高中数学圆锥曲线试题精选(含答案)

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高考圆锥曲线试题精选
一、选择题：（每小题5分，计50分）
x
2
y
2
??1
的焦距为（ ） 1、(2008海南、宁夏文)双曲线
102
A. 3
2
B. 4
2
C. 3
3
D. 4
3

x
2
?y
2
?1
的两个焦点为F
1
、F
2
， 过F
1
作垂直于x轴的 2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆
4
直线与椭圆 相交，一个交点为P，则
|PF
2
|
= （ ）
A．
3
7
B．
3
C． D．4 < br>2
2
2
3．（2006辽宁文）方程
2x?5x?2?0
的两 个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率


Ｂ．两抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
2
4． （2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线
y?4x
交于A、B两点，过A、B两点向
抛物线的准线作垂线，垂足分别为P、Q ，则梯形APQB的面积为（ ）
（A）48.（B）56（C）64（D）72.
x
2
y
2
??1
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是5.(2007福建理)以双曲线
9 16
( )
A
.
C .
B.
D.


6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率
e?< br>1
，且它的一个焦点与抛物线
2
y
2
??4x
的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
x
2
2
??1
B．
??1
C．
?y?1
D．
?y
2
?1
A．
438 624
x
2
y
2
??1(mn?0)
离心率为2，有一个焦 点与抛物线7．（2005湖北文、理）双曲线
mn
y
2
?4x
的焦 点重合，则mn的值为（）

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A．
33168
B．C．D．
16833
x
2
1 6y
2
?
2
?1
的左焦点在抛物线y
2
=2px的 准线上,则p的值为 ( ) 8. (2008重庆文)若双曲线
3p
(A)2 (B)3 (C)4 (D)4
2

x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
?1
和双曲线
?
2
?1
有公共的焦点，那么 9．（2002北京文）已知椭圆
22
3m5n2m3n
双曲线的渐近线方程是（ ）
A．
x??
15
y

2
B．
y??
15
x

2
C．
x??
3
y

4
D．
y??
3
x

4
x
2y
2
10．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程
2
?2
?1与ax?by
2
?0(a?b?0)
ab
的曲线大致是( )

y
y
y
O
x
x
O
x
O
x
y
O
A
B
C
D


二、填空题：（每小题5分，计20分）
11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长 之比为2，它的一个焦点是
215,0
，则椭圆的
标准方程是___________ ______________
??
3
x
2
y
2
x
， 12．(2008 江西文)已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的两条渐近线方 程为
y??
3
ab
若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为．
x
2
y
2
??1
的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 13.（2007上海文）以双曲线
45
抛物线方程是．
14.(2008天津理) 已知圆C的圆心与抛物线
y?4x
的焦点关于直线
y?x
对称.直线
2
4x?3y?2?0
与圆C相交于
A,B
两点，且
AB?6
,则圆C的方程为.


三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）

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x
2
y
2
15.（2006北京文）椭圆C:
2
?
2
?1(a?b ?0)
的两个焦点为F
1
,F
2
,点P在椭圆C上，
ab< br>且
PF
1
?F
1
F
2
,|PF
1< br>|?
414
,|PF
2
|?.

33
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
(Ⅱ)若直线l过圆x
2
+y
2
+4x-2y=0的圆心M, 交椭圆C于
A,B
两点, 且A、B关于点M对称,求
直线l的方程..








16．（2005重庆文 ）已知中心在原点的双曲线C的右焦点为（2，0），右顶点为
(3,0)

（1）求双曲线C的方程；
（2）若直线
l:y?kx?2与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且
OA?OB?2
（其
中O为原点）. 求k的取值范围.










17.(2007安徽文)设
F
是抛物线
G
:
x
=4
y
的焦点.
(Ⅰ)过点
P
（0，-4）作抛物线
G
的切线,求切线方程:
2

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(Ⅱ)设A
、
B
为抛物线
G
上异于原点的两点，且满足
FA·F B?0
,延长
AF
、
BF
分别交抛物线
G
于点C
,
D
，求四边形
ABCD
面积的最小值.










?3)
，
(0，3)
的距离之18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标 系
xOy
中，点P到两点
(0，
和等于4，设点P的轨迹为
C
．
（Ⅰ）写出C的方程；
（Ⅱ）设直线
y?kx?1
与C交于A，B两 点．k为何值时
OA
?
OB
？此时
AB
的值是多
少 ？











y
19. （2002广东、河南、江苏）A、B是双曲线x－＝1上的 两点，点N(1,2)是线段AB的
2
2
2
中点

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(1)求直线AB的方程 ；(2)如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、
C、D四点是否共圆？为 什么？








20 .（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直
线 l的垂线，垂足为点Q，且＝。 (1)求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，
已知















，，求的值。
“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）
一、选择题：（每小题5分，计50分）

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题号
答案
1
D
2
C
3
A
4
A
5
A
6
A
7
A
8
C
9
D
10
A

