高中数学模拟考试套题-高中数学4一4课本的内容
2009
一、选择题
年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线
x2
y
2
1.(2009全国卷Ⅰ理)设双曲线
2
?
2<
br>?1
(a>0,b>0)的渐近线与抛物线y=x
2
+1相
ab
切,则该双曲线的离心率等于( )
(A)
3
(B)2 (C)
5
(D)
6
解:设切点
P(x
0
,y
0
)
,则切线的斜率为
y
'
|
x?x
0
?2x
0
.由题意有
解得:
x
0
2
?1,??2,e?1?()
2
?5
. <
br>x
2
2.(2009全国卷Ⅰ理)已知椭圆
C:?y
2
?1<
br>的右焦点为
F
,右准线为
l
,点
A?l
,线段
AF
2
b
a
b
a
y
0
?2x
0
又
y
0
?x
0
2
?1
x
0
uuuruuur
uuuur
交
C
于点
B
,若
FA?3FB
,则
|AF|
=
(A).
2
(B). 2 (C).
3
(D). 3
uuuruuur
解:
过点B作
BM?l
于M,并设右准线
l
与X轴的交点为N,易知FN=1.由
题意
FA?3FB
,
故
|BM|?
.又由椭圆的第二定义,得
|BF|?
2
3
222
?|AF|?2
.故选A
??<
br>233
x
2
y
2
3.(2009浙江理)过双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的右顶点
A
作斜率为
?1
的直线,该直线
ab
uuur
1
uuur
与双曲线的两
条渐近线的交点分别为
B,C
.若
AB?BC
,则双曲线的离心率是 (
)
2
A.
2
B.
3
C.
5
D.
10
答案:C <
br>【解析】对于
A
?
a,0
?
,则直线方程为
x?y?
a?0
,直线与两渐近线的交点为B,C,
uuurr
?
ab
?a
2
2a
2
b2a
2
b
uuu
ab<
br>?
ab
?
a
2
ab
BC?(,?),AB??,B
?
,,C(,?)
,则有
?
??
,因
222
2
a?ba?ba?ba?b
a?ba?ba?ba?b
??
??
u
uuruuur
2AB?BC,?4a
2
?b
2
,?e?5
.
x
2
y
2
4.(2009浙江文)已知椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
的左焦点为
F
,右顶点为
A
,点
B
在椭圆
ab
uuuruuur
上,且
BF?x轴,直线
AB
交
y
轴于点
P
.若
AP?2PB
,则椭圆的离心率是( )
A.
3
2
11
B. C.
D.
2
2
32
5.D 【命题意图】对于对解析几何中与平面向量结合的考查
,既体现了几何与向量的
交汇,也体现了数形结合的巧妙应用.
uuuruuur
1
【解析】对于椭圆,因为
AP?2PB
,则
OA?2OF,?a?2c,?e
?
2
6.(2009北京理)点
P
在直线
l:y?x?1
上,若存在过
P
的直线交抛物线
y?x
2
于
A,B
两
点,且
|PA?|AB|
,则称点
P
为“点”,那么下列结论中正确的是
( )
A.直线
l
上的所有点都是“
B.直线
l
上仅有有限个点是“
C.直线
l
上的所有点都不是“
点”
点”
点”
点”
D.直线
l
上有无穷多个点(点不是所有的点)是“
【解析】本题主要考查阅读与理解
、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题
和解决问题的能力. 属于创新题型.
本题采作数形结合法易于求解,如图,
设
A
?
m,n
?
,
P
?
x,x?1
?
,
则
B
?
2m?x,2n?x?2
?
,
∵
A,B在y?x
2
上
,
?
n?m
2
∴
?
2
?
2n?x?1?(2m?x)
(第8题解答图)
消去
n
,整理得关于
x
的方程
x
2
?(4m?1)x?2m2
?1?0
(1)
∵
??(4m?1)2
?4(2m
2
?1)?8m
2
?8m?5?0
恒成立
,
∴方程(1)恒有实数解,∴应选A.
x
2
y
2
7.
(2009山东卷理)设双曲线
2
?
2
?1
的一条渐近线与抛物线y
=x
2
+1 只有一个公共
ab
点,则双曲线的离心率为( ).
A. B. 5 C.
5
4
5
D.
5
2
b
?
x
2
y<
br>2
b
?
y?x
【解析】:双曲线
2
?
2?1
的一条渐近线为
y?x
,由方程组
?
a
,消去y,
得
ab
a
2
?
?
y?x?1
x
2
?
bb
x?1?0
有唯一解,所以△=
()
2
?4?0,
aa
b
ca
2
?b
2
b
所以?2
,
e???1?()
2
?5
,故选D.
a
aaa
答案:D.
【命题立意】:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离
心率的概念,以及直线与抛物线
的位置关系,只有一个公共点,则解方程组有唯一解.本题较好地考查了
基本概念基本
方法和基本技能.
8.(2009山东卷文)设斜率为2的直线
l过抛物线
y
2
?ax(a?0)
的焦点F,且和
y
轴交
于点
A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).
A.
y
2
??4x
B.
y
2
??8x
C.
y
2
?4x
D.
y
2
?8x
【解析】: 抛物线
y
2
?ax(a?0)
的焦点F坐标为
(,0)
,则直线
l
的方程为
y?2(x?)
,它与
aa<
br>44
a1aa
y
轴的交点为A
(0,?)
,所以△OAF的面
积为
||?||?4
,解得
a??8
.所以抛物线方程为
2242<
br>y
2
??8x
,故选B.
答案:B.
【命题立意】:本题
考查了抛物线的标准方程和焦点坐标以及直线的点斜式方程和三角
形面积的计算.考查数形结合的数学思
想,其中还隐含着分类讨论的思想,因参数
a
的符
号不定而引发的抛物线开口方向的不
定以及焦点位置的相应变化有两种情况,这里加
绝对值号可以做到合二为一.
x
2<
br>y
2
9.(2009全国卷Ⅱ文)双曲线
??1
的渐近线与圆
(x?3)
2
?y
2
?r
2
(r?0)
相切,则r
=
63
(A)
3
(B)2 (C)3
(D)6
答案:A
解析:本题考查双曲线性质及圆的切线知识,由圆心到渐近线的距离等于
r,可求
r=
3
10.(2009全国卷Ⅱ文)已知直线<
br>y?k(x?2)(k?0)
与抛物线C:
y
2
?8x
相交A
、B两点,F
为C的焦点。若
FA?2FB
,则k=
(A)
(B)
答案:D
解析:本题考查抛物线的第二定义,由直线方程知直线过定点即抛物线焦点(
2,0),
由
FA?2FB
及第二定义知
x
A
?2?2(x
B
?2)
联立方程用根与系数关系可求k=
11.(2009安徽卷理)下列
曲线中离心率为
6
的是
2
1
3
222
2
(C) (D)
33
3
22
。
3
22
22
x
2
y
2
x
2
y
2
(A)
??1
(B)
??1
(C)
x
?
y
?1
(D)
x
?
y
?1
24
42
46
410
6
c
2
3b
2
3b
2
1
[解析]由
e?
得
2?,1?
2
?,
2
?
,选B
2
a2a2a2
12.(2009安徽卷文)下列曲线中离心率为
A.
B. C.
的是
D.
c6
x
2
y
2
c
【解析】依据双曲线
2
?
2
?1
的离心率<
br>e?
可判断得.
e??
.选B。
a2
ab
a
13.(2009安徽卷文)直线过点(-1,2)且与直线垂直,则的方程是
A.
C.
B.
D.
3
2
3
2
【解析】可得
l
斜率为
??l:y?2??(x?1)
即
3x?2y?1?0
,选A。
x
2
y
2
14.(
2009江西卷文)设
F
1
和
F
2
为双曲线
2?
2
?1
(
a?0,b?0
)的两个焦点, 若
F1
,F
2
,
ab
P(0,2b)
是正三角形的三个顶点
,则双曲线的离心率为
A. B.
2
C. D.3
答案:B
【解析】由
tan
?
6<
br>?
c3
c
?
有
3c
2
?4b
2?4(c
2
?a
2
)
,则
e??2
,故选B.
2b3
a
3
2
5
2
x
2<
br>y
2
15.(2009江西卷理)过椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?0
)的左焦点
F
1
作
x
轴的垂
线交椭圆于点
P
,
ab
F
2
为右焦点,若
?F1
PF
2
?60
o
,则椭圆的离心率为
A.
3
2
11
B. C.
D.
3
2
23
答案:B
c3
b
2
3b<
br>2
o
?2a,
从而可得
e??
【解析】因为
P(?c
,?)
,再由
?F
1
PF
2
?60
有,故选B <
br>a3
aa
x
2
y
2
16.(2009天津卷文)设双
曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的虚轴长为2,焦距为
23
,则双
ab
曲线的渐近线方程为( )
A
y??2x
B
y??2x
C
y??
2
1
x
D
y??x
2
2
【解析】由已知得到
b?1,c?3,a?c
2
?b
2
?2
,因为双曲线的焦点在x轴上,故渐近
线方程为
y??x??
b
a
2
x
2
【考点定位】本试题主要考查了双曲线的几何性
质和运用。考察了同学们的运算能力
和推理能力。
x
2
y
2
x
2
y
2
17.(2009湖北卷理)已知双曲线
??1
的准线过椭圆
?
2
?1
的焦点,则直线
224b
y?kx?
2
与椭圆至多有一个交点的充要条件是
?????
?,K???,?,??
A.
K?
?
B.
U
??
????
2222
??????
1111
C.
K?
?
?
?
???
22
?
2
??
2
D.
,K???,?,??
??
??
U
?
??
22
?
2
??
2
??
a
2
【解析】易得准
线方程是
x????
2
??1
b2
x
2
y
2
所以
c?a?b?4?b?1
即
b?3
所以方程是
??1
43
22222
联立
y?kx?2
可得
3x
2
+(4k
2
+16k)x?4?0
由
??0
可解得A <
br>x
2
y
2
18.(2009四川卷文)已知双曲线
?
2
?1(b?0)
的左、右焦点分别是
F
1
、
F
2
,其一条
2
b
渐近线方程为
y?x
,点 <
br>P(3,y
0
)
在双曲线上.则
PF
1
·
P
F
2
=
A. -12 B. -2
C. 0 D. 4
【解析】由渐近线方程为
y?x
知双曲
线是等轴双曲线,∴双曲线方程是
x
2
?y
2
?2
,于是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且
P(3,1)
或
P(3,?1
)
.不妨去
P(3,1)
,则
PF
1
?(?2?3,?1)
,
PF
2
?(2?3,?1)
.∴
PF
1
·
PF
2
=
(?2?3,?1)(2?3,?1)??(2?3)(2?3
)?1?0
19.(2009全国卷Ⅱ理)已知直线
y?k
?
x?
2
??
k?0
?
与抛物线
C:y
2
?8x
相交于
A、B
两点,
F
为
C
的焦点,若
|FA|?
2|FB|
,则
k?
A.
B.
1
3
2
3
C. D.
2
3
22
3
解:设抛物线
C:y
2?8x
的准线为
l:x??2
直线
y?k
?
x?2<
br>??
k?0
?
恒过定点P
?
?2,0
?
.如图过
A、B
分 别
作
AM?l
于
M
,
BN?l
于
N
, 由
|FA|?2|FB|
,则
|AM|?
2|BN|
,点B为AP的中点.连结
OB
,则
|OB|?
1
|AF|
,
?|OB|?|BF|
点
B
的横坐标为
1
,
故点
B
2
的坐标为
(1,22)?k?
22?022
,
故选D
?
1?(?2)3
x
2
y
2
20.(20
09全国卷Ⅱ理)已知双曲线
C:
2
?
2
?1
?
a
?0,b?0
?
的右焦点为
F
,过
F
且斜率为
ab
3
的直线交
C
于
A、B
两点,若
AF?4FB,则
C
的离心率为
A. B. C. D.
x
2
y
2
解:设双曲线
C:
2
?
2
?1
的右准线为
l
,过
A、B
分 别
ab
65
7
5
5
8
9
5
作
AM?l
于
M
,
BN?l
于
N
,
BD?AM于D
,由直
线AB的斜率为
3
,知直线AB的倾斜角为
60???BAD?60?
,|AD|?
1
|AB|
,
2
ruuurruuu
r
1
uuu
11
uuu
由双曲线的第二定义有
|AM|?|
BN|?|AD|?(|AF|?|FB|)?|AB|?(|AF|?|FB|)
.
e22
uuur
5
uuur
16
又
Q
AF?4FB??3
|FB|?|FB|?e?
故选A
e25
21.(2009湖南卷文)抛
物线
y
2
??8x
的焦点坐标是【 B 】
A.(2,0)
B.(- 2,0) C.(4,0) D.(- 4,0)
解:
由
y
2
??8x
,易知焦点坐标是
(?,0)?(?2,0)
,故选B.
22.(2009辽宁卷文)已知圆C与直线x-y=0
及x-y-4=0都相切,圆心在直线x
+y=0上,则圆C的方程为
(A)
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
(B)
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
(C)
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
(D)
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2
【解
析】圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的
距离等于半径2
即可 答案B
x
2
y
2
23.(2009宁夏海南卷理)双曲线-
=1的焦点到渐近线的距离为
4
12
p
2
(A)
23
(B)2
(C)
3
(D)1
x
2
y
2
解析:双曲线-=1的焦点(4,0)到渐近线
y?3x
的距离为
d?
412
3?4?0
2
?23
,选A
24.(2009宁夏海南卷
理)设已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点为F(1,0),直线
l与抛物线C相交于A,B两点。若
AB的中点为(2,2),则直线
?
的方程为_____________.
2?
?
y
1
?4x
1
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2?
,则有x
1
?x
2
,
?
2
?
?
y
2
?4x
2
y?y
2
4
?
1
??1
解析:抛物线的方程为
y
2
?4x
,
两
式相减得,y
1
2
?y
2
2
?4
?
x1
?x
2
?
,
x
1
?x
2
y
1
?y
2
?直线l的方程为y-2=x-2,即y=x
答案:y=x
25.(2009陕西卷文)过原点且倾斜角为
60?
的直线被圆
x
2
?y
2
?4y?0
所截得的弦长为
(A)
3
(B)2 (C)
6
(D)2
3
答案:D.
解析:
直线方程y=3x,圆的标准方程x
2
?(y?2)
2
?4
,圆心
(0,2)
到直线的距离
d?
3?0?2
(3)
2<
br>?(?1)
2
?1
,由垂径定理知所求弦长为
d
*
?22
2
?1
2
?23
故选D.
26.(2009陕西卷文)“
m?n?0
”是“方程
m
x
2
?ny
2
?1
”表示焦点在y轴上的椭圆”的
(A)充
分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充要条件 (D)
既不充分也不必要条件
答案:C.
x
2
y
2
解析:将方程
mx?ny?1
转化为
??1
, 根据椭圆的定义,要使焦点在y轴上必须满
11
mn
22
足
11
11
?0,?0,
所以
?
,
故选C
.
nm
mn
x
2
y
2
27.(2009四
川卷文)已知双曲线
?
