高中数学圆锥曲线解题的十个大招(适用于2020高考)

旗开得胜
高中数学圆锥曲线解题的十个大招

招式一：弦的垂直平分线问题
例题1、过点T(-1,0)作直线
l
与曲线N ：
y?x
交于A、 B两点，在x轴上是否存在一点E(
x
0
,0)，使得
2
?ABE< br>是等边三角形，若存在，求出
x
0
；若不存在，请说明理由。
解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。
设直线
l:y?k(x?1)
，
k?0
，
A(x
1
,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)
。
由
?
?
y?k(x?1)
?
y
2
?x
消y整理，得
k
2< br>x
2
?(2k
2
?1)x?k
2
?0
①
由直线和抛物线交于两点，得
??(2k
2
?1)
2
? 4k
4
??4k
2
?1?0

即
0?k
2
?
1
4
②
由韦达定理，得：
x
2k
2
?1
1
?x
2
??
k
2
,
x
2k
2
?11
1
x
2
?1
。则线段AB的中点为
(?
2k
2,
2k
)
。
线段的垂直平分线方程为：
y?
12k
??
1
k
(x?
1?2k
2
2k
2
)
令y=0,得
x
0
?
11
2k
2?
2
，则
E(
11
2k
2
?
2
,0)

Q?ABE
为正三角形，
?
E(
11
3
2k
2
?
2
,0)
到直线AB的距离d为
2
AB
。
QAB?(x
22
1?4k
2
1
?x< br>2
)?(y
1
?y
2
)
?
k
2g1?k
d?
1?k
2
2
2k

?
3 1?4k
2
2k
2
g1?k
2
?
1?k
2
2k
解得
k??
39
5
13
满足②式此时
x
0
?
3
。
【涉及到弦的垂直平分线问题】
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1

旗开得胜
这种问题主要是需要用到弦AB的垂直平 分线L的方程，往往是利用点差或者韦达定理产生弦AB
．．．．．．．．
的中点坐标M，结合 弦AB与它的垂直平分线L的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L的方程，然后
解决相关问题，比如 ：求L在x轴y轴上的截距的取值范围，求L过某定点等等。有时候题目的条件比较
隐蔽，要分析后才能 判定是有关弦AB的中点问题，比如：弦与某定点D构成以D为顶点的等腰三角形
（即D在AB的垂直平 分线上）、曲线上存在两点AB关于直线m对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x
2< br>+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于

?
y ??x
2
?3
?x
2
?x?b?3?0?x
1
?x
2
??1
，解：设直线
AB
的方程为
y?x?b
， 由
?
进而可求出
AB
y?x?b
?
的中点
M(?, ?
1
2
111
?b)
，又由
M(?,??b)
在直 线
x?y?0
上可求出
b?1
，∴
x
2
?x?2? 0
，由弦
222
2
长公式可求出
AB?1?11
2
?4?(?2)?32
．









2
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旗开得胜
招式二：动弦过定点的问题
3
x
2
y
2
例题2、 已知椭圆C：
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为
，2
ab
且在x轴上的顶点分别为A
1
(-2,0),A
2
(2,0)。
（I）求椭圆的方程；
（II）若直线
l:x?t(t?2)与x轴交于点T,点P为直线
l
上异于
点T的任一点，直线PA
1
,PA
2
分别与椭圆交于M、N点，试问直
线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的 结论
c3
x
2
?y
2
?1

解：（I） 由已知椭圆C的离心率
e??
，
a?2
,则得
c?3,b?1
。从而椭圆的方程为
a2
4
（II）设
M(x
1
,y1
)
，
N(x
2
,y
2
)
，直线A
1
M
的斜率为
k
1
,则直线
A
1< br>M
的方程为
y?k
1
(x?2)
，由
?
y? k
1
(x?2)
222
(1?4k)x?16kx?16k?4?0
Q?2和x
1
是方程的两个根，
消y整理得
?
2
1212
?
x?4y?4
4k
1
16k
1
2
?42?8k
1
2
2?8k
1
2
4k
1
则
x
1
?
，
y
1
?
，即点M的坐标为
(??2x
1
?,)
，
2
2222
1?4k
1
1?4k
1
1?4k
1
1?4k
1
1?4k
1
2
8k
2
?2?4k
2
同理，设直线A
2N的斜率为k
2
，则得点N的坐标为
(,)

