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高中数学圆锥曲线解题技巧总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 06:44
tags:高中数学圆锥曲线

高中数学试题高三语文考试答案-高中数学删除映射

2020年9月22日发(作者:宁正)


解圆锥曲线问题的常用方法大全
1、定义法

(1)椭圆有 两种定义。第一定义中,r
1
+r
2
=2a。第二定义中,r
1=ed
1
r
2
=ed
2


(2)双曲线有两种定义。第一定义中,
r
1
?r
2
?2a
,当r
1
>r
2
时,注意r
2
的最小
值为c-a: 第二定义中,r
1
=ed
1
,r
2
=ed
2
,尤其应注意第二定义的应用,常常将 半径
与“点到准线距离”互相转化。

(3)抛物线只有一种定义,而此定义的作用较椭圆、双曲线更大,很多抛物线
问题用定义解决更直接简 明。

2、韦达定理法

因直线的方程是一次的,圆锥曲线的方程是 二次的,故直线与圆锥曲线的问题
常转化为方程组关系问题,最终转化为一元二次方程问题,故用韦达定 理及判别式
是解决圆锥曲线问题的重点方法之一,尤其是弦中点问题,弦长问题,可用韦达定
理 直接解决,但应注意不要忽视判别式的作用。

3、解析几何的运算中,常设一些量而 并不解解出这些量,利用这些量过渡使问
题得以解决,这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直 线与圆锥曲线相交而
产生的弦中点问题,常用“点差法”,即设弦的两个端点A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),弦AB中
点为M( x
0
,y
0
),将点A、B坐标代入圆锥曲线方程,作差后,产生弦中点与弦 斜率的
关系,这是一种常见的“设而不求”法,具体有:


x
2
y
2
(1)
2
?2
?1(a?b?0)
与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(x
0
, y
0
),则有
ab
x
0
y
0
?
2
k?0


2
ab
x
2
y
2
(2)
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线l相交于A、B,设弦AB中点为M(x
0
,y
0
)则有
ab
x
0
y
0
?k?0

a
2
b
2
(3)y
2
=2px (p>0)与直线l相交于A、B设弦AB中点为M(x
0
,y
0
),则有2 y
0
k=2p,
即y
0
k=p.


【典型例题】

例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上一点P到点A (3,4
2
)与到准线的距离和最小,则点 P
的坐标为______________

(2)抛物线C: y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐
标为 。

A
Q
H
P
F
B
分析:(1)A在抛物 线外,如图,连PF,则
PH?PF

易发现,当A、P、F三点共线时,距离和最小 。

因而
(2)B在抛物线内,如图,作QR⊥l交于R,则当B、Q、R三点共线时 ,距离和
最小。

解:(1)(2,
2


连PF,当A、P、F三点共线时,
AP?PH?AP?PF
最小,此时AF的方程为
y?
42?0
2
(x?1)
即 y=2
2
(x- 1),代入y=4x得P(2,2
2
),(注:另一交点为
3?1
(
,?2
),它为直线AF与抛物线的另一交点,舍去)

1
2
(2)(
,1


1
4
过Q 作QR⊥l交于R,当B、Q、R三点共线时,
BQ?QF
的纵坐标为1,代入y
2< br>=4x得x=,∴Q(
,1
)

1
4
1
4< br>?BQ?QR
最小,此时Q点
点评:这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转 化的一个典型例题,
请仔细体会。

x
2
y
2
例2 、F是椭圆
??1
的右焦点,A(1,1)为椭圆内一
43

yA
F
0

F
P
H
x
点,P为椭圆上一 动点。

(1)
PA?PF
的最小值为

(2)
PA?2PF
的最小值为

分析:PF为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径
PF
?
或准线 作出来考虑问题。

解:(1)4-
5


设另一焦点为
F
?
,则
F
?
(-1,0)连A
F< br>?
,P
F
?