2
?1(b?0)
的左、右焦点分别是
F1
、
F
2
,其一条
2
b
渐近线方程为
y?x
,点
P(3,y
0
)
在双曲线上.则
PF
1
·
PF
2
=
A. -12
B. -2 C. 0 D. 4
【解析】由渐近
线方程为
y?x
知双曲线是等轴双曲线,∴双曲线方程是
x
2
?y<
br>2
?2
,于
是两焦点坐标分别是(-2,0)和(2,0),且
P(3
,1)
或
P(3,?1)
.不妨去
P(3,1)
,则
PF<
br>1
?(?2?3,?1)
,
PF
2
?(2?3,?1).∴
PF
1
·
PF
2
=
(?2?3,?1)(
2?3,?1)??(2?3)(2?3)?1?0
x
2
y
228.(2009全国卷Ⅰ文)设双曲线
2
-
2
=1
?
a>0,b>0
?
的渐近线与抛物线
y=x
2
+1
相切,<
br>ab
则该双曲线的离心率等于
(A)
3
(B)2
(C)
5
(D)
6
【解析】本小题考查双曲线的渐
近线方程、直线与圆锥曲线的位置关系、双曲线的离
心率,基础题。
bxx
2
y
2
解:由题双曲线
2
-
2
=1
?
a>0,b>0
?
的一条渐近线方程为
y?
,代入抛物线
方程整理
a
ab
得
ax
2
?bx?a?0
,因渐近
线与抛物线相切,所以
b
2
?4a
2
?0
,即
c<
br>2
?5a
2
?e?5
,故选
择C。
x
2<
br>29.(2009全国卷Ⅰ文)已知椭圆
C:?y
2
?1
的右焦点为F
,右准线
l
,点
A?l
,线段AF
2
uuuruuuruuur
交C于点B。若
FA?3FB
,则
AF
=
(A)
2
(B) 2 (C)
3
(D) 3
【解析】本小题考查椭圆的准线、向量的运用、椭圆的定义,基础题。
uuur
uuur
解:过点B作
BM?l
于M,并设右准线
l
与X轴的交点为
N,易知FN=1.由题意
FA?3FB
,
故
|BM|?
.又由椭圆
的第二定义,得
|BF|?
30.(2009湖北卷文)已知双曲线
A.3
B.
2
3
222
?|AF|?2
.故选A
??
2
33
x
2
y
2
x
2
y
2
??1的
准线经过椭圆??1
(b>0)的焦点,则
224
b
2
b=
5
C.
3
D.
2
a
2
【解析】可得双曲线的准线为
x???? 1
,又因为椭圆焦点为
(?4?b
2
,0)
所以有
c
4?b
2
?1
.即b=3故b=
3
.故C.
2
3
1.(2009天津卷理)设抛物线
y
2
=2x的焦点为F,过点M(
3,0)的直线与抛物线相
6
交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,
BF=2,则
?
BCF
C
4
与
?
ACF的面积之比
2
S
?BCF
=
S
?ACF
F: (0.51,
0.00)
A
F
5
(A) (B) (C) (D) 【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐
标关系,和综合运算数学的能力,中档题。
解析:由题知
S
?BCF
S
?ACF
1
BC
2
?
2x
B
?1
,
??
1
2x
A
?1AC
x
A
?
2
x
B
?
1
0
4
5
2
3
4
7
1
2
5
x=-0.5
-2
B
-4
-6
又
|BF|?x
B<
br>??2?x
B
?
1
2
3
?y
B
??
3
2
由A、B、M三点共线有
0?2x
A
y
M
?y
A
y?y
B
0?3
?
M
?
即,故
x
A
?2
,
3
x
M
?
x
A
x
M
?x
B
3?x
A
3?
2
∴
S
?BCF
2x
B
?1
3?14
???
,故选择A。
S
?ACF
2x
A
?14?15
x
2
y
2
32.(2009四川卷理)已知双曲线
?
2
?1(b?0)
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
,其一条渐
近
2b
uuuruuuur
线方程为
y?x
,点
P(3,y
0
)
在该双曲线上,则
PF
1
?PF
2
=
A.
?12
B.
?2
C
.0 D.
4
【考点定位】本小题考查双曲线的渐近线方程、双曲线的定义,基础题。(同文8)
解析:
由题知
b
2
?2
,故
y
0
??3?2??1,F<
br>1
(?2,0),F
2
(2,0)
,
∴
PF
1
?PF
2
?(?2?3,?1)?(2?3,?1)?3?4?1?0
,
故选择C。
x
2
y
2
解析2:根据双曲线渐近线方程可求出双曲线
方程
??1
,则左、右焦点坐标分别为
22
uuuvuuuuv
F<
br>1
(?2,0),F
2
(2,0)
,再将点
P(3,y
0
)
代入方程可求出
P(3,?1)
,则可得
PF
1?PF
2
?0
,故选C。
33.(2009四川卷理)已知直线
l
1
:4x?3y?6?0
和直线
l
2
:x??1
,抛物线
y
2
?4x
上一动点
P
到直线
l
1
和直线
l
2
的距离之和的最小值是
A.2
B.3 C.
1137
D.
516
【考点定位】本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离,综合题。
解析
:直线
l
2
:x??1
为抛物线
y
2
?4x
的准线,由抛物线的定义知,
P到
l
2
的距离等于P到抛物线的焦点
F(1,0)
的距离,故本题化为在
抛物线
y
2
?4x
上
找一个点
P
使得
P
到点
F(1,0)
和直线
l2
的距离之
和最小,最小值为
F(1,0)
到直线
l
1
:4x?3y?6?0
的距离,即
d
min
?
|4?0?6
|
?2
,故选择A。
5
|3?1?0?6|
3?4
22<
br>解析2:如下图,由题意可知
d??2
34.(2009宁夏海南卷文)已知
圆
C
1
:
(x?1)
2
+
(y?1)
2<
br>=1,圆
C
2
与圆
C
1
关于直线
x?y?1
?0
对称,则圆
C
2
的方程为
(A)
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
(B)
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
(C)
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
(D)
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
?
a?1b?1
??1?0
?
?
a?2
?
22
【解析】设圆
C
2
的圆心为(a,b),则依题意,有
?
,解得:
?
,
b?1
?
b??2
?
??1
?
?
a?1
对称圆的半径不变,为1,故选B。
x
2
y
2
35.(2009福建卷文)若双曲线
2
?
2
?1
?
a?o
?
的离心率为2,则
a
等于
a3
A.
2 B.
3
C.
D. 1
x
2
y
2
ca
2
?3
?2,解得a=1或a=3,参照选解析解析 由
2
??1可知虚轴b=3,而离心率e=?<
br>a3aa
3
2
项知而应选D.
36.(2009重庆卷理)直线y?x?1
与圆
x
2
?y
2
?1
的位置关系为
( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心
D.相离
【解析】圆心
(0,0)
为到直线
y?x?1
,即
x?y?1?0
的距离
d?
2
12
?1
,,而
0
?
选B。
?
2
2
2
?
?
m1?x
2
,x?(?1,1]
37.(2009重庆卷理)已知以
T?4
为周期的
函数
f(x)?
?
,其中
m?0
。若
1?x?2,x?(1
,3]
?
?
方程
3f(x)?x
恰有5个实数解,则
m的取值范围为( )
A.
(
158
,)
33
B.
(
15
,7)
3
C.
(,)
D.
(,7)
【解析】因为当
x?(?1,1]
时,将函数化为方
y
2
程
x?
2
?1(y?0)
,实质上为一个半椭圆,其图
m
2
48
33
4
3
像如图所示,同时在坐标系中作出当
x?(1,3]
得
图像,再根据周期性作出函数其它部分的图像,由图易知直线
y?
与第二个椭圆
y2
y
2
2
(x?4)?
2
?1(y?0)
相交
,而与第三个半椭圆
(x?4)?
2
?1(y?0)
无公共点时,方程恰有<
br>mm
2
x
3
y
2
x
2
5个实数解,将
y?
代入
(x?4)?
2
?1(y?0)
得
m
3
(9m
2
?1)x
2
?72m
2
x?135m
2
?0,
令
t?9m
2
(t?0)则
(t?1)x
2
?8tx?15t?0
由
??(8t)
2
?4?15t(t?1)?0,得t?15,由9m
2
?15,且m?0得m?
15
3
y
2
x
2
同样由
y?
与第二个椭圆
(x?8)?
2
?1(y?0)
由
??0
可计
算得
m?7
m
3
综上知
m?(
15
,7)
3
38.(2009重庆卷文)圆心在
y
轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为(
)
A.
x
2
?(y?2)
2
?1
B.
x
2
?(y?2)
2
?1
C.
(x?1)
2
?(y?3)
2
?1
D.
x
2
?(y?3)
2
?1
解法1(直接法)
:设圆心坐标为
(0,b)
,则由题意知
(o?1)
2
?(b?2)
?1
,解得
b?2
,
故圆的方程为
x
2
?(y?2
)
2
?1
。
解法2(数形结合法):由作图根据点
(1,2)到圆心的距离为1易知圆心为(0,2),
故圆的方程为
x
2
?(y?2
)
2
?1
解法3(验证法):将点(1,2)代入四个选择支,排除B,D
,又由于圆心在
y
轴
上,排除C。
(x?1)
2
?(y?
1)
2
?1
的圆心,作直线分别交x、y正半轴于39.(2009年上海卷理)过圆
C:
点A、B,
?AOB
被圆分成四部分(如图),若这四部分图形面积满足
S
?
?S
?
?S
?
?S
|||
,
则直
线AB有( )
(A) 0条 (B) 1条 (C)
2条 (D) 3条
【解析】由已知,得:
S
IV
?S
II
?S
III
?S
I
,
,第II,IV部
分的面积是
定值,所以,
S
IV
?S
II
为定值,即
S
III
?S
I
,
为
定值,当直线AB绕着圆心C移动时,只可能有一个位<
br>置符合题意,即直线AB只有一条,故选B。
二、填空题
1.(2009四川卷理)
若⊙
O
1
:x
2
?y
2
?5
与⊙
O
2
:(x?m)
2
?y
2
?20(m?R)
相交
于A、B两点,
且两圆在点A处的切线互相垂直,则线段AB的长度是
【考点定位】本小题考查圆的标准方程、两直线的位置关系等知识,综合题。
解析:由题知<
br>O
1
(0,0),O
2
(m,0)
,且
5?|m|?
35
,又
O
1
A?AO
2
,所以有
m
2
?(5)
2
?(25)
2
?25?m??5
,∴
A
B?2?
5?20
?4
。
5
2.(2009全国卷Ⅰ文)若直线<
br>m
被两平行线
l
1
:x?y?1?0与l
2
:x?y
?3?0
所截得的线段的
长为
22
,则
m
的倾斜角可以是
①
15
o
②
30
o
③
45
o
④
60
o
⑤
75
o
其中正确答案的序号是
.(写出所有正确答案的序号)
【解析】本小题考查直线的斜率、直线的倾斜角、两条平行线间的距离,考查数形结
合的思想。
解:两平行线间的距离为
d?
|3?1|
1?1
?2
,由图
知直线
m
与
l
1
的夹角为
30
o
,
l
1
的倾斜角
为
45
o
,所以直线
m
的
倾斜角等于
30
o
?45
0
?75
0
或
4
5
o
?30
0
?15
0
。故填写①或⑤
3.(2
009天津卷理)若圆
x
2
?y
2
?4
与圆
x2
?y
2
?2ay?6?0
(a>0)的公共弦的长为
23,
则
a?
___________。
【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系,基础题。
解析:由知
x
2?y
2
?2ay?6?0
的半径为
6?a
2
,由图可知
6?a
2
?(?a?1)
2
?(3)
2
解之得a?1
4.(2009湖北卷文)过原点O作圆x
2
+y
2-
-6x-8y+20=0的两条切线,设切点分别为P、
Q,则线段PQ的长为
。
【解析】可得圆方程是
(x?3)
2
?(y?4)
2
?
5
又由圆的切线性质及在三角形中运用正弦定理
得
PQ?4
x2
y
2
5.(2009重庆卷文)已知椭圆
2
?
2?1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
(?c,0),F
2
(c,0)
,
ab
若椭圆上存在一点
P
使
ac<
br>?
,则该椭圆的离心率的取值范围
sinPF
1
F
2
sinPF
2
F
1
为 .
.
解法1,因为在
?PF
1
F
2
中,由正弦定理得
则由已知,
得
ac
?
,即
aPF
1
?cPF
2
PFPF
1211
PF
2
PF
1
?
sinPF
1
F
2
sinPF
2
F
1
设点
(x
0
,y
0
)
由焦点半径公式,得
PF1
?a?ex
0
,PF
2
?a?ex
0
则a(a?ex
0
)?c(a?ex
0
)
记得
x
0
?
a(c?a)a(e?1)a(e?1)
???a
,整理得
由椭圆的几何性质知
x
0
??a则
e(c?a)e(e?1)e(e?1)<
br>e
2
?2e?1?0,
解得
e??2?1或e?2?1,又e?(0,
1)
,故椭圆的离心率
e?(2?1,1)
解法2
由解析1知
PF
1
?PF
2
由椭圆的定义知
c2a
2
PF
1
?PF
2
?2a则PF
2
?PF
2
?2a即PF
2
?
ac?a
c
a
,由椭圆的几
何性质知
2a
2
PF
2
?a?c,则?a?c,既c
2?2c?a
2
?0,
所以
e
2
?2e?1?0,
以下同解析1.
c?a
x
2
y
2
6.(2009重庆卷
理)已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的左、右焦点分别为
F
1
(?c,0),F
2
(c,0)
,
ab
若双曲线上存在一点
P
使
sinPF
1
F
2
a<
br>?
,则该双曲线的离心率的取值范围是 .
sinPF
2
F
1
c
PF
2
PF
1
?
sinPF
1
F
2
sinPF
2
F
1
解法1,因为在
?PF
1
F
2
中,由正弦定理得
则由已知,
得
ac
?
,即
aPF
1
?cPF
2
,且知
点P在双曲线的右支上,
PFPF
1211
设点
(x
0
,
y
0
)
由焦点半径公式,得
PF
1
?a?ex
0<
br>,PF
2
?ex
0
?a
则
a(a?ex
0<
br>)?c(ex
0
?a)
解得
x
0
?
a(c?a)a(e?1)a(e?1)
??a
,整理得 由双曲线的几何性质知
x
0
?a则
e(c?a)e(e?1)e(e?1)
e
2
?2
e?1?0,
解得
?2?1?e?2?1,又e?(1,??)
,故椭圆的离心率e?(1,2?1)
解法2
由解析1知
PF
1
?PF
2
由双曲线的定义知
c2a2
PF
1
?PF
2
?2a则PF
2
?PF2
?2a即PF
2
?
ac?a
c
a
,由椭圆的
几何性质知
2a
2
PF
2
?c?a,则?c?a,既c
2<
br>?2ac?a
2
?0,
所以
e
2
?2e?1?0,<
br>以下同解析1.
c?a
x
2
y
2
7
.(2009北京文)椭圆
??1
的焦点为
F
1
,F
2,点P在椭圆上,若
|PF
1
|?4
,则
92
|PF<
br>2
|?
;
?F
1
PF
2
的大小为 .
