ的斜< br>率为=2，即PQ为点P处的切线，即可证明直线PQ与双曲线C只有一个交点；

（x ﹣x
1
）；MT
2
：y﹣y
2
=（x﹣x
2
），代入M（﹣1，（3）求出MT
1
：y﹣y
1
=
t），从而可 得T
1
（x
1
，y
1
），T
2
（x
2
，y
2
）都满足方程t﹣y=（﹣1﹣x），即可得出结论．

第17页（共113页）

【解答】（1）解：由题意，
∴a
2
=4，b
2
=12

∴双曲线C的方程为；

，

由，可得y=，∴y′=，

∴x=4时，y′=2，

∴点P处的切线方程为y﹣6=2（x﹣4），即2x﹣y﹣2=0；

（2）证明：直线PF
1
的斜率为=，

∴QF
1
的斜率为﹣，方程为y=﹣（x+4），

∵准线l：x=﹣=﹣=﹣1，代入y=﹣（x+4），可得Q（﹣1，﹣4），

=2，即PQ为点P处的切线，

∴直线PQ的斜率为
∴直线PQ与双曲线C只有一个交点；

（3）解：双曲线C的方程为，左准线方程为x=﹣1，

设M（﹣1，t），T1
（x
1
，y
1
），T
2
（x
2，y
2
）．

则MT
1
：y﹣y
1
= （x﹣x
1
）；MT
2
：y﹣y
2
=（x﹣x
2< br>），

代入M（﹣1，t），可得t﹣y
1
=（﹣1﹣x
1< br>）；MT
2
：t﹣y
2
=（﹣1﹣x
2
），

∴T
1
（x
1
，y
1
），T
2
（ x
2
，y
2
）都满足方程t﹣y=
显然t的变化，不能使方程经过同 一点．

（﹣1﹣x）．

【点评】本题考查双曲线的标准方程，考查直线方 程，考查直线与双曲线的位置关系，考查
学生分析解决问题的能力，属于难题．



第18页（共113页）

2．已知曲线C< br>1
：+=1（a＞b＞0，x≥0）和曲线C
2
：x
2
+y< br>2
=r
2
（x≥0）都过点A（0，﹣1），

且曲线C1
所在的圆锥曲线的离心率为
（1）求曲线C
1
，C
2
的方程

（2）设点B，C分别在曲线C
1
，C
2
上，k< br>1
，k
2
分别为直线AB，AC的斜率，当k
2
=4k
1
时，

①直线BC是否经过定点？请说明理由

②设E（0，1），求||?||的最大值．


【分析】（1）由已知曲线 都过点A（0，﹣1），且曲线C
1
所在的圆锥曲线的离心率为
确定相应几何量，从而 可得曲线C
1
和曲线C
2
的方程；

，可
（2）① 将直线AB，AC的方程分别与椭圆、圆联立，进而可求点B，C的坐标，从而可得直
线BC的方程，进 而可知过定点，

②由||?||=|?|，再|根据向量的坐标运算和向量的数量积和基本不等式即可求出．

【解答】解：（1）由已知得r
2
=1，b
2
=1，

又e===，解得a
2
=4，

，（x≥0），

∴曲线C
1
的方程为
曲线C
2
的方程为x
2
+y< br>2
=1，（x≥0）．

（2）①将y=k
1
x﹣1代入，得 （1+4k
1
2
）x
2
﹣8k
1
x=0，

，

设A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
），则x
1
=0，x
2
=
∴B（，），

将y=k
2
x﹣1代入x
2
+y
2
=1 ，得（1+k
2
2
）x
2
﹣2k
2
x=0，

第19页（共113页）

设C（x
3，y
3
），则x
3
=，y
3
=k
2
x
3
﹣1=，

∴C（，），

∵k
2
=4 k
1
，∴C（
∴直线BC的斜率k
BC
=﹣
∴直线BC的方 程为：y﹣
即y=﹣x+1，

，
，

=﹣
），

（x﹣），

∴直线BC过定点（0，1）．

②∵=（﹣，﹣），

=（﹣，1﹣）=（﹣，），

∴||?||=|?|=|++﹣|

=|﹣+|

=，

=≤=，当k
1
=±2时取等号

故||?||的最大值

【点评】本题考查曲线轨迹方程的求解，考查直线恒过定点，以及向量的数量积运算和基本
不等 式，解题的关键是确定点B、C的坐标，求出直线BC的方程是，属于难题．


< br>3．已知B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上一动点，且满足|
第20页（共113页）

|?||=?．

（1）求点P（x，y）的轨迹C对应的方程．

（2）如果点A（m，2）在曲线C 上，过点A作曲线C的两条弦AD和AE，且AD⊥AE，问直
线DE是否过定点？若过定点，求出该定 点坐标；若不过定点，请说明理由．

【分析】（1）根据B（﹣1，0），C（1，0），P 是平面上一动点，且满足|
可得=1+x，化简可得点P（x，y）的轨迹C对应的方程．
< br>|?||=?，
（2）将A（m，2）代入y
2
=4x可求m=1，从而可得点 A的坐标为（1，2），设直线DE的方程
为x=my+t代入y
2
=4x，整理得y
2
﹣4my﹣4t=0，设D（x
1
，y
1
），E（x2
，y
2
）则y
1
+y
2
=4m，y
1
?y
2
=
﹣4t，利用=0，代入可求．

|?||=?，

【解答】解：（1）∵B（﹣1，0），C（1，0），P是平面上 一动点，且满足|
∴=1+x，

化简可得y
2
=4x；

（2）将A（m，2）代入y
2
=4x得m=1，

∴点A的坐标为（1，2）．

设直线DE的方程为x=my+t代入y
2< br>=4x，得y
2
﹣4my﹣4t=0，

设D（x
1
，y
1
），E（x
2
，y
2
），则y
1
+ y
2
=4m，y
1
?y
2
=﹣4t，△=（﹣4m）
2
+16t＞0（*）

∵AD⊥AE，∴=0，

∴（x
1
﹣1）（x
2
﹣1）+（y
1
﹣2）（y
2
﹣ 2）=0，

∴x
1
?x
2
﹣（x
1
+x
2
）+1+y
1
?y
2
﹣2（y
1
+y< br>2
）+4=0，

代入化简可得t
2
﹣6t+9=4m
2
+8m+4即（t﹣3）
2
=4（m+1）
2

∴t﹣3=±2（m+1）

∴t=2m+5或t=﹣2m+1，代入（*）式检验知只有t=2m+5满足△＞0，

∴直线DE的方程为x=m（y+2）+5，

∴直线DE过定点（5，﹣2）．

【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了直 线和圆锥曲线的关系，考查了直线系方程
的运用，考查直线过定点，是有一定难度题目．



4．已知F
1
、F
2
为椭圆C：的左，右焦点 ，M为椭圆上的动点，且?
第21页（共113页）

的最大值为1，最小值为﹣2．

（1）求椭圆C的方程；

（2） 过点作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M，N两点，A为椭圆的左顶点．试
判断∠MAN是否为直角， 并说明理由．

【分析】（1）设M（x'，y'），化简
进而求椭圆方程；

（2）设直线MN的方程为x=ky﹣6并与椭圆联立，利用韦达定理求
直角．

【解答】解：（1）设M（x'，y'），

则y'
2
=b
2
﹣x'
2
，

? 的值，从而说明是
?=x'
2
+2b
2
﹣a
2
（﹣ a≤x≤a），从而求最值，
?=x'
2
+2b
2
﹣a
2< br>（﹣a≤x≤a），

?
?
取得最小值2b
2
﹣a
2
=﹣2，

取得最大值b
2
=1，

则当x'=0时，
当x'=±a时，
∴a
2
=4，

故椭圆的方程为．

（2）设直线MN的方程为x=ky﹣，

联立方程组可得，


化简得：（k
2
+4）y
2
﹣2.4ky﹣
设M（x
1
，y
1
），N（x
2< br>，y
2
），

则y
1
+y
2
=
又A（﹣2，0），

?

=0，

，y
1
y
2
=﹣，

=（x
1
+ 2，y
1
）?（x
2
+2，y
2
）

第22页（共113页）

=（k
2
+1）y1
y
2
+k（y
1
+y
2
）+
=﹣（ k
2
+1）
所以∠MAN为直角．

+k
=

+=0，

【点评】本题考查了圆锥曲线方程的求法及直线与圆锥曲线的位置关系应用 ，同时考查了向
量的应用，属于难题．



5．已知F
1
，F
2
分别是椭圆
圆C的一条直径的两个端点．

（Ⅰ）求圆C的方程；

（Ⅱ）设过点F
2
的直线l被椭圆E和圆C 所截得的弦长分别为a，b．当ab最大时，求直线l
的方程．

【分析】（I）由题 意可知：F
1
（﹣2，0），F
2
（2，0），可得⊙C的半径为2，圆心为 原点O关
于直线x+y﹣2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．利用线段的垂直平行的性质可得
的左、右焦点F
1
，F
2
关于直线x+y﹣2=0的对称点是
，解出即可得到圆的方程；

（II））由题意，可设直线l的方程为x=my+2，利用点 到直线的距离公式可得圆心到直线l的
距离d=，再利用弦长公式即可得到b=．把直线l的方程为x= my+2与椭圆的
方程联立得到根与系数的关系，利用弦长公式即可得到a，进而得到ab，利用基本不 等式的
性质即可得出结论．

【解答】解：（I）由题意可知：F
1
（﹣2，0），F
2
（2，0）．故⊙C的半径为2，圆心为原点O
关于直线x+y﹣ 2=0的对称点．设圆心的坐标为（m，n）．则
∴圆C的方程为（x﹣2）
2
+（y ﹣2）
2
=4；

（II）由题意，可设直线l的方程为x=my+2，则圆心到直线l的距离d=，

，解得．

∴b=．

第23页（共113页）

由得（5+m
2
）y
2
+4my﹣1=0．

设l 与E的两个交点分别为（x
1
，y
1
），（x
2
，y
2
）．

则
∴a=
，．

==，

∴ab===．

当且仅当
故当
，即时等号成立．

，即．

时，ab最大，此时，直线l的方程为
【点评】本题综合考查了圆与 椭圆的标准方程及其性质、轴对称的性质、圆的弦长公式
b=、直线与椭圆相交的弦长公式a=、基本不 等式的性质等基础
知识与方法，需要较强的推理能力、计算能力、分析问题和解决问题的能力．．



6．过抛物线E：x
2
=2py（p＞0）的焦点F作斜率 率分别为k
1
，k
2
的两条不同直线l
1
，l
2< br>，且k
1
+k
2
=2．l
1
与E交于点A，B，l< br>2
与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公
共弦所在直 线记为l．

（Ⅰ）若k
1
＞0，k
2
＞0，证明：
（Ⅱ）若点M到直线l的距离的最小值为
；

，求抛物线E的方程．
【分析】（Ⅰ）由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标，写出两条直线的方程，由两条直线方程
和抛物 线方程联立求出圆M和圆N的圆心M和N的坐标，求出向量和的坐标，求出数
量积后转化为关于k
1
和k
2
的表达式，利用基本不等式放缩后可证得结论；

（Ⅱ） 利用抛物线的定义求出圆M和圆N的直径，结合（Ⅰ）中求出的圆M和圆N的圆心
的坐标，写出两圆的方 程，作差后得到两圆的公共弦所在直线方程，由点到直线的距离公式
求出点M到直线l的距离，利用k< br>1
+k
2
=2转化为含有一个未知量的代数式，配方后求出最小
值，由 最小值等于

求出p的值，则抛物线E的方程可求．

第24页（共113页）

【解答】解：（I） 由题意，抛物线E的焦点为，直线l
1
的方程为．

由，得．
设A，B两点的坐标分别为（x
1
，y
1
），（x
2
， y
2
），则x
1
，x
2
是上述方程的两个实数根．

从而x
1
+x
2
=2pk
1
，
所以点M的 坐标为
同理可得点N的坐标为
于是．

．

，
，
．

．

．

由题设k1
+k
2
=2，k
1
＞0，k
2
＞0，k1
≠k
2
，所以0＜
故
（Ⅱ）由抛物线的定义得
所以< br>故圆M的方程为
化简得
同理可得圆N的方程为
于是圆M，圆N的公共弦所在的直 线l的方程为
又k
2
﹣k
1
≠0，k
1
+k
2
=2，则l的方程为x+2y=0．

因为p＞0，所以点M到直线l的距离为

=
故当时，d取最小值．由题设
．

，解得p=8．

．


．

，
，从而圆M的半径
，

，

．

．

故所求抛物线E的方程为x
2
=16y．

【 点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了平面向量数量积的运算，考查了直线与圆锥
曲线的关系，直 线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要
涉及位置关系的判定，弦长问 题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、
第25页（共113页）

分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．



7．如图，椭圆C：
（1）求椭圆C的方程；

（2） AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，
PB，PM的 斜率分别为k
1
，k
2
，k
3
．问：是否存在常数λ，使得 k
1
+k
2
=λk
3
？若存在，求λ的值；
若不存 在，说明理由．

经过点P（1，），离心率e=，直线l的方程为x=4．


【分析】（1）由题意将点P （1，）代入椭圆的方程，得到，再由离
心率为e= ，将a，b用c表示出来代入方程，解得c，从而解得a，b，即可得到椭圆的标准
方程；
< br>（2）方法一：可先设出直线AB的方程为y=k（x﹣1），代入椭圆的方程并整理成关于x的一
元二次方程，设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），利用根与系数的关系求得x
1
+x
2
=，，
再求点 M的坐标，分别表示出k
1
，k
2
，k
3
．比较k
1
+k
2
=λk
3
即可求得参数的值；

方法二： 设B（x
0
，y
0
）（x
0
≠1），以之表示出直线FB的 方程为，由此方程求得
M的坐标，再与椭圆方程联立，求得A的坐标，由此表示出k
1
，k
2
，k
3
．比较k
1
+k
2
=λk< br>3
即可
求得参数的值