PA?PF?PA?2a?P F
?
?2a?(PF
?
?PA)?2a?AF
?
?4?5< br>
当P是
F
?
A的延长线与椭圆的交点时,
PA?PF
取得最小值为4-
5


(2)3

作出右准线l,作PH⊥l交于H,因a
2
=4,b
2
= 3,c
2
=1, a=2,c=1,e=,

1
2

PF?
1
PH,即2PF?PH

2

PA?2PF?PA?PH

a
2
当A、P、 H三点共线时,其和最小,最小值为
?x
A
?4?1?3

c

例3、动圆M与圆C
1
:(x+1)
2
+y< br>2
=36内切,与圆C
2
:(x-1)
2
+y
2=4外切,求圆心M的轨
迹方程。

y
M
D
C
5
分析:作图时,要注意相切时的“图形特征”:两个
与切点这三点共线(如图中的A、M、C 共线,B、D、M
线)。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径”(如图


MC?MD

圆心

x
中的
A
0
B解:如图,
MC?MD



AC?MA?MB?DB即6?MA?MB?2


MA?MB?8
(*)

x
2
y
2
∴点M的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b=15轨迹方程为
??1
< br>1615
2
点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离 公
式列式求解,即列出
(x?1)
2
?y
2
?(x?1)< br>2
?y
2
?4
,再移项,平方,…相当于将椭圆
标准方程推导 了一遍,较繁琐!

例4、△ABC中,B(-5,0),C(5,0),且sinC- sinB=sinA,求点A的轨迹方程。

3
5
分析:由于sinA、si nB、sinC的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R为外接圆
半径),可转化为边长的关系。

解:sinC-sinB=sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA

3
5
3
5

AB?AC?BC

3
5

AB?AC?6
(*)

∴点A的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)

∵2a=6,2c=10


∴a=3, c=5, b=4

x
2
y
2
所求轨迹方程为
??1
(x>3)

916
点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明 了轨迹(双曲
线右支)

例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x
2< br>上移动,AB中点为M,求点M到x
轴的最短距离。

分析:(1)可直接利用 抛物线设点,如设A(x
1
,x
1
2
),B(x
2
,X
2
2
),又设AB中点为
M(x
0
y
0
)用弦长公式及中点公式得出y
0
关于x
0
的函数表达式,再用函数思想求 出最短
距离。

(2)M到x轴的距离是一种“点线距离”,可先考虑M到准线的距离 ,想到用定
义法。

解法一:设A(x
1
,x
1
2
),B(x
2
,x
2
2
),AB中点M(x
0,y
0
)

22
?
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
2
?x
2
)?9

?



?
x
1
?x
2?2x
0
?
22
?
x
1
?x
2
?2y
0
由①得(x
1
-x
2
)
2
[1 +(x
1
+x
2
)
2
]=9

即[(x< br>1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
]·[1+(x
1
+x
2
)
2
]=9 ④
< /p>


由②、③得2x
1
x
2
=(2x
0
)
2
-2y
0
=4x
0
2
-2y
0

代入④得 [(2x
0
)
2
-(8x
0
2
-4y
0
)]·[1+(2x
0
)
2
]=9

4y
0
?4x
0
2
?
9


2
1?4x
0
2
4y
0
?4x
0
?
99
2
?(4x?1)??1

0
22
4x
0
4x
0
?1

29?1?5,

y
0
?
5

4
当4x
0
2
+1=3 即
x
0
??
225
5
时,
(y
0
)
min
?
此时
M(?,)

224
4
法二:如图,
2MM
2
?AA
2
?BB
2
?AF?BF?AB?3


MM
2
?
, 即
MM
1
??


A
3
2
14
3
2
y
M
B
5

MM
1< br>?
, 当AB经过焦点F时取得最小值。

4
A
1
A
2
0
M
1
M
2
B
1
B
2
x
∴M到x轴的最短距离为
5

4
点评:解法一是列出方程 组,利用整体消元思想消x
1
,x
2
,从而形成y
0
关于x
0

函数,这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义,巧妙地
将中点M到x轴的距离转化为它到准线的距离,再利用梯形的中位线,转化为A、B

到准线的距离和,结合定义与三角形中两边之和大于第三边(当三角形“压扁”时,
两边之和等于第 三边)的属性,简捷地求解出结果的,但此解法中有缺点,即没有
验证AB是否能经过焦点F,而且点M 的坐标也不能直接得出。

x
2
y
2
?1(2?m?5)< br>过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及准线例6、已知椭圆
?
mm?1
从左到右 依次变于A、B、C、D、设f(m)=
AB?CD
,(1)求f(m),(2)求f(m)的 最
值。

分析:此题初看很复杂,对f(m)的结构不知如何运算,因A、B来源于“ 不同系
统”,A在准线上,B在椭圆上,同样C在椭圆上,D在准线上,可见直接求解较繁,
将 这些线段“投影”到x轴上,立即可得防

f(m)?(x
B
?x
A
)2?(x
D
?x
C
)2?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?X
C
)


?

