高中数学圆锥曲线知识点总结新选.

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点
与一个二 元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是
这个方程的解；(2 )以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做
曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P
0
(x
0
,y
0
)在曲线C上
?
f(x
0
,y
0
)=0；点P
0
(x
0
,y
0
)不在曲线C上?
f(x
0
,y
0
)≠0。
两条曲线的交点：若曲线 C
1
，C
2
的方程分别为f
1
(x,y)=0,f
2
(x,y)=0,则点P
0
(x
0
,y
0
)是< br>C
1
，C
2
的交点
?
{
f
1
(x
0
,y
0
)?0
f
2
(x
0
,y
0
)?0
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的
交点； 方程组没有实数解，曲线就没有交点。
二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程：(1 )标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)
2
+(y-b)
2
=r
2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x
2
+y
2
=r
2

(2)一般方程：①当D
2
+E
2
-4F＞0时，一元二次方程x< br>2
+y
2
+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方
程，圆心为
( ?,?)
半径是
(x+
2
D
2
E
)+(y+)2
=
D
22
D
2
E
2
D
2< br>?E
2
?4F
2
。配方，将方程x
2
+y
2
+Dx+Ey+F=0化为
?E
2
-4F
4

DE
,-);
22
②当D
2
+E
2
-4 F=0时，方程表示一个点(-
③当D
2
+E
2
-4F＜0时，方程 不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x
0
,y
0
)，则｜
MC｜＜r
?
点M在圆C内，｜ MC｜=r
?
点M在圆C上，｜MC｜＞r
?
点M在圆C内，
其中｜ MC｜=
(x
0
-a)
2
?(y
0
-b)
2
。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与
- 1 - 16word.

圆相交
?
有两个公共点；直线与圆相切< br>?
有一个公共点；直线与圆相离
?
没有公共
点。
②直线和圆 的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0
的距离
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不 通过这个定点的一条定直线l
的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中 定点F(c,0)称
为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；
当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆 双曲线 抛物线
1．到两定点F
1
,F
2
的1． 到两定点F
1
,F
2
的距
距离之和为定值
2a(2a>|F
1
F
2
|)的点
定义 的轨迹
2．与定点和直线的
离之差的绝对值为定值
2a(0<2a<|F
1
F
2
|)的点的< br>与定点和直线的距离
轨迹
相等的点的轨迹.
2．与定点和直线的距离
距离之比为定值e的之比为定值e的点的轨
点的轨迹.（0轨迹条
MF
2
｜=2a,｜F
1
F
2
｜
件
＜2a＝

图形
=±2a,｜F
2
F
2
｜＞2a}.

MF
2
｜.
M到直线l的距离}.
迹.（e>1）
点集{M｜ ｜MF｜=点
点集：({M｜｜MF
1
+｜点集：{M｜｜MF
1
｜-｜
- 2 - 16word.

标
方
准

方

程
程
参
数

方
程
范围
中心
顶点
(0,b) , (0,─b)
x轴，y轴；
对称轴
长轴长2a,短轴长2b 实轴长2a, 虚轴长2b.
焦点 F
1
(c,0), F
2
(─c,0) F
1
(c,0), F
2
(─c,0)
p
F(,0)

2
x
2
y
2
?
2
?1
(
a?b
>0)
2
ab
x
2
y
2
?
2
?1
(a >0,b>0)
2
ab
y
2
?2px

?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?2pt
2
?
y?2pt
(t为参数)
?
─a?x?a，─b?y?b
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0),
|x| ? a，y?R
原点O（0，0）
(a,0), (─a,0)
x轴，y轴;
x?0

(0,0)
x轴
a
2
x=±
c
a
2
x=±
c
x=-
准线与焦点位于顶点
两侧，且到顶点的距
p
2
准 线
准线垂直于长轴，且准线垂直于实轴，且在
在椭圆外. 两顶点的内侧.
离相等.

焦距
离心率
2c （c=
a
2
?b
2
）
e?
c
(0?e?1)

a
2c （c=
a
2
?b
2
）
e?
c
(e?1)

a

e=1
【备注1】双曲线：
- 3 - 16word.

