高中数学《圆锥曲线》解答题解法全归纳

高中数学圆锥曲线解答题解法
圆锥曲线解答题中的十一题型：几乎全面版
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系
题型二：弦的垂直平分线问题
题型三：动弦过定点的问题
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
题型五：向量问题
题型六：面积问题
题型七：弦或弦长为定值、最值问题
问题八：直线问题
问题九：对称问题
问题十、存在性问题：（存在点，存在直线y =kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），
四边形（矩形、菱形、正方形），圆 ）
题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系（简单题型未总结）
题型二：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线
l
与曲线N ：
y?x
交于A、 B两点，在x轴上是否存在一点E(
x
0
,0)，使得
2
?ABE< br>是等边三角形，若存在，求出
x
0
；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线
l:y?k(x?1)
，
k?0
，
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
。
由
?
?
y?k(x?1)
2222
消y整理，得
kx?(2k?1)x?k?0
①
2
?
y?x
2242
由直线和抛物线交于两点，得
?? (2k?1)?4k??4k?1?0

即
0?k?
2
1
②
4
2k
2
?12k
2
?11
,
x1
x
2
?1
。则线段AB的中点为
(?,)
。 由韦达 定理，得：
x
1
?x
2
??
22
k2k2k
线段的垂直平分线方程为：

第 1 页 共 40 页

111 ?2k
2
1111
y???(x?)
令y=0,得，则
x??E(? ,0)

0
2
22
2kk2k
2k22k2
Q?A BE
为正三角形，
?
E(
3
11
AB
。 到直线A B的距离d为
?,0)
2
2
2k2
2
1?4k
2< br>1?k
2
2
g1?k
d?

QAB?(x
1
?x
2
)?(y
1
?y
2
)
?
k
2
2k
2
39
31?4k
2
1?k
25
2
k??
?g1?k?
解得满足②式此时。
x?
0
13
2k
2
2k
3
【涉及到弦的垂直平分线问题】
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB的< br>．．．．．．．．
中点坐标M，结合弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直 平分线L的方程，然后解
决相关问题，比如：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。 有时候题目的条件比较隐
蔽，要分析后才能判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D 为顶点的等腰三角形（即
D在AB的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。 例题分析1：已知抛物线y=-x+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于< br>
2
?
y??x
2
?3
?x
2
?x ?b?3?0?x
1
?x
2
??1
，解：设直线
AB
的方程为
y?x?b
，由
?
进而可求出
AB
?
y ?x?b
的中点
M(?,?
1
2
111
?b)
，又 由
M(?,??b)
在直线
x?y?0
上可求出
b?1
，∴
x
2
?x?2?0
，由弦
222
2
长公式可求出< br>AB?1?1

1
2
?4?(?2)?32
．
题型三：动弦过定点的问题
3
x
2
y
2
例题2、 已知椭圆C：
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为，
2< br>ab
且在x轴上的顶点分别为A
1
(-2,0),A
2
(2, 0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线
l:x?t(t?2)
与x 轴交于点T,点P为直线
l
上异于
点T的任一点，直线PA
1
,PA
2
分别与椭圆交于M、N点，试问直线
MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
c3
x
2
?y
2
?1
解：（I）由已知椭圆C的 离心率
e??
，
a?2
,则得
c?3,b?1
。从而椭圆的 方程为
a2
4

第 2 页 共 40 页

（II ）设
M(x
1
,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
)
，直线
A
1
M
的斜率为
k1
,则直线
A
1
M
的方程为
y?k
1
(x?2)
，由
?
y?k
1
(x?2)
222
(1 ?4k)x?16kx?16k?4?0
Q?2和x
1
是方程的两个根，消y整理得< br>?
2
121
2
?
x?4y?4
4k
1
16k
1
2
?42?8k
1
2
2?8k
1
2
4k
1
则
x
1
?
，
y
1?
，即点M的坐标为
(??2x
1
?,)
，
2
2222
1?4k
1?4k
1
1?4k
1
1?4k
1
1?4k
1
1
2
8k
2
?2?4k
2
同理，设直线A
2
N的斜率为k
2
，则得点N的坐标为
(, )

