高中数学会考专题-高中数学错误举例
.
高考圆锥曲线试题精选
一、选择题：（每小题 5 分，计 50
分）
1、 (2008
海南、宁夏文 )双曲线
x
2
10
y
2
2
2
1
的焦距为（
）
A.3
2
B. 4
2
全国卷Ⅰ文、理）椭圆
（
2.
2004
x
2
C.
3
3
1
D. 4
3
的两个焦点为
1
、
2
，过
1
作垂直于
轴的
x
4
y
F
F
F
直线与椭圆相交，一个交点为
A．
P，则
| PF
2
|
= （
C
．
3
2
B．
3
7
）
D． 4
2
3．（ 2006 辽宁文） 方程
2x
2
5x
2
0
的两个根可分别作为（
）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率
Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率
Ｂ．两抛物线的离心率
Ｄ．两椭圆的离心率
2
4．（ 2006
四川文、理） 直线ｙ＝ｘ－ 3
与抛物线
y
4x
交于
A、
B
两点，过
A、B
两点向
抛物线的准线作垂线，垂足分别为
（ A） 48.
（
B）56
P 、 Q
，则梯形 APQB
的面积为（
）
5.(2007 福建理 )以双曲线
x
2
（C）64
（ D ）72.
9
y
2
1
的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是
16
(
)
A
.
C
.
B.
D.
6．（
2004 全国卷Ⅳ理） 已知椭圆的中心在原点，离心率
e
1
2
，且它的一个焦点与抛物线
y
2
4x
的焦点重合，则此椭圆方程为（
y
3
2
）
A
．
x
2
4
1
B
．
x
2
8
y
6
2
1
C
．
x
2
y
2
1
D
．
x
2
y
2
1
2
4
7．（
2005 湖北文、理） 双曲线
x
2
m
y
2
n
D ．
1(mn 0)
离心率为
2
，有一个焦点与抛物线
y
2
A．
3
4x
的焦点重合，则
mn
的值为（
B ．
3
C．
16
3
8
）
16
8
8. (2008
重庆文 )若双曲线
x
2
3
3
16 y
2
p
2
1
的左焦点在抛物线
y
2
=2
px
的准线上
,则
p
的值为
(
)
(A)2
(B)3
(C)4
(D)4
2
2
9．（ 2002 北京文）
已知椭圆
x
3m
2
）
y
2
5n
2
15
和双曲线
1
x
2
y
2
有公共的焦点，那么
2m
2
3n
2
1
双曲线的渐近线方程是（
A．
x
15
2
y
B ．
y
x
C．
x
3
4
y
D．
y
3
4
x
2
.
.
10 ．（ 2003 春招北京文、
理）在同一坐标系中， 方程
x
2
y
的曲线大致是
a
2
y
y
2
与
b
2
1
ax
by
y
2
0(a b 0)
y
x
(
)
OO
x
O
x
O
x
B
D
A
C
二、填空题：（每小
题5分，计 20分）
11. （ 2005 上海文） 若椭圆长轴长与短轴长之比为
的标准方程是 _________________________
12 ．
(2008 江西文 ) 已知双曲线
2 ，它的一个焦点是
2
15,0
，则椭圆
x
2
a
2
y
2
b
2
3
1(a 0, b 0)
的两条渐近线方程为
y
3
x
，
若顶点到渐近线的距离为
1 ，则双曲线方程为
．
13. （ 2007 上海文） 以双曲线
x
2
4
y
2
1
的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的
5
．
抛物线方程是
14.( 2008 天津理 )已知圆 C
的圆心与抛物线
y
2
4x
的焦点关于直线
y
x
.
对称 直线
4x
3y 2 0
与圆
C
相交于
A, B
两点，且
AB
为
6
,则圆
C
的方程
.
三、解答题：（ 15 —18 题各 13 分， 19 、 20
题各 14
分）
15. （ 2006 北京文） 椭圆 C:
x
2
y
2
a
2
且
PF
1
F
1
F
2
,| PF
1
| ,|
PF
2
|
14
.
3
3
4
b
2
1(a
b
0)
的两个焦点为
F
1
,F
2
,点
P
在椭圆
C
上，
（Ⅰ）求椭圆 C
的方程；
(Ⅱ)若直线
l
过圆 x
2
+y
2
+4x-2y=0 的圆心 M,
的方程 .
求直线
交椭圆 C 于
A,B
两点, 且 A、B关于点 M
对称,
l
.
