2019人教版高中数学圆锥曲线经典题目含答案

圆锥曲线经典题目精选
一、选择题（每小题5分，共60分）
1．椭圆
x?my?1
的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（ ）
A．
22
11
B． C．2 D．4
42
2
2．过抛物线
y?4x
的焦点作直线l交抛物线于A、B两点 ，若线段AB中点的横坐标为3，
则
|AB|
等于（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．若直线y＝kx＋2与双曲线
x?y?6
的右支交于不同的两点，则
k
的取值范围是（ ）
22
A．
(?
1515151515
)
B．
(0
，
)
C．
(?
，，
0)
D．
(?
，
?1)

33333
2
4． （理）已知抛物线
y?4x
上两个动点B、C和点A（1，2）且∠BAC＝90°，则动直线
BC必过定点（ ）
A．（2，5） B．（-2，5） C．（5，-2） D．（5，2）
（文）过抛物线
y?2px(p?0)
的焦点作直线交抛物线于P(x
1
，
y
1
)
、
Q(x
2
，
y
2
)
两点，
若
x
1
?x
2
?3p
，则
|PQ|
等于（ ）
A．4p B．5p C．6p D．8p
5.已知两点
M(1,),N(?4,? )
,给出下列曲线方程：①
4x?2y?1?0
;②
x?y?3
;< br>2
5
4
5
4
22
x
2
x
2
2
?y?1
;④
?y
2
?1
.在曲线上存在点P满 足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（ ）③
22
（A）①③ （B）②④ （C）①②③ （D）②③④
x
2
y
2
6．已知双 曲线
2
?
2
?1
（a＞0，b＞0）的两个焦点为
F
1
、
F
2
，点A在双曲线第一象限
ab
的图象上，若△< br>AF
1
F
2
的面积为1，且
tan?AF
1
F
2
?
程为（ ）
1
，
ta n?AF
2
F
1
??2
，则双曲线方
2
12x2
5x
2
y
2
12y
2
x
2
5y
2
22
?3y?1
B．
??1
C．
3x??1
D．
??1
A．51235312
7．圆心在抛物线
y?2x(y?0)
上，并且与抛物线的准线 及x轴都相切的圆的方程是（ ）
2

1
?0
B．
x
2
?y
2
?x?2y?1?0

4
1
22
C．
x?y?x?2y?1?0
D．
x
2
?y
2
?x?2y??0

4
A．
x
2
?y
2
?x?2y?
8．双曲线的虚轴长为4，离 心率
e?
6
，
F
1
、
F
2
分别是 它的左、右焦点，若过
F
1
的直线
2
与双曲线的右支交于A、B两点 ，且
|AB|
是
|AF
2
|
的等差中项，则
|AB |
等于（ ）
A．
82
B．
42
C．
22
D．8．
9．（理）已知椭圆
x
2
?< br>1
2
，B（4，3）为端点的线段没有公共
y?a
2
（a＞0 ）与A（2，1）
2
点，则a的取值范围是（ ）
A．
0?a?
3232
82
B．
0?a?
或
a?

22
2
C．
a?
32823282
?a?
或
a?
D．
2222
2
（文）抛物线
(x?2)?2(y?m?2)
的焦 点在x轴上，则实数m的值为（ ）
A．0 B．
3
C．2 D．3
2
10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为
F(7,0)
,直线
y?x?1
与其相交于
M,N
两点,
MN
中点横坐标为
?
2
,则此双曲线的方程是( )

3
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??1 (B)
??1
(C)
??1
(D)
??1
(A)
34435225
11.将抛物线
y?x?4 x?3
绕其顶点顺时针旋转
90
0
，则抛物线方程为（ ）
（A）
(y?1)?2?x
（B）
(y?1)?x?2

