高中数学 圆锥曲线的统一定义

高中数学 圆锥曲线的统一定义
教材：苏教版《选修2-1》2.5（Page 51 —52）

江苏省泰州中学 宋健
一． 教材分析：

《圆锥曲线的统 一定义》是选修2-1（苏教版）2.5节的内容。教材对本章总体设计思路是“总—分—总”，即先从整体上认 识圆
锥曲线的概念,了解椭圆、双曲线和抛物线的内在关系，再运用方程思想分别研究椭圆、双曲线和抛 物线的几何性质，进而通过统一
定义从总体上进一步认识三种圆锥曲线的关系。最后在学生对直线、圆及 圆锥曲线的感性认识的基础上建立曲线方程的概念,并用方
程观点认识和研究曲线交点等问题。本节从抛 物线的定义出发，创设问题情境，提出类比、猜想，得到圆锥曲线的统一定义，从更
高的形式上揭示圆锥 曲线之间内在的关系，使学生充分感受数学的内在的、和谐的美，并且通过对研究过程的反思，培养欣赏美、发现美的能力和意识，提高数学审美意识。
二．
目标分析：


鉴于以上对教材的分析及学生的实际情况，确定如下几个方面为本课的教学目标：
（一）知识和技能：
通过本节的学习，了解圆锥曲线的统一定义，掌握根据圆锥曲线的标准方 程求准线方程的方法以及圆锥曲线的统一定义的简单
应用。
（二）过程与方法
通过 多媒体课件演示连续变化的圆锥曲线，让学生观察、类比、归纳自主总结得出圆锥曲线的统一定义，并能初步运用 ；
（三）情感与价值观
通过本节的学习，培养学生观察、猜想、归纳、推理的能力，感受圆锥曲线的统一美。
三．教法分析：
教学重点：圆锥曲线统一定义的推导
教学难点：如何设出定直线方程（准线方程）
教学手段：多媒体辅助教学
教学方法：设置适当情景，观察发现、探究合作、启发引导


四．过程实录：
温故而知新
师：我们知道，平面内到一个定点
F
的距离和到一条定直线
l(F
不在
l
上
)
的距离的比等于常 数1的动点
P
的轨迹是抛物线．
边说边在黑板上画出定点和定直线（如图）.


P
d
PF

=
常数1
d

F


根据此定义，适当改变条件，你能提出哪些有意义的问题？
（等待1分钟）
设计意图：
由一个简单问题引出话题，激发学生学习兴趣，同时逐步解决本节的学习障碍。
生: (多名同学合作)
1. 若定点F在定直线l上，轨迹会是什么呢？
2. 平面内到两个定点F
1
、F
2
的距离相等的点的轨迹会是什么呢？

3. 平面内到两条定直线l
1
、l
2
的距离相等的点的轨迹会是什么呢？
4. 平面内到一个定点F和一条定直线l的(F不在l上)距离不相等的点的轨迹会是什么呢？
师：这些问题都挺有研究价值. 我们还可以提出其他一些问题，比如，将条件中的“在平面内”去掉， 点的轨迹会是什么呢？这
些问题请同学们课后研究一下，并与你的同伴互相交流各自的探究结果.
这节课我们一起来研究，当这个比值是一个不等于1的常数时，动点P的轨迹是什么曲线？
动手试一试
师：（打开几何画板）当常数不等于1时，我们来看看它们的图像.

抛物线PF = 6.57厘米

d = 6.57厘米
改变常数的大小

PF
= 1.00

d
Pd

常数
= 1.00
l



F


常数



师生合作：学生说常数的数值，老师用几何画板画出对应的图像.

（学生有点想法了）
师：让常数自由变化，学生观察轨迹的变化（一分钟）
（学生的想法越来越清晰）
抛物线
改变常数的大小
PF = 6.57厘米
d = 3.47厘米
PF
= 1.90
d
Pd
l
F
常数
= 1.90
常数

抛物线
改变常数的大小
PF = 6.57厘米
d = 8.09厘米
PF
= 0.81
d
Pd
l
F
常数
= 0.81
常数

设计意图：
以抛物线的定义作为新知识的生长点，设计了用电 脑实验探索的问题情境，让学生观察，为猜想的形成提供足够的感性认识基础.
师：通过刚才的观察，你看出了些什么？常数与对应的图形有什么样的关联？
生：可以看到当这个常数在（0,1）之间时，轨迹像椭圆，当这个常数大于1时，轨迹像双曲线。
师：一边肯定学生的回答一边板书.
合作探究
师：那么，当这个常数在（0，1） 之间时，轨迹是不是椭圆，当这个常数大于1时，轨迹是不是双曲线呢？我们先研究这个常
数在（0，1 ）之间时的情况.
前面已经研究过椭圆，如果这个轨迹是椭圆的话，这个定点会是椭圆的什么，这个 常数又是椭圆的什么量？
生：定点是椭圆的焦点，常数应该是椭圆的离心率.
师：怎么说明轨迹是椭圆呢？
生：一是回到定义，也可以看看满足条件的动点P的轨迹方程， 如果它是椭圆的标准方程，就可以证明猜想成立.
设计意图：
一步步把学生思维从感性引向理性.

