高中数学圆锥曲线知识点总结与经典例题

圆锥曲线解题方法技巧
第一、知识储备：
1. 直线方程的形式
（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。
（2）与直线相关的重要内容
①倾斜角与斜率
k?tan
?
,?
?[0,
?
)

k?
y
2
?y
1

x
2
?x1
②点
P(x
0
,y
0
)
到直线
Ax ?By?C?0
的距离
d?
Ax
0
?By
0< br>?C
A?B
22

③夹角公式：直线
（3）弦长公式
l
1
:y?k
1
x?b
1
l
2
: y?k
2
x?b
2
夹角为
?
， 则
tan
?
?
k
2
?k
1

1? k
2
k
1
直线
y?kx?b
上两点
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
间的距离
①
AB?(x
2
?x
1
)?(y
2
?y< br>1
)
②
AB?1?k
③
AB?1?
222
x
1
?x
2
?(1?k
2
)[(x
1
?x< br>2
)
2
?4x
1
x
2
]

1
y
1
?y
2

k
2
（4）两条直线的位置关系
（Ⅰ）
l
1
: y?k
1
x?b
1
l
2
:y?k
2
x?b
2

①
l
1
?l
2
?k
1
k
2
=-1 ②
l
1
l
2
?k
1
?k
2
且b
1
?b
2

（Ⅱ）
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
①
l
1
?l
2
?A
1
A
2
?B
1
B
2
?0

②
l
1< br>l
2
?A
1
B
2
-A
2
B
1
=0且AC
12
-A
2
C
1
?0
或两平行线距离公式
A
1
B
1
C
1
??
者（
A
2
B
2
C
2
?0
）
A
2
B
2
C
2
?
l
1
:y?kx? b
1
|b
1
?b
2
|
d?
距离
?
2
1?k
?
l
2
:y?kx?b< br>2
二、椭圆、双曲线、抛物线：


?
l
1
:Ax?By?C
1
?0
|C
1
?C
2
|
d?
距离
?
22
A?B
?
l
2
: Ax?By?C
2
?0
椭圆 双曲线 抛物线

1 ．到两定点F
1
,F
2
的距离之
和为定值2a(2a>|F
1
F
2
|)的
点的轨迹
2．与定点和直线的距离之
比为定值e的点的轨迹.
（0点集：({M｜｜MF
1
+｜MF
2
｜
=2a,｜F
1
F
2
｜＜2a}.


1．到两定点F
1
,F
2
的距离之差的
绝对值为定值2a(0<2a<|F
1F
2
|)
的点的轨迹
2．与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.（e>1）
点集：{M｜｜MF
1
｜-｜MF
2
｜.
=±2a,｜F
2
F
2
｜＞2a}.

与定点和直线的距离相等的
点的轨迹.
定义
轨迹条件
点集{M｜ ｜MF｜=点M到直
线l的距离}.

图形

标准
方
方程
程
x
2
y
2
?
2
?1
(
a?b
>0)
2
ab
x
2
y
2
?
2
?1
(a>0,b>0)
2
ab
y
2
?2px


参数
方程
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
x轴，y轴；
长轴长2a,短轴长2b
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?
x?0

范围
中心
顶点 (a,0), (─a,0)
x轴，y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
(0,0)
对称轴 x轴
焦点 F
1
(c,0), F
2
(─c,0) F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
p
F(,0)

2
准 线
a
2
x=±
c
准线垂直于长轴，且在椭圆
外.
a
2
x=±
c
准线垂直于实轴，且在两顶点的
内侧.
2c （c=
a?b
）
22
x=-
p

2
准线与焦点位于顶点两侧，
且到顶点的距离相等.