二、填空题：（每小题5分，计20分）
x
2
y
2
x
2
3y
2
2
22??1
； 12．
?
11.
?1
．13.
y?12x
．14.
x?(y?1)?10
.
8020
44
三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分） 15..解：(Ⅰ)因为点P在椭圆C上，所以
2a?PF
1
?PF
2< br>?6
，a=3.
在Rt△PF
1
F
2
中，
F
1
F
2
?
2
2
PF
2
?PF< br>1
22
?25,
故椭圆的半焦距c=
5
,
x
2
y
2
?
从而b=a－c=4, 所以椭圆C的方程为＝1.
94
2
(Ⅱ)解法一：设A
，
B的坐标 分别为（x
1
,y
1
）、（x
2
,y
2
） .
已知圆的方程为（x+2）
2
+(
y
－1)
2
=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
从而可设直线l的方程为 y=k(x+2)+1,
代入椭圆C的方程得 （4+9k
2
）x
2
+(36k
2
+18k)x+36k< br>2
+36k－27=0.
x
1
?x
2
18k
2
?9k
????2.
因为A
，
B关于点M对称.， 所以
2
2
4?9k
解得
k?
88
， 所以直线l的方程为
y?(x?2)?1,

99
即8x-9y+25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)
(Ⅱ) 解法二：已知圆的方程为（x+2）
2
+(y－1)
2
=5,所以圆心M的坐标为（－2，1）.
设A
，
B的坐标分别为（x
1
,y
1
）,(x
2< br>,y
2
).由题意x
1
?
x
2
且
x
1
yxy
?
1
?1,
①
2
?
2
?1,
②
9494
由①－②得
2222
(x
1< br>?x
2
)(x
1
?x
2
)(y
1
? y
2
)(y
1
?y
2
)
??0.
③
94
因为A
、
B关于点M对称，所以x
1
+ x
2
=－4, y
1
+ y
2
=2,
代入③得< br>y
1
?y
2
888
＝，即直线l的斜率为，所以直线l的方程 为y－1＝（x+2），
x
1
?x
2
999
即8x－9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
x
2
y
2
16 ．解：（Ⅰ）设双曲线方程为
2
?
2
?1
(a?0,b?0).
ab

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由已 知得
a?3,c?2,再由a
2
?b
2
?2
2
,得 b
2
?1.
故双曲线C的方程为
x
2
?y
2
?1.

3
x
2
?y
2
?1得
(1?3k
2
)x
2
?62kx?9?0.
（Ⅱ）将
y?kx?2代入
3
2
?
?
1?3k?0,
由直线l与双曲线交于不同的两点得
?

222
?
?
??(62k)?36(1?3k)?36(1?k)?0.
即< br>k
2
?
1
且k
2
?1.
①
362k?9
,xx?
，
AB
22
1?3k1?3k
设< br>A(x
A
,y
A
),B(x
B
,y
B
)
，则
x
A
?x
B
?
由OA?OB?2得xA
x
B
?y
A
y
B
?2,

而
x
A
x
B
?y
A
y
B
?xA
x
B
?(kx
A
?2)(kx
B
?2)?( k
2
?1)x
A
x
B
?2k(x
A
?x< br>B
)?2

?962k3k
2
?7
?(k?1)?2k?2?.

1? 3k
2
1?3k
2
3k
2
?1
2
3k2
?7?3k
2
?9
1
2
?2,即?0,解此不等式得
于是
?k?3.
②
22
3k?13k?1
3
由① 、②得
1
?k
2
?1.

3
33
)?(,1).

33
故k的取值范围为
( ?1,?
2
x
0
x
x
17.解：（Ⅰ）设切点
Q( x
0
,).由y??,
知抛物线在Q点处的切线斜率为
0
，
42
2
22
x
0
x
0
x
0
x< br>0
?(x?x
0
),
即
y?x?.
故所 求切线方程为
y?
4224
2
x
0
2
,x
0
?16,x
0
??4.
所以切线方程为y=±2x-4. 因为点P（ 0，-4）在切线上，所以
?4??
4
(Ⅱ)设
A(x
1
, y
1
),C(x
2
,y
2
).
由题设知，直线AC的斜率k存在，由对称性，不妨设k＞0.
因直线AC过焦点F（0，1），所以直线AC的方程为y=kx+1.
?
y?kx ?1,
2
点A，C的坐标满足方程组
?
2
消去y，得
x?4kx?4?0,

?
x?4y,

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?
?
x
1
?x
2
?4k ,

?
x
1
x
2
??4.
AC?(x1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?1?k
2
(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?4(1?k
2
).

11
因为AC?BD，所以BD的斜率为?，从而BD的方程y??x?1.

kk
1
2
4(1?k
2
)
.
同理可求得
BD?4(1?(?))?
4
k
2
S
ABCD
18 (1?k
2
)1
2
?ACBD??8(k?2?)?32.