22
1?4k
2
1?4k
2
Qy
p< br>?k
1
(t?2),y
p
?k
2
(t?2)
?
k
1
?k
2
y?y
1
y
2
?y
1
2
??
，
Q
直线MN的方程为：
?
，
k
1
?k
2
tx?x
1
x
2
?x
1
?
令y=0，得
x?
x
2
y
1
?x
1
y
2
4
，将点M、N的坐标代入，化简后得：
x?< br>
y
1
?y
2
t
43
44

?2
Q
椭圆的焦点为
(3,0)
??3
，即
t?
3
tt
又
Qt?2
，
?
0?
故当
t?43
时，MN过椭圆的焦点。
3
题型四：过已知曲线上定点的弦的问题
x
2
y
2
例题4、已知点A、B、C是椭圆E：
2
?2
?1

(a?b?0)
上的三点，其中点A
(23,0)是椭圆的右顶点，
ab
uuuruuur
uuuruuur
直线BC过椭 圆的中心O，且
AC
g
BC?0
，
BC?2AC
，如图。( I)求点C的坐标及椭圆E的方程；(II)
若椭圆E上存在两点P、Q，使得直线PC与直线QC关于 直线
x?3
对称，求直线PQ的斜率。

uuuruuur
解：(I)
Q
BC?2AC
，且BC过椭圆的中心O
ruuur
uuuruu ur
uuu
?
?OC?AC
Q
AC
g
BC?0??ACO?
又
QA (23,0)
?
点C的坐标为
(3,3)
。
2
Q
A
(23,0)
是椭圆的右顶点，
?a?23
，则椭圆方程为：
x< br>2
y
2
?
2
?1

12b
2
将点C
(3,3)
代入方程，得
b?4
，
?
椭圆E的方程 为
x
2
y
2
??1

124
(II)
Q
直线PC与直线QC关于直线
x?

3
对称，
第 3 页 共 40 页

?
设直线P C的斜率为
k
，则直线QC的斜率为
?k
，从而直线PC的方程为：
?
y?kx?3(1?k)
消y，整理得：
y?3?k(x?3)
，即
y?kx?3(1?k)
，由
?
?
22
?
?< br>x?3y?12?0
(1?3k
2
)x
2
?63k(1?k) x?9k
2
?18k?3?0
Qx?3
是方程的一个根，
9k?1 8k?39k?18k?3
9k
2
?18k?3
即
同理可得： x?x?
?x
P
g
3?
PQ
22
1?3k2
3(1?3k)3(1?3k)
22
Qy
P
?y
Q< br>?kx
P
?3(1?k)?kx
Q
?3(1?k)
＝
k(x
P
?x
Q
)?23k
＝
9k
2
?1 8k?39k
2
?18k?3
y
P
?y
Q
1
＝
?36k
x
P
?x
Q
??
?
22< br>2
?k
PQ
?
3(1?3k)
x
P
?xQ
3
3(1?3k)3(1?3k)
则直线PQ的斜率为定值
题型五：共 线向量问题
?12k

2
3(1?3k)
1
。
3
1：如图所示，已知圆
C:(x?1)?y?8,定点A(1,0),M
为圆上一动 点，点P在AM上，点N在CM上，
且满足
AM?2AP,NP?AM?0,点N
的轨 迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）的
直线交曲线E于不同的两点G、H（ 点G在点F、H之间），且满足
FG?
?
FH
，求
?
的取值 范围.
解：（1）
?AM?2AP,NP?AM?0.
∴NP为AM的垂直平分线， ∴|NA|=|NM|
又
?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22?2.
∴动点N的轨迹是以点
C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为
2a?22,

22
x
2
?y
2
?1.
焦距2c=2.
?a?2,c?1,b?1.
∴曲线E的方程为
2
2

x
2
?y
2
?1,
（2）当直线GH斜率存在时，设直线 GH方程为
y?kx?2,代入椭圆方程
2
得
(?k)x?4kx?3?0.
3
由??0得k
2
?.
设
G(x
1
,y< br>1
),H(x
2
,y
2
),

2
?4k?8k36
则x
1
?x
2
??(1),xx??(2)
12
22
11
1?2k1?2k
?k
2
?k
2< br>22
22
1
2
又?FG?
?
FH,?(x
1
,y
1
?2)?
?
(x
2
,y
2
?2)
?x
1
?
?
x
2
,?
?
?
x
1
,
，
x
2

第 4 页 共 40 页

(1)
2
132k
2
?
?
?? 2??
2
(2)
?
3(1?2k)
32

1
3(
2
?2)
k
?k
2
?
3
,?4?< br>2
3216
?.
1
3
3(
2
?2)
k
1
??
?
?1.

