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§8.圆锥曲线方程 知识要点
一、椭圆方程
1. 椭圆方程的第一定义
:平面内与两个定点F
1
,
F
2
的距离的和等于定长(定长通常等于
2a,且2a>F
1
F
2
)
的点的轨迹叫椭圆。
PF1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
方程为椭圆,<
br>PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹,
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
为端点的线段
2
(1)①椭圆的标准方程:i. 中心在原点,焦点在x轴上:
x
ii.
中心在原点,焦点在
y
轴上:
y
a
2
2
2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a?b?0)
.
?
2
x
2
b
2
?1(a?b?0)
.
2
注:A.以上方程中
a,b
的大小
a?b?0
,其中
b?a?c
;
x
2
y
2
y
2
x
2
2
B.在
2
?
2
?1
和
2
?
2
?1
两个方程中都有
a?b?0
的条件,要分清焦点的位置,只要看
x
和
abab
y
2
的分
母的大小。
②一般方程:
Ax
2
?By
2
?1
(A?0,B?0)
.
x
2
a
2
y
2
b
2
?
x?acos
?
?
?1
的参数方程为
?
(一象限
?
应是属于
0?
?
?
).
2
?
y?bsin
?
③椭圆的标准方程:
?
⑵椭圆的性质
①顶点:
(?a,0)(0,?b)
或
(0,?a)(?b,0)
.
②轴:对称轴:x轴,
y
轴;长轴长
2a
,短轴长
2b
.
③焦点:
(?c,0)(c,0)
或
(0,?c)(0,c)
. <
br>④焦距:
F
1
F
2
?2c,c?a
2
?b<
br>2
.
a
2
a
2
⑤准线:
x??
或
y??
.
cc
⑥离心率:
e?
c
(0?e?1)
.【∵
a?c?0
,∴
0?e?1
,且
e
越接近<
br>1
,
c
就越接近
a
,从而
b
就
a<
br>越小,对应的椭圆越扁;反之,
e
越接近于
0
,
c
就
越接近于
0
,从而
b
越接近于
a
,这时椭圆越接
近
于圆。当且仅当
a?b
时,
c?0
,两焦点重合,图形变为圆,方程为
x?y?a
。】
⑦焦(点)半径:
i. 设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
ii.设
P(x
0
,y
0
)
为椭圆
222
x
2
a
2
x<
br>2
b
2
?
?
y
2
b
2
y<
br>2
a
2
?1(a?b?0)
上的一点,
F
1
,F
2
为左、右焦点,则
PF
1
?a?ex
0
,
PF
2
?a?ex
0
?
?1(a?b?0)
上的一点,F
1
,F
2
为上、下焦点,则
PF
1
?a?
ey
0
,PF
2
?a?ey
0
?
1
由椭圆第二定义可知:
pF
1
?e(x
0
?
a<
br>)?a?ex
0
(x
0
?0),pF
2
?e(
a
?x
0
)?ex
0
?a(x
0
?0)
归结起来为“左加右减”.
cc
22
注意:椭圆参数方程的推导:得
N(a
cos
?
,bsin
?
)?
方程的轨迹为椭圆.
⑧通径:垂直于x轴且过焦点的弦叫做通径.坐标:
d?
⑨焦点三角形的面积:若
P是椭圆:
的面积为
b
2
tan
x
2
a
2
2b
2
a
2
b
2
b
2
(?c,)
和
(c,)
a
a
?
y
2
b2
?1
上的点.
F
1
,F
2
为焦点,若
?F
1
PF
2
?
?
,则
?PF
1
F
2
?
2
(用余弦定理与
PF
1
?PF
2
?2a
可得)。若是双曲线,则面积为
b
2
?cot
x<
br>2
a
2
?
y
2
b
2
?1(a?b?
0)
的离心率是
e?
?
2
。
(3)共离心率的椭
圆系的方程:椭圆
x
2
a
2
?
y
2
b2
c
(c?a
2
?b
2
)
,方程
a<
br>?t(t
是大于0的参数,
a?b?0)
的离心率也是
e?
c
我们称此方程为共离心率的椭圆系方程.
a
2.椭圆的第二定义:平面内到定点F
的距离和它到一条定直线L(F不在L上)的距离的比为常数e
(
0?e?1
)的点的
轨迹叫做椭圆。其中定点F为椭圆的焦点,定直线L为椭圆焦点F相应的准线。
二、双曲线方程
1. 双曲线的第一定义:平面内到到两个定点F
1
,F
2
的差的绝对值等于定长(定长通常等于2a,且2a
F
2
)
的点的轨迹叫做双曲线。(
||PF
1
|?|PF
2
||?2a
)。
PF
1
?PF
2
?2a?F1
F
2
方程为双曲线
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
无轨迹
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
以F
1
,F
2
的一个端点的一条射线
⑴①双曲线标准方程:
x
2
a
2<
br>?
y
2
b
2
?1(a,b?0),
y
2a
2
?
x
2
b
2
?1(a,b?0)
.