焦距
2c （c=
a?b
）
22
离心率
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(e?1)

a
e=1

P(x
0
，y
0
)为圆锥曲线上一点，F
1
、F
2
分别为左、右焦点
焦半径
|PF
1
|=a+ex
0

|PF
2
|=a-ex
0
【备注1】双曲线：
⑶等轴双曲线：双 曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近 线方程为
y??x
，离心率
e?2
.
x
2
y2
⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线 .
2
?
2
?
?
与
ab
x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
??
?互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
2
?
2
?0
.
2
ab
ab

p

2
P在右支时： P在左支时：
|PF
1
|=a+ex
0
|PF
1
|=-a-ex
0

|PF
2
|=-a+ex
0
|PF
2
|=a-ex
0

|PF|=x
0
+⑸共渐近线的双曲线系方程：
它的双曲线方程可设为
【备注2】抛物线：
x2
a
2
?
x
2
a
2
?
y2
b
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程 为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如果双曲线的渐近线为
x
y
??0
时，
ab
y
2
b
2
?
?
(
?
?0)
.
pp
2
,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线
y
=-2px (p>0)的焦点坐
22
pppp
2
标是(-,0)，准线方程x=，开口向 左；抛物线
x
=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开
22 22
（1）抛物线
y
=2px(p>0)的焦点坐标是(
2
口向上；
pp
），准线方程y=，开口向下.
22
p
22
（2）抛 物线
y
=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
MF?x
0
?
；抛物线
y
=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
2< br>p
与焦点F的距离
MF??x
0

2
pp
2
（3）设抛物线的标准方程为
y
=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离 为，顶点到准线的距离，焦点
22
抛物线
x
=-2py（p>0）的焦点坐标 是（0,-
2
到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线
y
=2px (p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2) ，
2
p
2
p
2p
2
yy??p
xx?,A F?x?
则弦长
AB
=
x
1
?x
2
+p或
AB?
(α为直线AB的倾斜角)，，(
AF
12
121
2
42
sin
?
叫做焦半径).
椭圆典型例题
一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
例1：已知椭圆的焦点是F
1
(0，－1)、F
2
(0,1)，P是椭圆上一点，并且PF
1
＋PF2
＝2F
1
F
2
，求椭圆的标准方程。
解：由PF< br>1
＋PF
2
＝2F
1
F
2
＝2×2＝4，得 2a＝4.又c＝1，所以b
2
＝3.
y
2
x
2
所以椭圆的标准方程是＋＝1.
43
2．已知椭圆的两个焦点为F
1
(－1,0)，F
2
(1,0)，且2a＝1 0，求椭圆的标准方程．
解：由椭圆定义知
c
＝1，∴
b
＝5－1 ＝24.∴椭圆的标准方程为＋＝1.
2524
二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。
2
x
2
y
2

0
?
，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 例：1. 椭圆的一个顶点为
A
?
2，
分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置．

0
?
为长轴端点时，
a?2
，
b?1
， 解：（1 ）当
A
?
2，
x
2
y
2
??1
； 椭圆的标准方程为：
41
0
?
为短轴端点时，
b?2
，a?4
， （2）当
A
?
2，
x
2
y
2
??1
； 椭圆的标准方程为：
416
三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 < br>x
2
y
2
例．求过点(－3,2)且与椭圆＋＝1有相同焦点的椭圆的 标准方程．
94
x
2
y
2
9
解：因为
c
＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为
2
＋
2
＝1.由点(－ 3,2)在椭圆上知
2
＋
aa
－5
a
4
x
2
y
2
2
＝1，所以
a
＝15.所以所求椭圆的标准方程 为＋＝1.
a
2
－51510
2
四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。
例： 已知中心在原点，焦点在
x
轴上的椭圆与直线
x?y?1?0
交于
A
、
B
两点，
M
为
AB

中点，
OM
的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．
x
2
2
解：由题意，设椭圆方程为
2
?y?1
，
a
?
x?y?1?0
?
2
22
??
1?a x?2ax?0
， 由
?
x
2
，得
2
?
2
?y?1
?
a
x
1
?x
2
1?a
2
1
?
2
，
y
M
?1?x
M
?< br>∴
x
M
?
，
2
2a
1?a
?k< br>OM
y
M
x
2
11
2
??
2
?
，∴
a?4
， ∴
?y
2
?1
为所求．
4
x
M
a
4
五、求椭圆的离心率问题。
x
2
y
2
1
??1
的离心率
e?
，求
k< br>的值． 例 已知椭圆
k?89
2
解：当椭圆的焦点在
x
轴上时，
a?k?8
，
b?9
，得
c?k?1
．由
e?
当椭圆的焦点在
y
轴上时，
a?9
，
b?k?8
，得
c?1?k
．
由
e?
222
222
1
，得
k?4
．
2
1
1?k15
?
，即
k??
． ，得
2
944