?
2(x
B
?x
C
)?( x
A
?x
D
)

y
C
D
2(x
B
?X
C
)
A
B
F
1
0
F
2
x
此时问题已明朗化 ,只需用韦达定理即可。

x
2
y
2
222
?1< br>中,a=m,b=m-1,c=1,左焦点F
1
(-1,0)

解:( 1)椭圆
?
mm?1
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x
2< br>+my
2
-m(m-1)=0

得(m-1)x
2
+ m(x+1)
2
-m
2
+m=0

∴(2m-1)x
2
+2mx+2m-m
2
=0


设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=-
2m
(2?m?5)< br>
2m?1
f(m)?AB?CD?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?x
C
)
2m

?2(x
1< br>?x
2
)?(x
A
?x
C
)?2x
1
?x
2
?2?
2m?1
(2)
f(m)?2
2m?1?1 1
?2(1?)

2m?12m?1
∴当m=5时,
f(m)
min
?
102

9
当m=2时,
f(m)
max
?
42

3
点评:此 题因最终需求
x
B
?x
C
,而BC斜率已知为1,故可也用“点差法 ”设BC
中点为M(x
0
,y
0
),通过将B、C坐标代入作差,得

x
0
y
?
0
?k?0
,将y
0
=x
0
+1,k=1代入
mm?1
x
0
x
0
?1
m
2m
??0
,∴
x
0
??
,可见
x
B
?x
C
??

mm?1
2m ?1
2m?1
当然,解本题的关键在于对
f(m)?AB?CD
的认识,通过 线段在x轴的“投影”
发现
f(m)?x
B
?x
C
是解此题 的要点。


【同步练习】

x
2
y
2< br>1、已知:F
1
,F
2
是双曲线
2
?
2?1
的左、右焦点,过F
1
作直线交双曲线左支于
ab

< br>点A、B,若
AB?m
,△ABF
2
的周长为( )

A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1,则P点的轨迹方程



( )

A、y
2
=-16x B、y
2
=-32x C、y
2
=16x D、y
2
=32x

3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等 差数列,且
AB?AC
,点B、C的
坐标分别为(-1,0),(1,0),则顶点A 的轨迹方程是( )

x
2
y
2
x
2y
2
A、
??1
B、
??1(x?0)


4343
x
2
y
2
x
2
y
2
C、
??1(x?0)
D、
??1(x?0且y?0)

4343
4、过原点的椭圆的一个焦点为F (1,0),其长轴长为4,则椭圆中心的轨迹方程



( )


A、
(x?)
2
?y2
?(x??1)
B、
(x?)
2
?y
2
?(x??1)

1
2
9
4
1
2
9
4
C、
x
2?(y?)
2
?(x??1)
D、
x
2
?(y?)
2
?(x??1)

1
2
9
4
1
2
9
4
x
2
y
2
5、已知双曲线
??1
上一点M的横坐标为4,则点M到左焦点的距离是

916
6、抛物线y=2x
2
截一组斜率为2的平行直线,所得弦 中点的轨迹方程是

7、已知抛物线y
2
=2x的弦A B所在直线过定点p(-2,0),则弦AB中点的轨迹方
程是


8、过双曲线x
2
-y
2
=4的焦点且平行于虚轴的弦长为

9、直线y=kx+1与双曲线x
2
-y
2
=1的交点个 数只有一个,则k=

x
2
y
2
10、设点P是椭圆
??1
上的动点,F
1
,F
2是椭圆的两个焦点,求sin∠F
1
PF
2
259
的最大值。< br>




11、已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,左 焦点到坐标原点、右焦点、右准
线的距离依次成等差数列,若直线l与此椭圆相交于A、B两点,且AB 中点M为(-2,
1),
AB?43
,求直线l的方程和椭圆方程。






x
2
y
2
12、已知直线l和双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
及其渐 近线的交点从左到右依次为
ab
A、B、C、D。求证:
AB?CD