⑶ 等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴 双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离心率
e?2
.
⑷共轭双曲线 ：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲
x
2
y
2
x
2
y
2
线的共轭双曲线.
2
?
2
?
?
与
2
?
2
??
?
互为共轭双曲线， 它们具有共同的渐近线：
ab
ab
x
2
a
2
?y
2
b
2
?0
.
⑸共渐近线的双曲线系方程：
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?0
如果双曲线的
x
2
y
2
x
y
渐近线为
??0
时，它的双曲线方程可 设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
.
ab
ab
【备注2】抛物线：
（1）抛物线
y
2
=2px(p>0)的焦点坐标是(,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物
线
y
2
=-2px(p>0)的焦点坐标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线
x
2
=2py(p>0)
的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开口向上；
抛 物线
x
2
=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-），准线方程y=，开口向下.
（2）抛物线
y
2
=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距 离
MF?x
0
?
；抛物线
y
2
=-2px(p>0 )上的点M(x0,y0)与焦点F的距离
MF?
p
2
p
2
p
2
p
2
p
2
p
2
p
2
p
2
p
2
p
?x
0

2
p
2
（3）设抛物线的标准方程为
y
2
=2px(p>0)，则抛物线的焦点 到其顶点的距离为，
顶点到准线的距离，焦点到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线
y
2
=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为
焦点弦 ，设A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长
AB
=
x
1
?x
2
+p或
AB?
p
2
p
倾斜角)，
y1
y
2
??p
，
x
1
x
2
? ,AF?x
1
?
(
AF
叫做焦半径).
42
2< br>p
2
2p
(α为直线AB的
sin
2
?
五、 坐标的变换：
- 4 - 16word.

（1）坐标变换： 在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标
轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变 换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都
不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（ 2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐
标系的变换叫做坐标轴 的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是 9x,y)，
在新坐标系x ′O′y′中的坐标是
(x
'
,y
'< br>)
.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中
的坐标是(h,k)，则
x?x'?h
y?y'?k
或
x'?x?h
y'?y?k

叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
方 程
(x-h)
2
(y-k)
2
+
2
=1
2
ab
焦 点
(±c+h,k)
焦 线
a
2
x=±+h
c
a
2
y=±+k
c
a
2
x=±+k
c
a
2
y=±+k
c
对称轴
x=h
y=k
x=h
y=k
x=h
y=k
x=h
y=k
y=k
y=k
x=h
椭圆
(x-h)
2
(y-k)
2
+
2
=1
b
2
a
(x-h)
2
(y-k)
2
-
2< br>=1
2
ab
(h,±c+k)
(±c+h,k)
双曲线
(y-k)
2
(x-h)
2
-
2
=1
a
2
b
(h,±c+h)
p
2
(y-k)
2
=2p(x-h)
(y-k)
2
=-2p(x-h)
抛物线
(x-h)=2p(y-k)
(x-h)
2
=-2p(y-k)
2
(+h,k)
(-+h,k)
(h, +k)
p
2
p
2
p
2
x=-+h
x=+h
y=-+k
p
2
p
2
p
2
p
2
(h,- +k)
- 5 - 16word.
y=+k
x=h

六、椭圆的常用结论：
1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角， 则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长
轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x
2
y
2
xxyy
5. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
? 1
上，则过
P
0
的椭圆的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2< br>?1
外，则过
P
0
作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
，则切点弦
ab
P
1
P
2
的直线方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
7. 椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上任意一点ab
?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆的焦点角形的 面积为
S
?F
1
PF
2
?b
2
tan?
2
.
x
2
y
2
8. 椭圆
2?
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公式
ab
|MF
1< br>|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
M(x
0
,y
0
)
).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结
AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上的顶点，A
1
P
和A
2
Q交于点M，A
2< br>P和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2< br>b
2
是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴的 弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中点，则
k
OM
?k
AB
??
2
，
ab
a
即
K
AB
b
2
x
0
??
2
。
a y
0
x
2
y
2
12.若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1< br>内，则被Po所平分的中点弦的方程是
ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2?
2
；
a
2
bab
- 6 - 16word.

【推论】：
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
1、若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?< br>2
?1
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
?
2
。
ab
abab
x
2
y< br>2
椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞o）的两个顶点为A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
，与y轴 平行的直线交椭圆
ab
x
2
y
2
于P
1、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
.
ab
x2
y
2
2、过椭圆
2
?
2
?1
(a＞0, b＞0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两 条倾斜角互补的直线交
ab
椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
k
BC< br>b
2
x
0
?
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
3、若P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P F
2
F
1
?
?
，则
a?c
??
? tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4、设椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的两个焦点为F
1
、F
2
,P（异于长轴端点）为椭圆上任
ab
意一点，在△PF
1
F
2
中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
? ?e
.
sin
?
?sin
?
a
x
2y
2
5、若椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的 左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，则当0＜e
ab
≤
2?1
时，可在椭圆上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与P F
2
的比例中项.
x
2
y
2
6、P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上任一点,F
1
,F
2
为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab
2a?|AF
2
|?|PA |?|PF
1
|?2a?|AF
1
|
,当且仅当
A,F2
,P
三点共线时，等号成立.
(x?x
0
)
2(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7、椭圆
a
2
b
2
A
2
a
2
?B
2
b
2
?(Ax
0
?By
0
?C)
2
.
x
2
y
2
8、已知椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点 ，且
OP?OQ
.
ab
4a
2
b
2
111 1
22
???
;（2）|OP|+|OQ|的最大值为
2
（1）;（ 3）
S
?OPQ
的最小值
a?b
2
|OP|
2|OQ|
2
a
2
b
2
a
2
b
2
是
22
.
a?b
- 7 - 16word.