5
∴满足条件的
k?4
或
k??
．
4

六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题
例：1.若△ABC的两个顶点坐标A (－4,0)，B(4,0)，△ABC的周长为18，求顶点C的轨迹方程。
解：顶点C到两个定点 A，B的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C的轨迹为椭圆，并
且2a＝10，所 以a＝5,2c＝8，所以c＝4，所以b
2
＝a
2
－c
2
＝9，故顶点C的轨迹
x
2
y
2
方程为＋＝1.又A、B、C三点构 成三角形，所以y≠0.所以顶点C的轨迹方程
259
x
2
y
2x
2
y
2
为＋＝1(y≠0)答案：＋＝1(y≠0)
259259


x
2
y
2
2．已知椭圆 的标准方程是
2
＋＝1(a>5)，它的两焦点分别是F
1
，F
2< br>，且F
1
F
2
＝8，弦AB过点F
1
，求△ABF< br>2
a25
的周长．
因为F
1
F
2
＝8，即 即所以2c＝8，即c＝4，所以a
2
＝25＋16＝41，即a＝41，所以△ABF
2
的周长为4a＝441.

x
2
y
2
3．设 F
1
、F
2
是椭圆＋＝1的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF
1< br>:PF
2
＝2:1，求△PF
1
F
2
的面积． 94
解析：由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝5，∴PF
1
＋PF
2
＝2a＝6.又PF
1
∶PF
2
＝2∶1，∴PF
1
＝4，PF
2
＝2，由
11
2
2
＋4
2
＝(25)
2
可知△PF
1
F
2
是直角三角形，故△PF< br>1
F
2
的面积为PF
1
·PF
2
＝×2×4 ＝4.
22
七、直线与椭圆的位置问题
x
2
?
11?
?y
2
?1
，求过点
P
?
，
?且被
P
平分的弦所在的直线方程． 例 已知椭圆
2
?
22?
分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为
k
，利用条件求
k
．
解法一：设所求直线的斜率为
k
，则直线方程为
y?
11
??
?k
?
x?
?
．代入椭圆方程，并整理得
22
??
?
1?2k
?
x?
?
2k
22 2
13
?2kx?k
2
?k??0
．
22
?2k
2
?2k
由韦达定理得
x
1
?x
2
?
．
1?2k
2
∵
P
是弦中点，∴
x
1
?x
2
?1
．故得
k??
所以所求直线方程为
2 x?4y?3?0
．
解法二：设过
P
?
，
?
的直 线与椭圆交于
A
?
x
1
，y
1
?
、
B
?
x
2
，y
2
?
，则由题意得
1
．
2
?
11
?
?
22
??
x
1
2
2
?y，
1
?1
?
?
2
2
?
x
2
2
?
?y
2
?1，
?
2
?
x
1
?x
2
?1，
?
?
y
1
?y
2
?1.

①
②

③
④

x?x
2
?y
1
2
?y
2
?0
． ⑤
2
y
1
?y
2
11
??
，即直线的斜 率为
?
．
x
1
?x
2
2
2
2< br>1
2
2

①－②得
将③、④代入⑤得
所求直线方程为
2x?4y?3?0
．
双曲线典型例题
一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。
x
2
y
2
??1
表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 例1 讨论
25?k9?k
分析：由于
k?9
，
k?25
， 则
k
的取值范围为
k?9
，
9?k?25
，
k?2 5
，分别进行讨论．
解：（1）当
k?9
时，
25?k?0
，
9?k?0
，所给方程表示椭圆，此时
a?25?k
，
b?9? k
，
22
c
2
?a
2
?b
2
?1 6
，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．
（2）当
9?k?25时，
25?k?0
，
9?k?0
，所给方程表示双曲线，此时，
a?25?k
，
b?9?k
，
22
c
2
?a
2
?b
2
?16
，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0） ．
（3）
k?25
，
k?9
，
k?25
时，所给 方程没有轨迹．
说明：将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系，不妨取一些
k
值，画出其图形，体会一
下几何图形所带给人们的美感．

