高中数学圆锥曲线综合问题梳理归纳

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
高中数学圆锥曲线综合问题梳理归纳
圆锥曲线综合问题—1. 定点问题
圆锥曲线 中的定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成
了过定点、定 值等问题的证明．难度较大．定点、定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么
就可以用变化 的量表示问题的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变
化的量所影响 的一个点、一个值，就是要求的定点、定值．化解这类问题难点的关键就是引进变的参数表
示直线方程、 数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量．
一、定点问题
定点的探索与证明问题的主要方法有：
(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为
助于直线系的思想找出定点．
(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关．
1. 已知动圆
C
与圆
C
1
22
:(
x?
1)
2
?y2
?
1
相外切，与圆
C
2
:(x?1)?y?9
相内切，设动圆圆心
C
y?kx?m
，然后利用条件建立
k,m
等 量关系进行消元，借
的轨迹为
T
，且轨迹
T
与
x
轴 右半轴的交点为（I）求轨迹
T
的方程；

(Ⅱ)已知直线
l
：
y?kx?m
A
．
与轨迹为
T
相交于
M,N< br>两点（
M,N
不在
x
轴上）．若以
MN
为直径的圆过 点
点，并求出该定点的坐标．
A
，求证：直线
l
过定
x
2
y
2
2
??1
（Ⅱ）
(,0)
答案：（I）
43
7



2. 在平面直角坐标系< br>xOy
中，直线
l
与抛物线
y
2
?4x
相交 于不同的两点
A
，
B
.（
I
）如果直线
l
过抛
uuuruuuruuuruuur
物线的焦点，求
OA?OB
的值；（
II
）如果
OA?OB??4
，证明直线
l
必过一定点，并 求出该定点坐标．
答案：（
I
）－3 （
II
）（2，0）






第 1 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
3. 已知左焦点为
F(?1,0)
的椭圆过点
E(1,
23< br>)
．过点
P(1,1)
分别作斜率为
k
1
,k
2
的椭圆的动弦
3
AB,CD
，设
M,N
分别为线段AB,CD
的中点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若
P
为线段
AB< br>的
中点，求
k
1
；
（3）若
k
1
?k
2
?1
，求证直线
MN
恒过定点，并求出定点坐标．
x
2
y
2
22
??
1
（2）
k
1
??
（3）
(0,?)

答案：（1）
32
33













4. （本 小题满分14分）设抛物线
C
的方程为
x
2
?4y
，
M
?
x
0
,y
0
?
为直线
l
：
y??m(m?0)
上
任意一点，过点
M
作抛物线
C
的两条切线
MA
，
MB
，切点分别为
A
,
B.（1）当
M
的坐标为
(0,?1)

AB
恒过定点< br>(0,m)
；时，求过
M,A,B
三点的圆的方程，并判断直线
l与此圆的位置关系；（2）求证：直线
答案：（1）此圆与直线
l:







y??1
相切；

第 2 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定 圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
x
2
y
2
1
5. 已知椭圆
C:
2?
2
?1(a?b?0)
的离心率为
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半 径的圆与
ab
2
直线
x?y?6?0
相切，过点
P
（4，0）且不垂直于
x
轴直线
l
与椭圆
C
相交于
A
、
B
两点.（1）求椭
圆
C
的方程；（2）求
O A?OB
的取值范围；（3）若
B
点关于
x
轴的对称点是
E
，证明：直线
AE
与
x
轴
相交于定点.
x2
y
2
13
??1
（2）
[?4,)
（3）< br>答案：（1）
（1，0）
43
4











6. . 已知抛物线
C:y
2
?2px(p?0)
的焦点为
F
，
A为
C
上异于原点的任意一点，过点
A
的直线
l
交
C
于另一点
B
，交
x
轴的正半轴于点
D
，且有< br>|FA|?|FD|
.当点
A
的横坐标为
3
时，
?A DF
为正
三角形.（Ⅰ）求
C
的方程；（Ⅱ）若直线
l
1< br>l
，且
l
1
和
C
有且只有一个公共点
E，（ⅰ）证明直线
AE
过定点，并求出定点坐标；（ⅱ）
?ABE
的面积 是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请
说明理由.
答案：（Ⅰ）