3
?4?
?
?
1
?
?2?
161
.解得?
?
?3.
3 3
又?0?
?
?1,
1111
FH,
?
?.??< br>?
?1,即所求
?
的取值范围是[,1)

3333
1
2
2：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在
x
轴上，它的一个顶点恰好 是抛物线
y?x
的焦点，离心率
4
又当直线GH斜率不存在，方程为
x?0,FG?
为
25
.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作 直线
l
交椭圆C于
A
、
B
两点，交
y
轴于
5
uuuruuuruuuruuur
M
点，若
MA?
?< br>1
AF
，
MB?
?
2
BF
，求证：
?
1
?
?
2
??10
.
x2
y
2
2
解：设椭圆C的方程为
2
?
2
?1
（
a
＞
b
＞
0
）抛物线方程化为
x?4y
，其焦点为
(0,1)
，
ab
ca
2
?b
2
25
2
a?5
，椭圆C的方程为 则椭圆C的一个顶点为
(0,1)
，即
b?1
由
e??
， ∴
?
2
aa5
x
2
?y
2
?1
（ 2）证明：右焦点
F(2,0)
，设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),M(0,y
0
)
，显然 直线
l
的斜率存在，设直
5
x
2
?y
2
? 1
并整理，得
(1?5k
2
)x
2
?20k
2< br>x?20k
2
?5?0
∴线
l
的方程为
y?k(x ?2)
，代入方程
5
uuuruuuruuur
20k
2
2 0k
2
?5
x
1
?x
2
?
，
x< br>1
x
2
?
又
MA?(x
1
,y
1
?y
0
)
，
MB?(x
2
,y
2
?y
0
)
，
AF?(2?x
1
,?y
1
)
，
1?5k
2
1?5k
2
uuur
BF?(2?x
2
,?y
2
)
，
uuuruuuruuuruuur
而
MA?
?
1
AF
，
MB?
?
2
BF
，即
(x
1
?0,y
1
?y
0
)?< br>?
1
(2?x
1
,?y
1
)
，
(x
2
?0,y
2
?y
0
)?
?
2
( 2?x
2
,?y
2
)

∴
?
1
?
x
1
x
2
x
1
x2(x
1
?x< br>2
)?2x
1
x
2
?
2
???10
，
?
2
?
，所以
?
1
?
?
2< br>?
2?x
1
2?x
2
2?x
1
2?x
2
4?2(x
1
?x
2
)?x
1
x
2< br>3、已知△OFQ的面积S=2
6
, 且
OF?FQ?m
。设以O为中心，F为焦点的双曲线经过Q，
|OF|?c,m? (
6
?1)c
2
，当
|OQ|
取得最小值时，求此双曲线方 程。
4
第 5 页 共 40 页

x
2
y
2
解：设双曲线方程为
2
?
2
?1
， Q（x
0
, y
0
）。
ab
46
1
。
FQ?(x
0
?c,y
0
)
， S
△OFQ< br>=
|OF||y
0
|?26
，∴
y
0
??< br>c
2
OF?FQ?(c,0)(x
0
?c,y
0
)< br>=c(x
0
－c)=
(
3c
2
96
OQ?x ?y??
2
?23,

8
c
2
0
2
0
66
?1)c
2
?x
0
?c
。
44
3c
2
96
?
2
,即c?4时,|OQ|最小,此时Q(6 ,6)或(6,?6)
， 当且仅当
8
c
6
?
6
2
?
??1
a?4
x
2
y
2
?
2< br>?
2
所以
?
a
?
?
2
.故所求的双 曲线方程为??1
。
b
412
?
?
a
2
?b
2
?16
?
b?12
?
类型1——求待定字母的值 < br>x
2
2
例1设双曲线C：
2
?y?1(a?0)
与直 线L：x+y=1相交于两个不同的点A、B，直线L与y轴交于
a
点P，且PA=
5
PB
，求
a
的值
12
思路：设A、B两点的坐标，将向量 表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a
的值。