x
2
y
2
9、过椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN
ab
的垂直平分线交x轴于P，则
|PF|e
?
.
|MN|2< br>x
2
y
2
10、已知椭圆
2
?
2
? 1
（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
?x
0
?
线与x轴相交于点
P(x
0
,0)
, 则
?
. < br>aa
x
2
y
2
11、设P点是椭圆
2
?2
?1
（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
、F
2
为其焦点
ab
2b
2
?
记
?F
1
PF
2
?
?
，则(1)
|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?b
2
tan
.
1?cos
?
2
x
2
y
2
12、设A、B 是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
?PAB?
?
,
ab2ab
2
|cos
?
|
c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有 (1)
|PA|?
222
.(2)
?PBA?
?
,
?BPA?
?
，
a?ccos
?
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
2
2a
2
b
2
?
2
cot
?
.
2
b? a
x
2
y
2
13、已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过椭圆右焦 点
F
的
ab
直线与椭圆相交于A、B两点,点
C
在右准线< br>l
上，且
BC?x
轴，则直线AC经过线段
EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与
相应焦点的连线必与 切线垂直.
15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必
与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为 常数
e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
- 8 - 16word.

七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
2、PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H 点的轨迹是以长轴
为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF
1
为 直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：
P在左支）
x
2< br>y
2
5、若
P
0
(x
0
,y
0)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上，则过< br>P
0
的双曲线的切线方程是
ab
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
6、若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切
ab
点为P
1
、P
2
，则 切点弦P
1
P
2
的直线方程是
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
7、双曲线
2
?
2
?1
（a＞0 ,b＞o）的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为双曲线上任意
a b
一点
?F
1
PF
2
?
?
，则双曲线的焦 点角形的面积为
S
?FPF
?b
2
cot
.
12
?
2
x
2
y
2
8、双曲线
2
?< br>2
?1
（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(
F
1
(?c,0 )
,
F
2
(c,0)
）当
M(x
0
, y
0
)
在
ab
右支上时，
|MF
1
|?e x
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a；当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时，
|MF< br>1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex
0
?a
。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2< br>为双曲线实轴上的顶
点，A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2
P和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2
11、AB是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的 不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB的中
ab
点，则
K
OM
?K
AB
b
2
x0
b
2
x
0
?
2
，即
K
AB
?
2
。
ay
0
ay
0
- 9 - 16word.

x
2
y
2
12、若P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2?
2
?1
（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程
ab< br>x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
x
2
y
2
13、若
P
0
(x< br>0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1< br>（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
ab
x
2
y< br>2
x
0
xy
0
y
?
2
?
2
?
2
.
2
abab
【推论】：
x
2< br>y
2
1、双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞ 0）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a, 0)
，与y轴平行的直线
ab
x
2
y
2
交双曲线于 P
1、
P
2
时A
1
P
1
与A
2< br>P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
. ab
x
2
y
2
2、过双曲线
2
?
2< br>?1
（a＞0,b＞o）上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直线
ab
交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且
k
BC
b
2
x
0
??
2
（常数）. < br>ay
0
x
2
y
2
3、若P为双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F
1, F
2
ab
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
，则
c?a
??
c?a
??
?tancot
（或
?tancot
）.
c?a22c?a2 2
x
2
y
2
4、设双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F
1
、F
2
,P（异于长轴端 点）为双曲
ab
线上任意一点，在△PF
1
F
2
中，记?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
??e
.
?(si n
?
?sin
?
)a
x
2
y
2
5 、若双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F< br>1
、F
2
，左准线为L，则当
ab
1＜e≤
2?1< br>时，可在双曲线上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d与PF
2
的比
例中项.
x
2
y
2
6、P为双曲线
2?
2
?1
（a＞0,b＞0）上任一点,F
1
,F
2< br>为二焦点，A为双曲线内一定
ab
点，则
|AF
2
|?2a? |PA|?|PF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三 点共线且
P
和
A,F
2
在y轴同侧时，等号
- 10 - 16word.