【解答】解：（1）椭圆C：
①

由离心率e=得=，即a=2c，则b2
=3c
2
②，代入①解得c=1，a=2，b=
故椭圆的方程为


经过点P （1，），可得
第26页（共113页）

（2）方法一：由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y=k（x﹣1）③

代入椭圆方程并整理得（4k
2
+3）x
2
﹣8k
2
x+ 4k
2
﹣12=0

设A（x
1
，y
1
） ，B（x
2
，y
2
），

x
1
+x
2
=，④

在方程③中，令x=4得，M的坐标为（4，3k），

从而，，=k﹣

==k

注意到A，F，B共线，则有k=k
AF
=k
BF
，即有
所以k
1
+k
2
=
=2k﹣×
+=
⑤

+﹣（+）

④代入⑤得k
1
+k
2
=2k﹣×=2k﹣1

又 k
3
=k﹣，所以k
1
+k
2
=2k
3

故存在常数λ=2符合题意

方法二：设B（x
0
，y
0< br>）（x
0
≠1），则直线FB的方程为

令x=4，求得M（4，）

从而直线PM的斜率为k
3
=，

联立，得A（，），

第27页（共113页）

则直线PA的斜率k
1
=，直线PB的斜率为k
2
=

所以k
1
+k
2
=+=2×=2k
3
，

故存在常数λ=2符合题意


【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题 ，考查了分析转化的能力与探究的能力，考查
了方程的思想，数形结合的思想，本题综合性较强，运算量 大，极易出错，解答时要严谨运
算，严密推理，方能碸解答出．



8．已知动圆过定点A（4，0），且在y轴上截得的弦MN的长为8．

（Ⅰ） 求动圆圆心的轨迹C的方程；

（Ⅱ） 已知点B（﹣1，0），设不垂直于x轴的直线与轨迹 C交于不同的两点P，Q，若x轴
是∠PBQ的角平分线，证明直线过定点．

【分析】（Ⅰ）设圆心C（x，y），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，利用垂径定理可得|ME|=|MN|，

又|CA|
2
=| CM|
2
=|ME|
2
+|EC|
2
，利用两点间的距离公 式即可得出．

（Ⅱ）设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），由题意可知y
1
+y
2
≠0，y< br>1
y
2
＜0.
平分线的性质可得k
PB
=﹣k
QB
，可化为化为8+y
1
y
2
=0．又直线PQ的方程为
代入化简整理为y（y
1
+y
2
）+8=8x，令y=0，则x=1即可得 到定点．

【解答】解：（Ⅰ）设圆心C（x，y）（x≠0），过点C作CE⊥y 轴，垂足为E，则|ME|=|MN|，

∴|CA|
2
=|CM|
2
=|ME|
2
+|EC|
2
，

∴（x﹣4）< br>2
+y
2
=4
2
+x
2
，化为y
2
=8x．

当x=0时，也满足上式．

∴动圆圆心的轨迹C的方程为y
2
=8x．

（Ⅱ）设P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），

第28页（共113页）

，．利用角
，

由题意可知y
1
+y
2
≠0，y
1
y
2
＜0.，．

∵x轴是∠PBQ的角平分线，∴k
PB
=﹣k
QB
，

∴，∴，化为8+y
1
y
2
=0．

直线PQ的方程为，

∴，化为，

化为
y（y
1
+y
2
）+8=8x，令y=0，则x=1，

∴直线PQ过 定点（1，0）

，


【点评】本题综合考查了抛物线的标准方程 及其性质、垂径定理、两点间的距离公式、直线
与抛物线相交问题、直线方程及过定点问题、斜率计算公 式等基础知识，考查了推理能力、
数形结合的思想方法、计算能力、分析问题和解决问题的能力，属于难 题．



9．平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：（a＞b＞0）右焦点 的直线x+y﹣=0交
M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为．

（Ⅰ）求M的方程

（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥A B，求四边形ACBD面积的最大
值．

第29页（共113页）

【分析】（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线可解得c．设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），线段AB的
中点P（x
0
，y
0
），利用“点差法”即可得到a，b的关系式，再与a
2
=b
2
+c
2
联立即可得到a，b，
c．

（Ⅱ）由CD⊥AB，可设直线CD的方程为y=x+t，与椭圆的方程联立得到根与系数的关系， 即
可得到弦长|CD|．把直线x+y﹣
|AB|，利用S
到其最大值．

【解答】解：（Ⅰ）把右焦点（c，0）代入直线x+y﹣=0得c+0﹣=0，解得c=．

四边形
ACBD
=0与椭圆的方程联立得到根与系数的关系，即可得到弦长
即 可得到关于t的表达式，利用二次函数的单调性即可得=
设A（x
1
，y
1< br>），B（x
2
，y
2
），线段AB的中点P（x
0
， y
0
），

则，，相减得，

∴，

∴
∴
，又
，即a
2
=2b
2
．

=，

联立得，解得，

∴M的方程为．

（Ⅱ）∵CD⊥AB，∴可设直线CD的方程为y=x+t，

联立，消去y得到3x
2
+4tx+2t
2
﹣6=0，

∵直线CD与椭圆有两个不同的交点，

∴△=16t
2
﹣12（2 t
2
﹣6）=72﹣8t
2
＞0，解﹣3＜t＜3（*）．

设C（x
3
，y
3
），D（x
4
，y
4
），∴
∴|CD|==
第30页（共113页）

，．

=．

联立得到3x
2
﹣4x=0，解得x=0或，

∴交点为A（0，
∴|AB|=
），B
=
，

．

∴S
四边形
ACBD
===
，满足（*）．

，

∴当且仅当t=0时，四边形ACBD面积的最大值为
∴四边形ACBD 面积的最大值为．


【点评】本题综合考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、“点 差法”、中点坐标公式、直线
与椭圆相交问题转化为方程联立得到一元二次方程根与系数的关系、弦长公 式、四边形的面
积计算、二次函数的单调性等基础知识，考查了推理能力、数形结合的思想方法、计算能 力、
分析问题和解决问题的能力．



10．已知双曲线C：=1 （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，离心率为3，直
．

线y=2与C的两个交点间的距离为
（I）求a，b；

（I I）设过F
2
的直线l与C的左、右两支分别相交于A、B两点，且|AF
1
|=|BF
1
|，证明：|AF
2
|、
|AB|、|BF
2
|成等比数列．

【分析】（I）由题设，可由离心率为3得到参数a，b的关系，将 双曲线的方程用参数a表示
出来，再由直线建立方程求出参数a即可得到双曲线的方程；

第31页（共113页）

（II）由（I）的方程求出 两焦点坐标，设出直线l的方程设A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
），将其与
双曲线C的方程联立，得出x
1
+x
2
=
坐标的方程，得出两点横坐标的关系
，，再利用|AF
1
|=| BF
1
|建立关于A，B
，由此方程求出k的值，得出直线的方程，
从而可求 得：|AF
2
|、|AB|、|BF
2
|，再利用等比数列的性质进行判断即 可证明出结论．

【解答】解：（I）由题设知=3，即
所以C的方程为8x
2
﹣y
2
=8a
2

将y=2代入上式，并求得x=±
由题设知，2
所以a=1，b=2

=9，故b
2
=8a
2

，

=，解得a
2
=1

（II）由（I）知，F
1
（ ﹣3，0），F
2
（3，0），C的方程为8x
2
﹣y
2
= 8 ①

由题意，可设l的方程为y=k（x﹣3），|k|＜2
设A（x1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

则x
1
≤﹣1，x
2
≥1，x
1
+x
2< br>=
|AF
1
|=
|BF
1
|=
|AF
1
|=|BF
1
|得﹣（3x
1
+1）=3x
2
+1，即
故=，解得，从而
，，于是

=﹣（3x
1
+1），

=3x
2
+1，


代入①并化简得（k
2
﹣8）x
2
﹣6k
2x+9k
2
+8=0

=﹣

由于|AF
2< br>|=
|BF
2
|=
=1﹣3x
1
，

=3x
2
﹣1，

故|AB|=|AF
2
|﹣|B F
2
|=2﹣3（x
1
+x
2
）=4，|AF
2< br>||BF
2
|=3（x
1
+x
2
）﹣9x
1
x
2
﹣1=16

因而|AF
2
||BF
2
|=|AB|
2
，所以|AF
2
|、|AB|、|BF
2
|成等比数列

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合关系，考查了运算能力，题设 条件的转化能力，方
程的思想运用，此类题综合性强，但解答过程有其固有规律，一般需要把直线与曲线 联立利
第32页（共113页）

用根系关系，解答中要注意提炼此类题解答过程中的共性，给以后解答此类题提供借鉴．



11．如图，已知双曲线C
1
：，曲线C
2
： |y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P
的直线与C
1
，C
2< br>都有公共点，则称P为“C
1
﹣C
2
型点”

（1） 在正确证明C
1
的左焦点是“C
1
﹣C
2
型点“时，要使用 一条过该焦点的直线，试写出一条这
样的直线的方程（不要求验证）；

（2）设直线 y=kx与C
2
有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C
1
﹣C< br>2
型点”；

（3）求证：圆x
2
+y
2
= 内的点都不是“C
1
﹣C
2
型点”


【分析】（ 1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率
不存在时满足左焦点是“C< br>1
﹣C
2
型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点
与（0，1）连线的斜率；

（2）由直线y=kx与C
2
有公共点联立方程 组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存
在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同 时与C
1
和C
2
有公共点；

（3）由给出的圆的方程得到 圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1
时过圆内的点且斜率为k的直 线与C
2
无公共点，当|k|＞1时，过圆内的
点且斜率为k的直线与C
2< br>有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结
果与|k|＞1矛盾．从而证明 了结论．

【解答】（1）解：C
1
的左焦点为（
或，其中．

），写出的直线方程可以是以下形式：

（2）证明：因为直线y=kx与C
2
有公共点，

所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．

若原点是“C
1< br>﹣C
2
型点”，则存在过原点的直线与C
1
、C
2
都 有公共点．

考虑过原点与C
2
有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．

第33页（共113页）

显然直线x=0与C
1
无公共点．

如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．

所以直线y=kx（|k|＞1）与C
1
也无公共点．

因此原点不是“C
1
﹣C
2
型点”．

（3）证明：记圆O：
共点，显然l不与x轴垂直，

故可设l：y=kx+b．

若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y =﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±
1与y=﹣kx±1之间，

从而过Q且以k为斜率的直线l与C
2
无公共点，矛盾，所以|k|＞1．

因为l与C
1
由公共点，所以方程组
得（1﹣2k
2
）x< br>2
﹣4kbx﹣2b
2
﹣2=0．

因为|k|＞1，所以1﹣2k
2
≠0，

因此△=（4kb）2
﹣4（1﹣2k
2
）（﹣2b
2
﹣2）=8（b
2< br>+1﹣2k
2
）≥0，

即b
2
≥2k
2
﹣1．

因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，

有实数解，

，取圆 O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C
1
，C
2
都有公
所以
因此，圆
，从而，得k
2
＜1，与|k|＞1矛盾．

内的点不是“C
1
﹣C
2
型点”．

【点评】本题 考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆
锥曲线的关系，直线与圆锥 曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主
要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值 问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结
合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法 ．属难题．



12．如图，已知椭圆C
1
与C
2
的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为
第34页（共113页）

2m，2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1
，C
2
的四个交点按纵坐标从大到小依
次为A，B，C，D，记，△B DM和△ABN的面积分别为S
1
和S
2
．

（Ⅰ）当直线 l与y轴重合时，若S
1
=λS
2
，求λ的值；

（Ⅱ）当 λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S
1
=λS
2
？并说明理 由．


【分析】（Ⅰ）设出两个椭圆的方程，当直线l与y轴重合时，求出△BDM 和△ABN的面积
S
1
和S
2
，直接由面积比=λ列式求λ的值；< br>
（Ⅱ）假设存在与坐标轴不重合的直线l，使得S
1
=λS
2
，设出直线方程，由点到直线的距离公
式求出M和N到直线l的距离，利用数学转化思想把两个三角形 的面积比转化为线段长度比，
由弦长公式得到线段长度比的另一表达式，两式相等得到
用非零的 k值存在讨论λ的取值范围．

【解答】解：以题意可设椭圆C
1
和C
2
的方程分别为

，
＞1．

（Ⅰ）如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x=0，则

，

，

所以．

．其中a＞m＞n＞0，

，换元后 利
在C
1
和C
2
的方程中分别令x=0，可得y
A
=m，y
B
=n，y
D
=﹣m，

于是．

若，则，化简得λ
2
﹣2λ﹣1=0，由λ＞1，解得
第35页（共113页）
．

故当直线l与y轴重合时，若S
1
=λS
2
，则．

（Ⅱ）如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S
1
=λS
2
，根据 对称性，

不妨设直线l：y=kx（k＞0），

点M（﹣a，0），N（ a，0）到直线l的距离分别为d
1
，d
2
，则

，所以d
1
=d
2
．

又，所以，即|BD|=λ|AB|．

由对称性可知|AB|=|CD|，所以|B C|=|BD|﹣|AB|=（λ﹣1）|AB|，

|AD|=|BD|+|AB|=（λ+ 1）|AB|，于是
将l的方程分别与C
1
和C
2
的方程联立，可求 得


．

根据对称性可知x
C
=﹣x
B
，x
D
=﹣x
A
，于是

②

从而由①和②可得

③

令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可得．

因为k≠0，所以k
2＞0．于是③关于k有解，当且仅当
等价于
即
当
当
，由λ＞1， 解得
，由λ＞1，解得，所以

，

，

时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S
1
=λS
2
；

时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S
1
=λS
2
．

第36页（共113页）

【点评 】本题考查了三角形的面积公式，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲
线的关系，该题重点 考查了数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，（Ⅱ）中判断λ的
存在性是该题的难题，考查了灵 活运用函数和不等式的思想方法．



13．已知椭圆C：
C经过点．

（a＞b＞0）的两个焦点分别为F
1
（﹣1，0），F
2
（1，0），且椭圆
（Ⅰ）求椭圆C的离心率：
（Ⅱ）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且
，求点Q的轨迹方程．

【分析】（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；
< br>（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的
方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可利用根与系数的关系建立M，N两点
的坐标与直线 的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出
，再综合计算即可求得点Q的 轨迹方程．

【解答】解：（I）∵椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点分别为F
1< br>（﹣1，0），F
2
（1，
第37页（共113页）

0），且椭圆C经过点
∴c=1，2a=PF
1
+ PF
2
=
∴椭圆的离心率e===
．

=2
…4分

，设点Q的坐标为（x，y）

，即a=

（II）由（I）知，椭圆C的方程为
（1）当直线l与x轴垂直 时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，﹣1）两点，此时点Q的坐
标为（0，2±）

