高中数学圆锥曲线和导数知识点总结

如图所 示，抛物线方程为y
2
＝2px(p＞0)．
(1)焦半径

p< br>设A点在准线上的射影为A
1
，设A(x
1
，y
1
) ，准线方程为x＝－，由抛物线定义|AF|＝|AA
1
|＝x
1
2
?
p
＋. 抛物线上任意一条弦的弦长为
1?k
2

2
a
(2)关于抛物线焦点弦的几个结论
设AB为过抛物线y
2< br>＝2px(p＞0)焦点的弦，A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)，AB中点为
M(x
0
,y
0
)
，直线AB
2p
p
2
的倾斜角为θ，则①x
1
x< br>2
＝，y
1
y
2
＝－p
2
，
x1
?x
2
时，有
x
1
?x
2
?p?< br>2

4
k
2p
p
p
2p
②|AB| ＝
2
＝x
1
＋x
2
＋p=
2p?
2
(x
1
?x
2
)
，
k
AB
?
，
S
?AOB
?

sin
θ
k
2sin?
y
0
③以AB为直径的圆与准线相切；
④焦点F对A、B在准线上射影的张角为90°；
112
⑤＋＝.
|FA||FB|p

四、圆锥曲线的统一定义..
4. 圆锥曲线的统一 定义：平面内到定点F和定直线
l
的距离之比为常数
e
的点的轨迹.
当
0?e?1
时，轨迹为椭圆；当
e?1
时，轨迹为抛物线；当
e ?1
时，轨迹为双曲线；当
e?0
时，轨迹
c
为圆（
e?< br>，当
c?0,a?b
时）.
a
5. 圆锥曲线方程具有对称性. 例 如：椭圆的标准方程对原点的一条直线与双曲线的交点是关于原点对
称的.因为具有对称性，所以欲证A B=CD, 即证AD与BC的中点重合即可.
注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质



定义
椭圆 双曲线 抛物线

1．到两 定点F
1
,F
2
的距离之和为定1．到两定点F
1
,F2
的距离之差的
值2a(2a>|F
1
F
2
|)的点的 轨迹 绝对值为定值2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的
点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为定
值e的点的轨迹.（0
方


程
标准
方程
参数
方程
范围
中心
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（e>1）
2
与定点和直线的距离
相等的点的轨迹.
y
2
=2px
x
2
y
2
?
2
?1
(
a?b>0)
2
ab
x
2
y
2
?
2
?1
(a>0,b>0)
2
ab
?
x?acos
??
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?

x?0

顶点
对称轴
焦点
焦距
离心率
准线
(a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b)
x轴，y轴；长轴长2a,短轴长2b
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c （c=
a
2
?b
2
）
(a,0), (─a,0)
x轴，y轴;实轴长2a, 虚轴长2b.
F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
2c （c=
a
2
?b
2
）
(0,0)
x轴
p
F(,0)

2

e=1
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(e?1)

a
a
2
x=
?

c

a
2
x=
?

c
y=±
x??
p

2
渐近线
焦半径
通径
b
x
a

r?a?ex

r??(ex?a)

r?x?

2p
p

2
2b
2

a
2b
2

a

导数的基础知识
一．导数的定义：
1.(1).函数y?f (x)在x?x
0
处的导数:f'(x
0
)?y'|
x?x
0
?lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x? 0
?x

f(x??x)?f(x)
(2).函数y?f(x)的导数: f'(x)?y'?lim
?x?0
?x
?y
f(x
0
?? x)?f(x
0
)
?
；
?x?x
2.利用定义求导数的步骤：
①求函数的增量：
?y?f(x0
??x)?f(x
0
)
；②求平均变化率：
③取极限得导数：
f'(x
0
)?lim
（下面内容必记）
?y

?x?0
?x
二、导数的运算：
（1）基本初等函数的导数公式及常用导数运算公式：
①
C'?0(C为常数)；②
(x)'?nx
nn?1
1
m
n
?1
n< br>?n?n?1
n
m
；
(
n
)'?(x)'??nx< br>；
(x)'?(x)'?x

x
n
xxxx
mm
③
(sinx)'?cosx
； ④
(cosx)'??sinx
⑤
(e)'?e
⑥
(a)'?alna(a?0,且a?1)
；
⑦
(lnx)'?
11
(a?0,且a?1)
； ⑧
( log
a
x)'?
xxlna

