高中数学 有关圆锥曲线的经典结论

解析几何专题·经典结论·常用技巧 Marine
有关解析几何的经典结论
一、椭 圆
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的外角.
2. PT 平分△PF
1
F
2
在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是 以长轴为直径
的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x
0
x y
0
y
x
2
y
2
?
2
?1
.
??1
5. 若
P
在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是
(x, y)P
0000
a
2
b
a
2
b
2
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
, y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P
1
、P
2
，则切点
ab
xxyy
弦P
1
P
2
的直线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7. 椭圆
2
?
2
?1
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上任意一点ab
?
?F
1
PF
2
?
?
，则椭圆的 焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?b
2
tan
.
2
x
2
y
2
8. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的焦半径公式：
ab|MF
1
|?a?ex
0
,
|MF
2
|?a? ex
0
(
F
1
(?c,0)
,
F
2
(c,0)M(x
0
,y
0
)
).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和
AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A
1
、A
2
为椭圆长轴上 的顶点，A
1
P和A
2
Q
交于点M，A
2
P和A< br>1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2
11. AB是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴的弦，M
(x0
,y
0
)
为AB的中点，则
ab
b
2
k
OM
?k
AB
??
2
，
a
b
2
x
0
即
K
AB
??
2
。
a y
0
x
2
y
2
??1
内，则被Po所平分的中点弦 的方程是12. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
a
2
b
2
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
?
2
?
2
?
2
.
2
abab
x
2
y
2
?< br>2
?1
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是13. 若
P
0
( x
0
,y
0
)
在椭圆
2
ab
第1页，共8 页

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x
2
y
2
x
0
xy
0
y
??< br>2
?
2
.
a
2
b
2
ab
二、双曲线
1. 点P处的切线PT平分△PF
1
F
2
在点P处的内角.
2. PT 平分△PF
1
F
2
在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是 以长轴为
直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4. 以焦点半径PF
1
为直径的圆必 与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：
P在左支）
x
2
y
2
5. 若
P
0
(x
0< br>,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a ＞0,b＞0）上，则过
P
0
的双曲线的切线方程
ab
xxyy是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
6. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切
ab
xxyy
线切点为 P
1
、P
2
，则切点弦P
1
P
2
的直线方 程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为双曲线上任意
ab
?
2
S?bcot
一点
?F，则双曲线的焦点角形的面积为.
PF?
?
?F
1
PF
2
12
2
x
2
y
2
8. 双曲线
2?
2
?1
（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(
F
1
( ?c,0)
,
F
2
(c,0)

ab
当
M(x
0
,y
0
)
在右支上时，
|MF
1
|?ex
0
?a
,
|MF
2
|?ex
0
?a
.
当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时 ，
|MF
1
|??ex
0
?a
,
|MF
2
|??ex
0
?a

9. 设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，
连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A
1
、A
2
为双曲线 实轴上的顶点，
A
1
P和A
2
Q交于点M，A
2
P 和A
1
Q交于点N，则MF⊥NF.
x
2
y
2
11. AB是双曲线
2
?
2< br>?1
（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M
(x
0
,y
0
)
为AB
ab
b
2
x
0
b
2
x
0
的中点，则
K
OM
?K
AB
?
2
，即
K
AB
?
2
。
ay
0
ay
0
x
2
y
2
12. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的
ab
x
0
xy
0
yx
0
2
y
0
2
方程是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
第2页，共8页