一般方程:
Ax
2
?Cy
2
?1(AC?0)
.
⑵①i. 焦点在x轴上:
x
2
y
2
a
2
x
y
顶点:
(a,0),(?a,0)
焦点:
(c,0),(?c,0)
准线方程
x??
渐近线方程:
??0
或
2
?
2
?0
c
ab
ab
ii. 焦点在
y
轴上:
y
2
x
2
y
x
a
2
顶点:.
渐近线方程:
??0
或
2
?
2
?0
,
(0
,?a),(0,a)
. 焦点:
(0,c),(0,?c)
. 准线方程:
y??
c
ab
ab
?
x?asec
?
?
x?btan
?
参数方程:
?
或
?
.
y?bt
an
?
y?asec
?
??
②轴
x,y
为对称轴,
实轴长为2a, 虚轴长为2b,焦距2c.
③离心率
e?
c
.
a
2a
2
2b
2
④准线距(两准线的距离);通径.
ca
⑤参数关系
c
2
?a
2
?b
2
,e?
c
.
a
2
⑥焦(点)半径公式:
对于双曲线方程
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
(
F
1
,F
2
分别为双曲线的
左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)
“长加短减”原则:(与椭圆焦半径不同,椭圆焦半径要带符号计算,而双曲线不带符号)
M
F
1
?ex
0
?a
MF
2
?ex
0
?a
M
?
F
1
??ex
0
?a
构成满足
MF
1
?MF
2
?2a
▲
M
?
F
2
??ex
0
?a
y
M'
M
▲
y
F
1
M
MF
1
?ey
0<
br>?a
MF
2
?ey
0
?a
?
x
x<
br>M
?
F
1
??ey
0
?a
?
M?
F
2
??ey
0
?a
F
1F
2
M'
F
2
⑶等轴双曲线:双曲线
x
2?y
2
??a
2
称为等轴双曲线,其渐近线方程为
y??x,离心率
e?2
.
A.定义:实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式:
a?b
;
B.等轴双曲线的性质:(1)渐近线方程为:
y??x
;(2)渐近线互相垂直。
C.注意到等轴双曲线的特征
a?b
,则等轴双曲线可以设为:
x?y??
(
?
?0)
,当
?
?0
时
交点在
x
轴,当
?
?0
时焦点在
y
轴上。
<
br>⑷共轭双曲线:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
线.
2
?
2
?
?
与
2
?
2
??
?
互为共轭双曲线,它们具有共同的渐近线:
2
?
2
?0
.
ab
ab
ab
⑸共渐近线的双曲线系方
程:
x
2
a
2
22
?
y
2
b2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如果双曲
线的渐近线为
x
2
y
2
x
y
??0
时,它
的双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0
)
.
ab
ab
例如:若双曲线一条渐近线为
y?
1
1
x
且过
p(3,?)
,求双曲线的方程?
2
2
x
2
y
2
1
x
2
2
解:令双曲线的方程
为:
??1
.
?y?
?
(
?
?0)
,代
入
(3,?)
得
82
4
2
2.双曲线的第二定义:平面内到
定点F的距离和它到一条定直线L(F不在L上)的距离的比为常数
e(e>1)的点的轨迹叫做双曲线
。其中定点F为双曲线的焦点,定直线L为双曲线焦点F相应的准线。
3
三、抛物线方程
(1)抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。
定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线。
方程
y?2px
2
?
p?0
?
叫做抛物线的标准方程。
pp
,0),它的准线方程是
x??
;
22
注意:它表
示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(
(2)抛物线的性质
设
p?0
,抛物线的标准方程、类型及其几何性质:
图形
y
2
?2px
▲
y
2
??2px
▲
x
2
?2py
y
▲
x
2
??2py
▲
y
y<
br>y
x
O
x
O
x
O
x
O
焦点
准线方程
范围
对称轴
顶点
离心率
焦半径
通径
焦点弦
PF?
p
?x
1
2
PF?
p
?x
1
2
p
F(,0)
2
p
2
x?0,y?R
x??