法则1：
[f(x)? g(x)]'?f'(x)?g'(x)
；(口诀：和差的导数等于导数的和差).
法则2：
[f(x)?g(x)]'?f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x)
(口诀：左导右不 导+左不导右导)
法则3：
[
f(x)f'(x)?g(x)?f(x)?g'(x )
]'?(g(x)?0)

g(x)[g(x)]
2
(口诀：(上导下不导-上不导下导)
?
下平方)
（2）复合函数
y?f(g(x))
的导数求法：(理科必须掌握)
①换元 ，令
u?g(x)
，则
y?f(u)
②分别求导再相乘
y'?
?
g(x)
?
'?
?
f(u)
?
'
③回 代
u?g(x)

题型一、导数定义的理解
题型二：导数运算
1 、已知
f
?
x
?
?x
2
?2x?sin
?
，则
f
'
?
0
?
?

f
'
?
x
?
?
2、若
f
?
x
?
?e
x
sinx
，则
3.
f(x)
=ax
3
+3x
2
+2 ，
A.
103
B.
13
3
f
?
(?1)?4
，则a=（ ）
C.
16
3
D.
19

3
三．导数的物理意义
1.求瞬时速度：物体在时刻
t
0
时的瞬时速度
V
0
就是物体运动规律
S?f
?
t
?
在
t?t
0
时的导数
f
?
?
t
0
?
，即有
V
0
?f
?
?
t
0< br>?
。
''
2.
V?S(t)
表示即时速度。
a?V (t)
表示加速度。
四．导数的几何意义：
函数
f
?
x
?
在
x
0
处导数的几何意义，曲线
y?f
?
x
?
在点
Px
0
,f
?
x
0
?
处切线的斜率是
k?f
?
?
x
0
?
。于是相应的切线方程是：
y?y
0
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?
。
题型三．用导数求曲线的切线
注意两种情况：
（1）曲线
y?f
?
x
?
在点< br>Px
0
,f
?
x
0
?
处切线：性质：
k
切线
?f
?
?
x
0
?
。相应的切线方 程是：
y?y
0
?f
?
?
x
0
??
x?x
0
?

（2）曲线
y?f
?
x
?
过点
P
?
x
0
,y
0
?
处切线( 有可能点P不在曲线上)：先设切点，切点为
Q(a,b)
,
则斜率k=
f'(a)
，切点
Q(a,b)
在曲线
y? f
?
x
?
上，切点
Q(a,b)
在切线
y?y0
?f
?
?
a
??
x?x
0
?
上，
切点
Q(a,b)
坐标代入方程得关于a,b的方程组，解方程组来确定切点， 最后求斜率k=
f'(a)
，确定
切线方程。
??
??
例题在曲线y=x+3x+6x-10的切线中，求斜率最小的切线方程；
解析：（1）
k?y'|
x?x
0
?3x
0
2?6 x
0
?6?3(x
0
?1)
2
?3
当x
0
=-1时，k有最小值3，
此时P的坐标为（-1，-14）故所求切线的方程为3x-y-11=0
32
五．函数的单调性：设函数
y?f(x)
在某个区间内可导，
（1）
f'(x)?0?f(x)
该区间内为增函数；
（2）
f'(x)?0
?
f(x)
该区间内为减函数；
注 意：当
f'(x)
在某个区间内个别点处为零，在其余点处为正（或负）时，
f(x)
在这个区间上仍是
递增（或递减）的。
（3）
f(x)
在该区间内 单调递增
?
f'(x)?0
在该区间内恒成立；
（4）
f(x)< br>在该区间内单调递减
?
f'(x)?0
在该区间内恒成立；
题型一、利用导数证明（或判断）函数f(x)在某一区间上单调性：
步骤： （1）求导数
y
?
?f
?
(x)

(2)判断导 函数
y
?
?f
?
(x)
在区间上的符号
(3)下结论
①
f'(x)?0?f(x)
该区间内为增函数； ②
f'(x)?0
?
f(x)
该区间内为减函数；
题型二、利用导数求单调区间
求函数
y?f(x)
单调区间的步骤为：
（1）分析
y?f(x)
的定义域； （2）求导数
y
?
?f
?
(x)

（3）解不等式
f
?
(x)?0
，解集在定义域内的部分为增区间
（4）解不等式
f
?
(x)?0
，解集在定义域内的部分为减区间
题型三、利用单调性求参数的取值（转化为恒成立问题）
思路一.（1）
f(x)< br>在该区间内单调递增
?
f'(x)?0
在该区间内恒成立；
（2）< br>f(x)
在该区间内单调递减
?
f'(x)?0
在该区间内恒成立；
思路二.先求出函数在定义域上的单调增或减区间，则已知中限定的单调增或减区间是定义域上的单调增或减区间的子集。
注意：若函数f（x）在
（
a
，
c）
上为减函数，在
（
c
，
b
）
上为增函数，则 x=c两侧使函数
f
?
（
x
）变
号，即x=c为函数的一个 极值点，所以
f'(c)?0