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定
理.
属于基础知识、基本运算的考查.
∵
a
2
?9,b
2
?3
,
∴
c?a
2
?b
2
?9?2?7
,
∴
F
1
F
2
?27
,
又
PF<
br>1
?4,PF
1
?PF
2
?2a?6
,∴
2
2
?4
2
?27
2?2?4
PF
2
?2
,
又由余弦定理,得
cos?F
1
PF
2<
br>?
2,120
?
.
??
2
??
1
, ∴
?F
1
PF
2
?120
?
,故应填
2
8.(2009北京理)设
f(x
)
是偶函数,若曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线的
斜率为1,
则该曲线在
(?1,f(?1))
处的切线的斜率为_________.
【解析】本题主要考查导数与曲线在某一点处切线的斜率的概念. 属于基础知识、基
本运算
的考查.
取
f
?
x
?
?x
2
,
如图,采用数形结合法,
易得该曲线在
(?1,f(?1))
处的切线的斜率为故应填
?1
.
x
2
y
2
9.(2009北京
理)椭圆
??1
的焦点为
F
1
,F
2
,
9
2
?1
.
点
P
在
椭圆上,若
|PF
1
|?4
,则
|PF
2
|?
_________;
?F
1
PF
2
的小大为__________.
(第11题解答图)
【解析】本题主要考查椭圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系
以及余弦定
理. 属
于基础知识、基本运算的考查.
∵
a
2
?9,b
2
?3
,
∴
c?a
2
?b
2
?9?2?7
,
∴
F
1
F
2
?27
,
又
PF<
br>1
?4,PF
1
?PF
2
?2a?6
,∴
P
F
2
?2
,又由余弦定理,得
cos?F
1
PF
2
?
∴
?F
1
PF
2
?120
?
,
故应填
2,120
?
.
x
2
y
2
10.
(2009江苏卷)如图,在平面直角坐标系
xoy
中,
A
1
,A<
br>2
,B
1
,B
2
为椭圆
2
?
2?1(a?b?0)
ab
的四个顶点,
F
为其右焦点,直线
A<
br>1
B
2
与直线
B
1
F
相交于点T,线段OT
与椭圆的交点
M
2
2
?4
2
?27
2?2?4
??
2
1
??
,
2
恰为线段
OT
的中点,则该椭圆的离心率为 .
【解析】 考查椭圆的基本性质,如顶点、焦点坐标,离心率的计算等。以及直线的方
程。
xy
??1
;
?ab
xy2acb(a?c)
直线
B
1
F
的方程为:
??1
。二者联立解得:
T(,),
c?ba?ca?c
22
xy
acb(a?c)
,)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上, 则
M(
a?c2(a?c)
ab
直线
A
1
B
2
的方程为:
c
2
(a?c)
2
222
??1,c?10ac?3a?0
,e?10e?3?0
,
22
(a?c)4(a?c)
解得:
e?27?5
11.
(2009全国卷Ⅱ文)已知圆O:
x
2
?y
2
?5
和点A
(1,2),则过A且与圆O相切的
直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于
。
解析:由题意可直接求出切线方程为y-2=
?
(x-1),即x+2y-5=0
,从而求出在两坐
标轴上的截距分别是5和,所以所求面积为
??5?
5
2<
br>1
2
15
22
25
。
4
3
,2
12.(2009广东卷理)巳知椭圆
G
的中心在坐标原点,长轴在
x
轴上,离心率为
且
G
上一点到
G
的两个焦点的距离之和为1
2,则椭圆
G
的方程为 .
3
x
2
y
2
【解析】
e?
,
2a?12
,
a?6
,
b?3
,则所求椭圆方程为
??1
.
2
369
1
3.(2009年广东卷文)以点(2,
?1
)为圆心且与直线
x?y?6
相
切的圆的方程
是 .
【答案】
(x?2)
2
?(y?1)
2
?
25
2
|2?1?6|5<
br>?
,所以圆的方程为
1?12
【解析】将直线
x?y?6
化为
x?y?6?0
,圆的半径
r?
(x?2)
2
?(y?1)
2
?
25
2
14.(2009天津卷文)若圆
x
2
?y
2
?4
与圆
x
2
?y
2<
br>?2ay?6?0(a?0)
的公共弦长为
23
,则
a=______
__.
【解析】由已知,两个圆的方程作差可以得到相交弦的直线方程为
y?
,利用圆
1
|
2
a
心(0,0)到直线的距离d
?
为
2
2
?3?1
,解得a=1
1
|
1
a
【考点定位】本试题考查了直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式的运用。
考察了同学们
的运算能力和推理能力。
15.(2009四川卷文)抛物线
y
2
?4x<
br>的焦点到准线的距离是 .
【解析】焦点
F(1,0),准线方程
x??1
,∴焦点到准线的距离是2
x
2
y
2
16.(2009湖南卷文)过双曲线C:
2
?
2
?
1
(a?0,b?0)
的一个焦点作圆
x
2
?y
2
?a
2
的两
ab
条切线,
切点分别为
A
,
B
,若
?AOB?120
o
(O是坐标原点),则双曲线线C的离
心率为 2 .
解:
Q
?AOB?120
o
??AOF?
60
o
??AFO?30
o
?c?2a
,
?e??
2.
17.(2009福建卷理)过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的焦点F作倾斜角为
45
o
的直线交抛物线于<
br>A、B两点,若线段AB的长为8,则
p?
________________
?
y
2
?2px
p
p
2
?
2
解
析:由题意可知过焦点的直线方程为
y?x?
,联立有
?
?0
,又<
br>p
?x?3px?
2
4
?
y?x?
?2
c<
br>a
p
2
AB?(1?1)(3p)?4??8?p?2
。
4
22
x
2
y
2
18.(2009辽宁卷理)以知F是双曲线
??1
的左焦点,
A(1,4),P
是双曲线右支上的
412
动点,则
PF?PA
的最小值为
。
【解析】注意到P点在双曲线的两只之间,且双曲线右焦点为F’(4,0),
于是由双曲线性质|PF|-|PF’|=2a=4
而|PA|+|PF’|≥|AF’|=5
两式相加得|PF|+|PA|≥9,当且仅当A、P、F’三点共线时等号成立.
【答案】9 19.(2009四川卷文)抛物线
y
2
?4x
的焦点到准线的距离是
.
【解析】焦点
F
(1,0),准线方程
x??1
,∴焦点到准线
的距离是2
20.(2009宁夏海南卷文)已知抛物线C的顶点坐标为原点,焦点在x轴上,直线y
=x
与抛物线C交于A,B两点,若
P
?
2,2
?
为
AB
的中点,则抛物线C的方程
为 。
【解析】
设抛物线为y
2
=kx,与y=x联立方程组,消去y,得:x
2
-kx=0
,
x
1
?x
2
=k
=2×2,故
y
2?4x
.
21.(2009湖南卷理)已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原
点的四边形中,
有一个内角为60
o
,则双曲线C的离心率为 .
【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形,由条件知,这个三角形的两边
直角分别是
b,c(b
是虚半轴长,
c
是焦半距
)
,且一个内角是30
?
,即得
?tan30
?
,所以
c?3b
,所以
a?2b
,离心率
e?
b
c
c36
??
a2
2
x
2
y
2
22.(2009年上海卷
理)已知
F
1
、
F
2
是椭圆
C:
2
?
2
?1
(
a
>
b
>0)的两个焦点,
P
为
ab
椭圆
C
上一点,且
PF
1
?PF
2
.若
?PF
1
F
2
的面积为9,则
b<
br>=____________.
?
|PF
1
|?|PF
2<
br>|?2a
?
【解析】依题意,有
?
|PF
1
|?|P
F
2
|?18
,可得4c
2
+36=4a
2
,即a
2
-c
2
=9,故有b=3。
?
222
?
|PF
1
|?|PF
2
|?4c
x
2
y
2
23.(2009上海卷文)已知
F
1
、F
2
是椭圆C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的两个焦点,
p
为椭圆
C
上
ab
的一点,且
PF
1
?PF
2
。若
?PF
1
F
2
的面积为9,则b?
.
?
|PF
1
|?|PF2
|?2a
?
【解析】依题意,有
?
|PF
1
|?|PF
2
|?18
,可得4c
2
+36=4a
2
,即a
2
-c
2
=9,故有b=3。
?
222
?
|PF
1
|?|PF
2
|?4c
三、解答题
1.(2009年广东卷文)(本小题满分14分)
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在<
br>x
轴上,离心率为
3
,两个焦点分别为
F
1
和
F
2
,椭
2
圆G上一点到
F
1
和
F2
的距离之和为12.圆
C
k
:
x
2
?y2
?2kx?4y?21?0
(k?R)
的圆心为点
A
k
.
(1)求椭圆G的方程
(2)求
?A
k
F
1
F
2
的面积
(3)问是否存在圆
C
k
包围椭圆G?请说明理由.
x
2
y
2
【解析】(1)设椭圆G的方程为:
2
?
2
?
1
(
a?b?0
)半焦距为c;
ab
?
2a?12
?
?
?
a?6
则
?
c
,
?b
2
?a
2
?c
2
?36?27?9
3
, 解得
?
?
?
c?33
?
?
2
?
a
x
2
y
2
所求椭圆G的方程为:
??1
.
369
(2
)点
A
K
的坐标为
?
?K,2
?
(3)
若
k?0
,由
6
2
?0
2
?12k?0?21?5
?12kf0
可知点(6,0)在圆
C
k
外,
若
k?0
,由
(?6)
2
?0
2
?12k?0?21?5?1
2kf0
可知点(-6,0)在圆
C
k
外;
?
不论K为何值圆
C
k
都不能包围椭圆G.
2.(2009全国卷Ⅰ理)(本小题满分12分)
如图,已知抛物线
E:y2
?x
与圆
M:(x?4)
2
?y
2
?r2
(r?0)
相交于
A
、
B
、
C
、<
br>D
四个点。
(I)求
r
得取值范围;
(II)当四边
形
ABCD
的面积最大时,求对角线
AC
、
BD
的交点P
坐标
分析:(I)这一问学生易下手。将抛物线
E:y
2
?x
与圆
M:(x?4)
2
?y
2
?r
2
(r?0)
的方程联
立,消去
y
2
,整理得
x
2
?7x?16?r
2
?0
.............(*) <
br>抛物线
E:y
2
?x
与圆
M:(x?4)
2
?y
2
?r
2
(r?0)
相交于
A
、
B<
br>、
C
、
D
四个点的充要条
件是:方程(*)有两个不相等的正
根即可.易得
r?(
函数和方程的思想来处理也可以.
(II)考纲中明确提出不考查求两个圆锥曲线的交点的坐标。因此利用设而不求、整
体代入的
方法处理本小题是一个较好的切入点.
设四个交点的坐标分别为
A(x
1,x
1
)
、
B(x
1
,?x
1
)、
C(x
2
,?x
2
)
、
D(x
2<
br>,x
2
)
。
则由(I)根据韦达定理有
x
1
?x
2
?7,x
1
x
2
?16?r
2
,
r?(
则
S??2?|x
2
?x
1
|(x
1
?x
2
)?|x
2
?x
1
|(x
1?x
2
)
令
16?r
2
?t
,则<
br>S
2
?(7?2t)
2
(7?2t)
下面求
S
2
的最大值。
方法一:利用三次均值求解。三次均值目前在两纲中
虽不要求,但在处理一些最值问
题有时很方便。它的主要手段是配凑系数或常数,但要注意取等号的条件
,这和
二次均值类似。
当且仅当
7?2t?14?4t
,即
t?
时取最大值。经检验此时
r?(
方法二:利用求导处理,这是命题人的意图。具
体解法略。
下面来处理点
P
的坐标。设点
P
的坐标为:
P
(x
p
,0)
由
A、P、C
三点共线,则
以下略。
y
2
x2
3.(2009浙江理)(本题满分15分)已知椭圆
C
1
:
2
?
2
?1(a?b?0)
的右顶点为
A(1,0)
,ab
过
C
1
的焦点且垂直长轴的弦长为
1
.
15
,4)
2
15
,4)
.考生利用数形结合及
2
1
2
7
6
15
,4)
满足题意。 2
x
1
?x
2
x
1
7
?
得<
br>x
p
?x
1
x
2
?t?
。
x1
?x
2
x
1
?x
p
6
(I)求椭圆
C
1
的方程;
(II)设点
P
在抛物
线
C
2
:
y?x
2
?h(h?R)
上,
C
2
在点
P
处
的切线与
C
1
交于点
M,N
.当线段
AP
的中点与
MN
的中
点的横坐标相等时,求
h
的最小值.
?
b?12
a?2
?
y
?
解析:(I)由题意得
?
b<
br>2
,?
?
,
所求的椭圆方程为
?x
2
?1<
br>,
4
?
2??1
?
b?1
?
a
(
II)不妨设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y<
br>2
),P(t,t
2
?h),
则抛物线
C
2
在点P处的切线斜率为
y
?
x?t
?2t
,直
线MN的方程
为
y?2tx?t
2
?h
,将上式代入椭圆
C
1
的
方程中,得
4x
2
?(2tx?t
2
?h)
2
?4
?0
,
即
4
?
1?t
2
?
x
2<
br>?4t(t
2
?h)x?(t
2
?h)
2
?4?0<
br>,因为直线MN与椭圆
C
1
有两个不同的交点,所以有
422
?
1
?16
?
?
?t?2(h?2)t?h?4
?
?
?0
,
x
1
?x
2
t(t
2
?h)
?
设线段MN的中点的横坐标是
x
3
,则
x
3
?
,
2
22(1?t)
t?1
设线段PA的中点的横坐
标是
x
4
,则
x
4
?
,由题意得
x
3
?x
4
,即有
t
2
?(1?h)t?1?0
,
其
2
中的
?
2
?(1?h)
2
?4?0,?h?1
或
h??3
;
422
当
h??3
时有
h
?2?0,4?h
2
?0
,因此不等式
?
1
?16
?
?t?2(h?2)t?h?4
?
??
?0
不成立;因此
h?1
,当
h?1
时代入方程
t
2
?(1?h)t?1?0
得
t??1
,将
h?1,t??1
代入不等式
422
?
1
?16
?
?
?t?2(h?2)t?h?4
?
?
?0
成立,因此
h
的最小值为1.
4.(2009浙江文)(
本题满分15分)已知抛物线
C
:
x
2
?2py(p?0)
上一点
A(m,4)
到其焦
17
.
4
(I)求
p
与
m
的值;
点的距离为
(II)设抛物
线
C
上一点
P
的横坐标为
t(t?0)
,过
P的直线交
C
于另一点
Q
,交
x
轴
于点
M
,过点
Q
作
PQ
的垂线交
C
于另一点
N
.若
MN
是
C
的切线,求
t
的最小
值.
解析(Ⅰ)由抛物线方程得其准线方程:
y??
,根据抛物线定义
p171
,解得
p?
?
242
?
抛物线
方程为:
x
2
?y
,将
A(m,4)
代入抛物线方程,解得
m??2
p
2
点
A(m,4)
到焦点的距离等于
它到准线的距离,即
4?