（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，

因为M，N在直线l 上，可设点M，N的坐标分别为（x
1
，kx
1
+2），（x
2，kx
2
+2），则

，
∴
将y=kx+2代入
，又|AQ|
2
=（1+k
2
）x
2
，
，即中，得（2k
2
+1）x
2
+8kx+6=0…②

=…①


由△=（8k）
2
﹣24（2k
2+1）＞0，得k
2
＞

由②知x
1
+x
2< br>=﹣，x
1
x
2
=，代入①中化简得x
2
=…③
因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入③中并化简得10（y﹣2）
2
﹣3x
2
=18

，0）∪（0，）

由③及k
2
＞可知0＜x
2
＜，即x∈（﹣
由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以﹣ 1≤y≤1，

又由10（y﹣2）
2
﹣3x
2
=18得（ y﹣2）
2
∈（，）且﹣1≤y≤1，则y∈[，2﹣
2
综上得，点Q的轨迹 方程为10（y﹣2）﹣3x
2
=18，其中x∈（﹣
]

]…13，），y∈[，2﹣
分

【点评】本题主要考查直线、椭圆、曲线与 方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解
能力，考查数形结合、转化化归、分类与整合等数学思想 ，并考查思维的严谨性．本题是圆
锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易 因为运算失误造成丢
分．



第38页（共113页）

14．椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率，a+b=3．

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除 顶点外的任意点，直线DP交x轴于
点N直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m， 证明2m﹣k为定值．


【分析】（1）由题目给出的离心率及a+b=3，结合条 件a
2
=b
2
+c
2
列式求出a，b，则椭圆方程
可求；

（2）设出直线方程，和椭圆方程联立后解出P点坐标，两直线方程联立解出M点坐标 ，由D，
P，N三点共线解出N点坐标，

由两点求斜率得到MN的斜率m，代入2m﹣k化简整理即可得到2m﹣k为定值．

【解答】（1）解：因为
又a+b=3，得a=2，b=1．

所以椭圆C的方程为；

，所以，即a
2
=4b
2
，a=2b．

（2）证明：因为B（2，0），P不为椭圆顶点，则可设直线BP的方程为
．
联立，得（4k
2
+1）x
2
﹣16k
2
x+16k< br>2
﹣4=0．

所以，．

则．

所以P（
又直线AD的方程为
）．

．

第39页（共113页）

联立，解得M（）．

由三点D（0，1），P（），N（x，0）共线，

得，所以N（）．

所以MN的斜率为=．

则．

所以2m﹣k为定值．
< br>【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了二次方程中根
与系数 关系，考查了由两点求斜率的公式，是中高档题．



15．已知抛物线C ：x
2
=2py（p＞0）的焦点为，准线为l，点P（x
0
，y
0
）（y
0
＞p）为
抛物线C上的一点，且△FOP的外接圆圆心到准线的距离 为．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）若圆F的方程为x
2+（y﹣1）
2
=1，过点P作圆F的2条切线分别交x轴于点M，N，求
△PM N面积的最小值及此事y
0
的值．


【分析】（Ⅰ）由题意得出圆 心的纵坐标为，由圆心到准线的距离等于求出p的值，则抛
物线方程可求；

第40页（共113页）

（Ⅱ）设出过P点的切线方程 ，由圆心F到切线的距离等于1整理得到关于切线斜率k的一
元二次方程，方程的两个根为两条切线的斜 率，由根与系数关系得到两根的和与积（用P点
的坐标表示），单独写出两切线的方程，求出M和N的坐 标，由数轴上的两点间的距离公式
写出M、N的距离，把根与系数关系代入后化为P点纵坐标的表达式， 则三角形PMN的面积
化为了关于P点纵坐标的函数关系式，通过求导得到面积的最小值．
< br>【解答】解：（I）△FOP的外接圆的圆心在线段OF，FP的中垂线的交点上，且线段OF的中
垂线为直线，

，解得p=2，即抛物线C的方程为x
2
=4y．

则圆心的纵坐标为，故圆心到准线的距离为
2
（II）由题意知过点P的圆x
2
+（y﹣1）=1的切线的斜率存在，设切线方程为y﹣y
0
=k（x﹣x
0
），
即kx﹣y﹣kx
0
+y
0
=0．

则点F（0，1）到直线的距离
整理得
．令d=1，则
．

，，

，

设两条切线PM，PN的斜率分别为k
1
，k
2
，则
且直线PM：y﹣y
0
=k
1
（x﹣ x
0
），直线PN：y﹣y
0
=k
2
（x﹣x
0< br>），故，．

因此．

所以．

设
令t2
﹣3t﹣6=0，则
当t∈
当t∈
（t＞2），则
（舍），或
时，f′（t）＜0，f（t）在
时，f′（t）＞0，f（t）在
．

，

上单点递减，

上单调递增，

第41页（共113页）

因此=

=．

所以△PMN面积的最小值为
此时．

．

【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了方程思想和
函数 思想，训练了利用导数求函数的最值，训练了学生的计算能力，繁杂的运算量会使学生
对该题失去信心． 此题属难题．



16．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，一个顶点 为B（0，﹣1），且其右焦点到直线
的距离为3．

（1）求椭圆的方程；

（2）是否存在斜率为k（k≠0），且过定点的直线l，使l与椭圆交于两个不同的点
M、N ，且|BM|=|BN|？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）设椭圆的方程为
由题意得，由此能求出椭圆的方程．

=0． 由△=81k
2
﹣15（1+3k
2
）
，设M、N的中点为P，则< br>，由已知得b=1．设右焦点为（c，0），
（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得 （1+3k
2
）x
2
+9kx+
＞0得
点P的坐标为
，设点M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2），则
．由此入手能够导出直线l的方程．

，由已知得b=1．

，∴，

【解答】解：（1）设椭圆的方程为
设右焦点为（c，0），由题意 得
∴a
2
=b
2
+c
2
=3．

∴椭圆的方程为

．

第42页（共113页）

（2）直线l的方程y=kx+，代入椭圆方程，得

（1+3k
2
）x
2
+9kx+=0．

，

由△=81k
2
﹣15（1+3k
2
）＞0得
设点M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），

则，

设M、N的中点为P，则点P的坐标为
∵|B M|=|BN|，∴点B在线段MN的中垂线上．

．

，化简，得．

∵，∴，

所以，存在直线l满足题意，直线l的方程为

或．

【点评】本题 考查直线和圆锥曲线的位置关系和综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，
注意挖掘题设中的隐含条件 ．



17．已知直线L：y=x+1与曲线C：
原点．

（1）若|OA|=|OB|，试探究在曲线C上仅存在几个点到直线L的距离恰为
由；

（2）若OA⊥OB，且a＞b，，试求曲线C的离心率e的取值范围．

．设A （x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），< br>？并说明理
交于不同的两点A、B，O为坐标
【分析】（1）在曲线C上存在3个点到直 线L的距离恰为
由|OA|=|OB|得|OA|
2
=|OB|
2
， 所以x
1
+x
2
=﹣1，由此能求出结果．

（2）因为a ＞b，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆，由，所以x
1
x
2
+y
1
y
2
=0，
由y
1
=x
1
+1，y
2
=x
2
+1，知2x
1
x
2
+（x
1
+x
2
）+1=0，由此能求出曲线C的离心率e的取值范围．

第43页（共113页）

【解答】解：（1）在曲线C 上存在3个点到直线L的距离恰为
设A（x
1
，y
1
），B（x2
，y
2
），

由|OA|=|OB|得|OA|
2< br>=|OB|
2
，（2分）

又点A，B在直线L上，得y
1< br>=x
1
+1，y
2
=x
2
+1，

代入上式化简得（x
1
﹣x
2
）（x
1
+x
2+1）=0（4分）

由x
1
≠x
2
，∴x
1
+x
2
=﹣1，

由（6分）

．

所以，

于是a
2
=b
2
，这时曲线C表示圆x< br>2
+y
2
=a
2
，

O到直线L的距离d=，

．（8分）

故曲线C上仅存在3个点到 直线L的距离恰为
（2）因为a＞b，所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆

由，所以x
1
x
2
+y
1
y
2
=0，
又y
1
=x
1
+1，y
2
=x
2
+1 ，∴2x
1
x
2
+（x
1
+x
2
）+1= 0（9分）

由（1）得，，

代入上式整理得a
2
+b< br>2
=2a
2
b
2
，

，

，
得

，

而△=（2a
2
）
2
﹣4（a
2
+b
2
）（a
2
﹣a
2
b
2
）=4a
2
b
2
（a
2
+b
2
﹣1）＞0，

∴．（12分）

【点评】本题考查满足条件的 点的个数的探索，考查离心率的取值范围的求法，考查推理论
第44页（共113页）

证能力，考查推导计算能力，考查等价转化思想，考查分类讨论思想．



18．设抛物线
心率
（m＞0）的准线与x轴交于F
1
，焦点为F< br>2
；以F
1
、F
2
为焦点，离
的椭圆C
2< br>与抛物线C
1
的一个交点为P．

（1）当m=1时，直线l经过椭圆 C
2
的右焦点F
2
，与抛物线C
1
交于A
1
、A
2
，如果弦长|A
1
A
2
|
等于三角形PF
1
F
2
的周长，求直线l的斜率．

（2）求最小实数m， 使得三角形PF
1
F
2
的边长是自然数．


【分 析】（1）m=1时，F
2
（1，0），由此能求出椭圆方程3x
2
+4y< br>2
=12．设l：y=k（x﹣1），联立
得k
2
x
2
﹣（2k
2
+4）x+k
2
=0，由此利用弦长公式能求出直线的斜率．< br>
（2）设椭圆长半轴为a，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F
1
F
2
|=2m．设|PF
1
|=r
1
，|PF
2< br>|=r
2
，
有r
1
+r
2
=2a=4m，设 P（x
0
，y
0
），对于抛物线C
1
，r
2
=x
0
+m．由此能推导出使得三角形PF
1
F
2
的边长是连续的自然数的最小实数．

【解答】解：（1）∵抛物线
∴m=1时，F
2
（1，0），

∵
故椭圆方程为
，

，即3x
2
+4y
2
=12．

（m＞0），

依题意知直线l存在斜率，设l：y=k（x﹣1）

联立得k
2
x
2
﹣（2k
2
+4）x+k
2=0．…3分

第45页（共113页）

∵直线l与抛物线C
1
有两个交点，∴k≠0，

设A
1< br>（x
1
，y
1
），A
2
（x
2
，y
2
），弦A
1
A
2
的中点M（x，y），

由韦达定理得
则
=

…..5分


=…8分

三角形PF
1
F
2
的周长=2a+2c=6，

由 ，解得 ．

．…9分

故直线l的斜率为
（2）设椭圆长半轴为a ，半焦距为c，由题设有c=m，a=2m，|F
1
F
2
|=2m．

又设|PF
1
|=r
1
，|PF
2
|=r
2
，有r
1
+r
2
=2a=4m

设P（x
0
，y
0
），对于抛物线C
1
，r
2
=x
0
+m；

对于椭圆C
2
，，

即
由
∴，从而
…..12分

，解得
．

．…13分

，

因此，三角形PF
1
F
2
的边长分别是
使得三角形PF
1
F
2
的边长是连续的自然数的最小实数m=3．…14分

【点评】本题考查直线斜率的求法，考 查使得三角形周长是连续的自然数的最小实数的求
法．解题时要认真审题，注意椭圆、抛物线、直线与圆 锥曲线的位置关系的综合运用．



19．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，离心率
第46页（共113页）

，且点P（﹣2，0）在椭圆

C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知A、B为椭圆C上的动点，当PA⊥PB时，求 证：直线AB恒过一个定点．并求出
该定点的坐标．

【分析】（1）设椭圆的方程为：
c
2
可求得c，b；

（ 2）分情况讨论：①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m，A（x
1
，y
1
）B（x
2
，y
2
），与
椭圆方程联立方程组消掉y得x 的一元二次方程，由韦达定理即及=0可得m，k的关
，检验
，由题意得，a=2，再由b2
=a
2
﹣
系式，分别代入直线方程可求得定点坐标，②当直线l垂直于 x轴时，直线AB：
即可；

【解答】解：（1）设椭圆的方程为：
由题意得，a=2，所以c=，

，

又b
2
=a
2
﹣c
2
=1，

所以椭圆的方程为：；

（2）①当直线l不垂直于x轴时，设AB：y=kx+m， A（x
1
，y
1
）B（x
2
，y
2
），< br>
由，得（1+4k
2
）x
2
+8kmx+4（m
2
﹣1）=0，，，

=
，

∴12k
2
+ 5m
2
﹣16km=0，即（6k﹣5m）（2k﹣m）=0，解得
当时，恒过定点；

，

当m=2k时，AB：y=kx+2k恒过定点（﹣2，0），不符合题意舍去；

② 当直线l垂直于x轴时，直线AB：
∴
，则AB与椭圆C相交于
，∵PA⊥PB，满足 题意，

第47页（共113页）

，，

综上可知，直线AB恒过定点，且定点坐标为．

【点评】 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆方程的求解，考查分类讨论思想，考查
学生分析问题解决问题 的能力．



20．已知椭圆C：
与椭圆C相切于点P．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）是否存在过点A（4，0）的直线m与椭圆C相交于 不同的两点M、N，使得
36|AP|
2
=35|AM|?|AN|？若存在，试求出 直线m的方程；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）由题得过两点A（4，0），B（0 ，2），直线l的方程为x+2y﹣4=0．因为
所以a=2c，b=．再由直线l与椭圆C相切，能求 出椭圆方程．

，得（3+4k
2
）x
2
﹣32k
2
x+64k
2
﹣12=0．由
，
的离心率为，直线l过点A（4， 0），B（0，2），且
（Ⅱ）设直线m的方程为y=k（x﹣4），由
题意知△=（32k< br>2
）
2
﹣4（3+4k
2
）（64k
2
﹣1 2）＞0，解得﹣＜k＜．设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，
y
2
），则，．由此能求出直线m的方程．

