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高中数学圆锥曲线解题技巧 方法总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 06:43
tags:高中数学圆锥曲线

教师资格证高中数学考试试卷及答案-2017上海高中数学竞赛获奖名单

2020年9月22日发(作者:莫燕忠)


圆锥曲线
1.圆锥曲线的两定义:
第一定义中要重视“括号”内的限制条件:椭圆中,与两个定点F< br>1
,F
2
的距离的和等于常数
2a

且|,定义中的 “绝对值”与
2a
<|F
1
F
2
|不可忽视。若
2 a
=|F
1
F
2
|,则轨迹是以F
1
,F
2
为端点的
两条射线,若
2a
﹥|F
1
F
2
|,则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。
如方程
(x?6)
2
?y
2
?(x?6)
2
?y
2
?8表示的曲线是_____()

2.圆锥曲线的标准方程(标准方程是指中心(顶点)在原点,坐标轴为对称轴时的标准位置的方程):
x
2
y
2
y
2
x
2
(1)椭圆: 焦点在
x
轴上时
2
?
2
?1

a?b?0
),焦点在
y
轴上时
2
?
2
=1(
a?b ?0
)。
ab
ab
22

x,y?R
,且< br>3x
2
?2y
2
?6
,则
x?y
的最大值是 ____,
x?y
的最小值是___
(2)双曲线:
如设中心在坐标原 点
O
,焦点
F
1

F
2
在坐标轴上,离心 率
e?
则C的方程为_______(答:
x
2
?y
2?6

(3)抛物线:开口向右时
y?2px(p?0)
,开口向左时
y??2px(p?0)
,开口向上时
22
2
的双曲线C过点
P(4,?10)

x
2
?2py(p?0)
,开口向下时
x
2
??2py(p?0)


3.圆锥曲线焦点位置的判断(首先化成标准方程,然后再判断):
(1)椭圆:由
x
,
y
22
分母的大小决定,焦点在分母大的坐标轴上。
x
2
y
2
如已知方程
??1
表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范 围是__(答:
m?12?m
(2)双曲线:由
x
,
y
项系数的正负决定,焦点在系数为正的坐标轴上;
(3)抛物线:焦点在一次项的坐标轴上,一次项的符号决定开口方向。
提醒:在椭圆中,< br>a
最大,
a?b?c
,在双曲线中,
c
最大,
c?a ?b


4.圆锥曲线的几何性质:
222222
22
x
2
y
2
(1)椭圆(以
2
?
2
?1
a?b?0
)为例):①范围:
?a?x?a,?b?y?b
;②焦点 :两
ab
个焦点
(?c,0)
;③对称性:两条对称轴
x?0,y? 0
,一个对称中心(0,0),四个顶点
(?a,0),(0,?b)

a< br>2
c
其中长轴长为2
a
,短轴长为2
b
;④准线:两 条准线
x??
; ⑤离心率:
e?
,椭圆
?
0?e?1
c
a
e
越小,椭圆越圆;
e
越大,椭圆越扁。 x
2
y
2
10
如(1)若椭圆,则
m
的值是_ _();
??1
的离心率
e?
5
5m
(2)以椭圆上一点 和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时,则椭圆长轴的最小值为
__
(2)双曲线;⑥两条渐近线:
y??
2
b
x

a
p
,0)
,其中
p
2
(3)抛物线(以
y?2p x(p?0)
为例):①范围:
x?0,y?R
;②焦点:一个焦点
(
的几何意义是:焦点到准线的距离;③对称性:一条对称轴
y?0
,没有对称中心,只有一个 顶点(0,0);


④准线:一条准线
x??
p
c
; ⑤离心率:
e?
,抛物线
?
e?1

a
2
2
如设
a?0,a?R
,则抛物线
y?4ax
的焦点坐标为___ _____(;
22
x
0
y
0
x
2
y< br>2
5、点
P(x
0
,y
0
)
和椭圆
2
?
2
?1

a?b?0
)的关系:(1)点
P( x
0
,y
0
)
在椭圆外
?
2
?
2
?1

ab
ab
22
22
x
0
y
0
x
0
y
0
(2)点
P(x
0
, y
0
)
在椭圆上
?
2
?
2
=1;(3)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆内
?
2
?
2
?1

ab
ab
(2)相切:
??0
?
直线与椭圆相切;
??0
?
直线与双曲线相切;
??0
?
直线与抛物线相
切;
(3)相离:
??0
?
直线与椭圆相 离;
??0
?
直线与双曲线相离;
??0
?
直线与抛物线相
离。


7、焦点三角形(椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形)问题:
S?btan
|y
0
|?b

P
为短轴端点时,
S
max
的最大值为bc;对于双曲线
S?