(Ⅱ)由题意知,过点
P(t,t
2
)的直线
PQ
斜率存在且不为0,设其为
k
。
?t
2
?kt?t
2
?kt
,
则
M(,0)
。 则
l
PQ
:y?t?k(x?t)
,当<
br>y?0,x?
kk
?
y?t
2
?k(x?t)
2x?kx?t(k?t)?0
联立方程
?
,整理得:
2
x?y
?
2
即:
(x?t)[x?(k?t)]?0
,解得
x?t
,
或
x?k?t
?Q(k?t,(k?t)
2
)
,而
QN?QP
,
?
直线
NQ
斜率为
?
1
k
1
?
2
1
y?(k?t)??[x?(k?t
)]
?
?l
NQ
:y?(k?t)
2
??[x?(k?t)
]
,联立方程
?
k
k
2
?
x?y
?
11
整理得:
x
2
?x?(k?t)?(k?t)
2<
br>?0
,即:
kx
2
?x?(k?t)[k(k?t)?1]?0
kk
k(k?t)?1
[kx?k(k?t)?1][x?(k?t)
]?0
,解得:
x??
,或
x?k?t
k
k(k?t)?1[k(k?t)?1]
2
?N(?,)
,
?KNM
2
k
k
[k(k?t)?1]
2
2
(k<
br>2
?kt?1)
2
k
??
222
k(k?
t)?1?t?ktk(t?k?1)
??
kk
x??
k(k?t)?1k
而抛物线在点N处切线斜率:
k
切
?y
?
?
?2k(k?t)?2
k
(k
2
?kt?1)
2
?2k(k?t)?2
22
?
MN是抛物线的切线,
?
2
k
?tk?1?2t?0
, 整理得
?
2
k
k(t?k?1)
222
???t
2
?4(1?2t
2
)?0
,解得
t??
(舍去),或
t?
,
?t
min
?
333
5.(2009北京文)(本小题共14分)
3
x
2
y
2
已知双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?
0)
的离心率为
3
,右准线方程为
x?
。
3
ab
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)已知直线
x?y?m?0
与双曲线C交于不同的两点A,B,且线段AB的中点在
圆
x
2
?y
2
?5
上,求
m
的值.
【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线
和方程
的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
?
a
2
3
?
?
c3
,解得
a?1,c?3
, (Ⅰ)由题意,得<
br>?
?
?
c
?3
?
?
a
y
2
∴
b?c?a?2
,∴所求双曲线
C
的方程为
x??1
.
2
222
2
(Ⅱ)设A、B两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2?
,线段AB的中点为
M
?
x
0
,y
0
?
,
?
2
y
2
x??1
由
?
得
x
2
?2mx?m
2
?2?0
(判别式??0
),
2
?
?
x?y?m?0
?
∴
x
0
?
x
1
?x
2
?m,y
0
?x
0
?m?2m
,
2
∵点
M
?
x
0
,y
0
?
在圆
x
2
?y
2
?5
上,
∴
m
2
?
?
2m
?<
br>?5
,∴
m??1
.
6.(2009北京理)(本小题共14分)
2
3
x
2
y
2
已知双曲线
C:
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的离心率为
3
,右准线方程为
x?
3
ab
(Ⅰ)求双曲线
C
的方程;
(Ⅱ)设直线
l
是圆
O:x
2
?y
2
?2
上动点
P(x
0
,y
0
)(x
0
y
0
?0)
处
的切线,
l
与双曲线
C
交
于不同的两点
A,B
,证明
?AOB
的大小为定值.
【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识,考查曲线和方
程
的关系等解析几何的基本思想方法,考查推理、运算能力.
?
a
2
3
?
?
c3
,解得
a?1,c?3
, (Ⅰ)由题意,得<
br>?
?
?
c
?3
?
?
a
y
2
∴
b?c?a?2
,∴所求双曲线
C
的方程为
x??1
.
2
222
2
(Ⅱ)点
P
?
x
0
,
y
0
??
x
0
y
0
?0
?
在圆<
br>x
2
?y
2
?2
上,
圆在点
P
?
x
0
,y
0
?
处的切线方程为
y?y
0<
br>??
化简得
x
0
x?y
0
y?2
.
?
2
y
2
x??1
22
由
?
及
x
0
2
?y
0
2
?2
得
?
3x<
br>0
?4
?
x
2
?4x
0
x?8?2x
0
?0
,
2
?
?
xx?yy?2
0
?
0
x
0
?
x?x
0
?
,
y0
∵切线
l
与双曲线C交于不同的两点A、B,且
0?x
02
?2
,
222
∴
3x
0
2
?4?
0
,且
??16x
0
?4
?
3x
0
?4<
br>??
8?2x
0
?
?0
,
设A、B两点的坐标分别
为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,
2
4x
0
8?2x0
则
x
1
?x
2
?
2
,x
1
x
2
?
2
,
3x
0
?43x
0
?4
uuuruuur
OA?OB
∵
cos?AOB?
uu
uruuur
,且
OA?OB
uuuruuur
1
OA?OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
?x
1
x
2
?
2
?
2?x
0
x
1
??
2?x
0
x
2
?
,
y
0
22
8?2x
0
8?2x
0
??
2
?2
?0
.
3x
0
?43x
0
?4
∴
?AOB
的大小为
90
?
.
【解法2】(Ⅰ)同解法1.
(Ⅱ)点
P
?
x
0
,y
0
??
x
0
y
0
?0
?
在圆
x
2
?y2
?2
上,
圆在点
P
?
x
0
,y<
br>0
?
处的切线方程为
y?y
0
??
x
0?
x?x
0
?
,
y
0
?
2
y
2
x??1
化简得
x
0
x?y
0
y?2
.由
?
及
x
0
2
?y
0
2
?2
得
2
?
?
xx?yy?2
0
?
0
?
3x
?
3x
2
0
2
0
2
?4
?
x
2
?4x
0
x?8?2x
0
?
0
①
2
?4
?
y
2
?8y
0
x?8?2x
0
?0
②
∵切线
l
与双曲线C交于不同的两点A、B,且
0?x
0
2
?2
,
∴
3x
0
2
?4?0
,设A
、B两点的坐标分别为
?
x
1
,y
1
?
,
?
x
2
,y
2
?
,
22
8?2x
0
2x
0
?8
则
x
1
x
2
?<
br>2
,y
1
y
2
?
2
,
3x
0
?43x
0
?4
uuuruuur
∴
OA?OB?x<
br>1
x
2
?y
1
y
2
?0
,∴
?AOB
的大小为
90
?
.
(∵
x
0<
br>2
?y
0
2
?2
且
x
0
y
0
?0
,∴
0?x
0
2
?2,0?y
0
2
?2
,从而当
3x
0
2
?4?0
时,方
程
①和方程②的判别式均大于零).
7.(2009江苏卷)(本题满分10分)
在平面直角
坐标系
xoy
中,抛物线C的顶点在原点,经过点A(2,2),其焦点F在
x
轴
上。
(1)求抛物线C的标准方程;
(2)求过点F,且与直线OA垂直的直线的方程;
(3)设过点
M(m,0)(m
?0)
的直线交抛物线C于D、E两点,ME=2DM,记D和E两点间的
距离为
f(
m)
,求
f(m)
关于
m
的表达式。
【解析】 [必做题
]本小题主要考查直线、抛物线及两点间的距离公式等基本知识,考
查运算求解能力。满分10分。
8.(2009山东卷理)(本小题满分14分)
x
2
y
2
设椭圆E:
2
?
2
?1
(a,b>0)过M(2,
2
)
,N(
6
,1)两点,O为坐标原点,
ab
(I)求椭圆E的方程;
p>
(II)是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,
uuuruuur
且
OA?OB
?若存在,写出该圆的方程,并求|AB
|的取值范围,若不存在说明理由。
x
2
y
2
解:(1)因为椭圆E:
2
?
2
?1
(a,b>0)过M(2,
2
)
,N(
6
,1)两点,
ab
?
42
?
11
??1?
??
?
a
2
?8
x
2
y
2
?
a
2
b
2
?
a
2
8
所以
?
解得
?
所以
?
2
椭圆E的方程为
??1
61
11
84
?
b?4
?
??1
?
?
?
?
?
a
2
b
2
?
b
2
4
(2)假设存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒
有两个交点
?
y?kx?m
uuuruuur
A,B,且
OA?OB
,设该圆的切线方程为
y?kx?m
解方程组
?
得
x
2
?2(kx?m)
2
?8
,
?
x
2
y
2
?1
?
?
4
?
8
即
(1?2k
2
)x
2
?4kmx?2m
2
?8?0
,
则△=
16k
2
m
2
?4(1?2k
2
)(2m
2
?8)?8(8k
2
?m
2
?4)?0
,即8k
2
?m
2
?4?0
4km
?
x
?x??
12
?
?
1?2k
2
?
2
2m?
8
?
xx?
12
?
1?2k
2
?
k
2
(2m
2
?8)4k
2
m
2
m
2?8k
2
2
y
1
y
2
?(kx
1?m)(kx
2
?m)?kx
1
x
2
?km(x
1
?x
2
)?m???m?
1?2k
2
1?2k
2
1?2k
2
22
,
要使
uuuruuur
2m<
br>2
?8m
2
?8k
2
22
??0
OA?OB
,需使
x
1
x
2
?y
1
y
2?0
,即
3m?8k?8?0
,所以,所以
22
1?2k1?2
k
?
m
2
?2
2626
3m
2
?8
8
22
k??0
又
8k?m?4?0
,所以
?
2
,所以
m
2
?
,即
m?
或
m??
,因为
33
8
3
?
3m?8
2
直线
y?k
x?m
为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为
26
m
2
m<
br>2
8
8
22
r?
r???
x?y?
,,,所
求的圆为,此时圆的切线
r?
2
2
2
3m?8
3
1
?k3
3
1?k
1?
8
2
m
y?kx?m
都满足
m?
262626
或
m??
,而当切线的斜率不存在时切线为
x??
与椭
333
uuuruuur
26262626
x<
br>2
y
2
,?)
或
(?,?)
满足
OA?OB
,综上, 存在圆心圆
??1
的两个交点为
(
3333
84
在原点的圆
x
2
?y
2
?
,使得该圆的任意一条切
线与椭圆E恒有两个交点A,B,且
8
3
uuuruuur
O
A?OB
.
4km
?
x?x??
12
?
?
1?2k
2
因为
?
,
2
2m?8
?
x
x?
12
?
1?2k
2
?
4km
2
2m<
br>2
?88(8k
2
?m
2
?4)
)?4??
所以
(x
1
?x
2
)?(x
1
?x
2)?4x
1
x
2
?(?
,
2222
1?2k
1?2k(1?2k)
22
324k
4
?5k
2
?132k
2
??
4
?[1?
4
]
,
2234k?4k?134k?4k?1
①当
k?0
时
|AB|?
3
21
[1?]
1
3
2
4k?
2
?4k
因为
4k
2
?
1
11
所以,
?4
?8
0??
1
k
2
8
4k
2
?
2
?4
k
32321
所以
?[1?]?12
,
1<
br>33
4k
2
?
2
?4
k
所以
24
时取”=”.
6?|AB|?23
当且仅当
k??
2
3
46
.
3
26262626
,?)
或
(?,?)
,所以此时
3333
② 当
k?0
时,
|AB|?
③
当AB的斜率不存在时, 两个交点为
(
|AB|?
46
,
3
综上, |AB |的取值范围为
44
6?|AB|?23
即:
|AB|?[6,23]
33
【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题
,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线
与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的
方法,能够运用解方程
组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.
9.
(2009山东卷文)(本小题满分14分)
rr
rr
设
m?R
,
在平面直角坐标系中,已知向量
a?(mx,y?1)
,向量
b?(x,y?1),
a?b
,动点
M(x,y)
的轨迹为E.
(1)求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
(2)已知
m?
,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两
个交点A,B,
且
OA?OB
(O为坐标原点),并求出该圆的方程;
(3)已知
m?,设直线
l
与圆C:
x
2
?y
2
?R
2
(1
,且
l
与轨迹E只有一个公共
点B
1
,当R为何值时,|A
1
B
1
|取得最大值?并求最
大值.
rr
rr
解:(1)因为
a?b
,
a?(mx,y
?1)
,
b?(x,y?1)
,
rr
所以
a?b?mx<
br>2
?y
2
?1?0
,
即
mx
2
?y
2
?1
.
1
4
1
4
当m=0时,方程表示两直线,方程为
y??1
;
当
m?1
时, 方程表示的是圆
当
m?0
且
m?1
时,方程表示的是椭圆;
当
m?0
时,方程表示的是双曲线.
x
2
1
(2).当
m?
时, 轨迹E的方程为
?y
2
?1
,设圆心在原点的圆的一条切线为
y?kx?t
,
4
4
?
y?kx?t
22222
x?4(kx?t)?4(1?4k)
x?8ktx?4t?4?0
, 解方程组
?
得,即
?
x
2
2
?
?y?1
?4
要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=
64k
2
t
2
?16(1?4k
2
)
(t
2
?1)?16(4k
2
?t
2
?1)?0
,
8kt
?
x?x??
12
?
?
1?4k
2
2222
即
4k?t?1?0
,即
t?4k?1
,
且
?
2
?
xx?
4t?4
12
?
1?4k
2
?
k
2
(4t
2
?4)8k
2
t
2
t
2
?4k
2
2
y
1y
2
?(kx
1
?t)(kx
2
?t)?kx
1
x
2
?kt(x
1
?x
2
)?t???t?1?4k
2
1?4k
2
1?4k
2
22
, <
br>uuuruuur
4t
2
?4t
2
?4k
2
5t
2
?4k
2
?4
???0
,
要使
OA?OB
, 需使
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
,即
1?4k
2
1?4k
2
1?4k
2
所以
5t
2
?4k
2
?4?0
, 即
5t
2
?4k
2
?4
且
t
2
?4k
2
?1
,
即
4k
2
?4?20k
2
?5
恒成立.
所以又因为直线
y?kx?t
为圆心在原点的圆的一条切线,
4
2
(1?k)
t
4
t4
22
2
5所以圆的半径为
r?
,, 所求的圆为.
x?y?
r???
2
2
2
5
1?k1?k5
1?k
2
x
2
22
2
当切线的斜率不存在时,切线为
x??5
,与
?y
2
?1
交于点
(5,?5)
或
4
555
(?
22
5,?5)
也满足
OA?OB
.
55
4
5
综上,
存在圆心在原点的圆
x
2
?y
2
?
,使得该圆的任意一条切
线与椭圆E恒有两个交
uuuruuur
点A,B,且
OA?OB
.
x
2
1
(3)当
m?
时,轨迹E的方程为
?y
2
?1
,设直线
l
的方程为
y?kx?t
,因为直线
l
与圆
4
4
C:
x?y?R
(1
, 由(2)知
R?
222
t
1?k
2
,
即
t
2
?R
2
(1?k
2
)
①,
因为
l
与轨迹E只有一个公共点B
1
,
?
y?kx?t
22
x?4(kx?t)?4
, 由(2)知
?
得
?
x
2
2
?
?y?1
?4
即
(1?4k
2
)x
2
?8ktx?4t
2
?4?