【解答】解：（Ⅰ） 由题得过两点A（4，0），B（0，2），直线l的方程为x+2y﹣4=0．…（1
分）

因为，所以a=2c，b=
，

．

设椭圆方程为
由，消去x得，4y
2
﹣12y+12﹣3c
2
=0．

又 因为直线l与椭圆C相切，所以△=12
2
﹣4×4（12﹣3c
2
）=0， 解得c
2
=1．

所以椭圆方程为．…（5分）

第48页（共113页）

（Ⅱ）∵直线m的斜率存在，∴设直线m的方程为y=k（x﹣4），…（6分）

由，消去y，

整理得（3+4k
2
）x
2
﹣32 k
2
x+64k
2
﹣12=0．…（7分）

由题意知△= （32k
2
）
2
﹣4（3+4k
2
）（64k
2< br>﹣12）＞0，

解得﹣＜k＜．…（8分）

设M（x
1< br>，y
1
），N（x
2
，y
2
），

则，．…（9分）

又直线l：x+2y﹣4=0与椭圆C：相切，

由，

解得
则
又
=
，所以P（1，）．…（10分）

．所以|AM|?|AN|=
?
?
=．


=（k
2
+1）（4﹣x
1
）（4﹣x
2
）

=
=（k
2
+1）（
=（k
2
+1）?
所 以（k
2
+1）?
﹣4×
．

=，解得k=．经检验成立．…（13分）

．…（14分）


+16）

所以直线m的方程为y=
【点评】本题考查椭圆方程的求法，探索 直线方程是否存在．综合性强，难度大，是高考的
第49页（共113页）

重点，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．



21．已知椭圆C：
标平面内一点，且|OP|=
（1）求椭圆C的方程；

（2）过点S（﹣，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，是否存在直线l，使得
VQAB为等腰三角形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【分析】（1 ）设出P点坐标，由|OP|=得关系式，再由得关系式，两式联立
=1（a＞b＞0）的离心率为，
，其左、右焦点为F
1
、F
2
，点P是坐
=，其中O 为坐标原点．Q为椭圆的左顶点．

求出c，再由离心率求得a，结合b
2
= a
2
﹣c
2
求出b，则椭圆方程可求；

（2）设出直线l 的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数关系求出A，B两点的横坐标的和，
由中点坐标公式求出A，B 的中点，若否存在直线l，使得△QAB为等腰三角形，则AB中点
与Q的连线与AB垂直，由斜率之积 等于﹣1列式求k的值，此时得到了矛盾式子，说明使得
△QAB为等腰三角形的直线l不存在．

【解答】解：（1）设P（x
0
，y
0
），∵
又
①代入②得：
故所求椭圆方程为
（2）直线l的方程为
，∴
．又e=，∴a =2，b=1．

；

，

，∴
，即
①

②

联立，得（25+100k2
）x
2
+240k
2
x+144k
2
﹣10 0=0．

，
设AB的中点M（x
0
，y
0
），

则，
．

．

第50页（共113页）

所以．

若三角形QAB为等腰三角形，则MQ⊥AB，

即，此式无解，

所以使得△QAB为等腰三角形的直线l不存在．

【点评】本题考查了椭圆的标准方 程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查了数学转化思想
方法，训练了一元二次方程的根与系数关系，考 查了学生的运算能力，是难题．



22．如图，已知抛物线C：y
2
=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线
l与抛物线C交于A、 B两点．

（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若，求k的值；

（Ⅱ）是否存在这 样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，若存在，
求出k的取值范围；若不 存在，说明理由．


【分析】（Ⅰ）设出直线l的倾斜角，借助于抛物线的定义，利 用平面几何知识求出直线倾斜
角的余弦值，则可求正切值，直线的斜率可求；

（Ⅱ） 假设存在斜率为k的直线，使得对任意的p，抛物线上总存在点Q，使得QA⊥QB，写
出过M点，斜率 为k的直线方程，和抛物线联立后，由判别式大于0得到k的一个取值范围，
再由QA⊥QB，即得三点 Q，A，B的坐标的关系，进一步转化为Q点纵坐标的方程，
再由判别式大于等于0求出k的取值范围， 取交集后最终得到k的范围．

【解答】解（Ⅰ）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α ，由抛物线的定义知|AM|=
∴，则，

，

∴k=±tanα=．

第51页（共113页）

（Ⅱ）存在k，k的取值范围为
点Q，使得QA⊥QB．

，使得对任意的p，抛物线上C总存在
事实上，假设存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上 C总存在点Q，使得QA⊥QB，

设点Q（x
0
，y
0
） ，A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
） ，

联立，得ky
2
﹣2py+p
2
k=0．

则，得：﹣1＜k＜1且k≠0．

．

又Q、A、B三点在抛物线上，所以

则．

同理．

由QA⊥QB得：
∴，即
，即
．

，又﹣1＜k＜1且k≠0．

．

．

△=4p
2
﹣20k
2
p
2
≥0，解得
所以k的取值范围为
【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，解答的关
键是 利用直线和圆锥曲线相交转化为方程有根，再利用方程的判别式大于0（或大于等于0）
求解．此题属有 一定难度类型题．



23．已知椭圆的左焦点为F，左、右顶点分别为A 、C，上顶点为B．过F、
B、C作⊙P，其中圆心P的坐标为（m，n）．

第52页（共113页）

（1）当m+n＞0时，求椭圆离心率的范围；

（2）直线AB与⊙P能否相切？证明你的结论．

【分析】（1）先求F、B、C的 坐标，求直线FC、BC的中垂线方程，解出P的坐标，m+n＞0，
得到a、b、c关系，求出e的范 围．

（2）直线AB与⊙P能相切，则切点为B，求出AB和PB的斜率，如果垂直，斜率之 积为﹣1，
判断即可．

【解答】解：（1）设F、B、C的坐标分别为（﹣c，0） ，（0，b），（1，0），则FC、BC的中垂
线分别为 x=
y﹣
，

．联列方程组，

解出

∴，

即b﹣bc+b
2
﹣c＞0，即（1+b）（b﹣c）＞0，

∴b＞c．

从而b
2
＞c
2
即有a
2< br>＞2c
2
，

∴
∴
．又 e＞0，

．

（2）直线AB与⊙P不能相切．由k
AB
=b，．

如果直线AB与⊙P相切，则 b?
解出c=0或2，与0＜c＜1矛盾，

所以直线AB与⊙P不能相切．

=﹣1．b
2
+2c=1，b2
=1﹣c
2
（0＜b＜1，∴0＜c＜1）

【点评】本题考查椭圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，难度较大，容易出错．



24．设F
1
、F
2
分别是椭圆的左、右焦点．

的最大值和最小值；

（Ⅰ）若P是该椭圆上的一个动点，求

第53页（共113页）

（Ⅱ）是否存在过点A（5，0）的直线 l与椭圆交于不同的两点C、D，使得|F
2
C|=|F
2
D|？若
存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）设
=
够得到的最大值和最小值．

P（x，y），则
，根据x的取值范围能
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外 部，当直线l的斜率不
存在时，直线l与椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为 y=k（x﹣5），
再把直线y=k（x﹣5）和椭圆
【解答】解：（Ⅰ）由题意知
设 P（x，y），则
=
∵，

有最小值3；

有最大值4．

，

联系方程用根的判别式求l的方程或说明理由．

，∴

，

∴当 x=0时，即点P为椭圆短轴端点时，
当，即点P为椭圆长轴端点时，
（Ⅱ）假 设存在满足条件的直线l．由题意知点A（5，0）在椭圆的外部，当直线l的斜率不
存在时，直线l与 椭圆无交点，所在直线l斜率存在，设为k，则直线l的方程为y=k（x﹣5）

由方程组， 得（5k
2
+4）x
2
﹣50k
2
x+125k
2
﹣20=0

依题意
当
则
，∴．

时，设 交点C（x
1
，y
1
），D（x
2
，y
2
），CD的中点为R（x
0
，y
0
），

，∴，

又|F
2
C|=|F
2
D|?F
2
R⊥l?，∴，

第54页（共113页）

∴20k
2
=20k
2
﹣4，而20k
2
=20k
2
﹣4不 成立，所以不存在直线l，使得|F
2
C|=|F
2
D|

综上所述，不存在直线l，使得|F
2
C|=|F
2
D|．

【点评】本题考查椭圆的性质及其应用，难度较大，解题时要仔细审题，认真解答．



25．设椭圆D：
轴上有一点B，满足
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分 别为F
1
、F
2
，上顶点为A，在x轴负半
，且AB⊥AF
2
．

y﹣3=0相切，求圆C方程及椭圆D的（Ⅰ）若过A、B、F
2三点的圆C恰好与直线l：x﹣
方程；

（Ⅱ）若过点（T3，0）的直线与椭圆 D相交于两点M、N，设P为椭圆上一点，且满足
（O为坐标原点），求实数t取值范围．


【分析】（Ⅰ）利用，可得F
1
为BF
2
的中点，根据A B⊥AF
2
，可得a，c的关系，利
相切，求出a，即可求出椭圆的方程与圆用过A、 B、F
2
三点的圆C恰好与直线l：
的方程；

（Ⅱ）设直线MN方程代入椭圆方程，利用韦达定理及向量知识，即可求实数t取值范围．
< br>【解答】解：（Ⅰ）由题意知F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），A （0，b）．

因为AB⊥AF
2
，所以在Rt△ABF
2
中，
又因为
所以
又a
2
=b
2
+c
2，所以a=2c．

所以F
2
（，0），B（﹣，0），

，所以F
1
为BF
2
的中点，


，

Rt△ABF
2
的外接圆圆心为F
1
（﹣，0 ），半径r=a，

因为过A、B、F
2
三点的圆C恰好与直线l：
第55页（共113页）

相切，

所以=a，解得a=2，所以c=1，b=．

所以椭圆的标准方程为：，圆的方程为 （x+1）
2
+y
2
=1；

（Ⅱ）设直线MN方程为y= k（x﹣3），M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），P（x，y），则

直线方程代入椭圆方程，消去y可得（4k
2+3）x
2
﹣24k
2
x+36k
2
﹣12=0，
∴△=（24k
2
）﹣4（4k
2
+3）（36k
2
﹣12）＞0，

∴k
2
＜，

x
1+x
2
=
∵
，x
1
x
2
=
，

，

∴x
1
+x
2
=tx，y
1
+y
2
=ty，

∴tx=，ty=，

∴x=，y=，

代入椭圆方程可得3×[
整理得=
]
2< br>+4×[]
2
=12，


∵k
2
＜，

∴0＜t
2
＜4，

∴实数t取值范围是（﹣2，0）∪（0，2）．

【点评】本题考查椭圆方程与圆的 方程，考查直线与圆的位置关系，考查直线与椭圆的位置
关系，难度大



26．已知椭圆C的离心率e=
（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线x= my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A
1
P与A
2
Q交于点S，试问：当 m变化
第56页（共113页）

，长轴的左右端点分别为A
1
（ ﹣2，0），A
2
（2，0）．

时，点S是否恒 在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，
请说明理由．

【分析】（I）设椭圆C的方程为
此能求出椭圆C的方程．

（II）取m= 0，得P（1，
方程是
），Q（1，﹣），直线A
1
P的方程是
交点 为
，直线A
1
P的
．若
，由，知，b
2
=1，由< br>，直线A
2
Q的方程为是
，由对称性可知，若点S在同一条直线上，由直线只< br>能为l：x=4．

【解答】解：（I）设椭圆C的方程为
∵，∴，b
2
=1，

．

），Q（1，﹣
，

，直线A
2
Q的方程是
，由对称性可知，

交点为．

），

，

∴椭圆C的方程为
（II）取m=0，得P（1，
直线A
1
P的方程是
直线A
1
P的方程是
若
若点S在同一条直线上，由直线只能为l：x=4．

以下证 明对于任意的m，直线A
1
P与A
2
Q的交点S均在直线l：x=4上，
事实上，由，

得（my+1）
2
+4y
2
=4，即（m
2
+4）y
2
+2my﹣3=0，

记P（x
1
，y
1
），Q（x
2
，y
2
），

则
记A
1
P与l交于点S
0
（4，y
0
），

，

第57页（共113页）

由，得，

设A
2
Q与l交于点S‘
0
（4，y′
0
），

由，得，

∵

=

=

=，

∴y
0
=y′
0
，即 S
0
与S‘
0
重合，

这说明，当m变化时，点S恒在定直线l：x=4上．

【点评】本题考查直线与圆锥 曲线的位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题
设中的隐含条件，合理地进行等价变换．注 意对称性的合理运用．



27．已知A（x
1
，y1
），B（x
2
，y
2
）是抛物线y
2
=4x 上相异两点，且满足x
1
+x
2
=2．

（Ⅰ）AB的中垂线经过点P（0，2），求直线AB的方程；

（Ⅱ）AB的中垂线交x轴于点M，△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

【分析】方法一：

（I）设直线AB的方程为y=kx+b，与y
2
=4x联立，利用韦达定理结合x
1
+x
2
=2可求得直线AB
的 方程为y=k（x﹣1）+，而AB中点的坐标为（1，），AB的中垂线经过点P（0，2），可
求得 AB的斜率，从而可求直线AB的方程；

（Ⅱ）依题意，直线AB的方程为k
2x﹣ky+2﹣k
2
=0，利用点到直线间的距离公式可求得点M
到直线AB的距 离d，联立AB的方程与抛物线方程，结合韦达定理可求得|AB|，于是可得到
面积表达式，通过导数 法即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程；

法二：（Ⅰ）设AB的中点为Q （1，t），可求得k
AB
=，由（t﹣2）?=﹣1，可求得t继而可
第58页（共 113页）

得直线AB的方程为y=x﹣；

（Ⅱ）依题意可得直线AB的方程，继而可求点M到直线AB的距离为d==，从
而可得面积表达式，利 用基本不等式即可求得△AMB的面积的最大值及此时直线AB的方程．

【解答】解：方法一：

（I）当AB垂直于x轴时，显然不符合题意，
< br>所以设直线AB的方程为y=kx+b，代入方程y
2
=4x得：k
2
x
2
+（2kb﹣4）x+b
2
=0