【参考答案】

1、C

AF
2
?AF< br>1
?2a,BF
2
?BF
1
?2a


AF
2
?BF
2
?AB?4a,AF
2
?B F
2
?AB?4a?2m,
选C

2、C

点P到F与到x+4=0等距离,P点轨迹为抛物线 p=8开口向右,则方程为y
2
=16x,
选C

3、D



AB?AC?2?2
,且
AB?AC

∵ 点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线,即y≠0,故选
D。

4、A

设中心为(x,y),则另一焦点为(2x-1,2y),则原点到两焦点距 离和为4得
19
1?(2x?1)
2
?(2y)
2
?4,∴
(x?)
2
?y
2
?


24
①又c(x?1)
2
?y
2
?2

∴(x-1)
2
+y
2
<4 ②,由①,②得x≠-1,选A

5、
29

3
左准线为x =-,M到左准线距离为
d?4?(?)?
ed?
52929
??

353
9
5
9
5
29
则M到左焦点的距离为
5
6、
x?(y?)

1
2
1
2
设弦为AB,A(x
1
,y
1
),B(x
2< br>,y
2
)AB中点为(x,y),则y
1
=2x
1
2
,y
2
=2x
2
2
,y
1
-y
2
=2(x
1
2
-x
2
2
)



y
1
?y
2
1
?2(x
1
? x
2
)
∴2=2·2x,
x?

x
1
?x
2
2

x?
代入y=2x
2

y?< br>,轨迹方程是
x?
(y>)

1
2
1
21
2
1
2
7、y
2
=x+2(x>2)
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),AB中点M(x,y),则

22
y
1
2
?2x1
,y
2
?2x
2
,y
1
2
?y2
?2(x
1
?x
2
),
y
1
?y< br>2
?(y
1
?y
2
)?2

x
1< br>?x
2

k
AB
?k
MP
?
y?0 y
2
,∴
?2y?2
,即y=x+2

x?2x?2
又弦中点在已知抛物线内P,即y
2
<2x,即x+2<2x,∴x>2

8、4

a
2
?b
2
?4,c
2
?8,c?22
,令
x?22
代入方程得8-y=4

2
∴y
2
=4,y=±2,弦长为4

9、
?2或?1

y=kx+1代入x
2
-y
2< br>=1得x
2
-(kx+1)
2
-1=0

∴(1-k
2
)x
2
-2kx-2=0

< br>?
1?k
2
?0

?
得4k
2
+8 (1-k
2
)=0,k=
?2

?
??0
②1-k
2
=0得k=±1

y
P
F
1
F
2
x
10、解:a=25,b=9,c=16
222
设F
1
、F
2
为左、右焦点,则F
1
(-4,0)F
2
(4,0)




P F
1
?r
1
,PF
2
?r
2
,?F
1
PF
2
?
?

r
1
?r
2< br>?2
?

?
?
22
?
r
1
?r
2
?2r
1
r
2
cos
?
?(2c)
2


2
-②得2r
1
r
2(1+cosθ)=4b
2

4b
2
2b
2
∴1+cosθ= ∵r
1
+r
2
?2r
1
r
2
, ∴r
1
r
2
的最大值为a
2

?
2r1
r
2
r
1
r
2
2b
2
18
∴1+cosθ的最小值为
2
,即1+cosθ
?

a
25
cosθ
??
77
?