0
有唯一解
则△=
64k
2
t
2
?16(1?4
k
2
)(t
2
?1)?16(4k
2
?t
2
?1)?0
,
即
4k
2
?t
2
?1?0
, ②
?2
3R
2
t?
?
?
4?R
2
由①②得
?
,
此时A,B重合为B
1
(x
1
,y
1
)点,
2<
br>?
k
2
?
R?1
?
?4?R
2
8k
t
?
x?x??
12
?
4t
2
?416R
2
?16
?
1?4k
2
2
?
由
?
中
x
1
?x
2
,所以,
x
1
?
,
22
2
1?4k3R
4t?4
?
xx?
12
?
1?4k
2
?
1
2
4?R
2
4
222
|OB|?x?y?5?
B
1
(x
1
,y
1
)点在椭圆上,所以
y?1?x
1
?
,所以,
111<
br>43R
2
R
2
2
1
在直角三角形OA
1B
1
中,
|A
1
B
1
|
2
?
|OB
1
|
2
?|OA
1
|
2
?5?444
222
?R?5?(?R)?R?4
当且因为
222
RR
R
仅当
R?2?(1,2)
时取等号,所以
|A
1
B
1
|
2
?5?4?1
,即
当
R?2?(1,2)
时|A
1
B
1
|取得最大值,最大值为1.
【命题立意】:本题
主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关
系,可以通过解方程组
法研究有没有交点问题,有几个交点的问题.
10.(2009江苏卷)(本小题满分16分) 在平面直角坐标系
xoy
中,已知圆
C
1
:(x?3)
2
?(y?1)
2
?4
和圆
C
2
:(x?4)2
?(y?5)
2
?4
.
(1)若直线
l
过
点
A(4,0)
,且被圆
C
1
截得的弦长为
23
,
求直线
l
的方程;
(2)设P为平面上的点,满足:存在过点P的无穷多对互相垂直
的直线
l
1
和
l
2
,它们分
别与圆
C1
和圆
C
2
相交,且直线
l
1
被圆
C
1
截得的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的
弦长相等,
试求所有满足条件的点P的坐标。
【解析】 本小题主要考查直线与圆的方程、点
到直线的距离公式,考查数学运算求解
能力、综合分析问题的能力。满分16分。
(1)设直
线
l
的方程为:
y?k(x?4)
,即
kx?y?4k?0
由垂径定理,得:圆心
C
1
到直线
l
的距离
d?4
2
?(
23
)
2
?1
,
2
结合
点到直线距离公式,得:
|?3k?1?4k|
2
k?1
7
化简得:
24k
2
?7k?0,k?0,or,k??
24
?1,
求直线
l
的方程为:
y?0
或
y??
7
(x?4)
,即
y?0
或
7x?24y
?28?0
24
(2) 设点P坐标为
(m,n)
,直线
l
1
、
l
2
的方程分别为:
111
y?n?k(
x?m),y?n??(x?m)
,即:
kx?y?n?km?0,?x?y?n?m?0
kkk
因为直线
l
1
被圆
C
1
截得
的弦长与直线
l
2
被圆
C
2
截得的弦长相等,两圆半径相等
。由垂径
定理,得::圆心
C
1
到直线
l
1
与C
2
直线
l
2
的距离相等。
41
|??5?
n?m|
k
故有:
|?3k?1?n?km|
?
k
, 2
1
k?1
?1
k
2
化简得:
(2?m?n)
k?m?n?3,或(m?n?8)k?m?n?5
关于
k
的方程有无穷多
解,有:
?
22
2
?
2?m?n?0
?
m-n+8
=0
,或
?
?
m?n?3?0
?
m+n-5=0
2
解之得:点P坐标为
(?
3
,
13
)
或
(
5
,?
1
)
。
11.(2009全国卷Ⅱ文)(本小题满分12分)
已知椭圆
x
2
y
2
3
?
2
?1(a?b?0)
C:
的离心率为 ,过右焦点
2
ab
3
2
2
F的直线
l与C相交
于A、B两点,当l的斜
(Ⅰ)求a,b的值;
率为1时,坐标原点O到l的距离为
???
(Ⅱ)C上是否存在点P,使得当l绕F
转到
OP?OA?OB
某一位置时,有成立?
若存在,求出所有的P的坐标与l的方程;若不存在,说明理由。
解析:本题考查解析几何与
平面向量知识综合运用能力,第一问直接运用点到直线的
距离公式以及椭圆有关关系式计
算,第二问利用向量坐标关系及方程的思想,借助根
与系数关系解决问题,注意特殊情况的处理。
解
:(Ⅰ)设
F
?
c,0
?
,
当
l
的斜率为1时,其方程为
x?y?c?0,O
到
l
的距离为
故
c
2
?
2
,
c?1
2
c3
?
a3
由
e?
得
a?3
,
b?a
2
?c
2
=
2
(Ⅱ)C上存在点
P
,使得当
l
绕
F
转到某一位置
时,有
OP?OA?OB
成立。
由
(Ⅰ)知C的方程为
2x
2
+
3y
2
=6. 设
A
(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
).<
br>
(ⅰ)
当l不垂直x轴时,设l的方程为y?k(x?1)
C
上的点P使OP?OA?OB
成立的充要条件是
P点的坐标为(x
1?x
2
,y
1
?y
2
)
, 且
2(x
1
?x
2
)
2
?3(y
1
?y
2
)
2
?6
整理得
2x
1
2
?
3y
1
2
?2x
2
2
?3y
2
2
?4x
1
x
2
?6y
1
y
2
?6
故
2x
1
x
2
?3y
1
y
2
?3?0
①
将
y?k(x?1)代入2x
2
?3y
2
?6,并化简得
6k
2
3k
2
?6
于是
x
1
?x
2
?
,
x
1
x
2
=,
22
2?3k2?3k
代入①解得,
k
2
?2
,此时
x
1
?x
2
?
于是
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
?2)
=
?
,
即
P(,?)
因此, 当
k??2
时,
P(,
3
2
3
2
2
)
,
l的方程为2x?y?2?0
;
2
2
)
,
l的方程为2x?y?2?0
。
2
3
2
k
2
3
2
k
2
当
k?2
时,
P(,?
(ⅱ)当
l
垂直于
x
轴时,由
OA?OB?(2,0)
知,C上不存在点P使
OP?OA?OB
成立。
综上,C上存在点
P(,?
3
2
2
)
使<
br>OP?OA?OB
成立,此时
l
的方程为
2
2x?y?2?0
.
12.(2009广东卷理)(本小题满分14分)
已知曲线
C:y?x
2
与直线
l:x?y?2?0
交于两点
A(x
A
,y
A
)
和
B(x
B
,y
B
)
,且
x
A
?x
B
.记曲
线
C
在点
A
和点
B
之间那一段
L
与线段
AB
所围成的平面区域(含边界)为
D
.设点
P(s,t)
是
L
上的任一点,且点
P<
br>与点
A
和点
B
均不重合.
(1)若点
Q
是
线段
AB
的中点,试求线段
PQ
的中点
M
的轨迹方程; <
br>(2)若曲线
G:x
2
?2ax?y
2
?4y?a
2
?
y
51
?0
与
D
有公共点,试求
a的最小值.
25
解:(1)联立
y?x
2
与
y?x?
2
得
x
A
??1,x
B
?2
,则
AB中点
15
Q(,)
,设线段
PQ
的中点
M
坐标
为
(x,y)
,则
x
B
22
15
?s?t
15
x
A
D
22
,即
s?2x?,t?2y?
,又点
P
在曲线
C
上,
x?,y?
o
22
22
x
5111
∴
2y??(2x?)
2
化简可得
y?x
2
?x?
,又点
P
是
L
上的任
228
115
一点,且不与
点
A
和点
B
重合,则
?1?2x??2
,即
??x
?
,∴中点
M
的轨迹方程为
244
1115
y?x
2
?x?
(
??x?
).
844
51
(2)曲线
G:x
2
?2ax?y
2
?4y?a
2
??0,
25
497
即圆
E
:
(x?a)
2
?(y?2)
2
?
,其圆心坐标为
E(a,2)
,半径
r
?
255
51
由图可知,当
0?a?2
时,曲线
G:x
2
?2ax?y
2
?4y?a
2
??0
与点
D
有公共点;
25
51
当
a?0
时,要使曲线<
br>G:x
2
?2ax?y
2
?4y?a
2
??0
与点
D
有公共点,只需圆心
E
到直
25
线
l:x
?y?2?0
的距离
d?
|a?2?2|
2
?
|a|
2
?
7272
7
?a?0
,则
a
的最小值为?
,得
?
.
55
5
13.(2009安徽卷理)(本小题满分13分)
x
2<
br>y
2
?
点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上,
x
0?acos
?
,y
0
?bsin
?
,0?
?<
br>?.
直线
l
2
与直线
ab
2
l
1<
br>:
x
0
y
0
x?y?1
垂直,O为坐标原点,直线O
P的倾斜角为
?
,直线
l
2
的倾斜角为
?
.
a
2
b
2
x
2
y
2
(I)证明:
点
P
是椭圆
2
?
2
?1
与直线
l
1
的唯一交点;
ab
(II)证明:
tan
?
,tan<
br>?
,tan
?
构成等比数列.
解:本小题主要考查直
线和椭圆的标准方程和参数方程,直线和曲线的几何性质,等
比数列等基础知识。考查综合运用知识分析
问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
x
2
y
2
x
0
y
0
b
2
2
解:(I)(方法一)由
2
x?
2
y?1
得
y?
2
(a?x
0
x),
代入椭圆
2
?
2
?1
,
ab
ab
ay
0
1
b
2
x
0
2
2
2b<
br>2
x
0
b
2
得
(
2
?
42
)x?
2
x?(
2
?1)?0
.
aay
0
ay
0
y
0
?
x
0
?acos
?
将
?
代入上式,得
x
2
?2acos
?
?x?a
2
cos
2
?
?0,
从而
x?acos<
br>?
.
?
y
0
?bsin
?
?x
2
y
2
??1
?
?
x?x
0
?
a
2
b
2
因此,方程组
?
有唯一解
?
,即直线
l
1
与椭圆有唯一交点P.
y?y
0
?
?
x
0
x?
y
0
y?1
22
?<
br>b
?
a
(方法二)显然P是椭圆与
l
1
的交点,若Q
(acos
?
1
,bsin
?
1
),0?
?
1
?2
?
是椭圆与
l
1
的交点,代
入<
br>l
1
的方程
cos
?
sin
?
x?y?1<
br>,得
cos
?
cos
?
1
?sin
?
sin
?
1
?1,
ab
即
cos(
?
?
?
1
)?1,
?
?
?
1
,故P与Q重合。
x
2
y
2
bb
(方法三)在第一象限
内,由
2
?
2
?1
可得
y?a
2
?x2
,y
0
?a
2
?x
0
2
,
ab
aa
椭圆在点P处的切线斜率
k?y
?
(x
0
)??
bx
0
aa
2
?x
0
2
b
2
x
0
??
2
,
ay
0
xxyy
b
2
x
0
切线方程为
y??
2
(x?x
0
)?y
0
,
即
0
2
?
0
2
?1
。
ab
ay
0
因此,
l
1
就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质,P是椭圆与直线
l
1
的唯一交点。
y
0
b
x
0
b
2
y
0
a
2
a
(II)
tan
?
??tan
?
,
l
1
的斜率为
?
2
,
l
2
的斜率为
tan<
br>?
?
2
?tan
?
,
x
0
a
y
0
ax
0
bb
由此得
tan
?tan
?
?tan
2
?
?0,
tan
?
,tan
?
,tan
?
构成等比数列。
14.(2009安徽卷文)(本小题满分12分)
已知椭圆(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心。椭圆短半轴长半径的
圆与直线y=x+2相切,
(Ⅰ)求a与b;
(Ⅱ)设该椭圆的左
,右焦点分别为和,直线过且与x轴垂直,动直线与y
轴垂直,交与点p..求线段P垂直平分线与的交
点M的轨迹方程,并指明曲线类
型。
x
2
y
2
【思路】(
1)由椭圆
2
?
2
?1中a
2
?b
2
?c
2
及e?
c
?
3
a3
ab
建立a、b等量
关系,再根据直线与椭
圆相切求出a、b.
(2)依据几何关系转化为代数方程可求得,这之中的消参就很重要了。
【解析】(1)由于
e?
3
3
因此,
a?3 .
b=2
.
c
2
a
2
?b
2
1b
2
2
∴
e?
2
?
2
?
∴
2
?
又
b?
2
?2
∴b
2=2,a
2
=3
33
aaa
1?1
2
(2)由
(1)知F
1
,F
2
两点分别为(-1,0),(1,0),由题意可设P(
1,t).(t≠0).
那么线段PF
1
中点为
t
N(0,)
,设M(
x
、
y
)是所求轨迹上的任意
2
vuuuvt
?
uuuu
uuuuvuuuv
t
?
MN
?
PF
1
?2x?t(y?)?0
消去参数t得
y
2
??4x(x?0)
MN?(?x,?y) . PF
1
?(?2,?t)
则
?
2
2
?
?
y?t
点.由于
,
其轨迹为抛物线(除原点)
15.(2009江西卷文)(本小题满分14分)
x
2
如图,已知圆
G:
(x?2)?y?r
是椭圆
?y
2?1
的内接△
ABC
的内切圆,
其中
A
为椭圆
16
222
的左顶点.
(1)求圆
G
的半径
r
;
A
y
M
B
F
x
(2)过点
M(0,1)
作圆
G
的两条切
线交椭圆于
E,F
两点,
证明:直线
EF
与圆
G
相切.
0
E
.
C
解: (1)设
B
(2?r,y
0
)
,过圆心<
br>G
作
GD?AB
于
D
,
BC
交长轴于
H
由
y
r
GDHB
?
0
,
?
得
ADAH
36?r
2
6?r
G
即
y
0
?
r6?r
(1)
6
?r
(2?r)
2
12?4r?r
2
(r?2)(r
?6)
???
而点
B
(2?r,y
0
)
在椭圆上,
y
0
?1?
(2)
161616
2
由(1)、 (2)式得
15r
2
?8r?
12?0
,解得
r?
或
r??
(舍去)
(2) 设过点<
br>M(0,1)
与圆
(x?2)
2
?y
2
?
相
切的直线方程为:
y?1?kx
(3)
则
?<
br>2
3
2k?1
1?k
2
4
9
2
3<
br>6
5
,即
32k
2
?36k?5?0
(4)
解得
k
1
?
?9?41?9?41
,k
2
?
1616
x
2
32k
将(3)代入
?
y
2
?1
得
(16k
2
?1)x
2
?32
kx?0
,则异于零的解为
x??
2
16
16k?1设
F(x
1
,k
1
x
1
?1)
,E(x
2
,k
2
x
2
?1)
,则
x<
br>1
??
则直线
FE
的斜率为:
k
EF
?32k
1
32k
2
,x??
2
22
16k
1
?116k
2
?1
k
2
x
2?k
1
x
1
k?k
3
?
12
?
x
2
?x
1
1?16k
1
k
2
4
32k
1
2
32k
1
3
于是直线
FE
的方程为:
y??1?(x?)