16 ．（ 2005 重庆文） 已知中心在原点的双曲线
C
的右焦点为（ 2，0 ），右顶点为
( 3,0)
.
.
（ 1）求双曲线 C 的方程；
（ 2 ）若直线
l : y
kx
2
与双曲线
C
恒有两个不
同的交点 A
和 B，且
OA OB
2
（其中
O
为原点）
.
求
k
的取值范围
.
17. (2007 安徽文 )设
是抛物线
F
G x
:
2
=4
的焦点 .
y
(Ⅰ)过点
P
（ 0 ， -4
）作抛物线
G
的切线 ,求切线方程 :
(Ⅱ)设
A
、
为抛物线
0
,延长
、
B
G
上异于原点的两点，且满足
FA·FB
AF
G
于点
C
,
D
，求四边形
ABCD
面积的最小值
.
18 ．(2008 辽宁文 )
在平面直角坐标系
xOy
中，点
P
到两点
(0，
3)
，
和等于 4，设点
P
的轨迹为
C
．
（ Ⅰ ）写出
C
的方程；
.
分别交抛物线
(0， 3)
的距离之
BF
.
（
Ⅱ
）设直线
y
kx 1
与
C
交于
A
，
B
两点．
k
为何值时
OA OB
？此时
AB
的值是多
少？
.
.
19. （ 2002 广东、河南、江苏）
y
2
A 、B 是双曲线
x
2
－
＝ 1 上的两点，点
N(1,2)
是线段 AB
2
的中点
(1) 求直线 AB 的方程；
(2) 如果线段 AB
的垂直平分线与双曲线相交于
圆？为什么？
C、 D
两点，那么
A、 B、 C、 D 四点是否共
20. （ 2007
福建理 )如图，已知点 F（ 1， 0），直线 l：x＝－ 1 ，P 为平面上的动点，过
P 作
直线 l 的垂线， 垂足为点 Q，且
＝
。
(1) 求动点 P 的轨迹 C
的方程；
（2 ）过点 F 的直线交轨迹 C 于 A 、 B
两点，交直线 l 于点 M，
已知
，
，求
的值。
.
.
“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）
一、选择题：（每小题 5
分，计 50 分）
题号
答案D
1
2
C
3
A
4
A
5
A
6
7
A
8
C
9
D
10
A
A
二、填空题：（每小题 5
分，计
20
分）
2
11.
x
80
y
2
20
1
；
12
．
x
2
3y
2
1
．
4
13.
y
2
12x
．
14.
4
x
2
( y
1)
2
10
.
三、解答题：（ 15 —18 题各 13 分， 19 、 20
题各 14
分）
15. .解： (Ⅰ)因为点
P
在椭圆
C
上，所以
2
2a
PF
1
2
PF
2
6
，a=3.
在 Rt
△
PF
1
F
2
中，
F
1
F
2
222
PF
2
PF
1
x
2
2
5,
故椭圆的半焦距
c
=
5
,
从而
b
=
a
－
c
=4,
所以椭圆
C
的方程为
y
2
9
＝ 1.
4
(Ⅱ)解法一：设
的坐标分别为（
1
,
1
）、（
2
,
2
）.
A，B
x
y
x
y
已知圆的方程为（
x
+2
）
2
+(
y
－
1)
2
=5,
所以圆心
M
的坐标为（－
2，
1
）
.
从而可设直线
l
的方程为
y
=
k
(
x
+2)+1,
代入椭圆
C
的方程得
（ 4+9
k
2
）
x
2
+(36
k
2
+18
k
)
x
+36
k
2
+36
k
－
27=0.
.
.
因为
A，B
关于点
M
对称
.， 所以
x
1
x
2
18k
2
9k
2
2.
解得
k
8
， 所以直线
l
的方程为
y
8
9
2
4
9k
1,
(x
2)
9
即 8
-9
+25=0.
x
y
(经检验，所求直线方程符合题意
)
(Ⅱ)
解法二：已知圆的方程为（
x
+2
）
2
+(
y
－
1)
2
=5,
所以圆心
M
的坐标为（－
x
2
且
2，1）.
设
A，B
的坐标分别为（
x
1
,
y
1
）
,(
x
2
,
y
2
).
由题意
x
1
x
1
2
y
1
2
4
x
2
2
y
2
2
9
1,
①
9
由①－②得
(
x
1
x
2
)(
x
1
x
2
)
(
y
1
9
4
y
2
)( y
1
4
1,
②
y
2
)
0.