0??
?
?
?arccos
则当
?
?
时,sinθ 取值得最大值1,

25252
即sin∠F
1
PF
2
的最大值为1。

x
2
y
2
11、设椭圆方程为
2
?
2?1(a?b?0)

ab


由题意:C、2C、
a
2
c
?c
成等差数列,


4c?c?
a
2
c
?c即a
2
?2c
2


∴a2
=2(a
2
-b
2
),∴a
2
=2b
2

椭圆方程为
x
2
y
2
2b
2
?
b
2
?1
,设A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)


x
2
y222
11
x
2
y
2
2b
2
?
b
2
?1

2b
2
?
b
2
?1


①-②得
x
2222
1
?x
2
2b
2
?
y
1
?y
2
b
2
?0


x
m
2b
2
?
y
m
b
2
?k?0


?2
2
?k?0
∴k=1

直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3, 代入椭圆方程即x
2
+2y
2
-2b
2
=0
x
2
+2(x+3)
2
- 2b
2
=0

∴3x
2
+12x+18-2b
2
=0,
AB?x1
?x
2
1?1?
1
3
12
2
?12 (18?2b
2
)2?43

解得b
2
=12, ∴椭圆 方程为
x
2
y
2
24
?
12
?1
,直线l方程为x-y+3=0


12、证明:设A(x
1
,y
1
),D(x
2
,y
2
),AD中点为M(x
0
,y
0
)直线l的斜率为k,则

?
?
x
22
1
?
a
2
?
y
1
b
2
?1



①-②得
2x
0< br>?
2
?
2y
0
b
2
?k?0


?
x
22
a
?
2
?
a
2
?
y
2
b
2
?1

B(x
1
?
,y
1
?
),C(x
?
2
,y
2
?
),BC中点为M
?
(x
0
?
,y
0
?
)



?
?
x
1
2
y
1
2
1
?
2
?
1
2
? 0

?
ab



?
1
2
?
xy
1
2
2
?
a
2
?2
b
2
?0
④-⑤得
2x
1
?
2y< br>1
0
a
2
?
b
2
?k?0


由③、⑥知M、
M
?
均在直线
l
?
:
2x
a
2
?
2y
b
2
?k?0
上 ,而M、
若l过原点,则B、C重合于原点,命题成立

若l与x轴垂直,则由对称性知命题成立

若l不过原点且与x轴不垂直,则M与
M
?
重合


AB?CD





M
?
又在直线l上 ,

























椭圆与双曲线的对偶性质总结



椭 圆
点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
1.
2.
PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角,则焦 点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴
为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.


4.
以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

x
2
y
2
xxyy
5.

P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2< br>?1
上,则过
P
0
的椭圆的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.

ab
ab
x
2
y
2
6.

P< br>0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?2
?1
外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2,则切点
ab
xxyy
弦P
1
P
2
的直线方程 是
0
2
?
0
2
?1
.

ab
x
2
y
2
7.
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,点P为椭圆上任意一点ab
?F
1
PF
2
?
?
,则椭圆的焦点角形的 面积为
S
?F
1
PF
2
?b
2
tan?
2
.

x
2
y
2
8.
椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的焦半径公式:

ab
|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a?ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)
M(x
0
,y
0
)
).

9.
设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结
AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点,则MF⊥NF.

10.
过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭 圆长轴上的顶点,A
1
P
和A
2
Q交于点M,A
2
P和A
1
Q交于点N,则MF⊥NF.

x
2
y
2
b
2
11.
AB是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴的弦,M
(x
0
, y
0
)
为AB的中点,则
k
OM
?k
AB
??
2


aba

K
AB
b
2
x
0
??
2


ay
0
x
2
y
2
12.

P< br>0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?2
?1
内,则被Po所平分的中点弦的方程是
ab


x0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
.

a
2
b ab
x
2
y
2
x
2
y
2
x
0
xy
0
y
13.

P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内,则过Po的弦中点的轨迹方程是
2
?
2
?
2
?
2
.

ababab
双曲线
点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
1.
2.
PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角,则焦 点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长
轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.

3.
以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4.
以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P在右支;外
切:P在左支)

x
2
y
2
5.

P
0
(x0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a>0,b>0)上,则过
P
0
的双曲线的切线方程
ab
xx yy

0
2
?
0
2
?1
.

ab
x
2
y
2
6.

P
0(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2?1
(a>0,b>0)外 ,则过Po作双曲线的两条切
ab
xxyy
线切点为P
1
、P
2
,则切点弦P
1
P
2
的直线方程是
0
2
?
0
2
?1
.

ab
x
2
y
2
7.
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)的左右焦点分别为F
1
,F
2
,点P为双曲线上任
ab
意一点
?F
1
PF
2?
?
,则双曲线的焦点角形的面积为
S
?FPF
?b
2
cot
.