第 3 页 共 71 页
y
2
?4x
（Ⅱ）（ⅰ）（1，0）（ⅱ）16

本 专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
7. 已知动圆过定点
A
(4,0), 且在
y
轴上截得的弦
MN
的长为8.
(Ⅰ) 求动圆圆心的轨迹
C
的方程; (Ⅱ) 已知点
B
(-1,0), 设不垂直 于
x
轴的直线
l
与轨迹
C
交于不同的
两点
P
,
Q
, 若
x
轴是
?PBQ
的角平分线, 证明直线
l
过定点.
答案：（1）
y
2
?8x
（2）,直线PQ过定点(1,0)
圆锥曲线综合问题—2.定值问题
定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解思想是 ：先用变量表示所需证明的不变量，然后
通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首 先是求解非定值问题，即变量问题，最后
才是定值问题．
求定值问题常见的方法有两种：
(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
x
2
y
2
3
1. 已知椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
的离心率为
e?
，直线< br>y?x?2
与以原点为圆心、椭圆
2
ab
C
的短半轴长为半径 的圆
O
相切.
x
2
?y
2
?1
（2）如 下图，
A
、
B
、
D
是椭圆
C
的顶点，P
是椭圆
C
（1）求椭圆
C
的方程；答案：
4
上除顶点外的任意点，直线
DP
交
x
轴于点
N
，直线
斜率为
m
，求证：
2m?k
为定值. 答案：
AD
交
BP
于点
M
，设
BP
的斜率为
k
，
MN
的

x
2
1
?y
2
?1
（2）
答案：（1）
4
2







第 4 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定 点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
2. 已知椭圆的中心为原点O
，长轴长为
42
，一条准线的方程为
y?
87
7（Ⅰ）求该椭圆的标准方
程；（Ⅱ）射线
于
y?22x
?
x?0
?
与椭圆的交点为
M
，过
M
作倾斜角互补的两条直线，分别 与椭圆交
．求证：直线
AB
的斜率为定值．
A,B
两点（
A,B
两点异于
M
）
答案：（Ⅰ）







y
x??1
（Ⅱ）
22

8
2
2
x
2
y
2
3. （本题满分14 分）已知椭圆
C:
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
的两个焦点
F
1
,F
2
和上下两个顶点
B1
,B
2
ab
是一个边长为2且∠
F
1
B1
F
2
为
60
的菱形的四个顶点.（1）求椭圆
C的方程；（2）过右焦点
F
2
，斜率为
k
o
（
k?0
）的直线
l
与椭圆
C
相交于
E,F
两点，
A
为椭圆的右顶点，直线
AE
、
AF
分别交直线
x ?3
于点
M
、
N
，线段
MN
的中点为
P< br>，记直线
PF
2
的斜率为
k
?
.求证:
k? k
?
为定值.

x
2
y
2
3
??1
（2）
?

答案：（1）
43
4










第 5 页 共 71 页

本专 题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
x
2
y
2
4. 已知点
M
是椭圆
C
:
2
?
2
ab
∠
F
1

MF< br>2
的面积为
=1(
a
>
b
>0)上一点,
F
1
、
F
2
分别为
C
的左、右焦点,|
F< br>1
F
2
|=4,∠
F
1
MF
2
=60
o
,
43
3

(
I
)求椭圆
C
的方程; (
II
)设
N
(0,2),过点
p
(-1,-2)作直线
l
,交椭圆
C< br>异于
N
的
A
、
B
两点,直线
NA
、
NB
的斜率分别为
k
1
、
k
2
,证明:< br>k
1
+
k
2
为定值.
x
2
y
2
??1
(
II
) 4
答案：(
I
)
84







5. 已知,椭圆
C
过点
A
?
1，< br>?
?
3
?
2
?
?
,两个焦点为(-1,0) ,(1,0). (1)求椭圆
C
的方程; (2)
E
,
F
是椭圆
C
上的两个动点,
如果直线
AE
的斜率与
AF
的斜率互为相反数,证明直线
EF
的斜率为定值,并求出这个定值.
答案：（1）
















x
2
y
2
+=1 （2）
?
43
1

2

第 6 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算 问题
x
2
2
6. 如图，已知双曲线
C
：
2< br>?y?1
(
a
＞0)的右焦点为
F
，点
A
，
B
分别在
C
的两条
a
渐近线上，
AF
⊥< br>x
轴，
AB
⊥
OB
，
BF
∥
OA< br>(
O
为坐标原点)． (1)求双曲线
C
的方程； (2)
x
0
x
?y
0
y?1
与直线
AF
相交于点< br>M
，与直
a
2
|MF|
3
线
x?
相 交于点
N
，证明：当点
P
在
C
上移动时，
恒为定值 ，并求此定值．
|NF|
2
过
C
上一点
P
(x
0
，
y
0
)(
y
0
≠0)的直线< br>l
1
：
23
x
2
?y
2
?1
（2）
答案： （1）
3
3





















