高中数学圆锥曲线 基础知识点

一、椭圆及其标准方程

1、椭圆的定义：平面内到两定点F
1
、F
2
的距离之和等于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的 轨迹叫做椭
圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距．
两种标准方程的比较
x
2
y
2
(1）
2
?
2
?1(a ?b?0)
表示焦点在x轴上的椭圆，焦点是F
1
(-c,0),F
2
(c,0);
ab
y
2
x
2
(2)
2
?
2
?1(a?b?0)
表示焦点在y轴上的椭圆，焦点是F
1
( 0,-c),F
2
(0,c);
ab
在两种标准方程中
1 a, b,c的关系c
2
=a
2
-b
2
不变，只须将(1)方程的 x、y互换即可得到（2）；
○
2 ∵a
2
＞b
2
，∴可以根据分母的大小来判定焦点在哪一个坐标轴上．
○
离心率定义：椭圆的焦距与长轴长的比
e?
0方程

c
，叫做椭圆的离心率．离心率e的取值范围：
a
图形

范围
对称性
关于

轴、

，


关于

轴、

，



轴、坐标原点对称 轴、坐标原点对称
A
1
(-a,0)，A
2
(a,0)
顶点
B
1
(0,-b)，

B
2
(0,b)
A
1
(0,-a)，A
2
(0,a)
B
1
(-b,0)，

B
2
(b,0)
长轴长=2a, 短轴长=2b
离心率

.2、椭圆的第二定义:
动点 M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

e?
c
(a?c? 0)
时，
a
这个点的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，常数 e是椭圆的离心
率．
x
2
y
2
a
2
说明 ：对于椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
，相应于焦点F（c,0）的 准线方程是
l:x?
．根
abc
a
2
据椭圆的对称性，相应 于焦点F`(-c,0)的准线方程是
x??
，所以椭圆有两条准线．
c
例题： 已知椭圆的焦点是F
1
(-1,0)、F
2
(1 ,0)，P为椭圆上的一点，且|F
1
F
2
|是|PF
1
| 和|PF
2
|的等
差中项. 求椭圆的方程；





二、双曲线及其标准方程
1、平面内与两个定点

F
1
、

F
2
的距离的差的绝对值等于常数（小于

|F
1
F
2
|）的点的轨迹叫做
双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双 曲线的焦距．
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)
这个方 程叫做双曲线的标准方程．它所表示的双曲线的焦点在

x
a
2
b
2
轴上，焦点是

F
1
(-c,0)、F
2
（c,0），这里c
2
=a
2
+b
2
．同理，焦点在
y
轴上的双曲线的标准方
y
2
x
2
程是：
2
?
2
?1(a?0,b?0)
焦点 是

F
1
(0，-c)、F
2
（0,c），这里c
2
=a
2
+b
2
.
ab
椭圆与双曲线的几何性质

方程
椭圆 双曲线

a.b.c 关系


c
2
?a
2
?b
2
(a?0,b?0)

赵老师家教
图形

范围

x?a,y?b

对称轴：

轴、

轴
x?a,y?R

对称轴：

轴、

轴
对称性
对称中心：原点
、


对称中心：原点
、


顶点
、


实轴长


长轴长

，短轴长

虚轴长


离心率
，

(0?e?1)

，


有两条，其方程为
渐近线 无

2、双曲线的第二定义
当点

到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数

e?
c
(e?1)
时，这个
a
点的轨迹是双曲线．通常称为双曲线的第二 定义．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线
的准线，常数

是双曲线的离心率．
a
2
x
2
y
2
对于双曲线
2
?< br>2
?1
，相应于焦点F(c,0)的准线方程是
x?
，根据双曲线的对 称
c
ab
a
2
性，相应于焦点F’(- c,0)的准线方程是
x??
，所以双曲线有两条准线．
c

3

x
2
y
2
??1
的两 个顶点为焦点，以椭圆的焦点为顶点的双曲线方程，并求例题： 求以椭圆
169
此双曲线的实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程.




三、抛物线及其标准方程
1、抛物线的定义：平面内与一个定点

F和一条定直线

l
的距离相等的点的轨迹叫做抛物
线．点

F叫做抛物线的焦点，定直线

l
叫做抛物线的准线．
2、一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表：
图形 标准方程















焦点坐标 准线方程





例1： 点

M与点到（4，0）的距离比它到直线

l:x+5=0的距离小1，求点

M的轨迹方程．

赵老师家教
例2: 斜率为 1的直线经过抛物线y
2
=4x的焦点，与抛物线相交于两点
A、B，求线段AB的长 .


说明：抛物线

y
2
=2px（p >0）上一点A(x
o
,y
o
)到焦点
F(
物线的焦半径公 式。焦点弦长|AB|=x
1
+x
2
+p

.
3、抛物线y
2
=2px（p>0）的几何性质
pp
,0)
的距离

|AF|?x
0
?
这 就是抛
22
（1）范围：因为p>0，由方程可知x≥0，所以抛物线在

y轴的右侧，当

x的值增大时，|y|
也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
（2）对称性 （3）顶点 （4）离心率
(5)通径：过（圆锥曲线）焦点垂直于焦点所在 的轴的弦叫做（该圆锥曲线的）通径.抛物线
的通径长：2p

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