解：设A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，P(0,1)
∵PA=
555
PB,?(x
1
,y
1
?1)?(x
2
,y
2
?1),
∴x
1
=
x
2
.
121212
(*) ?
x?y?1
?
2222
联立
?
x
2
消去y并整理得，(1－a)x+2ax－2a=0
，
2
?
2
?y ?1
?
a
2
?
?
1?a?0，
∵A、B是不同的两 点，∴
?
4

22
?
?
4a?8a(1?a)?0，

2a
2
2a
2
∴02
且a
?
1. 于是x
1
+x
2
=
?
且x
1
x
2
=
?
，
1?a
2
1?a
2
172a
2
5
2
2a
2
2a
2
2 89
x
2
??,且x
2
??
即，消去x
2
得，
?
=，
222
1212
1?a1?a1?a
60

第 6 页 共 40 页

∴a=
?
1717
，∵02
且a
?
1，∴a=。
1313
类型2——求动点的轨迹
例2如图2 ，动直线
y?kx?1
与y轴交于点A，与抛物
y?x?3交于不同的两点B和C, 且满足
BP=λPC， AB=λAC，其中
?
?R.
。求ΔPOA的重心Q的轨迹。
思路：将向量 表达式转化为坐标表达式，消去参数λ获得重心Q的轨迹方程，再运用判别式确定实数
k的取值范围，从 而确定轨迹的形状。
解：由
?
2
?
y?kx?1
?
y?x?3
2
得，kx+(2k－1)x+4=0.
22
y
A
O
B
P
C
x
?
k?0
11
由
?
?
??k?且k?0.

26
?
??0
1?2k4
.
, x.
1
x
2
=
22
kk
设P(x’,y’)，B(x
1
， y
1
)，C(x
2
,y
2
)， （图2）

则x
1
+x
2
=
由
BP??
PC
?
(x
?
?x
1
,y
?
?y
1
)
=
?
(x
2
?x
?
, y
2
?y
?
)


?

x
?
?x
1
=
?
(x
2
?x
?)

由
AB?
?
AC?( x
1
,y
1
?1)?
?
(x
2
,y
2
?1)
?
x
1
=
?
x
2
。

?
?
?0?
x
?
?x
1
x
2
?x
?
2x
1
x
2
8
??x< br>?
??.

x
1
x
2
x
1
?x
2
1?2k


?
y
?
?kx
?
?1?
8k6k?1
?1?.
消去k得， x’－2 y’－6=0 (
*
)
1?2k1?2k

x
?
?
x?
?
?
x
?
?3x
?
3
?
?
设重心Q(x,y)，则
?
，代入(*)式得，3x－6y－4=0。
??
y?1y?3y?1
?
?
y?
?
3
?
因为
?
1148
?k?且k?0?4?x
?
?12且x?
?8??x?4且x?

2633
48
故点Q的轨迹方程是3 x－6y－4=0（
?x?4且x?
），其轨迹是直线3x－6y－4=0上且不包括点
33
4482
A(,0),B(4,),C(,)
的线段AB。
3333
类型3——证明定值问题
例3已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上 ，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B
两点，
OA?OB
与
a? (3,?1)
共线。设M为椭圆上任意一点，且
OM?
?
OA?
?< br>OB
，其中
?
,
?
?R.
证

第 7 页 共 40 页

明：
?
?
?
为定值。 思路：设A、B、M三点的坐标，将向量间的共线关系、和差关系转化为代数关系，再利用方程组、韦
达定理、点在椭圆上满足方程等证明定值。
22
x
2
y
2
解：设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b?0),F(c,0).
则直线AB的方程为
ab
y?x?c.
代入椭圆方程中，化简得，
(a2
?b
2
)x
2
?2a
2
cx?a
2
c
2
?a
2
b
2
?0.