（C）
(y?1)?2?x
（D）
(y?1)?x?2

12．若直线
mx?ny?4
和⊙O∶
x?y?4
没有交点，则过
( m,n)
的直线与椭圆
22
22
22
2
x
2
y
2
??1
的交点个数（ ）
94
A．至多一个 B．2个 C．1个 D．0个
二、填空题（每小题4分，共16分）

x
2
y
2
1
13．椭圆
??1
的离心率为，则 a＝________．
2
log
a
89
14．已知直线
y?x?1
与椭圆
mx?ny?1
(m?n?0)
相交于A，B两点，若弦 AB的中
22
x
2
y
2
1
点的横坐标等于
?
，则双曲线
2
?
2
?1
的两条渐近线的夹角的正切值等于 ________．
mn
3
15．长为l
(
0＜l＜1
)
的线段AB的两个端点在抛物线
y?x
上滑动，则线段AB中点M到x
轴距离 的最小值是________．
16．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆 ，测得近地点A距离地面
m(km)
，
远地点B距离地面
n(km)
，地球半径为
R(km)
，关于这个椭圆有以下四种说法：
①焦距长为
n? m
；②短轴长为
(m?R)(n?R)
；③离心率
e?
2
n ?m
；④若以AB
m?n?2R
?(m?R)(n?R)
方向为x轴正方向， F为坐标原点，则与F对应的准线方程为
x??
，
(n?m)
其中正确的序号 为________．

三、解答题（共44分）
17．（本小题10 分）已知椭圆的一个顶点为A（0，-1），焦点在x轴上.若右焦点到直线
x?y?22?0
的距离为3.
（1）求椭圆的方程;







（2）设椭圆与直线
y?kx?m(k?0)
相交于不同的两点 M、N.当
AM?AN
时，求m
的取值范围.

x
2
y
2
18．（本小题10分）双曲线
2
?
2
? 1(a?0,b?0)
的右支上存在与右焦点和左准线等距
ab
离的点，求离心率e
的取值范围.












19.（本小题12分）如图，直线
l
与抛物线
y
2
?x
交于
A(x
1
,y1
),B(x
2
,y
2
)
两点，与
x
轴
相交于点
M
，且
y
1
y
2
??1
.
（1）求证：
M
点的坐标为
(1,0)
；
（2）求证：
OA?OB
；
（3）求
?AOB
的面积的最小值.











2
y
A
O
B
M
x
y
2
?1
，射线
y?22x
（x≥0）与椭圆的交点为20．（本小题12分）已知椭圆方程为
x?
8
M，过M作倾斜角互补的两条直线，分别与椭圆交于A、B两点（异于M）．
（1）求证直线AB的斜率为定值；

（2）求△
AMB
面积的最大值．

答案
1. A 2.B 3 D 4 理C 文A 5 D 6 A 7 D 8A 9 理B 文B 10 D 11 B 12 B
l
2
4
13．
42
或
96
14． 15． 16．①③④
4
3
x
2
2
17.（1）依题意可设椭圆方程为
2
?y?1
，则右焦点F（
a
2
?1,0
）由题设
a
a
2< br>?1?22
2
x
2
?y
2
?1
.
?3
解得
a?3
故所求椭圆的方程为
3
2x
2
?y
2
?1
………………………………………………4分.
3
?
y?kx?m
222
(3k?1)x?6mkx?3(m?1) ?0
（2）设P为弦MN的中点，由
?
得
2
?
x< br>2
?
?y?1
?
3
由于直线与椭圆有两个交点，
?? ?0,
即
m
2
?3k
2
?1
①………………6分
?x
p
?
m
x
M
?x
N
3mk
从而
y
p
?kx
p
?m?

??
2
2
3k
2
?1
3k?1
y
p
?1
xp
m?3k
2
?1
又
AM?AN,?AP?MN
，则
??
3mk
?k
Ap< br>?
m?3k
2
?11
2
???
即
2m?3k?1
②…………………………8分
3mkk
把②代入①得
2m?m
2
解得
0?m?2
由②得
k
2
?
2m?1
?0
解得
3
m?
11
.故所求m的取范围是（
,2
）……………………………………10分
22
18．设M
(x
0,
y
0
)
是双曲线右支上满足条件的点， 且它到右焦点F
2
的距离等于它到左准线的
距离
MN
2
，即
MF
2
?MN
，由双曲线定义可知
MF
1
MN
?e?
MF
1
MF
2
?e
……5分
由焦点半径公式得
ex
0
?a
?e
ex
0
?a
?x
0
?
a(1?e)
…………………………7分
2
e?e
而
x
0
?a?
a(1?e)
?a
即
e
2
?2e?1?0
解得
1?2?e?2?1
但
2
e?e
e?1?1?e?2?1
……………………………………10分
19. (1 ) 设
M
点的坐标为
(x
0
,0)
, 直线
l
方程为
x?my?x
0
, 代入
y
2
?x
得
2