二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．
（1）过点
P
?
3，
?，
Q
?
?
?
15
?
?
4
?< br>?
16
?
，5
?
且焦点在坐标轴上．
?
3
?
（2）
c?6
，经过点（－5，2），焦点在
x
轴上．
x
2
y
2
2

??1
有相同焦点，且经过 点
32，
（3）与双曲线
164
??
x
2
y
2
??1
解：（1）设双曲线方程为
mn
∵
P
、
Q
两点在双曲线上，
?
9225
??1?
?
m??16
?
m16n
∴
?
解得
?

?
n?9
?
256
?
25
?1
?
?
9mn

?xy
??1

169
22

∴所求双曲线方程为
说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的．
（2）∵焦点在
x
轴上，
c?6
，
y
2
??1
（其中
0?
?
?6
） ∴设所 求双曲线方程为：
?
6?
?
∵双曲线经过点（－5，2），∴
∴?
?5
或
?
?30
（舍去）
x
2
25
?
?
4
?1

6?
?
x
2
?y
2
?1
∴所求双曲线方程是
5
说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．
x< br>2
y
2
??1
?
0?
?
?16
?< br> （3）设所求双曲线方程为：
16?
?
4?
?
2
， ∴∵双曲线过点
32，
??
184
??1

16?
?
4?
?
∴
?
?4
或
?
??14
（舍）
x
2
y
2
??1
∴所求双曲线方程为
1 28
x
2
y
2
x
2
y
2
??1< br>有公共焦点的双曲线系方程为
??1
后，便有了以上说明：（1）注意到了与双曲线164
16?
?
4?
?
巧妙的设法．
（2）寻找一种 简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要
方面．
三、求与双曲线有关的角度问题。
x
2
y
2
??1
的右焦点分别为
F
1
、
F
2
，点
P
在双 曲线上的左支上且
PF
例3 已知双曲线
1
PF
2
?32< br>，求
916
?F
1
PF
2
的大小．
分析：一般地，求一个角的大小，通常要解这个角所在的三角形．
解：∵点
P
在双曲线的左支上
∴
PF
1
?PF
2
?6

∴
PF
1
?PF
2
?2PF
1
PF
2
?36
∴
PF
1
?PF
2
∵
F
1
F
2
2
22
22
?100

?4c
2
?4a
2
?b
12
?100

??

∴
?F
1
PF
2
?90

?

说明：（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中，使问题得以简单化．
（2）题目的“点
P
在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点
P
在
双曲线上”结论如何改变呢？请读者试探索．
四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。
x
2
?y
2
? 1
的两个焦点，点
P
在双曲线上且满足
?F
1
PF
2
?90
?
，求
?F
1
PF
2
的例4 已知
F
1
、
F
2
是双曲线
4
面积． 分析：利用双曲线的定义及
?F
1
PF
2
中的勾股定理可求?F
1
PF
2
的面积．
x
2
?y
2
?1
上的一个点且
F
1
、
F
2
为焦点． 解：∵
P
为双曲线
4
∴
PF
1
?PF
2< br>?2a?4
,
F
1
F
2
?2c?25

∵
?F
1
PF
2
?90

∴在
R t?PF
1
F
2
中，
PF
1
?PF
2∵
PF
1
?PF
2
22
?
?F
1F
2
?20

2
??
2
?PF
1?PF
2
?2PF
1
PF
2
?16

22
∴
20?2PF
1
PF
2
?16

∴
PF
1
?PF
2
?2

∴
S< br>?F
1
PF
2
?
1
PF
1
?PF< br>2
?1

2
说明：双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用．
五、根据双曲线的定义求其标准方程。
0
?
、
F
2
?
5，0
?
，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 例5 已知两点
F
1
?
?5，
分析：问题的条件符合双曲线的定义，可利用双曲线定义直接 求出动点轨迹．
解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．
∵
c?5
，
a?3