16k
1
2
?1416k
1
2
?1
即
y?x?
37
?
2
23
?
则圆心
(2,0)
到直
线
FE
的距离
d?
3
9
1?
16
3
4
7
3
故结论成立.
16.(2009江西卷理)(本小题满分12分)
x
2
y
2
已知点
P
1
(x
0,y
0
)
为双曲线
2
?
2
?1
(b
为正常数)上任
8bb
P
P
1
y
P
2
A
O
F
2
x
一点,
F
2
为双曲
线的右焦点,过
P
1
作右准线的垂线,垂足
为
A
,连接F
2
A
并延长交
y
轴于
P
2
.
(1)
(2)
求线段
P
1
P
2
的中点
P
的轨迹
E
的方程;
F
1
(x
1
,y
1
)(y
1
?0)
,直线
QB,QD
分别设
轨迹
E
与
x
轴交于
B、D
两点,在
E
上任
取一点
Q
交
y
轴于
M,N
两点.求证:以
MN为直径的圆过两定点.
解: (1) 由已知得
F
,则直线F
2
A
的方程为:
y??(,0),(Ab,y
0
)<
br>2
3b
令
x?0
得
y?9y
0
,即<
br>P
2
(0,9y
0
)
,
8
3
3y
0
(x?3b)
,
b
x
0
?
x?
?
x
0
?2x
?
x
0
2
y
0
2<
br>4x
2
y
2
?
?
2
?1
, 设P
,则
?
,即
?
(x,y)
y
代入
2
?
2
?1
得:
2
?
2
8bb8b25b<
br>y
0
?
?
y?
y
0
?9y
0
?5y
?
5
?
0
?
?2
x
2
y
2
?1
. 即
P
的轨迹
E
的方程为
2<
br>?
2
2b25b
x
2
y
2
?1
中令
y?0
得
x
2
?2b
2
,则不妨设
B(-
2b,0),D(2b,0)
(2) 在
2
?
,
2
2b2
5b
于是直线
QB
的方程为:
y?
则
M(0,
y<
br>1
y
1
(x?2b)
,直线
QD
的方程为:
y?(x-2b)
,
x
1
?2bx
1
-2b
2b
y
1
-2by
1
,
),N(0,)
x
1
?2bx
1
-2b
2by
1
2by
1
)(y?)?
0
,
x
1
?2bx
1
-2b
则以
MN<
br>为直径的圆的方程为:
x
2
?(y-
2
x
2
y
2
2
2
2b
2
y
1
2
22<
br>Q(x,y)
??1
令
y?0
得:
x?
2
,
而在上,则
x?2b?y
1
,
11
1
22
22b25b
25
x
1
?2b
于是
x??5b
,
即以
MN
为直径的圆过两定点
(?5b,0),(5b,0)
.
17.(2009天津卷文)(本小题满分14分)
x
2
y
2a
2
已知椭圆
2
?
2
?1
(
a?b?
0
)的两个焦点分别为
F
1
(?c,0),F
2
(c,0)
(c?0)
,过点
E(,0)
的
c
ab
直线与椭圆相交于点
A,B两点,且
F
1
AF
2
B,|F
1
A|?2|
F
2
B|
(Ⅰ求椭圆的离心率
(Ⅱ)直线AB的斜率;
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称,直线
F
2
B
上有一点H(m,n)
(
m?0
)在
?AF
1
C
的外接圆上,求
【答案】
(1)
e?
n
的值。
m
c32n22
?
(2)
k??
(3)
?
a33m5
【解析】 (1)解:由
F
1
AF
2
B
,|F
1
A|?|F
2
B|
,得
|EF
2
||F
2
B|
1
??
,从而
|EF
1
|
|F
1
A|2
a
2
?c
c3
122
c
e??
,整理得,故离心率
a?3c
?
a3<
br>2
a
2
?c
c
(2)解:由(1)知,
b
2
?a
2
?c
2
?2c
2
,所以椭圆的方程可以写为
2x
2
?3y
2
?6c
2
a
2
设直线AB的方程为
y?k(x?)
即
y?k(x?3c)
c
?
y?k(x?3c)
由已知设
A(x
1
,y
1
)B(x
2
,y
2
)
则它们的坐标满足方程组
?
2
22
2x?3y?6c
?
消去y整理,得
(2
?3k
2
)x
2
?18k
2
cx?27k
2
c
2
?6c
2
?0
依题意,
??48c
2
(1?3k
2
)?0,?
33
?k?
33<
br>18k
2
27k
2
c
2
?6c
2
,
x
1
x
2
?
而
x
1
?x
2
?
,有题设知,点B为线段AE的中点,所以
2?3k
2
2?3k
2
x
1
?3c?2x
2
2
9k
2
c?2c9k
2
c
2
?2c
2
k??
,x?联立三式,解得
x
1
?
,将结果代入韦达定理中解得
2
22
3
2?3k2?3k
(3)由(2)知,
x
1
?0,
x
2
?
2
3c
,当
k??
时,得A
(0,
2c)
由已知得
C(0,?2c)
3
2
2c2c
c
??(x?),
直线l与x轴的交点
(,0)
是
222
2
线段
AF
1
的垂直平分线l的方程为
y?
cc
?A
F
1
C
的外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
(x?)
2
?
y
2
?(?c)
2
22
?
c
2
9c
2
2
?
(m?)?n?
直线
F
2
B<
br>的方程为
y?2(x?c)
,于是点
H(m,n)
满足方程组
?
24
由
m?0
,
?
n?2(m?c)
?
解得
m?
5c22cn22
,n?
,故
?
32m5
2n22
时,同理可得
?
3m5
当k?
【考点定位】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质,直线方程,圆的方程
等基础
知识。考查用代数方法研究圆锥曲线的性质和数形结合的思想,考查运算能力
和推理能力。
18.(2009湖北卷理)(本小题满分14分)
(注意:在试题卷上作答无效) .........
过抛物线
y
2
?2px(p?0)
的对称轴 上一点
A
?
a,0
??
a?0
?
的直线与抛物线相 交于M、N两
点,自M、N向直线
l:x??a
作垂线,垂足分别为
M
1
、
N
1
。
(Ⅰ)当
a?
p
时,求证 :
AM
1
⊥
AN
1
;
2
(Ⅱ)记
?AMM
1
、
?AM
1
N
1
、
?AN N
1
的面积分别为
S
1
、
S
2
、
S
3
,是否存在
?
,使得
对任意的
a?0
,都有< br>S
2
2
?
?
S
1
S
2
成立 。若存在,求出
?
的值;若不存在,说明理由。
20题。本小题主要考察抛物线的定 义和几何性质等平面解析几何的基础知识,考查综
合运用数学知识进行推理运算的能力。(14分) < br>解:依题意,可设直线MN的方程为
x?my?a,M(x
1
,y
1< br>),N(x
2
,y
2
)
,则有
由
?
?
x?my?a
2
?
y?2px
消去x可得
y
2
?2mpy?2ap?0
?
y
1
?y
2
?2mp
从而有
?
①
yy??2ap
?
12
于是
x
1
?x
2
?m(y
1
?y
2
)?2a?2(m
2
p?a)
②
(y1
y
2
)
2
(?2ap)
2
2
??a
又由
y
1
?2px
1
,
y
1
?2 px
2
可得
x
1
x
2
?
③
22
4p4p
22
(Ⅰ)如图1,当
a?
ppp
时,点
A(,0)
即为抛物线的焦点,
l
为其准线
x??
222
PP
22
uuuuvuuuv
证法1:
Q
A M
1
?(?p,y
1
),AN
1
?(?p,y
2< br>)
此时
M
1
(?,y
1
),N
1
(?,y
2
),并由
①可得
y
1
y
2
??p
2
证法2:QK
AM
1
??
y
1
y
,K
AN1
??
2
,
pp
(Ⅱ)存在
?
?4
,使得对任意的
a?0
,都有
S
2
2
?4S
1
S
3
成立,
下:
证法1:记直线
l
与x轴的 交点为
A
1
,则
OA?OA
1
?a
。于是有
将①、②、③代入上式化简可得
上式恒成立,即对任意
a?0,S
2
2
?4S
1
S
3
成立
证明如
证
法2:如图2,连接
MN
1
,NM
1
,则由
y
1<
br>y
2
??2ap,y
1
2
?2px
1
可得
K
OM
?
y
1
2p
2py
2
2p
y
2
y
????
2
?K
ON
1
,所以直线
MN
1
经过原点
x
1
y
1
y
1<
br>y
2
?2ap?a
O,
同理可证直线
NM
1
也经过原点O
又
OA?OA
1
?a
设
M
1
A
1
?h
1
,N<
br>1
A
1
?h
2
,MM
1
?d
1,NN
1
?d
2
,
则
19.(2009四川卷文)(本小题满分12分)
2
x
2
y2
已知椭圆
2
??1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F1
、F
2
,离心率
e?
,右准线方
2
ab程为
x?2
。
(I)求椭圆的标准方程;
uuuuruuuur226
(II)过点
F
1
的直线
l
与该椭圆交于
M、N
两点,且
F
2
M?F
2
N?
,求直线l
的方程。
3
?
c2
?
?
a2
,解
得
a?2,c?1
【解析】(I)由已知得
?
?
2
?a
?2
?
?
c
∴
b?a
2
?c
2
?1
x
2
∴
所求椭圆的方程为
?y
2
?1
2
(II)由(I)得F
1
(?1,0)
、
F
2
(1,0)
?
x??1
2
2
y??
①若直线
l
的斜率不存在
,则直线
l
的方程为
x??1
,由
?
得
?
x
2
2
?
?y?1
?2
设
M(?1,
2
2
)
、
N(?1,?)
,
22
uuuuruuuur
22
∴
F
2
M?F<
br>2
N?(?2,)?(?2,?)?(?4,0)?4
,这与已知相矛盾。
2
2
②若直线
l
的斜率存在,设直线直线
l
的斜率为
k
,则直线
l
的方程为
y?k(x?1)
,
设
M(x1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
,
?
y?k(x?1)
2222
(1?2k)
x?4kx?2k?2?0
联立
?
,消元得
?
x
2
2
?
?y?1
?2
?4k
2
2k
2
?2
,x
1
x
2
?
∴
x
1
?x
2
?
,
1?2k
2
1?2k
2
∴
y
1
?y<
br>2
?k(x
1
?x
2
?2)?
uuuuruuuur
又∵
F
2
M?(x
1
?1,y
1
),F<
br>2
N?(x
2
?1,y
2
)
uuuuruuuur
∴
F
2
M?F
2
N?(
x
1
?x
2
?2,y
1
?y
2
)
2k
,
2
1?2k
2
2
2
uuuuru
uuur
??
8k?22k226
??
∴
F
2
M?F
2
N?(x
1
?x
2
?2)
2
?(
y
1
?y
2
)
2
?
?
???
2
?
2
?
1?2k1?2k3
?
??
?
化简得
40k
4
?23k
2
?17?0
解得
k
2
?1或k
2
??
∴
k??1
∴
所求直线
l
的方程为
y?x?1或y??x?1
20.(2009全国卷Ⅱ理)(本小题满分12分)
3
x
2
y
2
已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为,过右焦点F的直线
l
与
C
相交于
A
、
3
ab
17
(舍去)
<
br>40
B
两点,当
l
的斜率为1时,坐标原点
O
到l
的距离为
2
2
(I)求
a
,
b
的值;
uuuruuuruuur
(
II)
C
上是否存在点P,使得当
l
绕F转到某一位置时,有
OP?
OA?OB
成立?
若存在,求出所有的P的坐标与
l
的方程;若不存在,说明理由。
解:(I
)设
F(c,0)
,直线
l:x?y?c?0
,由坐标原点
O
到
l
的距离为
则
c3
|0?0?c|2
,解得
c?1
.又
e??,?a?3,b?2
.
?
a3
2
2
2
2
x
2
y
2
(II)由(I)知椭圆的方程为
C:??1
.设
A(x
1
,y
1
)
、
B
(x
2
,y
2
)
32
由题意知
l
的斜率为一定不为0,故不妨设
l:x?my?1
代入椭圆的方程中整理得
(2m
2
?3)y
2
?4my?4?0
,显然
??0
。
4m4
.......①
,yy??,
.
12
22
2m?32m?3
uuuruuuruuur
.假设存在点P,使
OP?OA?OB
成立,则其充要条件为:
由韦达定理有:
y
1
?y
2??
(x
1
?x
2
)
2
(y
1
?y
2
)
2
??1
。 点
P的坐标为(x
1?x
2
,y
1
?y
2
)
,点P在椭圆上,即<
br>32
整理得
2x
1
2
?3y
1
2
?
2x
2
2
?3y
2
2
?4x
1
x
2
?6y
1
y
2
?6
。
又
A、B
在椭圆上,即
2x
1
2
?3y
1
2
?6,2x<
br>2
2
?3y
2
2
?6
.
故
2x<
br>1
x
2
?3y
1
y
2
?3?0
..
..............................②
将
x
1
x
2
?(my
1
?1)(my
2
?1)?m
2<
br>y
1
y
2
?m(y
1
?y
2
)?1
及①代入②解得
m
2
?
2232
4m
2
3
?y
1
?y
2
?或?
,
x
1<
br>?x
2
=
?
2
?2?
,即
P(,?)
.
2222
2m?32
1
2
当
m?
2322<
br>时,P(,?),l:x?y?1
;
2222
2322
时,P(,),l:x??y?1
.
2222<
br>当
m??
评析:处理解析几何题,学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”,主要
讲的是
算理和算法。
算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,
一个是表,一个是里,
一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。
例如:
三角形的面积是用底乘高的
一半还是用两边与夹角的正弦的一半,还是分割成几部分来算?在具体处理的
时
候,要根据具体问题及题意边做边调整,寻找合适的突破口和切入点。
21.(2009湖南卷文)(本小题满分13分)
已知椭圆
C
的中心在原点,焦点在
x
轴上,以两个焦点和短轴的两个端点
为顶点的四边形是一个面积为8的正方形(记为Q).
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(
Ⅱ)设点P是椭圆C的左准线与
x
轴的交点,过点P的直线
l
与椭圆C相交于
M,N
两点,当线段MN的中点落在正方形Q内(包括边界)时,求直线
l
的斜率的取
值范
围。
解: (Ⅰ)依题意,设椭圆C的方程为
x
2y
2
?
2
?1(a?b?0),
焦距为
2c
,
2
ab
由题设条件知,
a
2
?8,b?c,
所以
b
2
?
1
2
a?4.
2
x
2
y
2
故椭圆C的方程为
??1
84
(Ⅱ)椭圆C的左准线方程为
x??
4,
所以点P的坐标
(?4,0)
,
显然直线
l
的斜率<
br>k
存在,所以直线
l
的方程为
y?k(x?4)
。
如图,设点
M,N
的坐标分别为
(x
1
,y
1
),
(x
2
,y
2
),
线段
MN
的中点为G
(
x
0
,y
0
)
,
?
y?k(x?4),
由
?
得
(1?2k
2
)x
2
?16k
2<
br>x?32k
2
?8?0
. ……①
?
x
2
y
2
?1
?
?
4
?