例题．若函数
f(x)?
lnx，若
a?f(3),b?f(4),c?f(5)
则( )
x
A. a< b < c B. c < b < a C. c < a < b D. b < a < c
六、函数的极值与其导数的关系：
1.① 极值的定义：设函数
f(x)
在点
x
0
附近有定义，且若对
x
0
附近的所有的点都有
f(x)?f(x
0
)
（或
f(x)?f(x
0
)
，则称
f(x
0
)
为函数 的一个极大（或小）值，
x
0
为极大（或极小）值点。
②可导数
f (x)
在极值点，但函数
f(x)
在某点
x
0
处的导数为0 ，并
．．．
x
0
处的导数为0（即
f'(x
0
)? 0
）
3
不一定函数
f(x)
在该处取得极值（如
f(x)? x
在
x
0
?0
处的导数为0，但
f(x)
没有极值 ）。
③求极值的步骤：
第一步：求导数
f'(x)
；
第二步：求方程
f'(x)?0
的所有实根；
第三步：列表考察在每个根< br>x
0
附近，从左到右，导数
f'(x)
的符号如何变化，(用表格)
若
f'(x)
的符号左正右负，则
f(x
0
)
是极 大值；
若
f'(x)
的符号左负右正，则
f(x
0
)是极小值；
若
f'(x)
的符号不变，则
f(x
0
)
不是极值，
x
0
不是极值点。
2、函数的最值：
①最值 的定义：若函数在定义域D内存
x
0
，使得对任意的
x?D
，都有< br>f(x)?f(x
（或
0
)
，
f(x)?f(x
0< br>)
）则称
f(x
0
)
为函数的最大（小）值，记作
y
max
?f(x
0
)
（或
y
min
?f( x
0
)
）
②如果函数
y?f(x)
在闭区间
[a ,b]
上的图象是一条连续不间断的曲线，则该函数在闭区间
[a,b]
上
必 有最大值和最小值。
③求可导函数
f(x)
在闭区间
[a,b]
上的最值方法：
第一步: 求导数
f'(x)
；
第二步：求方程
f'(x)?0
的所有实根
第三步：比较
f(x)
在方程
f'(x)?0
的根处的函数值与
f(a)
、
f(b )
的大小,最大的为最大值，最小
的为最小值。
注意：1、极值与最值关系：函数的 最值是比较整个定义域区间的函数值得出的，函数的最大值和最
小值点可以在极值点、不可导点、区间的 端点处取得。极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值
为极大值和f(a)
、
f(b)中最大的一个。最小值为极小值和f(a)
、
f(b)中最小的一个。
2．函数在定义域上只有一个极值，则它对应一个最值（极大值对应最大值;极小值对应最小值）
1
的极大值为
?2
，极小值为2。
x
注意：函数
y?f(x)
在x
0
处有极值
?
f'(x
0
)?0
。但是，
f'(x
0
)?0
不能得到当x=x
0
时 ，函数有
3、注意：极大值不一定比极小值大。如
f(x)?x?
极值；