F(?
x?
p
F(0,)
2
p
2
x?R,y?0
y??
F(0,?
y?
p
,0)
2
p
)
2
p
2
x?0,y?R
x
轴
p
2
x?R,y?0
y
轴
(0,0)
e?1
PF?
p
?y
1
2
PF?
p
?y
1
2
2p
x
1+
x
2+
p
2p
x
1+
x
2+
p
2p
y
1+
y
2+
p
2p
y
1+
y
2+
p
注:
①通径(过焦点且垂直于坐标轴的线段)为2p,这是过焦点的所有弦中最短的.
?
x?2pt
2<
br>?
x?2pt
y?2px
(或
x?2py
)的参数方程为?
(或)(
t
为参数).
?
2
?
y?2pty?2pt
??
22
4
四、圆锥曲线的统一定义
1. 圆锥曲线的统一定义:平面内到定点F和定直
线
l
的距离之比为常数
e
的点的轨迹.
当
0?e?1时,轨迹为椭圆;当
e?1
时,轨迹为抛物线;当
e?1
时,轨迹为双曲
线;当
e?0
时,轨迹
c
222
为圆(
e?
,当<
br>c?0,a?b
时).【弦长公式
AB?1?kx
1
?x
2<
br>?(1?k)[(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
]
】
a
2.椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质
椭圆
1.到两定点F
1
,F
2
的距
离之
和为定值2a(2a>|F
1
F
2
|)的
点的轨迹
2.与定点和直线的距离之
比为定值e的点的轨迹.
(0
1.到两定点F
1
,F
2
的距离之差的
绝对值为
定值2a(0<2a<|F
1
F
2
|)
的点的轨迹
2.与定点和直线的距离之比为
定值e的点的轨迹.(e>1)
抛物线
定义
与定点和直线的距离相等的
点的轨迹.
轨迹条件
点集:({M||MF
1
+|MF
2
|
=2a,|F
1
F
2
|<2a}.
点集:{M||MF
1
|-|MF
2
|.
=±2a,|F
2
F
2
|>2a}.
点集{M|
|MF|=点M到直
线l的距离}.
图形
方
标准
方程
程
x
2
y
2
??1
(
a?b
>0)
a
2
b
2
x
2
y
2
??1
(a
>0,b>0)
a
2
b
2
y
2
?2px
参数
方程
?
x?acos
?
?
y?bsin
?
?
(参数
?
为离心角)
?
x?asec
?
?
y?btan
?
?
(参数
?
为离心角)
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?
范围
─a?x?a,─b?y?b |x| ? a,y?R x?0
5
中心
原点O(0,0)
(a,0), (─a,0),
(0,b) , (0,─b)
x轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b
原点O(0,0)
顶点
(a,0), (─a,0)
x轴,y轴;
实轴长2a, 虚轴长2b.
(0,0)
对称轴 x轴
焦点 F
1
(c,0),
F
2
(─c,0) F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
p
F(,0)
2
准 线
a
2
x=±
c
准线垂直于长轴,且在椭圆
外.
a
2
x=±
c
准线垂直于实轴,且在两顶点的
内侧.
2c
(c=
a
2
?b
2
)
x=-
p
2
准线与焦点位于顶点两侧,
且到顶点的距离相等.
焦距
2c (c=
a
2
?b
2
)
离心率
【备注1】双曲线:
e?
c
(0?e?1)
a
e?
c
(e?1)
a
e=1
(1)
等轴双曲线:双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴
双曲线,其渐近线方程为
y??x
,离心率
e?2
.
(2)共渐近
线的双曲线系方程:
x
2
a
2
?
y
2
b<
br>2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如果双
曲线的渐近线
x
2
y
2
x
y
为
??0时,它的双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
(
?<
br>?0)
.
ab
ab
【备注2】抛物线:
(1)设抛物线的
标准方程为
y
=2px(p>0),则抛物线的焦点到其顶点的距离为
离
2<
br>p
,顶点到准线的距
2
p
,焦点到准线的距离为p.
22
(2)已知过抛物线
y
=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点,
则线段AB称为焦点弦,设
A(x
1
,y
1
),B(x
2<
br>,y
2
),则弦长
AB
=
x
1
?x
2
+p或
AB?
2p
2
yy??p
(α为直线AB的倾斜角
),,
12
2
sin
?
p
2
p
x
1
x
2
?,AF?x
1
?
(
AF
叫做焦半
径).
42
§弦长公式:
6
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