2a< br>2
ca
2
c
2
?a
2
b
2
,x
1
x
2
?.
设A(x
1
,y
1)，B(x
2
,y
2
)，则
x
1
?x
2
?
2
a?b
2
a
2
?b
2
由
OA?OB
与
a?(3,?1)
共线，
OA?OB?(x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)
得，
3 (y
1
?y
2
)?(x
1
?x
2
)?0< br>。又
y
1
?x
1
?c,y
2
?x
2
?c,

3c2a
2
c3c
?3(x
1
? x
2
?2c)?(x
1
?x
2
)?0,?x
1?x
2
?,即
2
?,?a
2
?3b
2
.

2
22
a?b
2
而
c?a?b,
于是
a?
222
3
22
1
2
c,b?c
。 < br>22
x
2
y
2
222
因此椭圆方程为
2?
2
?1,即x?3y?3b.

3bb
设M(x, y), 由
OM?
?
OA?
?
OB
得，
(x,y)?
?
(x
1
,y
1
)?
?
(x
2
,y
2
)
，
?x?
?
x
1
?
?
x
2
且y?
?
y
1
?
?
y
2
.

因M为椭圆上一点，所以
(
?
x
1
?
?
x
2
)?3(
?
y
1
?
?
y
2
)?3b.

即
?
(x
1
?3y
1
)?
?
(x
2
?3y
2
)?2
??
(x
1
x
2
?3y
1
y2
)?3b
①
2222222
222
a
2< br>c
2
?a
2
b
2
3
2
3c
2
3
22
1
2
?c.
又
x
1
? x
2
?,a?c,b?c
，
x
1
x
2
?< br>22
8
a?b
222
则
x
1
x
2
?3y
1
y
2
?x
1
x
2
?3( x
1
?c)(x
2
?c)?4x
1
x
2
? 3(x
1
?x
2
)c?3c

2
392222
22
?c
2
?c
2
?3c
2
?0.
而
x
1
?3y
1
?3b,x
2
? 3y
2
?3b,

22
代入①得，
?
?
?
=1，
?
?
?
为定值。
类型4——探索点、线的存在性
例4在△ABC中，已知B(－2, 0), C(2, 0), AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段AD
所成的比为。
2222
1
3

第 8 页 共 40 页

设P(－1, 0), Q(1, 0), 那么是否存在点H，使
1
|HP||PQ||HQ|
,
1
,
1
成等差数列，为什么？
思路：先将AC⊥BH转化为代数关系，由此获得动点H的轨迹方程；再将向量的长度关系转化为代数
（坐标）关系，通过解代数方程组获解。
解： 设H(x, y), 由分点坐标公式知
A(x,
4y
)

3
4y
∵H为垂心 ∴AC⊥BH，∴
(x?2,)(x?2,y)?0
，
3
x
2
y
2
??1
(y?0)
。 整理得，动点H的轨迹方程为
43
|HP|?(x?1)
2
?y
2
，
|PQ|?2
，
|HQ|?(x?1)
2
?y
2
。
假设
1
|HP||PQ||HQ|
1
(x?1)?y
22
,
1
,
1
成等差数列，则
2
|PQ|
?
1
|HP|
?
1
|HQ|

即
?
1
(x?1)?y
22
?1
①
∵H在椭圆上 a=2, b=
3
, c=1，P、Q是焦点，
∴
HP?HQ?2a?4
，即∴
(x?1)
2
?y
2
?(x ?1)
2
?y
2
?4
②
由①得，
(x?1) ?y?(x?1)?y?
联立②、③可得，
(x?1)?y?
22
2222< br>(x?1)
2
?y
2
?(x?1)
2
?y
2
?4
③
(x?1)
2
?y
2
?2
，
x
2
y
2
??1
， ∴
x?0,y??3,
显然满足H点的轨迹方程
43
故存在点H（0，±
3
），使
1|HP||PQ||HQ|
,
1
,
1
成等差数列。
类型5——求相关量的取值范围
例5给定抛物线C：
y?4x
，F是C 的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点，且
2
FB?
?
AF,
?
?
?
4,9
?
，求l在
y
轴上截距的变化范围 。
思路：设A、B两点的坐标，将向量间的共线关系转化为坐标关系，再求出l在
y
轴上的截距，利用
函数的单调性求其变化范围。
解：设A(x
1
,y
1
)，B(x
2
,y
2
)，由
FB?
?
AF
得，
(x
2
?1,y
2
)?
?
(1? x
1
,?y
1
)
，即

第 9 页 共 40 页

?
x
2
?1?
?
(1?x
1< br>)
?
?
y
2
??
?
y
1
①
②
由②得，
y
2
?
?
y
1
.

