高中数学《圆锥曲线方程》重要公式

高中数学《圆锥曲线方程》重要公式
x
2
y
2
1. 椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式
aba
2
a
2
PF
1
?e(x?)
，
PF
2
?e(?x)

cc
?
x?acos
?
x
2
y
2
2.椭圆
2
?
2
?1(a?b? 0)
的参数方程是
?
.
ab
y?bsin
?
?
3．椭圆的的内外部
x
2
y
2
（1）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的内部
?
ab< br>x
2
y
2
（2）点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
ab
4. 椭圆的切线方程
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
xxyy
x
2
y
2(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一点
P(x< br>0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
（2）椭圆
2< br>?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切的条 件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2< br>?c
2
.
x
2
y
2
（3）过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y< br>0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy< br>0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
5.双曲线
2
?
2
?1(a?0 ,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF1
?|e(x?)|
，
PF
2
?|e(?x)|
.
cc
6.双曲线的内外部
x
2
y
2
(1)点P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2< br>?1(a?0,b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的外部
?
ab
7. 双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
x
0
y
0
??1
.
a
2< br>b
2
22
x
0
y
0
?
2
? 1
.
2
ab
x
2
y
2
x
2y
2
b
(1）若双曲线方程为
2
?
2
?1?
渐近线方程：
2
?
2
?0?
y??x
. < br>ab
ab
a
x
2
y
2
xy
b
(2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设为
2
?
2
??
.
ab
ab
a
x< br>2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线与
2
?
2
?1
有公共渐近线，可设为
2
?
2
??
（
??0
，焦点在x
abab
轴上，
??0< br>，焦点在y轴上）.
8. 双曲线的切线方程
xxyy
x
2
y
2
(1)双曲线
2
?< br>2
?1(a?0,b?0)
上一点
P(x
0
,y
0< br>)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab

x
2
y
2
（ 2）过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
（3）双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线
Ax?By?C?0相切的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
2
9. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p
2
抛物线
y?2px( p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
??x
2
??x
1
?x2
?p
.
22
2
y
?
2
10.抛物 线
y?2px
上的动点可设为P
(,y
?
)
或
P( 2pt
2
,2pt)或
P
(x,y)
，其中
2p
y
2
?2px

11.抛物线的内外部
(1 )点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p? 0)
的内部
?y?2px(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的外部
?y?2 px(p?0)
.
22
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的内部
?y??2px(p?0 )
.
22
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y??2px(p?0)
. 22
(3)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
.
22
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0 )
的外部
?x?2py(p?0)
.
22
(4) 点
P( x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内 部
?x?2py(p?0)
.
22
点
P(x
0
, y
0
)
在抛物线
x??2py(p?0)
的外部
?x??2 py(p?0)
.
22
22
b
2
4ac?b
2< br>)?
(a?0)
的图象是抛物线：12.二次函数
y?ax?bx?c?a(x ?
（1）顶
2a4a
b4ac?b
2
b4ac?b
2
?1
,)
；
,)
；点坐标为
(?
（2）焦点的坐标为(?
（3）准线方程是
2a4a2a4a
4ac?b
2
?1y?
.
4a
2
13. 抛物线的切线方程
2
(1) 抛物线
y?2px
上一点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
y
0
y?p(x?x
0
)
.
2
（2）过抛物线
y?2px
外一点
P(x
0
,y
0
)
所引两条切线的切点弦方程是
y
0
y?p(x? x
0
)
.
（3）抛物线
y?2px(p?0)
与直 线
Ax?By?C?0
相切的条件是
pB?2AC
.
14.圆锥曲线的两类对称问题
（1）曲线
F(x,y)?0
关于点
P(x
0
,y
0
)
成中心对称的曲线是
F(2x
0
-x,2y
0
?y)?0
.
（2）曲线
F(x,y)? 0
关于直线
Ax?By?C?0
成轴对称的曲线是
22
F(x?< br>2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C)
,y?)?0
.
A
2
?B
2
A
2
?B
2
108.“四线”一方程

对于一般的二次曲线
Ax?Bxy?Cy?Dx?Ey?F?0
，用< br>x
0
x
代
x
，用
y
0
y
代
y
2
，
用
22
2
x?xy?y
x
0
y?xy
0
代
xy
，用
0
代
x
，用
0
代
y
即得方程
22
2
xy?xy
0
x?xy?y
Ax
0
x?B?
0
?Cy
0
y?D?
0
?E?
0
?F?0
，曲线的切线，切点弦，中点
222
弦，弦中点方程均是此方程得到.
15.两个常见的曲线系方程
(1)过 曲线
f
1
(x,y)?0
,
f
2
(x,y)?0< br>的交点的曲线系方程是
f
1
(x,y)?
?
f
2< br>(x,y)?0
(
?
为参数).
x
2
y
2
?
2
?1
,其中
k?max{a
2
,b
2
}
.当(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程
2
a?kb?k
k?mi n{a
2
,b
2
}
时,表示椭圆; 当
min{a
2
,b
2
}?k?max{a
2
,b
2
}
时,表示双曲线.
16.直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
? x
2
)?(y
1
?y
2
)
或
22
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)
2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
（弦端点
A
( x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由方程
?
?
y?kx?b
2
消去y得到
ax?bx? c?0
，
??0
,
?
为直
?
F(x,y)?0线
AB
的倾斜角，
k
为直线的斜率）.