∴x
1
+x
2
==2，…（2分）

得：b=﹣k，

∴直线AB的方程为y=k（x﹣1）+，

∵AB中点的横坐标为1，

∴AB中点的坐标为（1，） …（4分）

∴AB的中垂线方程为y=﹣（x﹣1）+=﹣x+，

∵AB的中垂线经过点P（0，2），故=2，得k= …（6分）

∴直线AB的方程为y=x﹣，…（7分）

（Ⅱ）由（I）可知AB的中垂线方程为y=﹣x+，

∴M点的坐标为（3，0）…（8分）

因为直线AB的方程为k
2
x﹣ky+2﹣k
2
=0，

∴M到直线AB的距离d== …（10分）

由得y
2
﹣ky+2﹣k
2
=0，

y
1
+y
2
=，y
1
y
2
=，

|AB|=|y
1
﹣y
2
|= …（12分）

第59页（共113页）

∴S
△
AMB
=4（1+），设=t，则0＜t＜1，

，

S=4t（2﹣t
2
）=﹣4t
3
+8t，S ′=﹣12t
2
+8，由S′=0，得t=
即k=±时S
max
=，

y﹣1=0．…（15分）

此时直线AB的方程为3x±
（本题若运用基本不等式解决，也同样给分）

法二：

（1）根据题意设AB的中点为Q（1，t），则k
AB
=
由P、Q两点得AB中垂线的斜率为k=t﹣2，…（4分）

由（t﹣2）?=﹣1，得t=，…（6分）

∴直线AB的方程为y=x﹣，…（7分）

（2）由（1）知直线AB的方程为y﹣t=（x﹣1），…（8分）

AB中垂线方程为y﹣t=﹣（x﹣1），中垂线交x轴于点M（3，0），

点M到直线AB的距离为d==，…（10分）

= …（2分）

由得：4x
2
﹣8x+（t
2
﹣2）
2
=0，
∴|AB|=|x
1
﹣x
2
|=，x
1
+x
2
=2，x
1
x
2
=

∴S=|AB|? d=
当t
2
=时，S有最大值
=
，此时直线AB方程为3x±
≤=，

y﹣1=0…（15分）

【点评】本题考查：直线的一般式方程 ，考查：直线的一般式方程与直线的垂直关系，突出
考查点到直线的距离公式，属于难题．



28．如图，过抛物线x
2
=4y焦点F的直线l与抛物线交于 A，B两点（A在第一象限），点C（0，
第60页（共113页）

t）（t＞1）．

（I）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程；

（II）若，且∠FAC为锐角，试求t的取值范围．


【分析】（I）设 直线l的方程为y=kx+1，代入x
2
=4y，得x
2
﹣4kx﹣4=0， 设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，
y
2< br>），则x
1
+x
2
=4k，x
1
x
2
=﹣4，由△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，得|FA|=2|BF|，由
此能求出 直线方程．

（Ⅱ）由抛物线x
2
=4y焦点F（0，1），知
为锐 角，则，由|AB|∈（
，，若∠FAC
），知|AB|=y
1
+y
2
+2=kx
1
+1+kx
2
+1=4k
2
+4，
由此能够推导出t的取值范围．

【解答】解：（I）设直线l的方程为y=kx+1，

代入x
2
=4y，得x
2
﹣4kx﹣4=0，

设 A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

则x
1
+x
2
=4k，x
1
x
2
=﹣4，①

∵△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，

即|BF|，|FA|，|BA|成等差数列，

∴|BF|+|BA|=2|FA|，

得|FA|=2|BF|，

即x
1
=﹣2x
2
，代入①得
∴所求直线方程为，即
，< br>
．

（Ⅱ）∵抛物线x
2
=4y焦点F（0，1），

∴
若∠FAC为锐角，则
，，

，

第61页（共113页）

即
∵|AB|∈（
，

），

|AB|=y
1
+y
2
+2=kx
1
+1+kx
2
+1+2= k（x
1
+x
2
）+4=4k
2
+4，

且=，

从而|AB|=
得
若
，

．

，当t＞1时，∠FAC必为锐角；

在（2，7）上恒成立．

，

若y
1
∈（2，7 ），则
由于g（y
1
）的对称轴为
故①当﹣
②当2
，即1＜ t＜7时，g（2）=10﹣t＞0满足题意；

，即7≤t≤17时，△=（3﹣t）
2
﹣4t＜0，

即t
2
﹣10t+9＜0，解得1＜t＜9，∴7≤t＜9；

③当﹣，即t＞17时，g（7）=70﹣6t＞0无解．

综上所述，t的取值范围是（1，9）．

【点评】本题考查直线方程的求法，求实数 的取值范围，考查运算求解能力，推理论证能力；
考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探 索性，对数学思维能力要求较高，是
高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．



29．已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，短轴长为4
（1）求椭 圆C的标准方程；

（2）直线x=2与椭圆C交于P，Q两点，A，B是椭圆C上位于直线P Q两侧的动点，且直线
AB的斜率为．

（i）求四边形APBQ面积的最大值；

（ii）设直线PA的斜率为k
1
，直线PB的斜率为k
2
，判断k
1
+k
2
的值是 否为常数，并说明理由．

第62页（共113页）

．

【分析】（Ⅰ）设椭圆C的方程为
及a
2
=b
2
+c
2
，得a值；

，由短轴长可得b值，根据离 心率为
（Ⅱ）①设A（x
1
，y
1
），B（x
2
， y
2
），直线AB的方程为y=x+t，代入
方程，四边形APBQ的面积S==得x的二次
．，而|PQ|易求，
代入韦达定理即可求得S的表达式，由表达式即可求得S 的最大值；②直线PA的斜率
，直线PB的斜率，代入韦达定理即可求得k
1
+k2
的值；

【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为
由已知b=2，离心率 e=，a
2
=b
2
+c
2
，得a=4，

．

．

所以，椭圆C的方程为
（Ⅱ）①由（Ⅰ）可求得点 P、Q的坐标为P（2，3），Q（2，﹣3），则|PQ|=6，

设A（x
1，y
1
），B（x
2
，y
2
），直线AB的方程为y= x+t，代入
得：x
2
+tx+t
2
﹣12=0．

由△＞0，解得﹣4＜t＜4，由根与系数的关系得
四边形APBQ的面积
故当t=0时，；

，直线PB的斜率
第63页（共113页）

，

，

，

②由题意知，直线PA的斜率，

则

=
=，


由①知，

可得
所以k
1
+k
2
的值为常数0．

，

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系、椭圆方程的求解，考查直线的斜率公式 ，考查学
生分析解决问题的能力，具有一定综合性，难度较大．



30．焦点分别为F
1
，F
2
的椭圆
的左焦点．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）不过M的动直线l交椭圆C于A、B两点，若
出该定点的坐标．

【分 析】（Ⅰ）由抛物线方程写出其准线方程，从而求出椭圆焦点坐标，把点M的坐标代入
椭圆方程后，结合 a
2
=b
2
+c
2
可求椭圆方程；

（Ⅱ ）分直线l垂直于坐标轴和不垂直坐标轴两种情况进行讨论，直线垂直坐标轴时，把直
线方程代入椭圆方 程求出A，B的坐标，由?=0解出m的值，直线不垂直坐标轴时，设
?=0，求证：直线l恒过定点， 并求
过点M（2，1），抛物线的准线过椭圆C
出直线方程的斜截式，和椭圆方程联立后由判别 式大于0得到直线斜率和在y轴上的截距满
足的关系式，再由
恒过定点．

【解答】（Ⅰ）解：由2p=
故

?=0把直线的截距用斜率表示，代回直线 方程后由线系方程可得直线
，∴p=
，

，∴抛物线的准线方程为．

，
第64页（共113页）

∴椭圆方程可化为
∴
，又椭圆过点M（2，1），

，则a
4
﹣8a
2
+12=0，

∵a
2
＞3，解得：a
2
=6．

∴所求椭圆的方程为．

（Ⅱ）证明：①若直线l⊥x轴，直线l可设为x=m（m≠2），则直线l与椭圆交于

，，

由，得，

即3m
2
﹣8m+4=0．

解得：m=2（舍）或
故直线l的方程为
，

．

②若直线l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+n．

直线l与椭圆交于A （x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．< br>
由?（1+2k
2
）x
2
+4knx+2n
2﹣6=0．

由△＞0，得：（4kn）
2
﹣4（1+2k
2< br>）（2n
2
﹣6）＞0，即6k
2
﹣n
2
+3＞0．

由根与系数关系得：
由
，．

得：（x
1
﹣2）（x
2
﹣2）+（y
1
﹣1）（y
2
﹣1）=0，

即x
1
x
2
﹣2（x
1
+x
2
）+y
1
y
2
﹣（y
1
+y
2
） +5=0，

又y
1
=kx
1
+n，y
2
=kx
2
+n，

故
即
，

．

第65页（共113页）

∴4k
2
+ 8kn+（3n+1）（n﹣1）=0，即（2k+3n+1）（2k+n﹣1）=0．

∴
而
∴直线l为
或n=﹣2k+1．

或n=﹣2k+1满足△＞0．

或y=kx﹣2k+1=k（x﹣2）+1．

由于直线l不过M，∴直线y=kx﹣2k+1=k（x﹣2）+1不合题意．

∴直线l为
综合①②，直线l为为
故直线l恒过定点．

．

或．

【点评】本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系， 考查了分类
讨论的数学思想，证明直线l恒过定点时，综合考查了向量知识、直线系方程及学生的运算< br>能力，此题属难题．



31．设抛物线M方程为y
2=2px（p＞0），其焦点为F，P（a，b）（a≠0）为直线y=x与抛物线
M的一个交点， |PF|=5

（1）求抛物线的方程；

（2）过焦点F的直线l与抛物线 交于A，B两点，试问在抛物线M的准线上是否存在一点Q，
使得△QAB为等边三角形，若存在求出Q 点的坐标，若不存在请说明理由．


【分析】（1）联立方程组可求得P坐标，根据|PF|=5及抛物线定义即可求得p值；
< br>（2）①当直线l的斜率不存在时易验证不合题意；②当直线存在斜率时设直线l的方程为y=k
（x﹣1）（k≠0），直线l与抛物线的交点坐标为A（x
1
，y
1
）、B （x
2
，y
2
），联立方程组消y后
第66页（共113页）

可求AB中点M坐标，设存在Q（﹣1，m），由K
AB
?K
QM
=﹣1，Q到直线l的距离为d=
联立即可解得k，m值，从而可判 断存在性；

【解答】解：（1）
∴P（2p，2p），

∵|PF|=5，∴2p+=5，解得p=2，

∴抛物线的方程为y
2
=4x；

?（舍去），

|AB|，
（2）①若直线l的斜率不存在，则Q只可能为（﹣1，0），此时△QAB不是等边三角形 ，舍
去；

②若直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）， 直线l与抛物线的交点坐标
为A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
），

由?k
2
x
2
﹣（ 2k
2
+4）x+k
2
=0，x
1
+x
2
=2+，

设存在Q（﹣1，m），AB的中点为M（1+，），设Q到直线l的距离为d，

有题意可知：①，d=|AB|?=|4+|②，

由①可得：m=+，③

+）
2
=（k
2
+1）??，

③代入②得：（2 k+
化简得：
将k=
=12?
代入③得m=，

?k
2
=，

∴Q（﹣1，±8）为所求点．

【 点评】本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线方程的求解，考查分类讨论思想，考
查学生分析问题 解决问题的能力，解决本题的关键是充分利用正三角形的性质列方程组．



32．已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面
第67页（ 共113页）

积为4．

（1）求椭圆的方程；

（2）过点（m，0）（m＞）且斜率为﹣的直线l交椭圆于 C，D两点，F为椭圆的右焦
点，如果|CD|
2
=4|FC|?|FD|，求∠CF D的大小．

【分析】（1）由离心率可得a，b的关系，再由连接椭圆的四个顶点得到的四边 形的面积为
得到a，b的另一关系，联立求出a，b得答案；

（2）由题意得直线l 的方程为，联立直线方程与椭圆方程，由△＞0
，
求出m的范围，再利用根与系数的关系求出C ，D两点横坐标的和与积，进一步把|CD||FC|
用含有m的代数式表示，结合|CD|
2
=4|FC|?|FD|求得
=
则∠CFD的大小可求．

【解答】解：如图，

（1）∵，∴，

，

=．

m=3，可得
又连接椭圆的四个顶点得到的四边形的面积为
∴，即，

；

∴a
2
=6，b
2
=2，因此椭圆的方程为< br>（2）由题意得直线l的方程为，

由，得2x
2
﹣2mx+m
2
﹣6=0．

由△= 4m
2
﹣8（m
2
﹣6）＞0，解得
又m，∴，

．

设C（x
1
，y
1
），D（x
2，y
2
），

则
∴|CD|=
，

=
第68页（共113页）

．

又∵|FC|==．

|FD|=
|FC||FD|=
由|CD|< br>2
=4|FC|?|FD|，得
又
又∵
且
∴
∴∠CF D=90°．

=
=
，∴m=3，

，

=
=
．

．

，解得m=0或m=3．

．

=．


【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查了椭 圆的简单性质，考查直线与圆锥曲线位置关系
的应用，涉及直线与圆锥曲线的关系问题，常采用把直线方 程和圆锥曲线方程联立，利用根
与系数的关系求解，训练了平面向量在求解圆锥曲线问题中的应用，是压 轴题．



33．已知椭圆的离心率为．

（I）若原点到直线x+y﹣b=0的距离为，求椭圆的方程；

（II）设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A，B两点．

（i）当，求b的值；

，求实数λ，μ满足的关系式．

（ii）对于椭圆上任一点M，若
第69页（共113页）

【分析】（I）由题意知b=2，a
2
=12，b
2
=4．由此可知椭圆的方程为
（II）（i）由题意知椭圆的方程可化为：x
2+3y
2
=3b
2
，AB：
A（x
1
，y1
），B（
，所以
x
2
，
．

．设
y
2
），
，所以b=1．

（II）（ii） 显然
的向量
与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内
成立 ．同上经可知λ
2
+μ
2
=1．

，∴∵a
2﹣b
2
=c
2
，∴解得
，有且只有一对实数λ，μ，使得等，∴b=2∵【解答】解：（I）∵
a
2
=12，b
2
=4．< br>
椭圆的方程为
（II）（i）∵
易知右焦点
由①，②有：
设 A（x
1
，
，∴
．（4分）

．椭圆的方程可化为：x2
+3y
2
=3b
2
①

②

，据题意有AB：
③

y
1
），B（x
2
，y
2
），
∴b=1（8分）

（II）（ii）显然
的向 量
与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内
成立．
，有且只有一对实数λ，μ，使得等
设M（x，y），∵（x，y）=λ（x
1
， y
1
）+μ（x
2
，y
2
），∴x=λx
1
+μx
2
，y=λy
1
+μy
2
，

又 点M在椭圆上，∴（λx
1
+μx
2
）
2
+3（λy
1
+μy
2
）
2
=3b
2
④

由③有：
则
3b
2
﹣9b
2
+6b
2
=0 ⑤

又A，B在椭圆上，故有x
1
2
+3y
1
2< br>=3b
2
，x
2
2
+3y
2
2
=3 b
2
⑥

第70页（共113页）

将⑥，⑤代入④可得：λ
2
+μ
2
=1．（14分）

【点评】本题考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，解题时要认真审题，仔细解答．



34．已知椭圆C：
标平面内一点，且|OP|=
（1）求椭圆C的方程；

（2）过点S（﹣，0），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点
M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【 分析】（1）设P（x
0
，y
0
），已知|OP|=，=，可得
=1 （a＞b＞0）的离心率为
，
，其左、右焦点为F
1
、F
2
，点P是坐
=其中O为坐标原点．