7.如图，已知抛物线
C< br>：
x
2
＝4
y
，过点
M
(0,2)任作一直 线与
C
相交于
A
，
B
两点，过点
B
作y
轴的平行线与直线
AO
相交于点
D
(
O
为坐 标原点)．(1)证明：动点
D
在定直线上； (2)
作
C
的任意一 条切线
l
(不含
x
轴)，与直线
y
＝2相交于点
N
1
，与(1)中的定直线相交于点
N
2
，证明：|
MN2
|
2
－|
MN
1
|
2
为定值，并求 此定值．
答案： （1）
D
点在定直线
y
＝－2上(
x
≠0) （2）8
圆锥曲线综合问题—3.定直线问题
x
2
y
2
?1
?
a?0
?
的中心为原点
O
，左、右焦点分别为
1. 已 知双曲线
E:
2
?
a4
35
F
1
、
F
2
，离心率为
5
a
2
，点
P
是直线< br>x?
3
uuuuruuuur
上任意一点，点
Q
在双曲线E
上，且满足
PF
2
?QF
2
?0
.
（1）求实数
a
的值；（2）证明：直线
PQ
与直线
OQ
的 斜率之积是定值；（3）若点
P
的纵坐标为
1
，过

第 7 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性 、范围、最值、运算问题
点
P
作动直线
l
与双曲线右支交于不同的 两点
M
、
N
，在线段
MN
上去异于点
M
、
N
的点
H
，满
足
PM
PN
?
MH
HN
，证明点
H
恒在一条定直线上.
答案：（1）














5
（2）
4
（3）点
H
恒在定直线
4x?3y?12?0
上
5
x
2
y
2
?1
的焦点在
x
轴上 (Ⅰ)若椭圆
E
的焦距为1,求椭圆
E
的方程; (Ⅱ)设2. 设椭圆< br>E:
2
?
a1?a
2
F
1
,F
2< br>分别是椭圆的左、右焦点,
P
为椭圆
E
上的第一象限内的点,直线F
2
P
交
y
轴与点
Q
,并且
F
1
P?F
1
Q
,证明:当
a
变化时,点
p
在某定直线上.
【答案】 (Ⅰ)












8x
2
8x
2
??1
(Ⅱ) 点
p
在定直线
x?y?1?0
上
53

第 8 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性 、范围、最值、运算问题
2. (本小题满分15
y
2
x
2
分)．已知
F
1
、
F
2
分别为椭圆
C
1
：
2
?
2
?1(a?b?0)
的上、下焦点，其
a b
2
中
F
1
也是抛物线
C
2
：
x ?4y
的焦点，点
M
是
C
1
与
C
2
在第二象限的交点，且
MF
1
?
2
5
。（Ⅰ）
3
求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点
P
（1，3）和圆
O
：
x的两点
A
，
B
，在线段
AB
取一点
Q
，满足：
证：点
Q
总在某定直线上。
答案： 点
Q
总在定直线
x?3y











?
?y
2
?b
2
，过点
P
的动直线
l
与圆
O
相交于 不同
?
??
。求
AP??
?
PB
，
AQ?
?
QB
（
?
?0
且
?
??1
）< br>?3
上
x
2
y
2
4. （本小题满分13分）设 椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
过点
M(2, 1)
，且着焦点为
F
1
(?2,0)
ab
（Ⅰ）求椭圆C
的方程；（Ⅱ）当过点
P(4,1)
的动直线
l
与椭圆
C
相交与两不同点
上取点
Q
，满足
A,B
时，在线段AB
uuuruuuruuuruuur
AP?QB?AQ?PB
，证明：点Q
总在某定直线上。
x
2
y
2
??1
（2） 点
Q(x,y)
总在定直线
2x?y?2?0
上
答案：（1）
42








第 9 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、 定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题

5. 如图，已知
P
为抛物线
y
2
=4
x
的焦点，过点
P
的的直线< br>l
与抛物线交于
A
，
B
两点，若
点
Q
在直线
AB
上，且满足
在某定直线上。
答案：点
Q
总在直线