成立.
x
2
y
27、双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）与直线
Ax ?By?C?0
有公共点的充要条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
.
x
2
y
2
8、已知双曲线
2
?
2
?1
（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且
ab
OP?OQ
.
4 a
2
b
2
1111
22
???
;（2）|OP|+ |OQ|的最小值为
2
（1）;（3）
S
?OPQ
的最小值
b?a
2
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b< br>2
a
2
b
2
是
22
.
b?ax
2
y
2
9、过双曲线
2
?
2
?1< br>（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两
ab
点，弦MN的垂 直平分线交x轴于P，则
|PF|e
?
.
|MN|2
x
2
y
2
10、已知双曲线
2
?
2
?1
（a＞ 0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平
ab
a
2
?b< br>2
a
2
?b
2
分线与x轴相交于点
P(x
0
,0)
, 则
x
0
?
或
x
0
??
.
aa
x
2
y
2
11、设P点是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F
1
、F
2
为其焦
ab
2b
2
?
点记
?F
1
PF
2
?
?
，则(1)
|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?b
2
cot
.
1?cos
?
2
x
2
y
2
12、设A、B 是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线 上的一点，
ab
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有
2ab
2
|cos
?
|
(1)
|PA|?
222
.
|a?ccos
?
|
(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
2
2a
2
b
2
?
2
cot
?
.
2
b?a
x
2
y
2
13、已知双 曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右准线
l
与 x轴相交于点
E
，过双曲线右焦
ab
点
F
的直线与双曲线相 交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直 线AC经
- 11 - 16word.

过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交
点与相应焦 点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦 点的连
线必与焦半径互相垂直.
16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为 端点的焦半径之比为常数
e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外
点).
17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.
八、抛物线的常用结论：
4ac?b
2
b
①
ay?by? c?x
顶点
(?)
.
4a2a
2
②
y
2
?2px(p?0)
则焦点半径
PF?x?
P
;
x
2
?2py(p?0)
则焦点半径为
PF?y?
P
.
22
③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?
x?2pt
2
④
y?2px
（或
x?2py
）的参数方程为
?
?
y?2pt
22
（或
?
?
x?2pt
2
?
y?2pt
）（
t
为参数）.
x
2
??2py


y
2
?2px

y
2
??2px

▲
x
2
?2py

▲
y
y
▲
y
▲
y
图形
x
O
x
O
x
O
x
O

焦点
准线
范围
p
F(,0)

2
x??
p

2

F(?
p
,0)

2
p
2
F(0,
p
)

2
p
2

p
F(0,?)

2
y?
p
2

x?

y??

x?0,y?R

x?0,y?R

x?R,y?0

x?R,y?0

- 12 - 16word.

对称轴
顶点
离心率
焦点
PF?
p
?x
1

2
x
轴
y
轴
（0,0）
e?1

PF?
p
?x
1
2

PF?
p
?y
1

2
PF?
p
?y
1
2




- 13 - 16word.

- 14 - 16word.

圆锥曲线的性质对比
圆锥曲
线
标准方
程
范围
椭圆 双曲线 抛物线
(x^2a^2)+(y^2b^2)=1
a>b>0
(x^2a^2)-(y^2b^2)=1
a>0,b>0
y^2=2px p>0
x∈[-a,a] y∈[-b,b] x∈(-∞,-a]∪[a,+∞)
y∈R
x∈[0,+∞) y
∈R
关于x轴对称
(0,0)
对称性 关于x轴,y轴,原点对称
顶点 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-
b)
焦点 (c,0),(-c,0)
关于x轴,y轴,原点对称
(a,0),(-a,0)
(c,0),(-c,0) (p2,0)
【其中c^2=a^2-b^2】 【其中c^2=a^2+b^2】
准线 x=±(a^2)c x=±(a^2)c
y=±(ba)x
e=ca,e∈(1,+∞)
∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣
=∣ex-a∣
p=(b^2)c
- 15 - 16word.
x=-p2
—————
e=1
∣PF∣=x+p2
渐近线 ——————————
离心率 e=ca,e∈(0,1)
焦半径 ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-
ex
焦准距 p=(b^2)c p

通径
参数方
程
(2b^2)a (2b^2)a 2p
x=2pt^2 y=2px=a·cosθ y=b·sinθ，x=a·secθ
θ为参数
y=b·tanθ,θ为参数
t,t为参数
(x0xa^2)-(y0·yb^2)=1 y0·y=p(x+x0) 过圆锥
曲线上
一点
(x0·xa^2)+(y0·yb^2)
=1
(x0,y0)的切线方程
y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b
^2]
斜率为
k的切
线方程


y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b
^2]
y=kx+p2k
最新文件 仅供参考 已改成word文本 。 方便更改

- 16 - 16word.