22
1? 4k
2
1?4k
2
Qy
p
?k
1
(t?2 ),y
p
?k
2
(t?2)
?
?
令y=0，得x?
k
1
?k
2
y?y
1
y
2
?y
1
2
??
，
Q
直线MN的方程为：
?
，
k
1
?k
2
tx?x
1
x
2
?x
1
x
2
y
1
?x
1
y
2< br>4
，将点M、N的坐标代入，化简后得：
x?

y
1
?y
2
t
又
Qt?2
，
?
0?
43
44

?2
Q
椭圆的焦点为
(3,0)
??3
， 即
t?
3
tt
故当
t?
43
时，MN过椭圆的焦点 。
3
招式三：过已知曲线上定点的弦的问题

3
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旗开得胜
22
xy
例题4、已知点A、B、C是 椭圆E：
2
?
2
?1

(a?b?0)
上的三点， 其中点A
(23,0)
是椭圆的右顶
ab
uuuruuur
uuur uuur
点，直线BC过椭圆的中心O，且
AC
g
BC?0
，
BC?2AC
，如图。(I)求点C的坐标及椭圆E的方程；
(II)若椭圆E上存在两点P 、Q，使得直线PC与直线QC关于直线
x?3
对称，求直线PQ的斜率。

uuuruuur
解：(I)
Q
BC?2AC
，且BC过椭圆的中心O
ruuur
uuuruu ur
uuu
?
?OC?AC
Q
AC
g
BC?0??ACO?
又
2
QA (23,0)
?
点C的坐标为
(3,3)
。
Q
A
(23,0)
是椭圆的右顶点，
?a?23
，则椭圆方程为：
x
2< br>y
2
??1

12b
2
2
将点C
( 3,3)
代入方程，得
b?4
，
?
椭圆E的方程为
x
2
y
2
??1

124
(II)
Q
直线PC与直线QC关于直线
x?3
对称，
?
设直线PC的斜率为
k
，则直线QC的斜率为
?k
，从而直线PC的方程为：
?
y?kx?3(1?k)
消y，整理得：
y?3?k(x?3)
，即
y?kx?3(1?k)
，由
?
?
22
?
?< br>x?3y?12?0
(1?3k
2
)x
2
?63k(1?k) x?9k
2
?18k?3?0
Qx?3
是方程的一个根，
9k?1 8k?39k?18k?3
9k
2
?18k?3
即
同理可得： x?x?
?x
P
g
3?
PQ
22
1?3k2
3(1?3k)3(1?3k)
22
Qy
P
?y
Q< br>?kx
P
?3(1?k)?kx
Q
?3(1?k)
＝
k(x
P
?x
Q
)?23k
＝
9k
2
?1 8k?39k
2
?18k?3
y
P
?y
Q
1
＝
?36k
x
P
?x
Q
??
?k??
PQ
3(1?3k
2
)
x
P
?x
Q
33(1?3k
2
)3(1?3k
2
)
则直线PQ的斜率为定值< br>?12k

2
3(1?3k)
1
。
3

4
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旗开得胜

招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆
C:(x
?
1)?
y
?
8,
定点
A(1,0),M
为圆上一动点，点P 在AM上，点N在CM
22
上，且满足
AM?2AP,NP?AM?0,点N
的轨迹为曲线E.I）求曲线E的方程；II）若过定点F（0，2）
的直线交曲线E于不同的两点G、 H（点G在点F、H之间），且满足
FG?
?
FH
，求
?
的 取值范围.
解：（1）
?AM?2AP,NP?AM?0.
∴NP为AM的垂直平分 线，∴|NA|=|NM|
又
?|CN|?|NM|?22,?|CN|?|AN|?22? 2.
∴动点N的轨迹是以点
C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为
2a?22,

焦距2c=2.
?a?
2,
c?
1,
b
2< br>?
1.
∴曲线E的方程为
x
2
2
?y
2?1.


（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH方程为
y?kx ?2,代入椭圆方程
x
2
2
?y
2
?
1,

得
(
1
?k
2
)x
2
?4kx?3?0. 由??0得k
2
?
3
22
.
设
G(x
1< br>,y
1
),H(x
2
,y
2
),

则x
4k
1
?x
2
?
?
1
?
? 8k
?k
2
1?2k
2
(1),x
36
1
x
2
?
1
?
1?2
2
(2)
2
? k
2
k
2
又?FG?
?
FH,?(x
1
, y
1
?2)?
?
(x
2
,y
2
?2)?x
1
?
?
x
2
,?
?
?
x
1
x
,
，
2
(1)
2
132k
2
32
(2)
?
?
?
?
?2?
3(1?2k
2
)
?

3(
1
k
2
?2)
读万卷书 行万里路
5