22
2
kk
当k=1时，等号成立.所以，四边形ABCD面积的最小值为32.
?3)，，(03)
为焦点，18．解：（Ⅰ）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹 C是以
(0，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴
b?2
2
? (3)
2
?1
，故曲线C的方程为
y
2
x??1
．
4
2
?
2
y
2
?1，
?
x?（Ⅱ）设
A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y< br>2
)
，其坐标满足
?

4
?
y?kx?1.
?
消去y并整理得
(k?4)x?2kx?3?0
， 故
x
1
?x
2
??
22
2k3
． ，xx??
12
k
2
?4k
2
?4
OA?OB
，即
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
． 而
y
1
y
2
?k
2
x
1
x
2
?k(x
1
?x
2
)?1
， 33k
2
2k
2
?4k
2
?1
?
2< br>?
2
?1?
2
于是
x
1
x
2
?y
1
y
2
??
2
．
k?4k?4k?4k? 4
1
时，
x
1
x
2
?y
1
y2
?0
，故
OA?OB
．
2
1412
当< br>k??
时，
x
1
?x
2
?
，
x1
x
2
??
．
21717
所以
k??
AB?(x
2
?x
1
)
2
?(y
2
?y
1
)
2
?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
，
4
2
4?34
3
?13?
而
(x
2
?x
1
)?(x
2
?x< br>1
)?4x
1
x
2
?
2
?4?
，
2
171717
22
所以
AB?
465
．
17
2
2
y
2
19.解：(1)依题意，可设直线方程为y＝k( x－1)＋2代入x－＝1，整理得 (2－k)x－2k(2
2

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－k)x－(2－k)－2＝0 ①
记A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，则x
1
、x
2
是方程①的两个不同的实数根，所以2－k≠0,且x
1
＋x
2
＝
2k(2－k)

2
2－k
1
由N(1,2)是AB中点得 (x
1
＋x
2
)＝1
2
∴ k(2－k)＝2－k，解得k＝1，所易知 AB的方程为y＝x＋1.(2)将k＝1代入方程①
得x－2x－3＝0，解出 x
1
＝－1,x
2
＝3，由y＝x＋1得y
1
＝0,y
2
＝4即A、B的坐标分别
为(－1,0)和(3，4)由CD垂直平分AB，得直线CD的方程为y＝ －(x－1)＋2，即 y＝3－x ，
代入双曲线方程，整理，
得 x＋6x－11＝0 ②
记C(x
3
,y
3
),D(x
4
,y
4
)，以及CD中点为M(x
0
,y
0
)，则x
3
、x
4
是方程②的两个的实数根，所以
1
x
3
＋x
4
＝－6, x
3
x
4
＝－11， 从而 x
0
＝(x
3< br>＋x
4
)＝－3,y
0
＝3－x
0
＝6
2
|CD|＝(x
3
－x
4
)＋(y
3
－y
4
)＝2(x
3
－x
4
)＝2[(x
3
＋x
4
)－4x
3
x
4
＝410∴ |MC|
1
22
＝|MD|＝|CD|＝210， 又|MA|＝|MB|＝(x< br>0
－x
1
)＋(y
0
－y
1
)＝4＋36＝ 210
2
即A、B、C、D四点到点M的距离相等，所以A、B、C、D四点共圆.
20.（Ⅰ）解法一：设点
P(x，y)
，则
Q(?1，y)
，由＝得：
2222
2
2
2
2
2
(x?1，0)(2，?y) ?(x?1，y)(?2，y)
，化简得
C:y
2
?4x
．
（Ⅰ）解法二：由＝得：
FQ(PQ?PF)?0
，
22
y
Q
B
O
F
A
M
P
?(PQ?PF)(PQ?PF)?0
，
?PQ?PF?0
，
?PQ?PF
．
所以点
P
的轨迹
C
是抛物线，由 题意，轨迹
C
的方程为：
y?4x
．
（Ⅱ）设直线
AB
的方程为：
x?my?1(m?0)
．
2
x
?
设
A(x
1
，y
1
)< br>，
B(x
2
，y
2
)
，又
M
??1，
?
?
2
?
?
，
m
?
?
y
2
?4x，
联立方程组
?
，消去
x
得 ：
?
x?my?1，
?
y?y
2
?4m，
y2
?4my?4?0
，
??(?4m)
2
?12?0
， 故
?
1

?
y
1
y
2
??4．
由
MA?
?
1
AF
，
MB?
?2
BF
得：
y
1
?
22
??
?
1
y
1
，
y
2
???
?
2
y< br>2
，
mm

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整理得：
?
1
??1?
22
，
?
2
??1?
，
my
1
my
2
∴
?
1??
2
＝?2?

2
y?y
2
211
24m
(?)
=
?2?·
1
=-2-
·
=0. < br>my
1
y
2
my
1
y
2
m?4