9、弦长公式:若直线
y?kx?b
与圆锥曲线相交于两点A、B,且x
1
,x
2
分别为A、B的横坐标,则
AB

1?k
2
2
?
2
?c|y
0
|

b
2
tan
?
2
。 如
x
1
?x2
,若
y
1
,y
2
分别为A、B的纵坐标,则
AB

1?
2
1
y
1
?y
2
,若 弦AB所在直线
k
2
方程设为
x?ky?b
,则
AB

1?ky
1
?y
2
。特别地,焦点弦(过焦点的弦):焦点弦的 弦长的计
算,一般不用弦长公式计算,而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解。





10、圆锥曲线的中点弦问题:遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
b2
x
0
x
2
y
2
在椭圆
2
?
2
?
1
中,以
P(x
0
,y
0
)
为中点的弦所在直线的斜率k=-
2

ab
ay
0
弦所在直线的方程: 垂直平分线的方程:


11.了解下列结论

13.圆锥曲线中线段的最值问题:
例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上 一点P到点A(3,4
2
)与到准线的距离和最小,则点 P的坐标为
______________
(2)抛物线C: y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐标为 。


分析:(1)A在抛物线外,如图,连PF,则
PH?PF
,因而 易发现,
当A、P、F三点共线时,距离和最小。
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线
时,距离和最小。 解:(1)(2,
2
)(2)(
A
Q
H
P
F
B
1
,1

4
x
2
?y
2
? 1
,双曲线
C
2
的左、右焦点分别为
C
1
的左、右 顶点,而
C
2
的左、右1、已知椭圆
C
1
的方程为
4
顶点分别是
C
1
的左、右焦点。
(1) 求双曲线
C
2
的方程;


19(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xOy巾,已知圆心在第二象限、半径 为
22
的圆C与直线
y?x
相切于坐标原点
x
2
y
2
?1
与圆c的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. 0.椭圆
2
?
a9
(1)求圆C的方程; (2)试探究圆C上是否存 在异于原点的点Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF
的长.若存在,请求出点Q的坐标;若不存 在,请说明理由.












20.(本小题满分14分)
Y
x2
y
2
线方

b>0
,椭圆方程为
2
?
2
=1,抛物
2bb
F
2
G
程为x=8(y-b ).如图6所示,过点F(0,b+2)作x轴
的平行线,与抛物线在第一象限的交点为
G,已
知抛物线在
G
点的切线经过椭圆的右焦点
F
1

(1)求满足条件的椭圆方程和抛物线
图6
(2)设
A,B
分别是 椭圆的左右端点,试
A
O
F
1
B
X
方程;
探究
在抛物线上是否存在点
P
,使
VABP
为直角三角形? 若存在,请指出共有几个这样的点?并说明理由


(不必求出这些点的















19.(本小题满分14分)
已知椭圆G的中心 在坐标原点,长轴在
x
轴上,离心率为
22
3
,两个焦点分别为F
1

F
2
,椭圆G上一
2
点到
F< br>1

F
2
的距离之和为12.圆
C
k
:x?y?2kx?4y?21?0
(k?R)
的圆心为点
A
k
.
(1)求椭圆G的方程
(2)求
?A
k
F
1
F
2
的面积
(3)问是否存在圆
C
k
包围椭圆G?请说明理由.








21.(本小题满分14分)
在平面直角坐标系
xOy
中,直线
l:x??2

x轴于点A,设
P

l
上一点,M是线段OP的垂直
平分线上一点 ,且满足∠MPO=∠AOP
(1)当点P在
l
上运动时,求点M的轨迹E的方程;
(2)已知T(1,-1),设H是E 上动点,求
HO
+
HT
的最小值,并给出此时点H的坐标;


(3)过点T(1,-1)且不平行与y轴的直线l
1
与轨迹E有且只有两个不同的交 点,求直线
l
1
的斜
率k的取值范围。











x
2
y
2
20.在平面直角坐标系
xOy
中,已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点为
F< br>1
(?1,0)
,且点
P(0,1)

C
1
ab
上.
(1) 求椭圆
C
1
的方程;
(2) 设直线
l
与椭圆
C
1
和抛物线
C
2
:y
2
?4x
相切,求直线
l
的方程.









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