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x
2
y
2
13. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
（ a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方
ab
x
2
y
2x
0
xy
0
y
程是
2
?
2
?
2
?
2
.
abab
椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）
椭 圆
x
2
y
2
1. 椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞o）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
，与y轴平行的直
ab
x
2
y
2< br>线交椭圆于P
1、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2
?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过椭圆
2
?
2
?1
(a＞0, b＞0)上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互补的直
ab
b2
x
0
线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
k
BC?
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为椭圆
2?
2
?1
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F
1
, F
2
是焦点,
ab
?PF
1
F
2
?
?
,
?P F
2
F
1
?
?
，则
a?c
??
? tancot
.
a?c22
x
2
y
2
4. 设椭 圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的两个焦点为F
1
、 F
2
,P（异于长轴端点）为椭圆上
ab
任意一点，在△PF
1F
2
中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
?PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F
2
P?
?
，则有
sin
?
c
??e
.
sin
?
?sin
?
a
x
2< br>y
2
5. 若椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0 ）的左、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，则当0
ab
＜e≤
2?1
时，可在椭圆上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离d 与PF
2
的比
例中项.
x
2
y
2
6. P为椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）上任一点,F
1
,F
2
为二焦点，A为椭圆内一定点，
ab
则
2a?|AF
2
|?|PA|?|PF
1
|?2a?|AF
1
|
,当且 仅当
A,F
2
,P
三点共线时，等号成
立.
(x?x0
)
2
(y?y
0
)
2
??1
与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条件是7. 椭圆
a
2
b
2
A
2
a
2
?B
2
b
2
?(A x
0
?By
0
?C)
2
.
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x
2
y
2
8. 已知椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且
OP?OQ
.
ab
4a
2
b
2
1111
22
???
; （1）（2）|OP|+|OQ|的最大值为
2
;（3）
S
?OPQ
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b
2
a?b< br>2
a
2
b
2
的最小值是
2
.
a?b
2
x
2
y
2
9. 过椭圆
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦
ab
|PF|e
MN的垂直平分线交x轴于P，则
?
.
|MN|2
x
2
y
2
10. 已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点 ，线段AB的垂直平分
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
?x
0
?
线与x轴相交于点
P(x
0,0)
, 则
?
.
aa
x
2
y
2
11. 设P点是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点 ,F
1
、F
2
为其焦点
ab
?
2b
22
S?btan
|PF||PF|?
记
?F
，则(1).(2) .
PF?
?
?PF
1
F
2
12
122
1?cos
?
x
2
y
2
12. 设A、B是椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，
ab
?PAB?
?
, ?PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是椭圆的半焦距离心 率，则有
2a
2
b
2
2ab
2
|cos
?
|
2
cot
?
. (1)
|PA|?
2
.(2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
22
22
b?a
a?ccos
?
x2
y
2
13. 已知椭圆
2
?
2
?1
（ a＞b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过椭圆右焦点
F
ab
的直线与椭圆相交于A、B 两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x
轴，则直线AC经< br>过线段EF 的中点.
14. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交， 则相应交点与相应
焦点的连线必与切线垂直.
15. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦
半径互相垂直.
16. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数
第4页，共8页

解析几何专题·经典结论·常用技巧 Marine
e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）
17. 椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.
双曲线
x
2
y
2
1. 双曲线
2
?
2
? 1
（a＞0,b＞0）的两个顶点为
A
1
(?a,0)
,
A
2
(a,0)
，与y轴
ab
x
2
y
2平行的直线交双曲线于P
1、
P
2
时A
1
P
1
与A
2
P
2
交点的轨迹方程是
2
?
2?1
.
ab
x
2
y
2
2. 过双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞o）上任一点
A(x
0
,y
0
)
任意作两条倾斜角互
ab
b
2
x
0
补的直线交双曲线于B,C两点，则直线BC有定向且
k
BC
??
2
（常数）.
ay
0
x
2
y
2
3. 若P为双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点 外的任一点,F
1
,
ab
F
2
是焦点,
?PF
1
F
2
?
?
,
?PF
2
F
1
?
?
，则
c?a
??
?tancot
（或
c?a22
c?a
??
?tancot
）.
c?a22
x
2
y
2
4. 设双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的两个焦点为F
1
、F
2
,P（异于长轴端点）
ab
为双曲线上任意一点，在△PF
1
F
2
中，记
?F
1
PF
2
?
?
,
? PF
1
F
2
?
?
,
?F
1
F2
P?
?
，则有
sin
?
c
??e
.
?(sin
?
?sin
?
)a
x
2
y2
5. 若双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的左 、右焦点分别为F
1
、F
2
，左准线为L，
ab
则当1＜e ≤
2?1
时，可在双曲线上求一点P，使得PF
1
是P到对应准线距离
d与PF
2
的比例中项.
x
2
y
2
6. P为 双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上任一点,F
1,F
2
为二焦点，A为双曲线
ab
P
和内一定点，则
| AF
2
|?2a?|PA|?|PF
1
|
,当且仅当
A,F
2
,P
三点共线且
第5页，共8页