③
因为
A、B
关于点
M
对称，所以
x
1
+
x
2
=－
4,
y
1
+
y
2
=2,
代入③得
y
1
y
2
x
1
x
2
＝
8
9
，即直线
l
的斜率为
8
，所以直线
l
的方程为
y
－
1
＝
8
9
（ x+2
），
9
即 8
x
－ 9
y
+25=0.( 经检验，所求直线方程符合题意
.)
16 ．解：（Ⅰ）设双曲线方程为
x
2
a
2
y
2
b
2
1
( a
0, b
0).
由已知得
a
3,
c
2, 再由 a
2
b
2
2
2
,得
b
2
1.
故双曲线 C 的方程为
x
2
3
y
2
1.
（Ⅱ）将
y
kx
2
代入
x
2
y
2
1得 (1 3k
2
)
x
2
6
2kx
9
0.
3
由直线
l
与双曲线交于不同的两点得
1
3k
2
0,
2
(6
2k)
36(1
3k )
2
36(1
k )
2
0.
2
即
k
1
且
k
2
3
1.
①
设
A(x
A
,
y
A
), B(x
B
, y
B
)
，则
x
A
x
B
6
1
2k
2
, x
A
x
B
3k
9
2
，
1
3k
由OA OB
2得x
A
x
B
y
A
y
B
2,
而
x
A
x
B
y
A
y
B
x
A
x
B
(kx
A
2 )(kx
B
2)
(k
2
1)
x
A
x
B
2k ( x
A
x
B
)
2
2
(k
2
3k
于是
1)
9
6
2k
3k
2
7
2
3k
2
1 3k
2
2k
1
3k
2
1
.
3k
2
由①、②得
7
2,即
3k
2
9
0,解此不等式得
1
3k
2
1
1
3
1
k
2
3
k
2
3.
②
1.
) (
,1).
3
3
x
0
2
x
17. 解：（Ⅰ）设切点
Q (x
0
,
4
).由 y
2
,
知抛物线在
Q
点处的切线斜率为
故
k
的取值范围为
(
1,
3
3
x
0
，
2
故所求切线方程为
y
x
0
2
4
x
0
(x
x
0
),
2
即
y
x
0
x
x
0
2
.
2
4
.
.
因为点
P
（
0，-4
）在切线上，
所以
4
x
0
2
, x
0
2
16, x
0
4
4.
所以切线方程为
y
=±2
x
-4.
(Ⅱ)设
A(
x
1
, y
1
), C ( x
2
, y
2
).
由题设知，直线
AC
的斜率
k
存在，由对称性，不妨设
因直线
AC
过焦点
F
（
0
，
1），所以直线
AC
的方程为
y
=
kx
+1.
点
A
，
C
的坐标满足方程组
k
＞
0.
y
kx
1,
x
2
4y,
x
1
x
2
x
1
x
2
消去 y，得
x
2
4kx
4 0,
由根与系数的关系知
4k,
4.
AC
因为 AC
(x
1
x
2
)
2
( y
1
y
2
)
2
1
k
2
( x
1
x
2
)
2
4x
1
x
2
4(1
k
2
).
BD ，所以 BD 的斜率为
1
，从而 BD 的方程
y
2
( ))
k
4(1
)
.
同理可求得
BD
4(1
k
2
4
S
1
8(1
k
2
)
1
2
ABCD
8(k
2
2
)
32.
AC
BD
2
2
k
k
1
2
k
1
x
k
1.
当
k
=1
时，等号成立
.所以，四边形
ABCD
面积的最小值为
32.
的轨迹
是以
18
．解：（Ⅰ）设
（
，
），由椭圆定义可知，
点
P
x
y
P
C
(0，
3)，(0， 3)
为焦点，
长半轴为
2
的椭圆．它的短半轴
b
2
2
(
3)
2
1
，故曲线
C
的方程为
2
x
2
y
2
4
1
．
y
2
（Ⅱ）设
A( x
1
，
y
1
)，B(x
2
， y
2
)
，其坐标满足
2
x
2
y
4
kx
1.