，即可解得c，再利用及a
2
= b
2
+c
2
即可；

（2）存在定点M（﹣2，0），使以 AB为直径的圆恒过这个点．设点A（x
1
，y
1
），B（x
2，y
2
）．把
直线l：
只有证明
代入椭圆方程
=0即可 ．

，=，

得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系，
【 解答】解：（1）设P（x
0
，y
0
），∵|OP|=
∴，化为，< br>
解得．

又，解得．

∴椭圆C的方程为；

（2）存在定点M（﹣2，0），使以AB为直径的圆恒过这个点．证明如下：

设点 A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
）．

把直线l：

代入椭圆方程得
第71页（共113页）
，

∴
∴
=
=（1+k
2
）x
1
x
2
+
=
，
=（x
1< br>+2，y
1
）?（x
2
+2，y
2
）


．

+4+
+

+4+

=
=0．

∴MA⊥MB．

即以AB为直径的圆恒过这个定点M（﹣2，0）．


【点评】本题综合考 查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得
到根与系数的关系、数量积运算、 两点间的距离关系等基础计算与基本技能，考查了推理能
力和计算能力．



35．已知直角坐标平面内的动点M满足：|MA|
2
﹣|MB|
2
=4（|MB|﹣1），其中A（0，﹣1），
B（0，1）．

（Ⅰ）求动点M的轨迹C的方程；

（Ⅱ）过N（﹣2，1）作两条直线交（Ⅰ）中轨 迹C于P，Q，并且都与“以A为圆心，r为半
径的动圆”相切，求证：直线PQ经过定点．


【分析】（1）设M（x，y），由|MA|
2
﹣|MB|
2=4（|MB|﹣1）可得方程，化简即可；

（2）设NQ、NP直线斜率分别为k1
，k
2
，利用点斜式可写出直线NQ、NP的方程，根据NQ、
NP与 动圆A相切可得k
1
k
2
=1，分别联立直线与曲线方程可得Q、P坐标，由 点斜式可写出直
第72页（共113页）

线PQ的方程，据方程形式即可求得所过定点．

【解答】解：（1）设M（x，y） ，由|MA|
2
﹣|MB|
2
=4（|MB|﹣1），

得 x
2
+（y+1）
2
﹣[x
2
+（y﹣1）
2]=4（
化简得：x
2
=4y．

（2）设NQ、NP直线斜率 分别为k
1
，k
2
，则直线NQ：y﹣1=k
1
（x+2） ，即：k
1
x﹣y+2k
1
+1=0，

NP：y﹣1=k
2
（x+2），即：k
2
x﹣y+2k
2
+1=0，

由NQ、NP与动圆A相切得：
化简得：（k
1
﹣k
2
）（k
1
k
2
﹣1）=0，

∵k
1
≠k
2
，∴k
1
k
2
=1，

联立
同 理：P（4k
2
+2，
∴k
PQ
=
∴PQ：y﹣
， 解得Q（4k
1
+2，
），

=k
1
+k
2
+1，

=（k
1
+k
2
+1）[x﹣（4k
2
+2）]，

），

=，

），

化简得：y=（k
1
+k
2
+1）（x﹣2）﹣3，

所以直线PQ恒过定点（2，﹣3）．

【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题 、圆锥曲线的轨迹问题，考查学生的运算能力，
考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，综合性 较强，有一定难度．



36．已知A，B，C均在椭圆
F
2
，当时，有．

上，直 线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F
1
、
（Ⅰ）求椭圆M的方程；

（Ⅱ）设是椭圆M上的任一点，EF为圆N：x
2
+（y﹣2）
2
=1的任 一条直径，求
值．

【分析】（Ⅰ）根据判断出可知△AF
1
F2
为直角三角形，进而可知
的最大
第73页（共113页）

进而根据
圆的定义联立求得
．求得，进而根据椭
根 据勾股定理建立等式求得a，则椭圆的方程可得．

的表达式，利用P是（Ⅱ）根据题意通过E 坐标求出F坐标，代入椭圆的方程，化简
椭圆上的任意一点纵坐标的范围求出表达式的最大值．

【解答】解：（Ⅰ）因为
所以△AF
1
F
2
为直角三角形；

∴
则有
所以，
又
∴
在△AF
1
F
2
中有
即
所求椭圆M方程为




，所以有

，



，解得a
2
=2


（Ⅱ）由题意可知N（0，2），E，F关于点N对称，

设E（x
0
，y
0
），则F（﹣x
0
，4﹣y
0
）有
∴，

=x
2
﹣x
0
2
+4y
0
﹣4y﹣y
0
2
+y
2
=x
2
+2y
2
﹣（x
0
2
+（y
0
﹣2）
2
）﹣y2
+4﹣4y=﹣（y+2）
2
+9

P是椭圆M上的任一点，y∈[﹣1，1]，

所以当y=﹣1时，的最大值为8．

【点评】本题主要考查了直线与圆锥曲线的问题 ，向量的基本计算．考查了学生分析问题和
解决问题的能力．



37．已知点B（0，1），A，C为椭圆上的两点，△ABC是以B为直角顶点
第74页（共113页 ）

的直角三角形．

（I）当a=4时，求线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围．

（II）△ABC能否为等腰三角形？若能，这样的三角形有几个？

【分析】（I） 依题意，可知椭圆的方程为：
程为y=﹣x++
+y
2
=1，设C（4cos θ，sinθ），可求得直线l的方
=cosθ（cosθ≠0），利用余，令y=0得x=
弦 cosθ的有界性即可求得线段BC的中垂线l在x轴上截距的取值范围；

（II）当等腰直 角三角形ABC的两条腰AB与BC不关于y轴对称时，设出AB的方程为y=kx+1
（k＞0），B C的方程为y=﹣x+1，利用直线与方程与椭圆方程联立，利用等腰直角三角形ABC
中的两腰|AB |=|BC|，借助基本不等式即可求得a的取值范围；同理可求两条腰AB与BC关
于y轴对称时a的 取值范围．

【解答】解：（I）∵a=4，

∴椭圆的方程为：+y
2
=1，故B（0，1），

设C（4cosθ，sinθ），

则BC的中点M（2cosθ，
∵BC的斜率k
BC
=，

=﹣，

（x﹣2cosθ），

，

cosθ（cosθ≠0）

），

∴线段BC的中垂线l的斜率k =﹣
∴直线l的方程为：y﹣
∴y=﹣
令y=0得：x=
x+
=+
=﹣
∵﹣1≤cosθ≤1且cosθ≠0，

∴﹣≤x=cosθ≤且x≠0，

，0）∪（0，]．

∴线段B C的中垂线l在x轴上截距的取值范围为[﹣
（II）当等腰直角三角形ABC的两条腰AB与BC不关 于y轴对称时，作图如右，

设此时过B（0，1）的AB的方程为y=kx+1（k＞0）， 则BC的方程为y=﹣x+1，

第75页（共113页）

由得：（a
2
k
2
+1）x
2< br>+2a
2
kx=0，

设该方程两根为x
1
，x2
，则x
1
+x
2
=﹣
则|AB|=
=|x< br>1
﹣x
2
|?
=
=
?
?||，




，x
1
x
2
=0，

同理可求，|BC|=?||=?||，

∵|AB|=|BC|，

∴?||=?||，

约分后整理得：k
3
﹣a
2
k
2
+a
2
k﹣1=0，

即a
2
k（k﹣1）=（k﹣1）（k
2
+k+1），
< br>当k=1时，AB的方程为y=x+1，BC的方程为y=﹣x+1，此时两直线关于y轴对称，与所设不
符，故k≠1；

∴a
2
=
∴a
2
＞3，

∴a＞，即当a＞时，如图的不关于y轴对称等腰直角三角形ABC存在，

=k++1≥3（当且仅当k=1时取等号），又k≠1，

又不关于y轴对称的还有另一个，关于y轴对称的必有一个，

因此，当a＞
当1＜a≤
时，以B为直角顶点的等腰三角ABC共三个．

时，以B为直角顶点的等腰三角ABC只有一个，此时两腰关于y轴对称．

第76页（共113页）

【点评】本题考查 椭圆的性质，着重考查椭圆的参数方程的应用，考查直线的点斜式、截距
的综合应用，突出考查直线与圆 锥曲线的位置关系，考查转化思想、方程思想、分类讨论思
想的综合应用，考查逻辑思维、创新思维、综 合运算能力，属于难题．



38．设抛物线C：y
2
= 2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的动直线l交抛物线C于点A（x
1
，y
1< br>），
B（x
2
，y
2
）且y
1
y
2
=﹣4．

（1）求抛物线C的方程；

（2）若=2（+）（O为坐标原点），且点E在抛物线C上，求△EAB的面积；

（3）若点M是抛物线C的准线上的一点，直线MF，MA，MB的斜率分别为k
0
，k
1
，k
2
．

求证：当k
0
为定值时，k
1
+k
2
也为定值．

【分析】（1）设直线l的方程为x﹣=m y，与抛物线方程联立消去x，由韦达定理化简可求抛
物线的方程；（2）由向量相等表示出点E的坐标 ，列出方程组，化简求出△EAB的面积；（3）
设出点M的坐标，表示出三条直线的斜率，化简可证明 ．

【解答】解：（1）点F（，0），设直线l的方程为x﹣=my，

则与y
2
=2px联立，消去x得，

y
2
﹣2pmy﹣p
2
=0，

又∵经过点F的动 直线l交抛物线C于点A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y< br>2
）且y
1
y
2
=﹣4．

∴y
1
y
2
=﹣p
2
=﹣4，

∴p=2，

∴抛物线C的方程为y
2
=4x．

（2）∵=2（+）=（2（x
1
+x
2
），2（y
1
+y
2
）），

第77页（共113页）

∴点E（2（x
1
+x
2
），2（y
1
+y
2
）），

则由题意得，

，

不妨设m＞0，

解得，m=，|y
1
﹣y
2
|=2，点E（8，4），

直线l的方程为2x﹣
则|AB|=
y﹣2=0，

=6，

=
．

，

点E到直线l的距离d=
则S
△
EAB
=×6×=3
（3）设点M（﹣1，y），则

k
0
=
k
1
+k
2
=
，则y=﹣2k
0，

+=

=
又∵y
1
y
2
=﹣4，y
1
+y
2
=4m，

则k
1
+k
2
=


==﹣y=2k
0
．

∵k
0
为定值，

∴k
1
+k
2
=2k
0
也为定值．
【点评】本题考查了圆锥曲线与直线的位置关系，常用到韦达定理及距离公式，化简较复杂，
化简要 细致，属于难题．

第78页（共113页）

39．已知椭圆x
2
+=1的左、右两个顶点分别为A，B．双曲线C的方 程为x
2
﹣=1．设点P
在第一象限且在双曲线C上，直线AP与椭圆相交于另一点T ．

（Ⅰ）设P，T两点的横坐标分别为x
1
，x
2
，证明 x
1
?x
2
=1；

（Ⅱ）设△TAB与△POB（其中O 为坐标原点）的面积分别为S
1
与S
2
，且
﹣S的取值范围．

?≤15，求S
【分析】（Ⅰ）设直线AP的方程与椭圆方程联立，确定P、T的横坐标， 即可证得结论；

（Ⅱ）利用?≤15，结合点P是双曲线在第一象限内的一点，可得1＜x< br>1
≤2，利用三角
﹣S的不等式，利用换元法，再利用导数法，即可求形的面积公式求面 积，从而可得S
S﹣S的取值范围．

【解答】（Ⅰ）证明：设点P（x
1< br>，y
1
）、T（x
2
，y
2
）（x
i
＞0，y
i
＞0，i=1，2），直线AP的斜率
为k（k＞0），

则直线AP的方程为y=k（x+1），

代入椭圆方程，消去y，整理，得（4+k
2
）x
2
+2k
2
x+k
2
﹣4=0，< br>
解得x=﹣1或x=，故x
2
=．

同理可得x
1
=
所以x
1
?x
2
=1．

．

（Ⅱ）设点P（x
1
，y
1
）、T（x
2
，y2
）（x
i
＞0，y
i
＞0，i=1，2），

则
因为
=（﹣1﹣x
1
，y
1
），
?
= （1﹣x
1
，y
1
）．

≤15，所以（﹣1﹣x
1
）（1﹣x
1
）+y
1
2
≤15，即x
1
2
+y
1
2
≤16．

，所以x
1
2< br>+4x
1
2
﹣4≤16，即x
1
2
≤4．

因为点P在双曲线上，所以
因为点P是双曲线在第一象限内的一点，所以1＜x
1≤2．

因为S
1
=|y
2
|，S
2
=
所以S

，

=

第79页（共113页）
﹣S=

由（Ⅰ）知，x
1
?x
2
=1，即
设t=，则1＜t≤4，S﹣S
．

=5﹣t﹣．

=，

设f（t）=5﹣t﹣，则f′（t）=﹣1+
当1＜t＜2时，f' （t）＞0，当2＜t≤4时，f'（t）＜0，

所以函数f（t）在（1，2）上单调递增，在（2，4]上单调递减．

因为f（2）=1，f（1）=f（4）=0，

所以当t=4，即x
1
=2时，S
最大值为f（2）=1．

所以S﹣S的取值范围为[0，1]．

﹣S的最小值为f（4）=0，当t=2，即 x
1
=时，S﹣S的
【点评】本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的 位置关系、函数最值等知
识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能 力和运算求
解能力．



40．已知三点O（0，0），A（﹣2 ，1），B（2，1），曲线C上任意一点M（x，y）满足|
（+）+2．

+|=?
（1）求曲线C的方程；

（2）动点Q（x
0
， y
0
）（﹣2＜x
0
＜2）在曲线C上，曲线C在点Q处的切线为直线l：是 否存
在定点P（0，t）（t＜0），使得l与PA，PB都相交，交点分别为D，E，且△QAB与△ PDE的
面积之比是常数？若存在，求t的值．若不存在，说明理由．

【分析】（1）用坐标表示
结合M（x，y）满足|+
，
|=
，从而可得
?（+
+，可求|+|，利用向量的数量积，
）+2，可得曲线C的方程；

，直线PB的（2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=
方程是y=

分类讨论：①当﹣1＜t＜0时，l∥PA，不符合题意；②当t≤﹣1时，，< br>，分别联立方程组，解得D，E的横坐标，进而可得△QAB与△PDE的面积之比，
利用其为常 数，即可求得结论．