解析几何专题·经典结论·常用技巧 Marine
A,F
2
在y轴同侧时，等号成立.
x
2
y
2
7. 双曲线
2
?
2
? 1
（a＞0,b＞0）与直线
Ax?By?C?0
有公共点的充要条
ab22222
件是
Aa?Bb?C
.
x
2
y
2
8. 已知双曲线
2
?
2
?1
（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，
ab
且
OP?OQ
. < br>4a
2
b
2
1111
22
（1）（2）|OP|+| OQ|的最小值为
2
;（3）
S
?OPQ
???
;
b?a
2
|OP|
2
|OQ|
2
a
2
b< br>2
a
2
b
2
的最小值是
2
.
b?a
2
x
2
y
2
9. 过双曲线
2?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于
ab
|PF|e
M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
?
.
|MN|2
x
2
y
2
10. 已知双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的
ab
a
2
?b
2
a
2
?b
2
垂直平分 线与x轴相交于点
P(x
0
,0)
, 则
x
0
?
或
x
0
??
.
a
a
x
2
y
2
11. 设P点是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F
1
、F
2
ab
2b
2
为其焦点记
?F
，则(1)< br>|PF
1
||PF
2
|?
.(2)
1
PF
2
?
?
1?cos
?
?
S
?PF
1
F
2
?b
2
cot
.
2
x
2
y
2
12. 设A、B是双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的
ab
一 点，
?PAB?
?
,
?PBA?
?
,
?BPA?
?
，c、e分别是双曲线的半焦距
2ab
2
|cos
?|
离心率，则有(1)
|PA|?
2
.
|a?c
2< br>cos
2
?
|
2a
2
b
2
2
cot
?
. (2)
tan
?
tan
?
?1?e
.(3)
S
?PAB
?
2
b?a
2
x
2
y
2
13. 已知双曲线
2
?
2
?1
（a＞0,b＞0）的右准线
l
与x轴相交于点
E
，过双曲
ab
线右焦点
F
的 直线与双曲线相交于A、B两点,点
C
在右准线
l
上，且
BC?x< br>轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以 长轴为直径的圆相交，则相应交
点与相应焦点的连线必与切线垂直.
第6页，共8页

解析几何专题·经典结论·常用技巧 Marine
15. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连
线必与焦半径互相垂直.
16. 双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常
数e(离心率).
(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外
点).
17. 双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.
18. 双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

其他常用公式： 1、连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，利用方程的根与系数关系来计算
弦长，常用的 弦长公式：
AB?1?k
2
x
1
?x
2
?1?1
y
1
?y
2

k
2
(A,B不同时为0)的形式。 2、直线的一般式方程：任何直线均可写成3、知直线横截距
与直线
，常设其方程为
垂直的直线可表示为
(它不适用 于斜率为0的直线)
。
4、两平行线
5、若直线
则
6、圆的一般方程：
（斜率）且
与直线
（在
间的距离为
平行
。
轴上截距） （充要条件）
，特别提醒：只有当
时，方程才表示圆心为，半径为
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解析几何专题·经典结论·常用技巧 Marine
的圆。二元二次方程
条件是且且。
表示圆的充要
7、圆的参数方程：
的参数方程的主要应用是三角换元：

8、
切线长：过圆
的切线的长为
（为参数），其中圆心为，半径为。圆
；
为直径端点的圆方程< br>（
（
）外一点
）

所引圆
9、弦长问题：①圆的弦 长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成
的直角三角形来解：
共弦)系为
在 直线方程.。


，当
；②过两圆
时，方程
、交点的圆( 公
为两圆公共弦所
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