x
2
，
1
2
消去
y
并整理得
( k
4)
x
2kx
3
0
， 故
x
1
2k
2
， x
1
x
2
3
k
OA OB
，即
x
1
x
2
于是
x
1
x
2
y
1
y
2
y
1
y
2
3
k
2
0
．
而
y
1
y
2
k
2
x
1
x
2
k ( x
1
4
x
2
) 1
，
k
4
．
所以
k
1
1
2
时，
x
1
x
2
3k
2
2k
2
1
4 k
2
4 k
2
4
y
1
y
2
0
，故
OA OB
．
4k
2
1
．
k
2
4
当
k
时，
x
1
x
2
4
，
x
1
x
2
12
．
2
17
17
AB
( x
2
x
1
)
2
( y
2
2
y
1
)
2
2
(1 k
2
)( x
2
2
x
1
)
2
，
43 4
3
13
，
17
而
( x
2
x
1
)
( x
2
x
1
)
4
65
4x
1
x
2
4
4
17
2
17
2
所以
AB
17
．
19. 解： (1)
依题意，可设直线方程为
y＝ k(x － 1) ＋
2
y
2
＝1，整理得
代入
x
2
－
2
22
(2 － k)x － 2k(2 － k)x － (2－ k)－ 2
＝0
①
.
1
1 2 2 1 2
.
2
≠ 0,且
x
1
2
记 A(x
,y
),B(x
,y
)，则 x 、 x
是方程
① 的两个不同的实数根，所以2－ k
2k(2 －k)
＋
x
＝
2－ k
2
1
由 N(1,2) 是
AB 中点得 (x
1
＋ x
2
) ＝ 1 2
∴ k(2 －
k)＝ 2－ k
2
，解得 k＝ 1 ，所易知 AB 的方程为 y＝ x＋ 1.
(2) 将 k＝1 代入方程 ① 得 x
2
－ 2x －3 ＝
0，解出
x
1
＝－ 1,x
2
＝ 3 ，由 y＝ x＋ 1 得 y
1
＝0,y
2
＝ 4
即 A 、B 的坐标分别为 (－1,0)
和(3， 4)
由 CD 垂直平分 AB ，得直线 CD
的方程为 y＝－ (x－ 1) ＋ 2，即 y＝ 3－ x ，代入双曲线方程，
整理，
得
x
2
＋ 6x －11 ＝
0
②
记 C(x
3
,y
3
),D(x
4
,y
4
)，以及 CD 中点为 M(x
0
,y
0
)，则
x
3
、x
4
是方程 ② 的两个的实数根，所以
x
3
＋
x
4
＝－
6,
x
3
x
4
＝－ 11， 从而
1
x
0
＝ (x
3
＋ x
4
)＝－ 3,y
0
＝ 3 －x
0
＝ 6
2
2[(x
3
＋ x
4
)
2
－ 4x
3
x
4
＝ 4
|CD| ＝
(x
3
－ x
4
)
2
＋ (y
3
－
y
4
)
2
＝
1
|MC|
＝|MD| ＝ |CD| ＝ 2
2
2(x
3
－ x
4
)
2
＝
10
∴
10 ，
又 |MA| ＝ |MB| ＝
(x
0
－
x
1
)
2
＋ (y
0
－ y
1
)
2
＝ 4＋ 36 ＝ 2 10
即 A、 B、 C 、D 四点到点 M 的距离相等，所以 A、 B、 C 、D
四点共圆 .
＝
得：
20. （ Ⅰ ）解法一：设点
P( x，
y)
，则
Q (
1， y)
，由
( x 1，0) (2， y)
( x 1， y) (
2， y)
，化简得
C : y
2
4x
．
（Ⅰ ）解法二：由
＝
得：
FQ (PQ
2 2
PF )
0
，
y
( PQ
PF ) (PQ
PF
)
0
，
PQ
PF 0
，
PQ
2
PF
．
4x
．
Q
B
O F
A
M
P
所以点
P
的轨迹
C
是抛物线，由题意，轨迹
（Ⅱ）设直线
AB
的方程为：
x
C
的方程为：
y
my
1(m
0)
．
设
A( x
1
， y
1
)
，
B(
x
2
， y
2
)
，又
M
1，
2
，
x
m
.
.
联立方程组
y
2
4x
，
1
x
my
，
，消去
x
得：
y
2
4my
4
0
，
( 4m)
2
12
0
，故
y
1
y
2
4m
y
1
y
2
4
．
1
，
由
MA
1
AF
，
MB
2
BF
得：
y
1
整理得：
1
1
2
，
2
1
2
2
2
m
，
y
1
，
y
2
2
m
2 2
y
，
∴
1
2
＝ 2
my
1
2
1
(
)
=
1
my
2
2
y
1
y
2
·
=-2-
·
2 4m
=0.
.
1
y
2
m
y
1
y
2
m 4
m y