∴
b?c?a?5?3?4?16

222222
x
2y
2
??1
为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． ∴所求方程
916< br>x
2
y
2
??1
上一点，
F
1
、< br>F
2
是双曲线的两个焦点，且
PF
例:
P
是双曲线< br>2
的值．
1
?17
，求
PF
6436
分析：利用双曲线的定义求解．
x
2
y
2
??1
中，
a?8
，
b ?6
，故
c?10
． 解：在双曲线
6436

由
P
是双曲线上一点，得
PF
1
?PF
2
?16
．
∴
PF
2
?1
或
PF
2
?33
．
又
PF
2
?c?a?2
，得
PF
2
?33
．
说明：本题容易忽视
PF
2
?c?a
这一条件，而得出 错误的结论
PF
2
?1
或
PF
2
?33
．
六、求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心
M
的轨迹方程：

?
x?2
?
? y
2
?2
内切，且过点
A
?
2，0
?
（ 1）与⊙
C：
2
22
（2）与⊙
C
1
：x?
?
y?1
?
?1
和⊙
C
2
：x?
?y?1
?
?4
都外切．
22
?
x?3
??y
2
?9
外切，且与⊙
C
2
：
?
x ?3
?
?y
2
?1
内切． （3）与⊙
C
1
：
22
分析：这是圆与圆相切的问题，解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段，即半 径与圆心距离．如果
r
2
且
r
1
?r
2
， 相切的⊙
C
1
、⊙
C
2
的半径为
r
1、则当它们外切时，
O
1
O
2
?r
1
?r2
；当它们内切时，
O
1
O
2
?r
1
?r
2
．解
题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程．
解：设动圆
M
的半径为
r

（1）∵⊙
C
1
与⊙
M
内切，点
A
在⊙
C
外
∴
MC?r?2
，
MA?r
，
MA?MC?2
< br>∴点
M
的轨迹是以
C
、
A
为焦点的双曲线的左支，且 有：
a?
2
7
222
，
c?2
，
b?c ?a?

2
2
2
2y
2
?1x??2
∴ 双曲线方程为
2x?
7
??
（2）∵⊙
M
与⊙
C< br>1
、⊙
C
2
都外切
∴
MC
1
?r ?1
，
MC
2
?r?2
，
MC
2
?MC
1
?1

∴点
M
的 轨迹是以
C
2
、
C
1
为焦点的双曲线的上支，且有： a?
1
3
222
，
c?1
，
b?c?a?
2
4
∴所求的双曲线的方程为：
4x
2
?
3
?
4y??1
?
y?
?

34
??
2

（3）∵⊙
M与⊙
C
1
外切，且与⊙
C
2
内切
∴
MC
1
?r?3
，
MC
2
?r?1
，
MC
1
?MC
2
?4

∴点
M
的轨迹是以C
1
、
C
2
为焦点的双曲线的右支，且有：

a?2
，
c?3
，
b
2
?c
2
?a2
?5

∴所求双曲线方程为：
x
2
y
2
??1
?
x?2
?

45
说明：（1）“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法．
（2）巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量．
（3）通过以 上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标．

抛物线典型例题
一、求抛物线的标准方程。
例1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程．
（1）
x?4y
（2）
x?ay(a?0)

分析：（1）先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程．
（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论，确定是哪一种后，求p及焦点坐标与准线方程．
解：（1）
?p?2
，∴焦点坐标是（0，1），准线方程是：
y??1
（2）原抛物线方程为：
y?
2
22
1
1
x
，
?2p?

a
a
p1
?
，抛物线开口向右，
24a
1
1
,0)
，准线方程是：
x??
∴焦点坐标是
(
． 4a
4a
p1
②当
a?0
时，
??
，抛物线开 口向左，
24a
1
1
,0)
，准线方程是：
x??
∴焦点坐标是
(
．
4a
4a
①当
a?0
时，< br>综合上述，当
a?0
时，抛物线
x?ay
的焦点坐标为
(
二、求直线与抛物线相结合的问题
例2 若直线
y?kx?2
与抛物 线
y?8x
交于A
、
B两点，且AB中点的横坐标为2，求此直线方程． < br>分析：由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解．另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关，故
也可利用“作差法”求k．
2
2
1
1
,0)
，准线方程是：
x??
．
4a
4a
?
y?kx?2
22
解法一：设
A(x< br>1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2)
，则由：
?
2
可得：
kx?(4k?8)x?4?0
．
?
y?8x