6. （本小题满分1 4分）在平面直角坐标系
xoy
中，已知
uuuruuuruuuruuur
PA?QB?QA?PB
，求证，点
Q
总
x??1
上
F< br>1
,F
2
分别是椭圆
x
2
y
2
G:
2
?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点，椭圆
G
与抛物线
y
2
??4x
有一个公共的焦点，且过点
ab
(?
6
,1)
. (Ⅰ)求椭圆
G
的方程; (Ⅱ) 设点
P< br>是椭圆
G
在第一象限上的任一点,
2
连接
PF
1,PF
2
,过
P
点作斜率为
k
的直线
l
,使得
l
与椭圆
G
有且只有一个公共
点,设直线
PF1
,PF
2
的斜率分别为
k
1
,
k
2
,试证明
11
?
kk
1
kk
2
为定值,并 求出这
个定值；（
III
）在第(Ⅱ)问的条件下，作
F
2
Q
点
Q
在某定直线上.
?F
2
P
，设
F
2
Q
交
l
于点
Q
，证明:当点
P
在椭圆上移动时，

第 10 页 共 71 页

本专题主要包括圆 锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
x
2
y
2
??1
(Ⅱ) 3（
III
）点
Q
在定直线
x?3
上
答案：(Ⅰ)
32















x
2
y
2
7. 如图，已知椭圆
C:?
2
?1(a?b?0)
的左、右焦点分
2
ab
别为
F
1,F
2
，其上顶点为
A.
已知
?F
1
AF2
是边长为
2
的正三角
形．（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；（ Ⅱ）过点
Q(?4,0)
任作一动直线
l
交
uuuuruuur椭圆
C
于
M,N
两点，记
MQ?
?
?QN．若在线段
MN
上取一
uuuruuur
点
R
，使得< br>MR??
?
?RN
，当直线
l
运动时，点
R
在某一定直线上运动，求出该定直线的方程．
x
2
y
2
答案：（1 ）
??1
（2）定直线的方程是
x??1

43








第 11 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题

圆锥曲线综合问题—4.定圆问题与定性问题
一、定圆问题
1.已知椭 圆
E
：
2
＋
x
2
y
2
ab
2
＝1(
a
>
b
>0)的离心率为
2
2
，且过点
P
(2，2)，直
线
l
：
x?4
与
x
轴的交点为
A
，椭圆的上顶点为
B
，直线
AB
被以原点为
5
5
.(1) 求椭圆
E
的方程及圆
O
的方程；(2)
4
圆心的圆
O
所截得的弦长为
若
M
是直线
l:x?4
上纵坐标为t
的点，求证：存在一个异于
M
的点
Q
，对于圆
O上的任意一点
N
，有
MN
NQ
为定值；且当
M
在直线
l
上运动时，点
Q
在一个定圆上．
x
2
y
2
1
1
??1,x
2
?y
2
?4
（2）
Q
在一个以
(,0)
为圆心，答案：（1）
84
2< br>2




为半径的圆上
x
2
y
2
?
??1
2.（本题满分13分）已知椭圆
E
的方程为， 其中
（Ⅰ）求椭圆
E
?
?
(0,)
。
2
t an
?
tan
?
?1
2
形状最圆时的方程。（Ⅱ）若椭圆< br>E
最圆时任意两条互相垂直的切线相较于点
P
，证明：点
P
在 一个定圆上。
y
2
?1
（2）
x
2
?y
2
?3

答案：（1）
x?
2
2








第 12 页 共 71 页

本专题主要包 括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题
3. 如图，已知椭圆
x
2
y
2
??1
的右焦点为
2516
F< br>2
，点
P
是椭圆上任意一
点，
M
是以
PF< br>2
为直径的圆．（Ⅰ）若圆
M
过原点
O
，求
M
的方程；
（Ⅱ）写出一个定圆的方程，使得无论点
P
在椭圆的什么位置，该定
圆总与圆
M
相切，请写出你的探究过程．
答案：（1）
(x?
3
2
25325
（2）
)?(y?2)
2
?,(x?)
2
?(y?2)
2
?
2424
x
2
?y
2
?25