8
由
??(16k
2
)
2
?4(1?2k
2
)(3
2k
2
?8)?0
解得
?
22
?k?
.
……②
22
16k
2
因为
x
1
,x
2<
br>是方程①的两根,所以
x
1
?x
2
??
,于是 1?2k
2
8k
2
x
1
?x
2
4k<
br>
x
0
?
=
?
,
y?k(x?4)?
00
2
2
1?2k
21?2k
8k<
br>2
?0
,所以点
G
不可能在
y
轴的右边, 因为x
0
??
1?2k
2
又直线
F
1
B<
br>2
,
F
1
B
1
方程分别为
y?x?2,y?
?x?2,
所以点
G
在正方形
Q
内(包括边界)的充要条件为
?2k
2
?2k?1?0,
?
4k
?
y
0
?x
0
?2,
8k
2
?
???2,
亦即
即
?
?
2
?
?
1?2k
2
1?
2k
2
y?x?2.
?
?
0
?
0
?
2k?2k?1?0.
4k8k
2
?
??2,
?
1?2k
2
1?2k
2
?
解得
?
3?13?1
?k
?
,此时②也成立.
22
3?13?1
,].
22故直线
l
斜率的取值范围是
[?
22.(2009福建卷理)(本小题满
分13分)
x
2
已知A,B 分别为曲线C:
2
+
y
2
=1(y
?
0,a>0)与x轴
a
的左、右两个交点,直线
l
过点B,且与
x
轴垂直,S为
l
上
异于点B的一点,连结AS交曲线C于点T.
AB
的三等分点,试求出点S的坐标; (1)若曲线C为半圆,点T为圆弧
?
(II)如图,点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点,试问:是否存在
a
,使得O,M
,S
三点共线?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由。
解法一:
(Ⅰ)当
曲线C为半圆时,
a?1,
如图,由点T为圆弧
?
AB
的三
等分点得∠BOT=60°或120°.
(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.
又AB=2,故在△SAE中,有
SB?AB?tan30??
?
(2)当
∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为
(1,2
(Ⅱ)假设存在
a(a?0
)
,使得
O,M,S
三点共线.
由于点M在以SB为直线的圆上,故
BT?OS
.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为
y?k(x?a)
.
?
x
2
2
?
2
?y?1
得(1?a
2
k
2
)x
2
?2a
2
k
2
x
?a
4
k
2
?a
2
?0
由
?
a
?
y?k(x?a)
?
3)
,综上,
S(1,
?
?
,?s(t,
??
);
?
23
)或S(1,23)
3
a
2
k<
br>2
?a
2
设点
T(x
T
,y
T
),
?x
T
?(?a)?,
1?a
2
k
2
a
?a
2
k
2
故
x
T
?
1?a
2<
br>k
2
,从而
y
T
?k(x
T
?a)?
2ak
1?a
2
k
2
.
a?a
2
k<
br>2
2ak
亦即
T(
22
,
22
).
1?ak1?ak
uuur
?
x?a
由
?
得
s(a,2ak),?OS?(a,2ak).
y?k(x?a)
?
uu
uruuur
?2a
2
k
2
?4a
2
k
2
由
BT?OS
,可得
BT?OS??0
即
?2a
2
k
2
?4a
2
k
2
?0
2
1?ak2
经检验,当
a?
解法二:
2
时,O,M,S三点共线.
故存在
a?2
,使得O,M,S三点共线.
(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得
O,M,S
三点共线.
由于点M在以SO为直径的圆上,故
SM?BT
.
显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为
y?k(x?a)
<
br>?
x
2
2
?
2
?y?1
得(1?a
2
b
2
)x
2
?2a
2
k
2
x?
a
2
k
2
?a
2
?0
由
?
a<
br>?
y?k(x?a)
?
a
4
k
2
?a
2
设点
T(x
T
,y
T
)
,则有
xT
?(?a)?.
22
1?ak
a?a
2
k
2
2aka?a
2
k
2
2ak
故
x
T
?,从而y?k(x?a)?亦即T(?).
TT
a?a
2<
br>k
2
1?a
2
k
2
1?a
2
k2
1?a
2
k
2
由
?
?
x?a
得S(a,2ak),
所直线
y?k(x?a)
?
SM的方程为
y
?2ak?a
2
k(x?a)
O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上
,即
2ak?a
2
k(?a)
.
故存在
a?2
,使得O,M,S三点共线.
23.(2009辽宁卷文)(本小题满分12分)
已知,椭圆C以过点A(1,),两个焦点为(-1,0)(1,0)。
(1)
求椭圆C的方程;
(2) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反
数,证明
直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
x
2
y
2
??1
。 (22)解:(Ⅰ)由题意,c=1,
可设椭圆方程为
1?b
2
4b
2
3
2
因为A在椭圆
上,所以
193
22
bb
,解得=3,=(舍去)。
??1?1?b
2
4b
2
4
x
2
y
2
所以椭圆方程为
??1
.
......4
43
分
x
2
y
2
3
(Ⅱ
)设直线AE方程:得
y?k(x?1)?
,代入
??1
得
43<
br>2
设E(
x
E
,
y
E
),F(
x<
br>F
,
y
F
).因为点A(1,)在椭圆上,所以
3
2
3
4(?k)
2
?12
,
x
E
?
2
3?4k
2
3
......8分
y
E
?kx
E
??k
。
.
2
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以
?k
代
k
,可得
3
4(?k)
2
?12
,
x
F
?
2
3?4k
2
3
y
F
??kx
F
??k
。
2
所以直线EF的斜率
k
EF
?<
br>y
F
?y
E
?k(x
F
?x
E
)?
2k
1
??
。
x
F
?x
E
x
F
?x
E
2
即直线EF的斜率为定值,其值为。
.......12
分
24.(2009辽宁卷理)(本小题满分12分)
已知,椭圆C过点A
(1,)
,两个焦点为(-1,0),(1,0)。
(3) 求椭圆C的方程;
(4) E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与A
F的斜率互为相反数,证明
直线EF的斜率为定值,并求出这个定值。
(20)解:
(Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
193
2
2
b?3
,解得
,(舍去)
??1b??
4
1?b
2
4b
2
3<
br>2
1
2
x
2
y
2
所以椭圆方程为
?
?1
。 ……………4分 43
x
2
y
2
3
(Ⅱ)设直线AE方程为:
y
?k(x?1)?
,代入
??1
得
43
2
设
E
(x
E
,y
E
)
,
F(x
F
,y
F
)
,因为点
A(1,)
在椭圆上,所以
y
E
?kx
E
??k
………8分
又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数,在上式中以—K代K,可得
所以直
线EF的斜率
K
EF
?
y
F
?y
E
?k(
x
F
?x
E
)?2k
1
??
x
F
?x
E
x
F
?x
E
2
3
23
2
即直线EF的斜率为定值,其值为。
……12分
1
2
25.(2009宁夏海南卷理)(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点,焦点在s轴上,它的一个顶点到两个
焦点
的距离分别是7和1.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
OP
(Ⅱ)若P为椭圆C上的动点
,M为过P且垂直于x轴的直线上的点,=λ,求点
OM
M的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线
。
解:(Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为
a,c
,由已知得
?
a?c?1
,解得a?4,c?3
,
?
a?c?7?
x
2
y
2
所以椭圆
C
的标准方程为
??1
167
(Ⅱ)设
M(x,y)
,其中
x?
?
?4,4
?
。由已知
9x
2
?112
?
?
2
。
22
16(x?y)
OP
OM
2
2
?
?
2
及点
P
在椭圆
C
上可得
整理得
(16
?
2
?9)x
2
?16
?
2
y
2
?112
,其中
x?
?
?4,4
?
。
(i)
?
?
时。化简得
9y
2
?112
所以点
M
的轨迹方程为
y??
3
(ii)
?
?
时,方程变形为
4
3
4
47
(?4?x?4)
,轨迹是两条平行于
x
轴的线段。
3
3
4
x
2<
br>y
2
??1
,其中
x?
?
?4,4
?
112112
16
?
2
?916
?
2
当
0?
?
?
时,点
M
的轨迹为中心在原点、实轴在
y
轴上的双曲线满足
?4?x?4
的
部分。
当
?
?
?1
时,点
M
的轨迹为中心在原点、长轴在
x
轴上的椭圆
满足
?4?x?4
的部
分;
当
?
?1
时,点M
的轨迹为中心在原点、长轴在
x
轴上的椭圆;
26.(2009陕西卷文)(本小题满分12分)
3
4
5
25
y
2
x
2
已知双曲线C的方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0)
,离心率
e?
,顶点到渐近线的距离为。
25
ab
(I) 求双曲线C的方程;
(II)如图,P是双曲线C上一
点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于
uuuruuur
1
第一、二
象限,若
AP?
?
PB,
?
?[,2]
,求
?AO
B
面积的取值范围。
3
解析:
解法1(Ⅰ)由题意知,双曲线C的顶点(
0,a)到渐近线
ax?by?0的距离为
25
,
5
所以
ab
a
2
?b
2
?
ab25
25
所以?
c5
5
?
ab25
?
?
5
?
c
?
a?2
?
?
5
?
c
得<
br>?
b?1
由
?
?
2
?
a
?
222
?
c?5
?
c?a?b
?
?
?
y
2
所以曲线
C
的方程是
?x
2
?1
4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为
y??2x
(?n,2n),m?0,n?0
设
A(m,2m),B
uuuruur<
br>m-
?
n2(m+
?
n)
由
AP?
?
PB得P点的坐标为(,),
1+
?
1+
?
y
2
(1?
?
)
2
2
将P点的坐标代入
4
?
x?1,化简得mn=
4
?
因为
?AOB?2
?
,
tan(?
?
)?2,tan
?
?,sin2
?
?
2
?
1
2
4
5
又
OA?5m
,OB?5n
所以
S
?AOB
?OA?OB?sin2
?
?2mn?(
?
?)?1
?
1
2
12
1
记
S(
?
)?(
?
?)?1,
?
?[,2]
?
1
2
11
3
则
S
?
(
?
)?(1?
1
2
1
?
2
)
由
S
?
(
?
)?0得
?
?1
又S(1)=2,
S()?,S(2)?
当
?
?1
时,
?AOB
面积取到最小值
2
,当当
?
?
时,
?AOB
面积取到最大值
所以
?AOB
面积范围是
[2,]
解答2(Ⅰ)由题意知
,双曲线C的顶点(0,a)到渐近线
ax?by?0的距离为
?
ab25
?
?
5
?
c
?
a?2
?
?
5
?
c
得
?
b?1
由
?
?
2
?
a
?
222
?
c?5
?
c?a?b
??
?
y
2
所以曲线
C
的方程是
?x
2
?1
.
4
25
,
5
1
3
8<
br>3
9
4
1
3
8
3
8
3
(Ⅱ
)设直线AB的方程为
y?kx?m,
由题意知
k?2,m?0
由
?
由
?
?
y?kx?m
m2m
得A点的
坐标为(,),
y?2x
2?k2?k
?
?
y?kx?m
?m2m
得B点的坐标为(,),
2?k2?k
?
y??
2x
y
2
4m
2
(1?
?
)
2
2
?
将P点的坐标代入
?x?1
得
2
44?k
?
设Q为直线AB与y轴的交点,则Q点的坐标为(0,m)
S
?AOB
=
S
?AOQ
?S
?BOQ
以下同解答1
27.(2009陕西卷理)(本小题满分12分)
5
y<
br>2
x
2
已知双曲线C的方程为
2
?
2
?1(
a?0,b?0)
,离心率
e?
,顶点到渐近线的距离
2
ab
为
25
。
5
(I)求双曲线C的方程;
(II)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双曲线C的两条渐近线上,且分别位于
uu
uruuur
1
第一、二象限,若
AP?
?
PB,
?
?[,2]
,求
?AOB
面积的取值范围。
3
28.(本小题满分14分)
y
2
x
2
已知双
曲线C的方程为
2
?
2
?1(a?0,b?0),
ab<
br>离心率
e?
525
,
顶点到渐近线的距离为
.
25
(Ⅰ)求双曲线C的方程;
(Ⅱ)如图,P是双曲线C上一点,A,B两点在双
曲线C的两条渐近线上,且分别
uuuruuur
1
位于第一,二象限.若
A
P?
?
PB,
?
?[,2],
求△AOB面积的取值范围.
3
解答一(Ⅰ)由题意知,双曲线C的顶点
(O,a)
到渐近线
ax?by
?0的距离为
∴
ab
a
2
?b
2
?
25a
b25
,即?,
5c5
25
,
5
?<
br>ab25
,
?
?
c5
?
?
5
?c
由
?
?,
2
?
a
?
c
2<
br>?a
2
?b
2
?
?
?
?
a?2,
?
?
b?1,
得
?
?
c?5,
y
2
∴双曲线C的方程为
?x
2
?1.
4
(Ⅱ)由(Ⅰ)知双曲线C的两条渐近线方程为
y??2x.
设
A(m,2m),B(?n,2n),m?0,n?0.
uuuruuur
m?
?
n2(m?
?
n)
,),
由
AP?
?
PB
得P点的坐标为
(
1?
?
1?
?
y
2
(1?
?
n)
2
2
.
将P点坐标代入
?x?1,
化简得
mn?
44
?
设∠AOB
?2
?
,Qtan(?
?
)?2,?tan
?
?,sin
?
?,sin2
?
?.
2
?
1
2
1
2
4
5
又
111
S(
?
)?(
?
?)?1,
?
?[,2],
记
2
?
3
由
S'(
?
)
?0得
?
?1,又S(1)=2,S()?,S(2)?,
当
?<
br>?1
时,△AOB的面积取得最小值2,当
?
?
时,△AOB的面积取
得最大值∴△AOB
面积的取值范围是
[2,].
解答二(Ⅰ)同解答一
(Ⅱ)设直线AB的方程为
y?kx?m,
由题意知
|k|?2,m?0.
由
{
由
{
y?kx?m
y?
2x
y?kx?m
y??2x
1
3
8
3
9
4
1
3
8
3.
8
3
2m
得A点的坐标为
(
2
m
,),
?k2?k
m
得B点的坐标为
(
2
?
?
m
k
,
2
2
?
).
k
uuuruuur
m1
?
2m1
?
由
AP?
?
PB
得P点的坐标为
((?),(?)),
1?
?
2?k2?k1?
?
2?k2?k
y
24m
2
(1?
?
)
2
2
?.
将P点坐标代入
?x?1得
2
44?k
?
设Q为直线AB与y轴的交
点,则Q点的坐标为(0,m).
1mm14m
2
11
?)?
g<
br>?(
?
?)?1.
=
m(
22?k2?k24?k
2
2
?
以下同解答一.
29.(2009四川卷文)(本小题满分12分)
2
x
2
y2
已知椭圆
2
??1(a?b?0)
的左、右焦点分别为
F1
、F
2
,离心率
e?
,右准线方
2
ab程为
x?2
。
(I)求椭圆的标准方程;
uuuuruuuur226
(II)过点
F
1
的直线
l
与该椭圆交于
M、N
两点,且
F
2
M?F
2
N?
,求直线l
的方程。
3
?
c2
?
?
a2
,解
得
a?2,c?1
【解析】(I)由已知得
?