12
?
2


x
2
y
2
8.
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)的焦半径公式:(< br>F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)

ab

M(x
0
,y
0
)
在右支上时,< br>|MF
1
|?ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
.


M(x
0
,y< br>0
)
在左支上时,
|MF
1
|??ex
0
? a
,
|MF
2
|??ex
0
?a

9.
设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶
点,连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点,则MF⊥
NF.

10.
过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线实轴上的
顶点,A
1
P和A
2
Q交于点M,A
2< br>P和A
1
Q交于点N,则MF⊥NF.

x
2
y
2
11.
AB是双曲线
2
?2
?1
(a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M
(x
0
, y
0
)
为AB的
ab
b
2
x
0
b
2
x
0
中点,则
K
OM
?K
AB
?
2
,即
K
AB
?
2


ay
0
ay
0
x
2
y
2
12.

P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)内,则被Po所平分的中点弦的方< br>ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
程是
2
?
2
?
2
?
2.

abab
x
2
y
2
13.
若< br>P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2< br>?
2
?1
(a>0,b>0)内,则过Po的弦中点的轨迹方程
ab< br>x
2
y
2
x
0
xy
0
y

2
?
2
?
2
?
2
.

abab







椭圆与双曲线的经典结论


椭 圆
x
2
y
2
1.
椭圆
2
?
2?1
(a>b>o)的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
,与y轴平行的直线
ab
x
2
y< br>2
交椭圆于P
1、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2?1
.

ab
x
2
y
2
2.
过椭圆
2
?
2
?1
(a>0, b>0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直
ab
b
2
x
0
线交椭圆于B,C两点,则直线BC有定向且
k
BC
?
2
(常数).

ay
0
x
2
y
2
3.
若P为椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P F
2
F
1
?
?
,则
a?c
??
? tancot
.

a?c22
x
2
y
2
4.
设椭圆
2?
2
?1
(a>b>0)的两个焦点为F
1
、F
2,P(异于长轴端点)为椭圆
ab
上任意一点,在△PF
1
F
2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
,
? PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F2
P?
?
,则有
sin
?
c
??e
.

sin
?
?sin
?
a
x
2
y
2
5.
若椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0 )的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,左准线为L,则当0
ab
<e≤
2?1
时,可在椭圆上求一点P,使得PF
1
是P到对应准线距离d 与PF
2
的比例中项.

x
2
y
2
6.
P为椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)上任一点,F
1
,F
2
为二焦点,A为椭圆内一定点,
ab


2a?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|?2a?|AF
1< br>|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线时,等号成立.

(x?x
0
)
2
(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是
7.
椭圆
22
ab
A
2
a
2
?B
2
b2
?(Ax
0
?By
0
?C)
2
.

x
2
y
2
1
a>b>0)
8.
已知椭圆
2
?
2
?
(,O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且
O P?OQ
.
ab
4a
2
b
2
1111
22
???
;(2)|OP|+|OQ|的最大值为
2
(1);(3)
S
?OPQ

a?b
2
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
a
2
b
2
最小值是< br>22
.

a?b
x
2
y
2
9. < br>过椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆 右支于M,N两点,弦
ab
|PF|e
?
.

MN的垂直平 分线交x轴于P,则
|MN|2
x
2
y
2
10.
已知椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0) ,A、B、是椭圆 上的两点,线段AB的垂直
ab
a
2
?b
2
a
2< br>?b
2
?x
0
?
平分线与x轴相交于点
P(x
0
,0)
, 则
?
.

aa
x
2
y
2
11.
设P点是椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)上异于长轴端点 的任一点,F
1
、F
2
为其焦
ab
2b
2
?
点记
?F
1
PF
2
?
?
,则(1)|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?b
2
tan
.

1?cos
?
2
x
2
y
2
1
a>b>0)
12.
设A、B是椭圆
2
?
2
?
( 的长轴两端点,P是椭圆上的一点,
?PAB?
?
,
ab
?PBA ?
?
,
?BPA?
?
,c、e分别是椭圆的半焦距离心率,则有2ab
2
|cos
?
|
2a
2
b
2< br>2
(1)
|PA|?
222
.(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
22
cot
?
.

a?ccos
?
b?a
x
2
y
2
13.
已知椭圆
2
?
2
?1
( a>b>0)的右准线
l
与x轴相交于点
E
,过椭圆右焦点
F
ab


的 直线与椭圆相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x轴,则直线AC经
过线段EF 的中点.