题型一、求极值与最值
题型二、导数的极值与最值的应用
题型三、导数图象与原函数图象关系
导函数 原函数

f'(x)
的符号
f(x)
单调性

f'(x)
与x轴的交点且交点两侧异号
f(x)
极值

f'(x)
的增减性
f(x)
的每一点的切线斜率的变化趋势 （
f(x)
的图象的增减幅
度）

f'(x)
的增
f(x)
的每一点的切线斜率增大（
f(x)
的图象的变化幅度快）
f'(x)
减
f(x)
的每一点的切线斜率减小 （
f(x)
的图象的变化幅度慢）
典型例题
例1. 已知f(x)=e
x
-ax-1.?
（1）求 f(x)的单调增区间；?（2）若f(x
）
在定义域R内单调递增，求a的取值范围；? < br>（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；
若不存在，说明理由.
解：
f?(x)
=e
x
-a .?（1）若a≤0，
f?(x)
=e
x
-a≥0恒成立，即f(x)在R上 递增.?
若a>0,e
x
-a≥0,∴e
x
≥a,x≥lna.∴ f(x)的单调递增区间为(lna,+∞).?
（2）∵f
（
x
）
在R内单调递增，∴
f?(x)
≥0在R上恒成立.?
∴e
x
- a≥0，即a≤e
x
在R上恒成立.?∴a≤
（
e
x
）min
，又∵e
x
>0，∴a≤0.?
（3） 由题意知，x=0
为
f(x)的极小值点.∴
f?(0)
=0,即e
0
-a= 0,∴a=1.
例2. 已知函数f(x)=x
3
+ax
2
+bx +c,曲线y=f(x
）
在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若x=时，y=f(x
）
有极值.
（1）求a,b,c的值；?（2）求y=f(x
）
在 ［-3，1］上的最大值和最小值.
解 （1）由f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c,得
f?(x)
=3x
2
+2ax+b,?
当x=1时，切线l的斜率为3，可得2a+b=0 ①?
2
2
?
当x=时，y=f(x)有极值，则
f
??
??
=0,可得4a+3b+4=0 ②?
3
2
3
?
3
?
由①②解得a=2,b=-4.由于 切点的横坐标为x=1,∴f(1)=4.?∴1+a+b+c=4.∴c=5.?
2
（2） 由（1）可得f(x)=x
3
+2x
2
-4x+5,∴
f?(x)< br>=3x+4x-4,?令
f?(x)
=0,得x=-2,x=.?
2
3
当x变化时，y ,y′的取值及变化如下表：
x -3 (-3,-2)
+
单调递增
↗
-2
0
13
2
??
?
?2,
?

3
??
2

3
?
2
?
?
,1
?

?
3
?
1

4
y′
y 8
- 0
27
+

单调递增
↗
95
.

27
单调递减
95
↘
∴y=f
（
x
）
在［-3，1］上的最大值为13，最小值为

例3.当
x?0
，证明不等式
证明：
f(x)?l n(x?1)?
x
?ln(1?x)?x
.
1?x
x
x< br>，
g(x)?ln(x?1)?x
，则
f
?
(x)?
，
2
1?x
(1?x)
x
?0
，
1?x
当
x?0
时。
?f(x)
在
?
0,??
?
内是增函数，
?f(x)?f(0)
，即
ln(1?x)?
又
g< br>?
(x)?
?x
，当
x?0
时，
g
?
(x)?0
，
?g(x)
在
?
0,??
?
内是减 函数，
?g(x)?g(0)
，即
1?x
x
?ln(1?x)?x< br>成立.
ln(1?x)?x?0
，因此，当
x?0
时，不等式
1?x
x
点评：由题意构造出两个函数
f(x)?ln(x?1)?
，g(x)?ln(x?1)?x
.
1?x
利用导数求函数的单调区间或求最值，从而导出是解决本题的关键.
32
例4 设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c
在
x?1
及
x?2
时取得极值．
（Ⅰ）求a
、
b的值；
2
x?[0，3]
f(x)?c
（Ⅱ）若对于任意的，都有成立，求c的取值 范围．
2
?
f(x)?6x?6ax?3b
， 解答过程：（Ⅰ）
??
因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值 ，则有
f(1)?0
，
f(2)?0
．
?
6?6a?3b ?0，
?
24?12a?3b?0
．
即
?
解得
a? ?3
，
b?4
．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，
f(x)?2x?9x?12x?8c
，
32
f
?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x?2)
．
令
f(x)?0
,有
6(x?1)(x?2)?0
,解得
x
1
?1
,
x
2
?2

'
f(1 )?5?8c
，
f(0)?8c
，
f(2)?4?8c
,
f(3)?9?8c
．
∴
x?[0,3]
时,
f(x)
max
?9?8c

因为对于任意的
x?
?
0，3
?
2
2
2
f(x)?c
，有恒成立，所以
f(x)
max
?c
，即
9?8c?c

?1)?(9，??)
． 解得
c??1
或
c?9
，因此
c
的取值范围为
(??，

例5 设函数
f(x)?x(e
x
?1)?ax
2

（Ⅰ）若
a?









例6已知函数
f(x)?x?ln(x?a)
的最小值为0，其 中
a?0

（1）求a的值；（2）若对任意的
x?[0,??)
， 有
f(x)?kx
2
成立，求实数k的最小值











例7设函数f(x)= e
x
-ax-2
(Ⅰ)求f(x)的单调区间；(Ⅱ)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k) f?(x)+x+1>0,求k的最大值


1
，求
f(x)的单调区间；（Ⅱ）若当
x?0
时，
f(x)?0
，求a的取值范围
2