P
d

师：那么，怎样建系来研究P点的轨迹呢？
生：以过点F且垂直于定直线的直线为x轴，取O点，使
点F的坐标为
(c,0)
，建立直角坐标系（如图），点P的坐标设
为
(x,y)
，常数为
c
(a?c?0)
.
a
师：很好，定直线的方程应该是什么呢？
（学生思考，并尝试计算）
a
2
生：P可以取特殊点（比如右顶点），可以求出定直线的方程为
x?
.
c

师：太棒了，有时研究特殊情形，会有意想不到的效果。
a
2
c
问题就变为：已知平面内点
P(x,y)
到定点
F(c,0)的距离与它到定直线
l:x?
的距离的比是常数
(a?c?0)
，求点< br>P
的
c
a
轨迹．
（学生先在稿纸上尝试后回答，老师板书）
(x?c)
2
?y
2
c PF
解：根据题意可得
??
（*）
2
a
da
|?x|
c
22222222
化简得
(a?c)x?ay?a (a?c)

x
2
y
2
令
a?c?b
，上 式可化为
2
?
2
?1(a?b?0)
，这是椭圆的标准方程．
ab
222
设计意图：
让学生尝试问题解决的快乐，增强自信心。
小有成绩
a
2
c
结论1：当点P(x，y)到定点F(c,0)的 距离与它到定直线
l:x?
的距离的比是常数时，点
P
的轨迹是以焦点为(?c,0),(c,0)
，
c
a
x
2
y
2< br>222
长轴、短轴分别为
2a,2b
的椭圆，方程为
2
?2
?1(a?b?0)
，其中
b?a?c
。这个常数就是椭圆的离心率< br>e
．
ab
师：我们来一起进一步认识一下（*）式：
（1）将（* ）式变形，
PF?
cPF
说明，求椭圆上的点到焦点的距离，可以先转化为求此点到定 直线
l
的距离；又由
d?
，
?d?ed
，
ae求椭圆上的点到定直线
l
的距离，可以转化为求此点到焦点的距离；
ca
2
进一步：（*）式可变形为：
PF?(x?c)?y?(?x)?a?ex
，从而 ，椭圆上的点到焦点的距离可由此点的横坐标求
ac
22
出；
（2）在推导椭圆的标准方程时,我们曾经得到这样一个式子：
a
2
-cx=a(x-c)
2
+y
2
，
(x-c)
2
+y
2
c
将其变形为，原来，“到定点距离与到定直线 距离之比为定值”早就蕴
=
2
a
a
-x
c
涵在其中。
再进一步
师：如果我们将条件（a＞c＞0）改为（c＞a＞0），点Ｐ的轨迹又发生如何变化呢？
学生思考，并很快类比得到
a
2
c
结论2：当点
P
到定点
F(c,0)
的距离和它到定直线
l:x?
的距离的比是常数
(c?a?0)
时，这个点的轨迹是双曲线，方程
c
a
x
2
y
2
222
为
2
?
2
?1
（其中
b?c?a
），这个常数就是双曲线的离心率．
ab

设 计意图：
双曲线的类似命题由学生思考、发现，从而为引导学生建立圆锥曲线的统一定义奠定基础.
（教师引导学生共同来发现规律）
渐入佳境
师:结论1、结论2，联想到抛物线的定义，你有什么想法？
（学生讨论）
生：圆锥曲线可以统一定义为：（老师板书）
平面内到一个定点
F
和到一条 定直线
l
（
F
不在
l
上）的距离的比等于常数
e< br>的点的轨迹．
当
0?e?1
时，它表示椭圆；
当
e?1
时，它表示双曲线；
当
e?1
时，它表示抛物线．
师：
e
是圆锥曲线的离心率 ，定点
F
是圆锥曲线的焦点，定直线
l
是圆锥曲线的准线．
小试牛刀
师：下面，我们对圆锥曲线的准线作一下探讨：
（1）椭圆和双曲线有几条准线?
（2）准线方程分别是什么？
生：根据图形的对 称性可知，椭圆和双曲线都有两条准线，对于中心在原点，焦点在
x
轴上的椭圆或双曲线，与焦 点
a
2
a
2
F
1
(?c,0),F
2(c,0)
对应的准线方程分别为
x??,x?
．
cc
y
o
M d
x
F
2

F
1
a
2
a
2

x??

x?

c
c
y
B

A

P
F
2
F
1
Q

C

2
x

D

2
a
a

x?

c
c
师：如图，哪些线段的比是常数
e
？
PF
2
QF
1
?
生：
e=
.
P AQC
PF
1
QF
2
?
生(补充)：还有
e=.
PBQD
x??
师：(强调对应性)，左顶点对应左准线，右顶点对应右准线.