∵直线与抛物线相交，
?k?0
且
??0
，则
k??1
．
∵AB中点横坐标为：
?

x
1
?x
2
4k?8
??2
，
2k
2
解得：
k?2
或
k??1
（舍去）．
故所求直线方程为：
y?2x?2
．
解法二：设
A(x
1
,y
1
)
、
B(x
2
,y
2
)< br>，则有
y
1
?8x
1
两式作差解：
(y
1< br>?y
2
)(y
1
?y
2
)?8(x
1
?x
2
)
，即
2
y
2
?8x
2
．
2
y
1
?y
2
8
?
．
x< br>1
?x
2
y
1
?y
2
?x
1
?x
2
?4
?y
1
?y
2
?kx
1?2?kx
2
?2?k(x
1
?x
2
)?4?4k?4
，
?k?
8
故
k?2
或
k??1
（舍去）．
4k?4
则所求直线方程为：
y?2x?2
．

三、求直线中的参数问题
2
例3（1）设抛物线
y?4x
被直线< br>y?2x?k
截得的弦长为
35
，求k值．
（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为9时，求P点坐标．
分析：（1）题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高，再用点到直线距离求P点坐标． ?
y
2
?4x
22
解：（1）由
?
得：
4x?(4k?4)x?k?0

?
y?2x?k
k
2
设 直线与抛物线交于
A(x
1
,y
1
)
与
B(x2
,y
2
)
两点．则有：
x
1
?x
2
?1?k,x
1
?x
2
?

4
?AB?( 1?2
2
)(x
1
?x
2
)
2
?5(x< br>1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?5(1?k)
2
?k
2
?5(1?2k)
????

?AB?35,?5(1?2k)?35
，即
k??4

（2）?S
?
?9
，底边长为
35
，∴三角形高
h?
∵点P在x轴上，∴设P点坐标是
(x
0
,0)

则点P到直线
y?2x?4
的距离就等于h，即
2?965

?
5
35
2x
0
?0?4
2
2
?12
?
65

5
?x
0
??1
或
x
0
?5
，即所求P点坐标是（－1，0）或（5，0）．
四、与抛物线有关的最值问题
例4 定长为3的线段
AB
的端点
A
、
B
在抛物线
y?x
上移动，求
AB
的中点到y
轴的距离的最小值，并
2

求出此时
AB
中点的坐标．
2

解：如图，设
F
是
y?x
的焦点，
A
、
B
两点到准线的垂线分别是
AC
、
BD
，又
M
到准线的垂线为
MN
，
C
、
D
和
N
是垂足，则

1113
MN?(AC?BD)?(AF?BF)?AB?
．
22221315
设
M
点的横坐标为
x
，纵坐标为
y
，
MN?x?
，则
x???
．
4244
等式成立的条件是
AB
过点
F
．
51
2
当
x?
时，
y
1
y
2
? ?P??
，故
4
4
1
22
(y
1
?y< br>2
)
2
?y
1
?y
2
?2y
1y
2
?2x??2
，
2
y
1
?y
2
??2
，
y??
2
．
2
所以
M(
52
5
,?)
，此时
M
到
y
轴的距离的最小值为 ．
42
4
2
例 已知点
M(3,2)
，
F
为抛物线
y?2x
的焦点，点
P
在该抛物线上移动，当
PM?PF
取最小值时，
点
P
的坐标为__________．
分析：本题若 建立目标函数来求
PM?PF
的最小值是困难的，若巧妙地利用抛物线定义，结合图形则问题不难解决．
解：如图，

由定义知
PF?PE
，故
PM?PF?PF?PM?ME?MN?3
．
取等号时，
M
、
P
、
E
三点共线，∴
P
点纵坐标为2，代入方程，求出其横坐标为2，
所以
P
点坐标为
(2,2)
．
1
2