y?my?x
0
?0
①
y
1
,y
2
是此方程的两根,

∴
x
0
??y
1
y
2
?1
，即
M
点的坐标为（1, 0）.
(2 ) ∵
y
1
y
2
??1

∴
x
1< br>x
2
?y
1
y
2
?y
1
y
2
?y
1
y
2
?y
1
y
2
(y< br>1
y
2
?1)?0

∴
OA?OB
.
（3）由方程①，
y
1
?y
2
?m
,
y
1
y
2
??1
, 且
|OM|?x
0
?1
,
22
1
1
2?4yy
1
(y?y)m
2
?4
≥1，
1212
= 于是
S
?AOB
?|OM||y
1
?y
2
|?
2
2
2
∴ 当
m?0
时，
?AOB
的面积取最小值1.
20．解析：（1）∵ 斜率k存在，不妨设k＞0，求出
M
（
2
，2）．直线MA方程为
2
y?2?k(x?
22
)
，直线
AB
方程为
y?2 ??k(x?)
．
22
2k
2
?4k2
，
xB
?
?
k
2
?82
分别与椭圆方程联立，可解出
x
A
?
∴
2k
2
?4k2
．
?
k
2
?82
y
A
?y
B
k(x
A
?x
B
)
．
??22
． ∴
k
AB
?22
（定值）
x< br>A
?x
B
x
A
?x
B
2
y
2
?1
联立，消去
y
得
16x
2
?42mx
（2）设直线
AB
方程为
y?22x?m
，与
x?
8
?(m
2
?8)?0
．
由
??0
得
?4?m?4
，且
m?0
，点
M
到
AB
的距离为
d?
设
?AMB
的面积为
S
．
|m|
．
3
11
2
116
2
|AB|< br>2
d
2
?m(16?m
2
)?
?
()?2< br>．
432322
当
m??22
时，得
S
max
?2
．
∴
S
2
?

圆锥曲线课堂小测
一、选择题（每小题4分共24分）
1．
c?0
是方程
ax?y?c
表示椭圆或双曲线的


A．充分不必要条件
C．充要条件


B．必要不充分条件
D．不充分不必要条件
22
（ ）
x
2
y
2
x
2
y
2
??1
共焦点，而与曲线
??1
共渐近线的双曲线方程为 （ ）2．与曲线
24493664
y
2
x
2
A．
??1

169

x
2
y
2
B．
??1

169

y
2
x
2
??1
C．
916

x
2
y
2
??1
D．
916

3．我国发射的“神舟3号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心
F
2
为一个焦点的椭圆，近
地点A距地面为m千米，远地点B距地面为n千米，地球 半径为R千米，则飞船运行轨道
的短轴长为（ ）
A．
2(m?R)(n?R)
B．
(m?R)(n?R)

C．mn D．2mn
x
2
x
2
2
?y?1(m?1)
与双曲线
?y
2
?1 (n?0)
有相同的焦点F
1
、F
2
，P是4．若椭圆
mn
两曲线的一个交点，则
?F
1
PF
2
的面积是
A．4
2

C．1
（ ）
D．B．2
1

2
5．圆心在抛物线
y?2x
上，且与
x< br>轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）










A．
x
2
?y
2
?x?2y?
22
1
?0

4
B．
x?y?x?2y?1?0

D．
x
2?y
2
?x?2y?
22
C．
x?y?x?2y?1?0

1
?0

4
x
2
y
2
6． 已知双曲线
2
?
2
?1
的离心率
e?[2
，
2]
．双曲线的两条渐近线构成的角中，以实
ab

轴为角平分线的角 记为
?
，则
?
的取值范围是（ ）．
A．
[
πππππ
2π
2π
，
]
B．
[
，
]
C．
[
，
]
D．
[
，
π
]