14.
过椭圆焦半径的端点 作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点
与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.
过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线
必 与焦半径互相垂直.

16.
椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
数e(离心率).

(注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、
外点 .)

17.
椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18.
椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.


双曲线


x
2
y
2
1.
双曲线< br>2
?
2
?1
(a>0,b>0)的两个顶点为
A
1< br>(?a,0)
,
A
2
(a,0)
,与y轴平行
ab< br>x
2
y
2
的直线交双曲线于P
1、
P
2时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方 程是
2
?
2
?1
.

ab
x
2
y
2
2.
过双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>o)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补
ab
b
2
x
0
的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且
k
BC
??
2
(常数).

ay
0
x
2
y
2
3. 若P为双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)右(或左)支上除 顶点外的任一点,F
1
,
ab
F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
,则
c?a
??
(或
? tancot
c?a22
c?a
??
?tancot
).

c?a22
x
2
y
2
4.
设双曲线
2< br>?
2
?1
(a>0,b>0)的两个焦点为F
1
、F
2
,P(异于长轴端点)
ab
为双曲线上任意一点,在△PF
1
F< br>2
中,记
?F
1
PF
2
?
?
, < br>?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?

则有
sin
?
c
??e
.

?(sin
?
?sin
?
)a
x
2
y
2
5.
若双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F
1
、F
2
,左准线为 L,
ab
则当1<e≤
2?1
时,可在双曲线上求一点P,使得PF
1
是P到对应准线距
离d与PF
2
的比例中项.

x
2
y
2
6.
P为双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)上任一点,F
1
,F
2
为二焦点 ,A为双曲线
ab
内一定点,则
|AF
2
|?2a?|PA|?|P F
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
P

A,F
2

y轴同侧时,等号成立.


x
2
y
2
7.
双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)与直线
Ax?By?C?0
有公共点的 充要条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?C
2
.

x
2
y
2
8.
已知双曲线
2
?
2
?1
(b>a >0),O为坐标原点, P、Q为双曲线上两动
ab
点,且
OP?OQ
.

4a2
b
2
1111
22
??
2
?
2;(2)|OP|+|OQ|的最小值为
2
(1);(3)
S
?OPQ< br>的
2
22
b?a
|OP||OQ|ab
a
2
b
2
最小值是
22
.

b?a
x
2
y
2
9.
过双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的右焦点F作直线交该双曲线的右支于
ab< br>|PF|e
?
.

M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,则< br>|MN|2
x
2
y
2
10.
已知双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0),A、B是双曲线上的两点,线段AB的
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
垂 直平分线与x轴相交于点
P(x
0
,0)
, 则
x
0
?

x
0
??
.

aa
x
2
y
2
11.
设P点是双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F
1
、F
2
ab
2b
2
?
为其焦点记
?F
1
PF
2
?
?
,则(1)
|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
S
?PF
1
F
2
?b
2
cot
.

1?cos
?
2
x
2
y
2
12.
设A、B是双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的长轴两端点, P是双曲线上的
ab
一点,c、e分别是双曲线的半焦距离心率,
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?

2 ab
2
|cos
?
|
则有(1)
|PA|?
222
.

|a?ccos
?
|
(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
2
2a
2
b
2
?
2
cot
?
.

2
b?a


x
2
y
2
13.
已知双曲线
2
?
2
?1
(a>0,b>0)的右准线
l< br>与x轴相交于点
E
,过双曲
ab
线右焦点
F
的直线与 双曲线相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上,且
BC?x
轴,则直线AC经过线段EF 的中点.

14.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的 切线,与以长轴为直径的圆相交,则相
应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15.
过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点
的连 线必与焦半径互相垂直.

16.
双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦 点为端点的焦半径之比
为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点 的内、外角平分线与长轴交点分别称为
内、外点).

17.
双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比
e.

18.
双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

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