22 2
2
?4x
2
,?x
2
?
?
2
x
1
③ 。 联立①、③得，
x
2
?
?
。
?
y
1
2
?4x
1
,y
2
而
?< br>?0,?B(
?
,2
?
),或B(
?
,?2
?
).
当直线l垂直于
x
轴时，
?
?1,
不符合题 意。
因此直线l的方程为
(
?
?1)y?2
?
(x?1)
或
(
?
?1)y??2
?
(x?1).

直线l在
y
轴上的截距为
2
?
2
?
2
?< br>2
?
22
.
由或
?
知，在
?
??
4,9
?
上递减的，
??
?
?1
?
?1
?
?1
?
?1
?
?1
?
?1
所以
32
?
442
?
3
??,?????.
4
?
?133
?
?14
?
43
??
3 4
?
,?
?
?
?
,
?
.

?
34
??
43
?
于是直线l在
y
轴上截距的变化范围是
?
?
y
2
存在、向量例6、双曲线
C:
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的右 顶点为A，x轴上存在一点Q
?
2a,0
?
，若
C
上
b
a
存在一点
P使AP?PQ，求离心率的取值范围
。
x
2
3
?
a
2
?
2
解：
?PA?PQ?P 点的轨迹
方程为
?
x?a
?
?y?
，
24
??
2
?
b
2
x
2
?a
2
y< br>2
?a
2
b
2
即
y??x?3ax?2a
( x?a且x?2a)
。由
?
2
，消去y得
22
?
y ??x?3ax?2a
222
b
2
x
2
?a
2?x
2
?3ax?2a
2
?a
2
b
2
?0即a
2
?b
2
x
2
?3a
3
x?2a
4
?a
2
b
2
?0

????
?
?
x?a
?
a?bx?a2a?b
222
?
???
2
?
?
a2a
2
?b
2
a3a
2
?c
2
?
3
?
?0,?x?a,?x???a?1
??
2222
a?bc
?
e
?
????
x
2
y
2
6
?
3
?
?P在双曲线
2
?
2
?1的右支上
，
?x?a,?a
?
2
?1?
?a,解得
〈1e?

2
e
ab
??
定值问题例7：
A,B
是抛物线
y?2px(p?0)
上的两点，满足OA?OB
（
O
为坐标原点），求证：（1）
2
A,B
两点的横坐标之积、纵坐标之积分别是定值；（2）直线
AB
经过一定点。
2222
分析：（1）设
A(x
1
,y
1
),B(x
2,y
2
)
，则
y
1
?2px
1
,y< br>2
?2px
2
?(y
1
y
2
)?4px1
x
2

uuuruuuruuuruuur
22
又由
OA?OB?OA?OB?0?x
1
x
2
?y
1
y
2
?0

?x
1
x
2
?4p,y
1
y
2
??4p


第 10 页 共 40 页

（2）
y
1
?y
2
?2p(x
1
?x
2
)?K
AB
?
22
y
1
?y
2
2p
?

x
1
?x
2
y
1< br>?y
2
直线
AB
的方程为
y?y
1
?
2px
1
2p2p
(x?x
1
)?y?x??y
1

y
1
?y
2
y
1
?y
2
y< br>1
?y
2
y
1
2
?2px
1
?y< br>1
y
2
2p2p
?x??(x?2p)
，故直线过定点
(2p,0)
。
y
1
?y
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2
题型六：面积问题
6
x< br>2
y
2
,
短轴一个端点到右焦点的距离为
3
。 例题 1、已知椭圆C：
2
?
2
?1
（a＞b＞0）的离心率为
3
ab
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O 到直线l的距离为
3
，求△AOB面积的最大值。
2
?
c6
解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为
c
，依题意
?
?，
?b?1
，
?
所求椭圆方程为
3
?
a
?
a?3，
?
x
2
?y
2
?1
。
3
（Ⅱ）设
A(x
1
，y
1
)
，
B(x
2
，y
2
)
。（1）当
AB⊥x
轴时，
AB?3
。（2）当AB
与
x
轴不垂直时，
设直线
AB
的方程为
y?kx?m
。由已知
3
，得
m
2
?
2
1 ?k
2
m
2
3
?(k
2
?1)
。
4
2
把
y?kx?m
代入椭圆方程，整理得
(3k?1)x?6k mx?3m?3?0
，
22
?6km
2
3(m
2
?1)
22
12(m
2
?1)
?