设计意图：
对于焦点在y轴上的圆锥曲线的准线方程，由对称性，学 生在遇到这类问题时会很快解决问题，没有必要单独介绍。

师：今天我们一起学习了一些新知识，我有些迫不及待的想用这些知识了。
小菜一碟
1．求下列曲线的焦点坐标和准线方程


(1)x
2
?2y
2
?4
生：自主完成
(2)2 y
2
?x
2
?4
(3)x
2
?y?0
师： 巡视释疑，提醒学生注意将方程先变成标准形式，对于焦点在y轴上的曲线的焦点坐标和准线方程，可类比焦点在 y轴上
的曲线的焦点坐标和准线方程。
设计意图：
通过解题后的反思，增强学生的反思意识，有利于总结方法规律.
慢慢品尝
2．中心在原点，准线方程为
y=?4
，离心率为
1
的椭圆方程是
2
生：自主完成
师：巡视释疑，先定方程形式（焦点位置），再解出基本量.
设计意图：
学生自主完成，有利于学生对基础知识的掌握和增强学好本课内容的信心。
饕餮美食
x
2
y
2
34
+=1
上一点P到左焦点的距离为， 3．已知 椭圆
2516
5
（1）求P点到右准线的距离.
（2）求P点的坐标。
生：尝试解决，并提出了两种解法
师：总结这两种解法，强调转化思想和对应性
设计意图：
1、2两题是与准线方程有关的问题 ，巩固重点；2、3两题以椭圆作为背景，这是因为江苏高考对椭圆的要求较高，
对双曲线、抛物线的要 求较低。
回味余香
师：这节课你有什么收获？
（留时间让学生畅谈在本节课中的体验、收获。）
生：回顾、总结，互相补充
师： 通过本节课的学习，圆锥曲线在多方面达到和谐统一：方程(二次)、图形(平面截圆锥面所得)、统一定义、性 质(焦点、准线、
离心率、对称性等)、研究方法(内容、工具思想).
设计意图：
圆锥曲线在多方面达到统一，对思想的提升，需要老师点出。

大显身手
布置课外作业：课本
P
51
习题2.5第１题（填在课本上）
课本
P
51
习题2.5第2题．
设计意图：
回顾反思本课时所学知识，梳理巩固所学内容.

强化基本方法与技能训练，培养学生良好的学习习惯和品质，发现和
弥补教学中的遗漏和不足。
五、板书设计：

课题：§1.2.3 诱导公式

统一定义
PPT投影区
画图区
推导方程
认识公式区 例题板演区
六、教学反思：
1.核心观点
培养学生的数学思维能力是数学教学的核心问题，让 学生经历思想方法的形成过程，这是基本而重要的。在这节课的教学中，
要特别注意引导学生学会运用类 比、归纳、猜想等方法，突出培养学生的探究能力，让学生了解探究问题的一般过程：
提出问题 试一试 大胆猜测 小心求证 应用 总结提升
从而，领悟数学研究方法的模式化特点，感受理性思维的力量。
2.对教材的思考
新课程理念倡导教师，学生在课堂上一起生成发展的教学模式，体现“用教材教而不是教教材”的思想，注重师生 间的互动。
因此，用教材而不是教教材，要求教师能利用教材进行重新组合。课本的思考题和例一比较突 然，不够自然。本节课通过（1）探求
a
2
l:x?
；
c
(x?c)
2
?y
2
c
(x?c)
2
?y
2
c
（2）剖析（3）引申（4）回归本质；这几个环节，让引入更自然. 这样的处理有别于 传
?
；
?
；
a
2
a
2
aa
|?x||?x|
cc
统教学的传授方法，更能增强学习的探究意识，
也与新课程的教学理念相吻合。
3. 现代化教学手段的运用
以多媒体为主的现代 教育手段，可以有效的突破课堂教学时空的局限，弥补教材内容的单调、抽象等不足。本节课用电脑呈现
随着离心率的连续变化，曲线的演变过程，大大激发学生的学习兴趣，有利于学生在教学重点难点上的突破，提高 学生知识的吸收
率。