高中数学-圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用.

圆锥曲线有关焦点弦的几个公式及应用
如果圆锥曲线的一条弦所在的直线经过焦点，则称 此弦为焦点弦。圆锥曲线的焦点弦问
题涉及到离心率、直线斜率（或倾斜角）、定比分点（向量）、焦半 径和焦点弦长等有关知
识。焦点弦是圆锥曲线的“动脉神经”，集数学知识、思想方法和解题策略于一体 ，倍受命
题人青睐，在近几年的高考中频频亮相，题型多为小题且位置靠后属客观题中的压轴题，也有作为大题进行考查的。本文介绍圆锥曲线有关焦点弦问题的几个重要公式及应用，与大家
交流。

定理1 已知点是离心率为的圆锥曲线的焦点，过点的弦与的焦点所在
的轴的夹 角为，且。（1）当焦点内分弦时，有；
（2）当焦点

外分弦时（此时曲线为双曲线），有。
证明 设直线是焦点所对应的准线，点在直线上的射 影分别为，点在
直线上的射影为。由圆锥曲线的统一定义得，，又
，所以

（1）

当焦点内分弦时。
。
如图1，，所以
。

图1

（2）

当焦点外分弦时（此时曲线为双曲线）。
如图2，，所以
。



图2

评注 特别要注意焦点外分焦点弦（此时曲线为双曲线）和内分焦点弦时公式的不同，
这一点 很容易不加区别而出错。

例1（2009年高考全国卷Ⅱ理科题）已知双曲线
为，过

且斜率为的直线交于两点。若，则
的右焦点
的离心率为（ ）

解 这里，所以，又，代入公式得，所
以

，故选。
例2（2010年高考全国卷Ⅱ理科第12题）已知椭圆的离心
率为
（ ）

。过右焦点且斜率为的直线于相交于两点，若，则



解 这里，，设直线的倾斜角为，代入公式得，所以
，所以

，故选。
例3 （08高考江西卷理科第15题）过抛物线的焦点作倾斜角为
的直线，与抛物线交于

两点（点在轴左侧），则有＿＿＿＿


图3

解 如图3，由题意知直线与抛物线的地称轴的夹角，当点在轴左侧时，
设

，又，代入公式得，解得，所以。
例4 （2010年高考全国卷Ⅰ理科第16题）已知
一个端点，线段

的延长线交于点， 且
是椭圆
，则
的一个焦点，是短轴的
的离心率为＿＿＿
解 设直线与焦点所在的轴的夹角为，则，又，代入
公式得

，所以。
例5（自编题）已知双曲线
且斜率为

的直线交的两支于两点。若
的离心率为
，则
，过左焦点
＿＿＿
解 这里，，因直线与左右两支相交，故应选择公式，
代入公式得

定理2 已知点
，所以所以，所以。
和直线是离心率为的圆锥曲线
。过点 的弦
的焦点和对应准线，焦准距（焦
的焦点所在的轴的夹角为点到对应准线的距离）为与曲线< br>，则有

。

证明 设点在准线上的射影分别为，过点作轴的垂线交直线
于点，交直线于点
。
。由圆锥曲线的统一定义得，，所以



图4

（1）当焦点内分弦时。如图4，
。

，
，
所以较长焦半径

，较短焦半径。
所以

（2）当焦点

外分弦时（此时曲线为双曲线）。
。

图5

如图5，

所以

，
，。
所以较长焦半径

，较短焦半径。
所以

。
综合（1）（2）知，较长焦半径，较短焦半径。
焦点弦的弦长公式为

。
特别地，当曲线为无心曲线即为抛物线时，焦准距就是径之半，较长焦半径
，较短焦半径，焦点 弦的弦长公式为。当曲
线为有心曲线即为椭圆或双曲线时，焦准距为

。

注 由上可得，当焦点内分弦时，有 。
当焦点

外分弦时，有 。
例6 （2009年高考福建卷理科第13题）过抛物线
为

的直线，交抛物线于两点，若线段的长为8，则
的焦点
＿＿＿
作倾斜角
解 由抛物线焦点弦的弦长公式为

得，，解得。
例7（2010年高考辽宁卷理科第20题）已知椭圆
经过

且倾斜角为的直线与椭圆相交于不同两点，已知
的右焦点为
。
，
（1）求椭圆的离心率；（2）若

，求椭圆方程。
解 （1）这里

，，由定理1的公式得，解得。
（2）将，代入焦点弦的弦长公式得 ，，解
得，即，所以①，又，设，
代入①得

，所以，所以，故所求椭圆方程为。

例8（2007年重庆卷第16题）过双曲线
线，交双曲线于

解 易知均在右支上，因为
两点，则的值为＿＿＿
的右焦点作倾斜角为的直
，离心率，点准距
，因倾斜角为

，所以。由焦半径公式得，
。

例9（ 由2007年重庆卷第16题改编）过双曲线
的直线，交双曲线于

两点，则的值为＿＿＿
的右焦点作倾斜角为
解 因为
所以。注意到
，离心率，点准距，因倾斜角为，
分别在双曲线的两支上，由焦半径公式得，
。

例10 （2007年高考全国卷Ⅰ）如图6，已知椭圆
过的直线交椭圆于两点，过的直线交 椭圆于
的左、右焦点分别为
两点，且
，
。求四边
形面积的最小值。

图6

解 由方程可知，

设直线

的夹角为

。代入弦长公式得，
与轴的夹角为，因为
，则。
，所以直线与轴
，。故四边形的面
积为，

。
所以四边形面积的最小值为

。
参考文献：

①郑 丽兵。一道解析几何调研题的解答、拓广与应用。数学通讯。2010（11、12）（上
半月）。

②玉邴图。两道高考题的统一推广。数学通讯。2010（11、12）（上半月）。

③万尔遐。曲线 何必与方程捆绑。数学通讯。2010（6）（下半月）。