2
?< br>36km
，
x
1
x
2
?
。
?x1
?x
2
?
2
?AB?(1?k)(x?x)
?(1? k)
?
2
?
21
2
3k?1
3k
2
?1
(3k?1)3k
2
?1
?
??
2
12(k
2
?1)(3k
2
?1?m
2
)3(k
2
?1)(9k
2
?1)
12k
2
??
?3?
4?3?
(3k
2
?1)
2
(3k
2
?1)2
9k?6k
2
?1
1212
(k?0)≤3??4
。
1
2?3?6
9k
2
?
2
?6
k
当且仅当
9k?
2
3
1
k??
，即时等号成立。当
k?0
时，
AB?3
，
3
k
2
综上所述
AB
max
?2
。

第 11 页 共 40 页

?
当
AB
最大时，
△AOB
面积取最大值
S?
133
?AB
max< br>??
。
222
x
2
y
2
6
2、已 知椭圆C:
2
?
2
=1(a＞b＞0)的离心率为,短轴一个端点到右焦点的 距离为
3
.(Ⅰ)求椭圆C
3
ab
的方程;(Ⅱ)设直线l与椭圆C 交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为
值.
3
，求△AOB面积的最大2
?
c6
，
x
2
?
?
2
解： （Ⅰ）设椭圆的半焦距为
c
，依题意
?
a3
?b?1
，?
所求椭圆方程为
?y?1
．
3
?
a?3，
?
（Ⅱ）设
A(x
1
，y
1
)
，
B(x< br>2
，y
2
)
．（1）当
AB⊥x
轴时，
AB ?3
．（2）当
AB
与
x
轴不垂直时，
设直线
A B
的方程为
y?kx?m
．由已知
2
m
1?k
2< br>2
?
3
3
，得
m
2
?(k
2
?1)
．
4
2
2
把
y?kx?m
代入椭圆方程 ，整理得
(3k?1)x?6kmx?3m?3?0
，
22
12(m
2
?1)
?
3(m
2
?1)
?6km
2
2
?
36km
22
?
，
x
1
x
2
?
．
?AB?(1?k)(x
2
?x
1
)
?(1?k)
?
?x
1
?x
2
?
2
?
2
222
3k?1
(3k?1)3k?1
3k?1
? ?
12(k
2
?1)(3k
2
?1?m
2
)3(k
2
?1)(9k
2
?1)
??
22
(3k?1)( 3k
2
?1)
2
12k
2
1212
?3?
4
?3?(k?0)≤3??4
．
2
1
9k?6k?12?3?6
9k
2
?
2
?6
k
当且仅当
9k
2
?
3
1
k??
，即时等号成立．当
k?0
时，< br>AB?3
，综上所述
AB
max
?2
．
3
k
2
133
?AB
max
??
． 222
?
当
AB
最大时，
△AOB
面积取最大值
S?
x
2
y
2
??1
的左、右焦点分别为
F1
，
F
2
．过
F
1
的直线交椭圆于
B ，D
两点，过
F
2
的直线交3、已知椭圆
32
22
x
0
y
0
??1
； 椭圆于
A
（Ⅰ）设
P
点的坐标为
(x
0
，y
0
)
，证明：
，C
两点，且
AC?BD
，垂足为
P
．
32
（Ⅱ）求四 边形
ABCD
的面积的最小值．
解：（Ⅰ）椭圆的半焦距
c?
< br>22
3?2?1
，由
AC⊥BD
知点
P
在以线段F
1
F
2
为直径的圆上，故
x
0
?y
0
?1
，
第 12 页 共 40 页