623223
3
二、填空题（每小题4分共16分）
x
2
y
2
??1
的焦距与
k
无关，则它的焦点坐标是_________ _． 7．若圆锥曲线
k?2k?5
8．过抛物线
y
2
?4x
的焦点作直线与此抛物线交于P，Q两点，那么线段PQ中点的轨迹方
程是 .
x
2
y
2
y
2
x
2
9．连结 双曲线
2
?
2
?1
与
2
?
2
?1
（a＞0，b＞0）的四个顶点的四边形面积为
S
1
，
abba< br>S
连结四个焦点的四边形的面积为
S
2
，则
1
的最大 值是________．
S
2
x
2
y
2x
2
y
2
??1
和双曲线
??1
有下列命题： 10．对于椭圆
16979
①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点;
②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点;
③双曲线与椭圆共焦点;
④椭圆与双曲线有两个顶点相同.
其中正确命题的序号是 .
三、解答题（20分）
11．（本小题满分10分）已知直线
l
与圆
x?y?2x?0
相切于点T，且与双曲线
22
x
2
?y
2
?1
相交于A、B两点.若T是线段AB的中点，求直线
l
的方程.


















x
2
y
2
6
12．（10分）已知椭圆
2
?
2
（a＞b＞0）的离心率
e?
，过点
A(0,?b)
和
B(a,0)
的
3
ab

直线与原点的距离为
3
．
2
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点
E(?1,0)
，若直线
y?kx?2(k?0)
与椭圆交于C、D两点．问：是否存
在k的值，使以CD为直 径的圆过E点?请说明理由．

















圆锥曲线课堂小测答案
1
1 B 2 A 3 A 4 C 5 D 6 C 7．（0，
?7
）8．
y
2
?2x?2
9． 10.①②
2
11．解：直线
l
与
x
轴不平行，设
l
的方程为
x?ky?a
代入双曲线方程 整理得
(k
2< br>?1)y
2
?2kay?a
2
?1?0
……………………3分 而
k
2
?1?0
，于是
y
T
?
y
A
?y
B
ak
aaka
??
2
从而
x
T
?ky
T
?a??
2
即
T(,)
……5分
22
2
k?1
k?11?k1?kak
2
a
2
2a
?
点T在圆上
?()?()??
0
即
k
2
?a?2
①
222
1?k1?k1?k
2
由圆心
O
?
(? 1,0)
.
O
?
T?l
得
k
O
?
T
?k
l
??1
则
k?0
或
k?2a?1

当
k?0
时，由①得
a??2,?l
的方程为
x??2
；
2
当
k?2a?1
时，由①得
a?1

K??3,?l
的方程为
x??3y?1
.故所求 直线
l
的方
程为
x??2
或
x??3y?1
…………………………10分

12．解：（1）直线AB方程为：
bx?ay?ab?0
．
?
c6
，
?
?
?
a?3，
3
?
a
依题意
?
解得
?

3
?
b?1
?
ab
?
22
?
2
?
a?b
x< br>2
?y
2
?1
． ∴ 椭圆方程为
3
?
y?kx?2，
2
2
(1?3k)
（2）假若存在这样的k值，由
?
2
得
x?12kx?9?0
．
2
?
x?3y?3?0
∴
??(12k)?36(1?3k)?0
． 设
C(x
1
，
y
1
)
、
D(x
2
，
y
2< br>)
，则
22
12k
?
x?x??，
2
??
12
1?3k
②
?
9
?
x
?
x?
12
?
1?3k
2
?
而
y
1
?
y
2
?(kx
1
?2)(kx< br>2
?2)?kx
1
x
2
?2k(x
1
?x< br>2
)?4
．
2
要使以CD为直径的圆过点E（-1，0），当且 仅当CE⊥DE时，则
y
1
?
y
2
??1
，
x
1
?1x
2
?1
即
y
1
y
2
?(x
1
?1)(x
2
?1)?0
．
∴ < br>(k?1)x
1
x
2
?2(k?1)(x
1
?x2
)?5?0
． ③
将②式代入③整理解得
k?
综上可知，存在
k?
2
77
．经验证，
k?
，使①成立．
66
7
，使得以CD为直径的圆过点E．
6