4. 在平面直角坐标系
x Oy
中，设
A
（-1，0），
B
（1，0），
C
（
m
，
n
），且△
ABC
的周长为
22?2
，
（1）求证：点
C
在一个椭圆上运动，并求该椭圆的标准方程；（2）设直线
l
：
mx
+2
ny
-2=0．①
判断直线
l与（1）中的椭圆的位置关系，并说明理由；②过点
A
作直线
l
的垂线， 垂足为
H
．证明：点
H
x
2
?y
2
?1< br>（2）①直线
定圆上，并求出定圆的方程．答案：（1）
2
x
2
?y
2
?2
上
l
与（1）
中的椭圆相切；②点
H
定圆













第 13 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值 、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题


5.已知
F< br>1
、
F
2
为椭圆的焦点，
P
为椭圆的任意一点，椭圆 的离心
率为
1
3
，以
P
为圆心
PF
2长为半径作圆
P
，当圆
P
与
x
轴相切
时，截< br>y
轴所得弦长为
1255
9
（1）求圆
P
方程和椭圆 方程；
（2）求证：无论点
P
在椭圆上如何运动，一定存在一个定圆与
圆P
相切，试求出这个定圆方程．
答案：（1）圆
P
方程为：
( x?2)
2
?(y?
16
2
256
3
)?
9
，椭圆方
程是
x
2
36
?
y
2
32
?1
（2）存在定圆
(x?2)
2
?y
2
?1 44
满足题设要
求







6．已知椭圆
y
2
2
?x
2
?1
，四边形
ABCD
是矩形，且四条边都与椭圆相切．（1）求证：满足
条件的所有矩 形的顶点在一个定圆上；（2）求矩形
ABCD
面积
S
的取值范围．
答案：（1）满足条件的所有矩形的顶点在定圆
x
2
?y
2
?3< br>上，（2）
[42,6]













第 14 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、 运算问题




7．已知抛物线
C
的顶点在坐 标原点，准线
l
的方程为
x
=-2，点
P
在准线
l
上，纵坐标为
3t?
1
t
（
t
∈
R
，
t
≠0），点
Q
在
y
轴上，纵坐标为2
t．（1）求抛物线
C
的方程；（2）求证：直线
PQ
恒与一个圆心在x
轴上的定圆
M
相切，并求出圆
M
的方程．答案：（1）
圆
M
的方程是







二、定性问题
定性问题通常转化为定量问题来处理
y
2
?8x< br>（2）
(x?2)
2
?y
2
?4

已知圆< br>C
：
x
2
＋(
y
－3)
2
＝4，一 动直线
l
过点
A
(－1,0)与圆
C
相交于
P、
Q
两点，
M
是
PQ
的中点，
l
与直
线
m
：
x
＋3
y
＋6＝0相交于点
N. (1) 求证：当
l
与
m
垂直时，
l
必过圆心
C
；
(2) 当
PQ
＝2
→→
3时，求直线
l
的方程；(3) 探索AM ·AN的值是否与直线
l
的倾斜角有关，若无关，请求出
其值；若有关，请说明理由． 答案：（2）
x
＝－1或4
x
－3
y
＋4＝0.（3）－5

圆锥曲线综合问题—5. 存在性问题（一）
存在性问题是近几年高考试题对解析 几何考查的一种热点题型，以判断满足条件的点、直线、参数是
否存在，证明直线与圆锥曲线的位置关系 ，数量关系(等量或不等量)为主要呈现方式，多以解答题的形式
考查；对这类问题，若存在，需要找出 来，若不存在，需说明理由，其解法有：
一、假设法 假设法的一般解法是，先假定存在，然后 根据已知条件或其他定理、公理、法则等推导下
去，如与已知定理、公理、法则等不发生矛盾，即推出的 结果合理，并经验证成立，那么结论成立，若发
生矛盾，则结论不成立。

第 15 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性 、范围、最值、运算问题
31
x
2
y
2
1.已知椭圆C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的焦距为
22
， 且过点
A(,)
.（1）求椭圆的方程；（2）已
22
ab
知
l:y?kx?1
，是否存在
k
使得点
直线
l
的方 程，若不存在说明理由.
A
关于
l
的对称点
B
（不同 于点
A
）在椭圆
C
上？若存在求出此时
x
2
【答案 】（1）
（2）不存在
k
满足条件
?y
2
?1
；
3