第80页（共113页）

【解答】解：（1）由
∴|+|=
=（﹣2﹣x，1﹣y），
，?（+
=（2﹣x，1﹣y）可得 +=（﹣2x，2﹣2y），

）+2=（x，y）?（0，2）+2=2y+2．

由题意可得=2y+2，化简可得 x
2
=4y．

，直线PB的（ 2）假设存在点P（0，t）（t＜0），满足条件，则直线PA的方程是y=
方程是y=


∵﹣2＜x
0
＜2，∴
①当﹣1＜t＜0时，，存在x
0
∈（﹣2，2），使得

∴l∥PA，∴当﹣1＜t＜0时，不符合题意；

②当t≤﹣1时，，，

∴l与直线PA，PB一定相交，分别联立方程组

，，解得D，E的横坐标分别是，

∴

∵|FP|=﹣

∴=

∵

∴=×

∵x
0
∈（﹣2，2），△QAB与△PDE的面积之比是常数

∴，解得t=﹣1，

∴△QAB与△PDE的面积之比是2．

第81页（共113页）

【点评】本题考查轨迹方程， 考查向量知识的运用，考查分类讨论的数学思想，考查三角形
面积的计算，同时考查学生的探究能力，属 于难题．



41．已知抛物线C：y=（x+1）
2
与 圆
A处两曲线的切线为同一直线l．

（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．

【分析】（Ⅰ）设A（x
0
，（x
0
+1）
2
）， 根据y=（x+1）
2
，求出l的斜率，圆心M（1，），求
得MA的斜率，利用l⊥ MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；

（Ⅱ）设（t，（t+1）
2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）
2
=2（t+1）（x﹣t），< br>即y=2（t+1）x﹣t
2
+1，若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为< br>求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．

【解答】 解：（Ⅰ）设A（x
0
，（x
0
+1）
2
），

∵y=（x+1）
2
，y′=2（x+1）

∴l的斜率为k=2（x
0
+1）

当x
0
=1时，不合题意，所以x
0
≠1

圆心M（1，），MA的斜率．

，建立方程，
（r＞0）有一个公共点A， 且在
∵l⊥MA，∴2（x
0
+1）×
∴x
0
=0，∴A（ 0，1），

∴r=|MA|=；

=﹣1

（Ⅱ）设（t ，（t+1）
2
）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）
2
= 2（t+1）（x﹣t），
即y=2（t+1）x﹣t
2
+1

若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为

∴
∴t
2
（t
2
﹣4t﹣6）=0


第82页（共113页）

∴t
0
=0，或t
1
=2+，t
2
=2﹣

抛物线C在点（t
i
，（t
i
+1）
2
）（i=0 ，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为

y=2x+1①，y=2（t
1
+1）x﹣
②﹣③：x=
代入②可得：y=﹣1

∴D（2，﹣1），

∴D到l的距离为


②，y=2（t
2
+1）x﹣③

【点评】本题考查圆与抛物线的综 合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查
点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方 程，求得交点坐标．



42．设抛物线C：x
2
=2p y（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径
的圆F交l于B，D两点；

（1）若∠BFD=90°，△ABD的面积为，求p的值及圆F的方程；

（2）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐
标原点到 m，n距离的比值．

【分析】（1）由对称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2 p点A到准线l的距离
，由△ABD的面积S
△
ABD
=
求出圆F的 方程．

（2）由对称性设，则点A，B关于点F对称得：
，知=，由此能
， 得：
离的比值．

，由此能求出坐标原点到m，n距
【解答】解：（1）由对 称性知：△BFD是等腰直角△，斜边|BD|=2p

点A到准线l的距离
∵△AB D的面积S
△
ABD
=
∴=
，

，

，

解得p=2，所以F坐标为（0，1），

第83页（共113页）

∴圆F的方程为x
2
+（y﹣1）
2
=8．

（2）由题设，则，

∵A，B，F三点在同一直线m上，

又AB为圆F的直径，故A，B关于点F对称．

由点A，B关于点F对称得：

得：，直线
切点

，
直线
坐标原点到m，n距离的比值为

．

【点 评】本题考查抛物线与直线的位置关系的综合应用，具体涉及到抛物线的简单性质、圆
的性质、导数的应 用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．



43．已知经过点的双曲线的离心率为2．

（Ⅰ）求双曲线C的方程；
< br>（Ⅱ）是否存在经过（0，﹣1）的直线l与双曲线C有两个不同的交点A、B，且线段AB的
垂 直平分线分别交x轴，y轴与点P、Q，使得四边形APBQ为菱形？若存在，求出直线l的方
程，若不 存在，请说明理由．

【分析】（Ⅰ）依题意有：，，且c
2
=a
2
+b
2
，由此能求出双曲线C的方程．

（Ⅱ）①若直线l的斜率不 存在，则直线l与双曲线C没有交点，故满足条件的直线l不存在．②
若直线l的斜率为0，则线段AB 为y轴平行；不满足条件，直线l不存在．③若直线l的斜率
为，则直线l与双曲线C的渐近线平行，故 满足条件的直线l不存在．④若直线l的斜率
时设为k，则直线l的方程为y=kx﹣1．设A（x1
，y
1
）、B（x
2
，y
2
），存在，且不 为0不为
由，得（3﹣k
2
）x+2kx﹣4=0，由△=4k
2
+ 16（3﹣k
2
）＞0，得﹣2＜k＜2．由此能导
第84页（共113页）

出不存在满足条件的直线．

【解答】解：（Ⅰ ）依题意有：
且c
2
=a
2
+b
2
，所以a
2
=1，b
2
=3，

双曲线C的方程为…（4分）

，，

（Ⅱ）①若直线l的斜率不存在，则直线l与双曲线C没有交点，故满足条件的直线l不存在．

②若直线l的斜率为0，则线段AB为y轴平行；不满足条件，直线l不存在．

③若直线l的斜率为，则直线l与双曲线C的渐近线平行，故满足条件的直线l不存在．

时设为k，

④若直线l的斜率存在，且不为0不为
则直线l的方程为y=kx﹣1…（6分）
< br>设A（x
1
，y
1
）、B（x
2
，y
2），

由，

得（3﹣k
2
）x+2kx﹣4=0，

△=4k
2
+16（3﹣k
2
）＞0，

∴﹣2＜k＜2…（7分）

∴
∴线段AB的中点为
∴线段AB的垂 直平分线
∴
∴线段PQ的中点为





若四边形APBQ为菱形，则线段PQ的中点在直线l上，

所以，

解得k
2
=﹣1，这矛盾．…（11分）

综上，不存在满足条件的直线．…（12分）

【点评】本题考查双曲线方程的求法， 考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用，考查化归与
转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括 能力、推理论证能力、运算求解能力和
第85页（共113页）

创新意识．



44．已知抛物线C的顶点在原点，焦点为F（2，0）．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过N（﹣1，0）的直线l交曲C于A，B两点， 又AB的中垂线交y轴于点D（0，t），求
t的取值范围．

【分析】（1）设抛物 线方程为y
2
=2px，则
（2）直线l的方程是y=k（x+1），联立
式 和韦达定理能够推导出t的取值范围
【解答】解：（1）设抛物线方程为y
2
=2px ，则
所以，抛物线的方程是y
2
=8x．（4分）

（2）由题设知 ，直线l的斜率存在，故设直线l的方程是y=k（x+1），联立
x得ky
2
﹣8y +8k=0，（6分）

显然k≠0，由△=64﹣32k
2
＞0，得0＜| k|＜
由韦达定理得，y
1
+y
2
=，y
1
y2
=8，

所以，则AB中点E坐标是（），（10分）

．（8分）

，消去
，由此能求出抛物线的方程．

，消去x得ky
2
﹣8y+8k=0，再由根的判别别
．

，∴p=4，

由k
DE
﹣k=﹣1可得k
3
t﹣ 3k
2
﹣4=0，

所以，t=，令，则t=4x
3
+3x，其中|x|，（12分）

），（
．（15分）

）上增函数．

因为t′=12x< br>2
+3＞0，所以函数t=4x
3
+3x是在（﹣
所以，t的取值范围 是（﹣）∪
【点评】本题考查抛手线的性质和应用，解题时要注意根的判别式和韦达定理的合理运用．< br>


45．已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率e=，M，N是椭 圆上
第86页（共113页）

的动点．

（Ⅰ）求椭圆标准方程；

（Ⅱ）设动点P满足：，直线OM与ON的斜率之积为﹣， 问：是否存在定点
F
1
，F
2
，使得|PF
1
|+ |PF
2
|为定值？，若存在，求出F
1
，F
2
的坐标，若 不存在，说明理由．

（Ⅲ）若M在第一象限，且点M，N关于原点对称，点M在x轴上的射影 为A，连接NA并
延长交椭圆于点B，设直线MN、MB的斜率分别为k
MN
、kMB
，求k
MN
?k
MB
的值．

【分析】（ Ⅰ）根据椭圆
，利用
（Ⅱ）将
而可知存在定点F
1
（a＞b＞0）的 左焦点为F
，可求得椭圆标准方程；

坐标化，利用直线OM与ON的斜率之积为，F
2
，可计算x
2
+2y
2
=20，从
，离 心率e=，可得
，使得|PF
1
|+|PF
2
|为定值．

（Ⅲ）设M点坐标为（x
0
，y
0
），则N点坐标为（﹣x
0
，﹣y
0
），A坐标为（x
0
，0），，写出直
线NA方 程为和椭圆联立，可求得B的坐标（x，y），进而可计算k
MB
，k
MN
， 即可求得k
MN
?k
MB
的值．

【解答】解：（Ⅰ）∵椭 圆
∴
∴
（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率e=，



∴椭圆标准方程为；

（Ⅱ）设P（x，y），M（x
1
，y
1
）、N（x
2
，y
2
）．

∵，
∴（x，y）=（x
1
+2x
2
，y
1
+2y
2
），∴x=x
1
+2x
2
，y=y
1
+2y2
，

∵M、N是椭圆上的点，∴，．

22
∴x2
+2y
2
=（x
1
+2x
2
）+2 （y< br>1
+2y
2
）=（x
1
2
+2y
1
2
）+4（x
2
2
+2y
2
2
）+4（x1
x
2
+2y
1
y
2
）=20+4（x
1
x
2
+2y
1
y
2
）．

∵直线OM与ON的斜率之积为，

第87页（共113页）

∴

∴x
1
x
2
+2y
1
y
2
=0，

∴x
2
+2y
2
=20，即
∴存在定点F
1

，F
2
，使得|PF
1
|+|PF
2
|为定值．

（Ⅲ）设M点坐标为（x0
，y
0
），则N点坐标为（﹣x
0
，﹣y
0
），A坐标为（x
0
，0），

直线NA方程为和椭圆联立，消去y整理得

﹣﹣4+=0

设B（x，y），则﹣x
0
+x=，∴y﹣y
0
=

∴，∴k
MB
=

∵k
MN
=，

∴k
MN
?k
MB
=﹣1．

【点评】本题考查椭 圆的标准方程，考查存在性问题的探求，考查直线与椭圆的位置关系，
考查学生运算、分析解决问题的能 力，综合性强．



46．设椭圆C
1
：的左、右焦点分 别是F
1
、F
2
，下顶点为A，线段OA的中
点为B（O为坐标原点 ），如图．若抛物线C
2
：y=x
2
﹣1与y轴的交点为B，且经过F
1
，F
2
点．

（Ⅰ）求椭圆C
1
的方程；

（Ⅱ）设M（0，），N为抛物线C< br>2
上的一动点，过点N作抛物线C
2
的切线交椭圆C
1
于P、
Q两点，求△MPQ面积的最大值．

第88页（共113页）

【分析】（Ⅰ）抛物线C
2
：y=x
2
﹣1与y轴的交点为B，且经过F
1
，F
2
点．求出B，F
1
，F
2
点的
坐标，即可求出椭圆的半长轴与半焦距，再求出a写出椭圆方程 ．

（Ⅱ）设N（t，t
2
﹣1），表示出过点N的抛物线的切线方程，与椭 圆的方程联立，利用弦长
公式表示出线段PQ的长度，再求出点M到直线PQ的距离为d，表示出△MP Q面积，由于
其是参数t的函数，利用函数的知识求出其最值即可得到，△MPQ的面积的最大值

【解答】解：（Ⅰ）由题意可知B（0，﹣1），则A（0，﹣2），故b=2．

令y=0得x
2
﹣1=0即x=±1，则F
1
（﹣1，0），F
2
（1，0），故c=1．

所以a
2
=b
2
+c< br>2
=5．于是椭圆C
1
的方程为：．（3分）

（Ⅱ）设N（ t，t
2
﹣1），由于y'=2x知直线PQ的方程为：y﹣（t
2
﹣1）= 2t（x﹣t）．即y=2tx
﹣t
2
﹣1．（4分）

代入椭圆方 程整理得：4（1+5t
2
）x
2
﹣20t（t
2
+1）x +5（t
2
+1）
2
﹣20=0，△=400t
2
（t2
+1）
2
﹣
80（1+5t
2
）[（t
2< br>+1）
2
﹣4]=80（﹣t
4
+18t
2
+3）， ，，

故
分）

设点M到直线PQ的距离为d，则
所
S=
以
=
（11分）

当t=±3时取到“=”，经检验此时△＞0，满足题意．

第89页（共113页）

=．（7
．（9分）

△MPQ
=
的
=
面积，

综上可知，△MPQ的面积的最大值为．（12分）

【点评】本题考查圆锥曲线的综 合，解题的关键是利用抛物线的方程求出椭圆方程中参数的
值，以及利用抛物线线上的点的切线方程与圆 联立利用弦长公式与点到直线的距离公式分别
求出三角形的底边长度与高，表示出△MPQ的面积利用函 数的知识求出最值，本题综合性强，
运算量大，要避免运算出错，变形出错．



47．已知抛物线L：x
2
=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物 线L上存在不同的两点A、B满足
．

（1）求实数p的取值范围；

（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物
线L 在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1） 先利用得M为AB的中点，把直线AB的方程与抛物线方程联立借助于
判别式大于0求出实数p的取值范 围；

（2）先利用圆过A、B、C三点求出圆心坐标和点C坐标之间的关系，再利用抛物线L 在点C
处切线与NC垂直求出点C的坐标即可．

【解答】解：（1）设A，B两点的 坐标为A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），且x
1
＜x
2
．