2.已知椭圆
C
的中心在原点
O
，焦点在
x
轴上，离心率为
的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与椭圆
1
，右焦点到右顶点的距离为
1
；
（ Ⅰ）求椭圆
C
2
C
交于
A,B
两点的直线
l
：
y?kx?m(k?R)
，使得
uuuruuuruuuruuur
OA ?2OB?OA?2OB
成立？若存在，求出实数
m
的取值范围，若不存在，请说明理 由.
x
2
y
2
221221
??1
（2）(-∞ ，-
【答案】（1）]∪[，+∞)
77
43










第 16 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、 运算问题


3.试题）已知点
A
(-2,0),
B(2,0),直线
PA
与直线
PB
的斜率之积为
?
(1 )求曲线
C
的方程.
(2)设
M
,
N
是曲线< br>C
上任意两点,且
3
，
记点
P
的轨迹为曲线
C
.
4
uuuuruuuruuuuruuur
问是否存在以原点为圆心且 与
MN
OM?ON?OM?ON
，
总相切的圆?若存在,求出该圆的方程;若 不存在,请说明理由.
x
2
y
2
12
??1(y?0)< br>(2)存在以原点为圆心且与
MN
总相切的圆，其方程为
x
2
?y
2
?

【答案】（1）
43
7







x
2
y
2
3
4. 如图，椭圆
C：
2+
2
=1(a>b>0)
经过点
P(1,),
离心
ab
2
率
e=
1
，直线
l
的方程为
x=4.
2
(Ⅰ)求椭圆
C
的方程；
(Ⅱ)
AB
是经过右焦点
F
的任一弦(不经过点
P
)，设直线
AB
与直 线
l
相交于点
M
，记
PA,PB,PM
的斜率分别
为
k
1
,k
2
,k
3
.
问:是否存在常数
?
，使得
k
1
+k
2
=
?
k3
.
若存在求
?
的值；若不存在，说明理由.
x
2
y
2
??1
（2）
?
?2

【答案】（1）
43






第 17 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线定点、定值、定直线、 定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题




5. （本小题满分12分）
已知椭圆长轴的左右端点分别为
A
，
B，短轴的上端点为
M
，
O
为椭圆的中心，
F
为椭圆的右 焦点，
uuur
uuuruur
且
AF
·
FB
＝1 ，｜
OF
｜＝1．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（2）若直线
l
交椭圆于
P
，
Q
两点，问：是否
存在直线
l
，使得点
F< br>恰为△
PQM
的垂心?若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，请说明 理由．
x
2
4
?y
2
?1
（2）存在，方程为< br>y?x?

【答案】（1）
2
3









6. （本题满分12分）已知定点
G(?3,0)
，
S
是圆
C:(x?3)
2
?y< br>2
?72
（
C
为圆心）上的动点，
SG
的垂直平分线 与
SC
交于点
E
.设点
E
的轨迹为
M
. (1),求
M
的方程； (2)是否存在斜率为1的直线
l
，使
得直 线
l
与曲线
M
相交于
A
，
B
两点，且以< br>AB
为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线
l
的方程；
若不存在 ，请说明理由．
x
2
y
2
??1
（2）
y?x? 23,y?x?23

【答案】（1）
189





第 18 页 共 71 页

本专题主要包括圆锥曲线 定点、定值、定直线、定圆与定性、存在性、范围、最值、运算问题

7. 直线
ax-y=1
与曲线
x
2
-2y
2
=1相交于
P
、
Q
两点。
（1） 当
a
为何值时，
PQ=21+a
2
；
（2） 是否存在实数
a
，使得以
PQ
为直径的圆经过原点
O
？若存在，求出的值 ，若不存在，请
说明理由。
【答案】（1）
a??1
（2）不存在










8. 已知椭圆
C
的中点在原点,焦点在
x
轴上,离心率等于
1
,它的一个顶点恰好是抛物线
2
x
2
?83y
的焦点. (1)求椭圆
C
的方程; (2)点
P
(2,3),
Q
(2 ,-3)在椭圆上,
A
、
B
是椭
圆上位于直线
PQ
两侧的动点,(
I )
若直线
AB
的斜率为
1
,求四边形< br>APBQ
面积的最
2
大值;(
II
)当
A
、
B
运动时,满足∠
APQ
=∠
BPQ
,试问直线
A B
的斜率是否为定值,请说明理由.
x
2
y
2
1
??1
(2) (
I )
当
t?0,S
max
?123
(
II
)

AB
的斜率为定值
【答案】（1）
1612
2










第 19 页 共 71 页