∵，查得M为AB的中点，即x< br>1
+x
2
=4．显然直线AB与x轴不垂直，

设直线AB的方程为y﹣2=k（x﹣2），

即y=kx+2﹣2k，将y=kx+ 2﹣2k代入x
2
=2py中，得x
2
﹣2pkx+4（k﹣1）p=0．< br>
∴，∴p＞1，故p的取值范围为（1，+∞）．

（2）当p=2时，由（1）求得A，B的坐标分别为A（0，0），B（4，4）．

假设抛物线L：x
2
=4y上存在点（t≠0且t≠4），

使得经 过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线．设圆的圆心坐标为N（a，b），

∵，∴

第90页（共113页）

即解得．

∵抛物线L在点C处切线的斜率为，而t≠0，且该切线与NC垂直，

∴
即
将
．

．

代入上式，得t
3
﹣2t
2
﹣8t=0，

即t（t﹣4）（t+2）=0．

∵t≠0且t≠4，

∴t=﹣2．故存在满足题设的点C，其坐标为（﹣2，1）．

【点评】本题综合考 查了直线与圆锥曲线以及圆于圆锥曲线的综合问题，是对知识的综合，
是道难题．



48．设椭圆C
1
、抛物线C
2
的焦点均在x轴上，C< br>1
的中心和C
2
的顶点均为原点，从每条曲线
上至少取两个点，将其坐 标记录于表中：

x

y

3

﹣2

﹣2

0

4

﹣4







﹣

（1）求C
1
、C
2
的标准方程；

（2）设直线 l与椭圆C
1
交于不同两点M、N，且，请问是否存在这样的直线l过抛
物线C
2
的焦点F？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

【分析】（1） 设抛物线C
2
：y
2
=2px（p≠0），由题意知C
2
： y
2
=4x（2分）．设，
把点（﹣2，0）（，）代入得解得，由此可知C
1
的方程．

（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0），设其方程为x ﹣1=my，设M（x
1
，y
1
），
第91页（共113页）

N（x
2
，y
2
），由．得x
1
x
2
+y
1
y
2
=0．由消去x，得（ m
2
+4）y
2
+2my﹣3=0，
然后由根的判别式和根与系数的 关系可知假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：
2x±y﹣2=0．

【解答】解：（1）设抛物线C
2
：y
2
=2px（p≠0），则有
据此验证5个点知只有（3，
，

）、（4，﹣4）在统一抛物线上，易求C
2
：y
2
=4x（2分）

设，把点（﹣2，0）（，）代入得解得

∴C
1
方程为（5分）

（2）假设存在这样的直线l过抛物线焦点F（1，0）

设其方程为x﹣1=my， 设M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
） ，

由．得x
1
x
2
+y
1
y
2
=0（*）（7分）

消去x，得（m
2
+4）y
2
+2my﹣3=0，△=16m
2
+48＞0

由
∴①

x
1
x
2
=（1+my
1
）（1+my
2
）=1+m（y
1
+y
2
）+m
2
y
1< br>y
2
；

=②（9分）

将①②代入（*）式，得
解得（11分），


∴假设成立，即存在直线l过抛物线焦点Fl的方程为：2x±y﹣2=0（12分）

【点评】本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．



49．中心在原点O，焦点F
1
、F
2
在x轴上的椭圆E 经过C（2，2），且
第92页（共113页）

．

（1）求椭圆E的方程．

（2）垂直于OC的直线l与椭 圆E交于A、B两点，当以AB为直径的圆P与y轴相切时，求
直线l的方程和圆P的方程．

【分析】（1）设F
1
（﹣c，0），F
2
（c，0），则
知4﹣c
2
+4=2，即c
2
=6．由此能求出椭圆E的方程．
< br>（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=﹣x+m，由，得3x
2
﹣
，由，
4mx+2m
2
﹣12=0，记A（x
1
，y1
），B（x
2
，y
2
），则
为（
r=|），半径r==
，，圆P的圆心
，当圆P与y轴相切时，
|，由此能求出直线l的 方程和圆P的方程．

，

【解答】解：（1）设F
1
（﹣ c，0），F
2
（c，0），则
∵
∴c
2
=6．

设椭圆E的方程为
把C（2，2）代入，得
整理，得a
4
﹣14a< br>2
+24=0，

解得a
2
=12，或a
2
=2（舍）

∴椭圆E的方程为．

，

，

，∴4﹣c
2
+4=2，

（2）依题意，直线OC斜率为1，由此设直线l的方程为y=﹣x+m，

由，得3x
2
﹣4mx+2m
2
﹣12=0，

由 △=16m
2
﹣12（2m
2
﹣12）=8（18﹣m
2
） ＞0，

得m
2
＜18．

第93页（共113页）

记A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则
圆P的圆心为（
半径r==
|，< br>
），

，，

，

当圆P与y轴相切时，r=|
则
即
，

，解得m
2
=9＜18，

当m=3时，直线l方程为y=﹣x+3，

此时，x
1
+x
2
=4，圆心为（2，1），半径为2，

圆P的方程为（x﹣2）
2
+（y﹣1）
2
=4，

同理，当m=﹣3时，直线l方程为y=﹣x﹣3，

圆P的方程为（x+2）
2
+（y+1）
2
=4．

【点评】本题考查直线方程、圆的方程和椭圆方程的求法，具体涉及到直线的性质、直线与
圆锥曲线的 位置关系、椭圆和圆的简单性质等基本知识．解题时要认真审题，仔细解答，注
意合理地进行等价转化．



50．已知椭圆Γ：+=1（a＞b＞0）的离心率为，半焦距为c（ c＞0），且a﹣c=1．经过
椭圆的左焦点F，斜率为k
1
（k
1
≠0）的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；

（Ⅱ）当k
1
=1时，求S
△
AOB
的值；
（Ⅲ）设R（1，0），延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为k
2
，求证：
为定值．

【分析】（Ⅰ）由题意，得，解得，由此能求出椭圆Γ的方程．

第94页（共113页）

（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（﹣2 ，0），故直线AB的方程为y=x+2，由，得14x
2
+36x﹣
9=0．设A（ x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=﹣，x
1
x
2
=﹣，由此能求 出S
△
AOB
．

（Ⅲ）设C（x
3
，y
3
），D（x
4
，y
4
），由直线AR的方程为y=（x﹣1），由 ，
得y
2
+y﹣4=0．由此能为定值．

【解答】解：（Ⅰ）由题意，得解得

∴b
2
=a
2
﹣c
2
=5，

故椭圆Γ的方程为+=1．…（4分）

（Ⅱ）由（Ⅰ），知F（﹣2，0），∴直线AB的方程为y=x+2，

由消去y并整理，得14x
2
+36x﹣9=0．

设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），则x
1
+x
2
=﹣，x
1
x
2
=﹣，

∴|AB|=|x
1
﹣x
2
|=?=．

设O点到直线AB的距离为d，则d==．

∴S
△
AOB
=|AB|?d=××=．…（8分）

（Ⅲ ）设C（x
3
，y
3
），D（x
4
，y
4
），

由已知，直线AR的方程为y=（x﹣1），即x=y+1．

由消去x并整理，得y
2
+y﹣4=0．

第95页（共113页）

则y
1
y
3
=﹣，∵y
1
≠0，∴y
3
=，

∴x
3
=y
3
+1=?+1=．

∴C（，）．同理D（，）．

∴k
2
==

=．

∵y
1
=k
1
（x
1
+2 ），y
2
=k
1
（x
2
+2），

∴k
2
===

∴=为定值．…（14分）

【点 评】本题考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查
运算求解能力，推 理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．



51．已知A、 B是抛物线y
2
=4x上的两点，O是抛物线的顶点，OA⊥OB．

（I）求证：直线AB过定点M（4，0）；

（II）设弦AB的中点为P，求点P到直线x﹣y=0的距离的最小值．

【分析】 （I）设直线AB方程为x=my+b，将直线AB方程代入抛物线方程y
2
=4x，得y2
﹣4my
﹣4b=0，利用韦达定理，结合直线垂直的条件，能够证明直线AB过定点M （4，0）．

（II）P（）到直线x﹣y=0的距离d=，由此能求出点P到
直线 x﹣y=0的距离的最小值．

【解答】解：（I）设直线AB方程为x=my+b，A（x< br>1
，y
1
），B（x
2
，y
2
），

将直线AB方程代入抛物线方程y
2
=4x，

第96页（共113页）

得y
2
﹣4my﹣4b=0，

则y
1
+y
2
=4m，y
1
y
2
=﹣4b，

∵OA⊥OB，，，

∴k
OA
?k
OB
===﹣=﹣1，b=4．

于是直线AB方程为x=my+4，该直线过定点（4，0）．

（II）P（）到直线x﹣y=0的距离

d=

=

=
=
=+


，

．

当m=时，d取最小值
【点评】本题考查直线过定点的证明，考查点到直线的距离的最小值的求法．解题 时要认真
审题，仔细解答，注意韦达定理、点到直线的距离公式的合理运用．



52．抛物线C
1
的方程是（y﹣2）
2
=﹣8（x+2 ），曲线C
2
与C
1
关于点（﹣1，1）对称．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）过点（8，0）的直线l交曲线C
2
于M、N两点，问在坐标平面上能否找到某个定点Q，
不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．若 找不到，请说明理由；若能找到，写出满足要求
的所有的点Q的坐标．

【分析】（Ⅰ ）抛物线C
1
的方程是（y﹣2）
2
=﹣8（x+2），由曲线C
2
与C
1
关于点（﹣1，1）对
称．设抛物线C
1
上任意一点 （x，y）在曲线C
2
上的对称点为M（m，n），则有：
第97页（共113页）

，，

由此能求出C
2
的方程．

（Ⅱ）设过点（8，0）的直线l的方程为y=k（x﹣8），M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），由，
得k
2
x
2
﹣（16k
2
+8）x+64k
2
=0，由此解得x1
x
2
+y
1
y
2
=0．所以在坐标平面上能 定点Q（0，0），
不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．

【解答】解：（ Ⅰ）抛物线C
1
的方程是（y﹣2）
2
=﹣8（x+2），

∵曲线C
2
与C
1
关于点（﹣1，1）对称．

设 抛物线C
1
上任意一点（x，y）在曲线C
2
上的对称点为M（m，n），< br>
则有：，，

整理可得：x=﹣（2+m）；y=2﹣n，代入抛物线C
1
得：

（2﹣n﹣2）
2
=﹣8（﹣2﹣m+2），

整理得：（﹣n）
2
=﹣8（﹣m），

n
2
=8m，

因此C
2
的方程是y
2
=8x．

（Ⅱ）存在，仅一点（0，0）．

设过点（8，0）的直线l的方程为y=k（x﹣ 8），M（x
1
，y
1
），N（x
2
，y
2
），

由，得k
2
x
2
﹣（16k
2
+ 8）x+64k
2
=0，

∴，x
1
x
2
=64，

∴y
1
y
2
=（kx
1
﹣8k）（kx
2
﹣8k）

=
=﹣64，

∴x
1
x
2
+y
1
y
2
=0．

∴在坐标平面上能定点Q（0，0），不论直线l如何变化，总有∠MQN=90°．

【点评】本题考查曲线方程的求法，考查满足要求的所有的点Q的坐标的求示．综合性强，
难度大，是 高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．



53．已知椭圆E：


的左焦点
第98页（共113页）
，若椭圆上存在一点D，满足以

椭圆短轴为直径的圆与线段DF1
相切于线段DF
1
的中点F．

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）已知两点Q（﹣2，0），M（0，1）及椭圆G： ，过点Q作斜率为k的直线
l交椭圆G于H，K两点，设线段HK的中点为N，连接MN，试问当k为何 值时，直线MN过
椭圆G的顶点？

（Ⅲ） 过坐标原点O的直线交椭圆W：于P、A 两点，其中P在第一象限，过
P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC并延长交椭圆W于B，求证：PA⊥ PB．

【分析】（Ⅰ）连接DF
2
，FO，由题设条件能够推导出
b
2
+（a﹣b）
2
=c
2
=5，由此能求出椭圆E的方程 ．

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：，设直线l的方程为y=k（x+2），并代入
或< br>得：
，在Rt△FOF
1
中，
（k
2
+4）x
2
+4k
2
x+4k
2
﹣4=0，利用根的判别式、中点坐标公式 推导出当k=0或
时，直线MN过椭圆G的顶点．

（Ⅲ）法一：由椭圆W的方程为
直线AC的方程为
证明PA⊥PB．

法二：由（Ⅰ）得椭圆W的方程为
故，
，设P（m，n），则A（﹣m，﹣n），C（m，0 ），
，由此能够，过点P且与AP垂直的直线方程为
，设P（m，n），则A（﹣m，﹣n）， C（m，0），
，由此能够证明PA⊥PB．

【解答】（本小题满分14分）

解：（Ⅰ）连接DF
2
，FO（O 为坐标原点，F
2
为右焦点），

由题意知：椭圆的右焦点为
因为FO是△DF
1
F
2
的中位线，且DF
1
⊥FO，

所以|DF
2
|=2|FO|=2b，

所以|DF
1
|=2a﹣|DF
2
|=2a﹣2b，

故．…（2分）

第99页（共113页）

在Rt△FOF
1
中，

即b
2
+（a﹣b）2
=c
2
=5，又b
2
+5=a
2
，解得a< br>2
=9，b
2
=4，

所求椭圆E的方程为．…（4分）

（Ⅱ） 由（Ⅰ）得椭圆G：

设直线l的方程为y=k（x+2）并代入
整理得：（k
2
+4）x
2
+4k
2
x+4k
2
﹣4=0

由△＞0得：，…（5分）


设H（x
1
，y
1
），K（x
2
，y
2
），N（x
0
，y
0
）

则由中点坐标公式得：…（6分）

①当k=0时，有N（0， 0），直线MN显然过椭圆G的两个顶点（0，﹣2），（0，2）．…（7分）

②当k≠0时，则x
0
≠0，直线MN的方程为

此时直线MN显然不能过椭圆G的两个顶点（0，﹣2），（0，2）；

若直线MN 过椭圆G的顶点（1，0），则，即x
0
+y
0
=1，

所以，解得：（舍去），…（8分）

若直线MN过椭圆G的顶点（﹣1，0），则， 即x
0
﹣y
0
=﹣1，

所以
解得：
综上，当k=0或
，

（舍去）．…（9分）

或时，直线MN过椭圆G的顶点．…（10分）

第100页（共113页）