?
2
?a
?2
?
?
c
∴
b?a
2
?c
2
?1
x
2
∴
所求椭圆的方程为
?y
2
?1
…………………………………4分
2
(II)由(I)得
F
1
(?
1,0)
、
F
2
(1,0)
?
x??1
2
2
y??
①若直线
l
的斜率不存在,则直线
l
的
方程为
x??1
,由
?
得
?
x
2
2?
?y?1
?2
设
M(?1,
22
)
、
N(?1,?)
,
22
uuuuruuuur
22
∴
F
2
M?F
2
N?(?2,)?(?2,?)?(?4,0)?4
,
这与已知相矛盾。
22
②若直线
l
的斜率存在,设直线直线
l的斜率为
k
,则直线
l
的方程为
y?k(x?1)
,
设
M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
,
?
y?k(x?1)
2222
(1?2k)x?4kx?2k?2?0
联立
?
,消元得
?
x<
br>2
2
?
?y?1
?2
?4k
2
2k
2
?2
,x
1
x
2
?
∴
x
1
?x
2
?
,
22
1?2k1?2k
∴
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
?2)?
uuuuruuuur
又∵F
2
M?(x
1
?1,y
1
),F
2
N?(x
2
?1,y
2
)
uuuuruuuur
∴
F
2
M?F
2
N?(
x
1
?x
2
?2,y
1
?y
2
)
2k
,
2
1?2k
2
2
2
uuuuru
uuur
??
8k?22k226
??
∴
F
2
M?F
2
N?(x
1
?x
2
?2)
2
?(
y
1
?y
2
)
2
?
?
???
2
?
2
?
3
?
1?2k
?
?
1?2k
?
化简得
40k
4
?23k
2
?17?0
解得
k
2
?1或k
2
??
∴
k??1
∴
所求直线
l
的方程为
y?x?1或y??x?1
…………………………………12分
30.(2009全国卷Ⅰ文)(本小题满分12分)
(注意:在试题卷上作答无效)
.........
如图,已知抛物线
E:y
2
?x
与圆
M:(x?4)
2
?y
2
?r
2
(r?0)<
br>相交于A、B、C、D四个点。
(Ⅰ)求r的取值范围
17
(舍去)
40
(Ⅱ)当四边形ABCD的面积
最大时,求对角线AC、BD的交点P的坐标。
解:(Ⅰ)将抛物线
E:y
2
?x
代入圆
M:(x?4)
2
?y
2
?r
2(r?0)
的方程,消去
y
2
,整理得
x
2
?
7x?16?r
2
?0
.............(1)
抛物线
E:y
2
?x
与圆
M:(x?4)
2
?y
2
?r
2
(r?0)
相交于
A
、
B
、
C<
br>、
D
四个点的充要条
件是:方程(1)有两个不相等的正根
?
49?4(16?r
2
)?0
?
55
5
?
?r??或r?
?r?4
∴
?
x
1
?x
2?7?0
即
?
22
。解这个方程组得
2
?
?<
br>2
?
x
1
?x
2
?16?r?0
?
?4?r?4
r?(
15
,4)
.
2
(II) 设四个
交点的坐标分别为
A(x
1
,x
1
)
、
B(x1
,?x
1
)
、
C(x
2
,?x
2<
br>)
、
D(x
2
,x
2
)
。
则由(
I)根据韦达定理有
x
1
?x
2
?7,x
1
x2
?16?r
2
,
r?(
则
S??2?|x
2
?x
1
|(x
1
?x
2
)?|x
2
?x
1
|(x
1
?x
2
)
令
16?r
2
?t
,则
S
2
?(7?2t)
2
(7?2t)
下面求
S
2
的最大值。
方法1:由三次均值有:
当且仅当
7?2t?14?4t
,即t?
时取最大值。经检验此时
r?(
7
6
15
,4)<
br>满足题意。
2
15
,4)
2
1
2
法2:设四个交点的坐标分别为
A(x
1
,x
1
)
、B(x
1
,?x
1
)
、
C(x
2
,?
x
2
)
、
D(x
2
,x
2
)
则直线AC、BD的方程分别为
解得点P的坐标为
(x
1
x
2
,0)
。
设
t?x
1
x
2
,由
t?16?r
2
及(
Ⅰ)得
t?(0,)
由于四边形ABCD为等腰梯形,因而其面积
S?(2
x
1
?2x
2
)|x
1
?x
2
|
则
S
2
?(x
1
?2x
1
x
2<
br>?x
2
)[(x
1
?x
2
)
2
?4
x
1
x
2
]
将
x
1
?x
2
?7
,
f(t)?S
2
,等
1
4
1
2
x
1
x
2
?t
代入上式,并令
7
f(t)
?(7?2t)
2
(7?2t)??8t
3
?28t
2
?9
8t?343(0?t?)
,
2
∴
f`(t)??24t<
br>2
?56t?98??2(2t?7)(6t?7)
,
令
f`(t)?0
得
t?
,或
t??
(舍去) <
br>当
0?t?
时,
f`(t)?0
;当
t?
时
f`(t)?0
;当
?t?
时,
f`(t)?0
故当且仅
当
t?
时,
f(t)
有最大值,即四边形ABCD的面积最大,故所求的点P
的坐标
为
(,0)
。
31.(2009湖北卷文)(本小题满分13分)
如图,过抛物线y
2
=2PX(P>0)的焦点F的直线与抛物线相交于
M、
N两点,自M、N向准线L作垂线,垂足分别为M
1
、N
1
(Ⅰ)求证:FM
1
⊥FN
1
:
、2、
(Ⅱ)记
△FMM
1、
、△FM
1
N
1
、△FN N
1的面积分别为S
1、
S
,
S
3
,试判断
76
7
2
7
6
7
6
7
6
72
7
6
7
6
S
2
2
=4S
1
S
3
是否成立,并证明你的结论。
本小题主要考查抛物线的概念,抛物线的
几何性质等平面解析几何
的基础知识,考查综合运用数学知识进行推理运算的能力(满分13分)
(1) 证法1:由抛物线的定义得
??MFM
1
??MM
1F,?NFN
1
??NN
1
F
2分
如图,设准线l与x的交点为
F
1
而
?F
1
FM
1
??MFM
1
??F
1
FN
1<
br>??N
1
FN?180
0
即
2?F
1FM
1
?2?F
1
FN
1
?180
0
故
FM
1
?FN
1
证法2:依题意,焦点为
F(,0),
准线l的方程为
x??
(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
,
直线MN的方程为
x?my?
设点M,N的坐标分别为
M
p
2
p
2
p
,则有
2
p
?
x?my?
由
?
2
得
y
2
?2mpy?p
2
?0
?
?y
2
?2px
?
于是,
y
1
?
y
2
?2mp
,
y
1
y
2
??p
2
uuuuruuuur
?FM
1
?FN
1
?p
2
?y
1
y
2
?p
2
?p
2?0
,故
FM
1
?FN
1
(Ⅱ)
S
2
2
?4S
1
S
3
成立,证明如下:
证
法1:设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
,则由抛物线的定义得
|MM
1
|?|MF|?x
1
?
pp
,|NN
1
|?|NF|?x
2
?
,于是
22
p
?
x?my?
1
?
?
y
?y?2mp
?
1
2
将
?
与
?
12
2
代入上式化简可得
?
x?my?
p
,
?
y<
br>1
y
2
??p
22
?
?2
p
2(m
2
p
2
?p
2
)?p
2
(m2
p
2
?p
2
)
,此式恒成立。
故
S
2
2
?4S
1
S
3
成立。
证法2:如图,设直线
MN
M的倾角为
?
,
|MF|?r<
br>1
,|NF|?r
2
则由抛物线的定义得
|MM
1
|?|MF|?r
1
,|NN
1
|?|NF|?r
3
于是
S
1
?r
1
2
sin
?
,S
3
?r
2
2
sin(
?
?
?
)?r
2
2
sin
?
在
?FMM
1
和
?FNN
1
中,由余弦定理可得
由(I)的结论,得
S
2
?|FM
1
|?|FN
1
|
即
S
2
2
?4S
1
S
3
,得证。
32.(2009宁夏海南卷文)(本小题满分12分)
已知椭圆
C
的中心
为直角坐标系
xOy
的原点,焦点在
x
轴上,它的一个项点到两个
焦点的距离分别是7和1
(I) 求椭圆
C
的方程‘
(II)
若
P
为椭圆
C
的动点,
M
为过
P
且垂直于
x
轴的直线上的点,
OP
?e
OM
1
2
1
2
1
2
1
2
(e为椭圆C的离心率),求点M
的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线。
(20)解:
(Ⅰ)设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得
{
a?c?1,
解得a=4,c=3,
a?c?7.<
br>x
2
y
2
所以椭圆C的方程为
??1.
1
67
(Ⅱ)设M(x,y),P(x,
y
1
),其中
x?
?
?4,4
?
.
由已知得
而
e?
,故
16
(x
2
?y
1
2
)?9(x
2
?y
2).
①
112?7x
2
,
由点P在椭圆C上得
y?
16
2
1
3
4
代入①式并化简得
9y
2
?112,
所以点M的轨迹方程
为
y??
47
(?4?x?4),
轨迹是两条平行于x轴的线段.
3
33.(2009湖南卷理)(本小题满分13分)
在平面直角坐标系xOy中,
点P到点F(3,0)的距离的4倍与它到直线x=2的距离的
3倍之和记为d,当P点运动时,d恒等
于点P的横坐标与18之和
(Ⅰ)求点P的轨迹C;
(Ⅱ)设过点F的直线I与轨迹C相交于M,N两点,求线段MN长度的最大值。
解(Ⅰ)设点P的
坐标为(x,y),则
d?4(x?3)
2
?y
2
?
3︳x
-2︳
由题设
当x>2时,由①得
(x?3)
2
?y
2
?6?x,
x
2
y
2
化简得
??1.
3627
1
2
当
x?2
时
由①得
(3?x)
2
?y
2
?3?x,
化简得
y
2
?12x
x
2
y
2
故点P的轨迹C是椭圆
C
1
:?
?1
在直线x=2的右侧部分与抛物线
C
2
:y
2
?12x
在直线
3627
x=2的左侧部分(包括它与直线x=2的交点)所组成的曲线,参见
图1
(Ⅱ)如图2所示,易知直线x=2与
C
1
,
C
2<
br>的交点都是A(2,
26
),
B(2,
?26
),直线AF
,BF的斜率分别为
k
AF
=
?26
,
k
BF=
26
.
当点P在
C
1
上时,由②知
1
PF?6?x
. ④
2
当点P在
C
2
上时,由③知
PF?3?x
⑤
若直线l的斜率k存在,则直线l的方程为
y?k(x?3)
(i)当k≤
k
AF
,或k≥
k
BF
,即k≤-2
6
时,直线I与轨迹C的两个交点M(
x
1
,
y
1
),
N(
x
,
y
)都在C
1
上,此时由④知
22
11
x
1
∣NF∣= 6 -
x
2
22
111
从而∣MN∣=
∣MF∣+ ∣NF∣= (6 -
x
1
)+ (6 -
x
2
)=12 - (
x
1
+
x
2
)
222
∣MF∣= 6
-
?
y?k(x?3)
由
?
得
(3?4k
2<
br>)x
2
?24k
2
x?36k
2
?108?0
则
x
1
,
y
1
是这个方程的两根,所以
?x
2
y
2
?1
?
?
?
3627
24k
2
12k
2
1
x
1
+
x
2
=*∣MN∣=12 -
(
x
1
+
x
2
)=12 -
22
3?
4k3?4k
2
因为当
k?26,或k?26时,k
2
?24,
当且仅当
k??26
时,等号成立。
(2)当
k
A
E
?k?k
AN
,?26?k?26
时,直线L与轨迹C的两个交点
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)<
br> 分别
在
C
1
,C
2
上,不妨设点
M
在
C
1
上,点
C
2
上,则④⑤知,
MF?6?x
1
,NF?3?x
2
设直线AF与椭圆
C
1
的另一交点为E
(x
0
,y
0
),则x
0
?x
1
,x
2
?2.
所以
MN?MF?
NF?EF?AF?AE
。而点A,E都在
C
1
上,且
k
AE
??26,
有(1)知
AE?
100100
,所
以MN?
1111
1
2
若直线
?
的斜率不存在,
则
x
1
=
x
2
=3,此时
综上所述,线段MN长度的最大值为
100
11
35.(2009天津卷理)(本小题满分14分)
x
2
y
2
a
2
以知椭圆
2<
br>?
2
?1(a?b?0)
的两个焦点分别为
F
1
(?
c,0)和F
2
(c,0)(c?0)
,过点
E(,0)
abc的直线与椭圆相交与
A,B
两点,且
F
1
AF
2
B,F
1
A?2F
2
B
。
(1)
求椭圆的离心率;
(2) 求直线AB的斜率;
(3) 设点C与点A关于坐标原点对称,
直线
F
2
B
上有一点
H(m,n)(m?0)
在
?
AF
1
C
的
外接圆上,求的值
本小题主要考查椭圆的标准
方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考
查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的
思想,考查运算能力和推理能力,满
分14分
a
2
?c
1
EF
2
F
2
B
1
c
?
(I) 解:由F
1
A
F
2
B
且
FA
,得,
从而
??
?2FB
12
2
a
2
EF
1<
br>FA2
1
?c
c
n
m
整理,得
a
2
?3c
2
,故离心率
e??
c
a
3
3
(II) 解:由(I)得
b
2
?a
2
?c2
?2c
2
,所以椭圆的方程可写为
2x
2
?3y2
?6c
2
?
a
2
?
设直线A
B的方程为
y?k
?
x?
?
,即
y?k(x?3c)
.
c
??
由已知设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
,则它们的坐标满足方程组
?
消去y整理,得
(2?3k
2
)x
2
?18k
2
cx?27k
2
c
2
?6c
2
?0
.
依
题意,
??48c
2
(1?3k
2
)?0,得?
33
?k?
33
?
y?k(x?3c)
?
2x?3y?6c
222
18k
2
c
而
x
1
?x
2
?
①
2
?3k
2
27k
2
c
2
?6c
c
x
1
x
2
?
②
2
2?3k
由题设知,点B为线段AE的中点,所以
x
1
?3c?2x
2
③ 9k
2
c?2c9k
2
c?2c
联立①③解得
x
1
?
,
x
2
?
2?3k
2
2
?3k
2
将
x
1
,x
2
代入②中,解得
k
??
2
.
3
(III)解法一:由(II)可知
x
1
?0,x
2
?
当
k??
3c
2
2
时,得
A(0,2c)
,由已知得
C(0,?2c)
.
3
线段
AF
1
的垂直平分线l的方程为
y?
22<
br>?
c
?
c??x?
??
直线l与x轴
22
?
2
?
22
c
?
c
???
c
?<
br>2
?AFC
,0
的交点
?
是外接圆的圆心,因此外接圆的方程
为.
x??y??c
1
??
????
2
?
?2
?
??
2
?
直线
F
2
B
的
方程为
y?2(x?c)
,于是点H(m,n)的坐标满足方程组
5
2?
?
?
m?c
c
?
9c
2
2
?
n22
?
?
m?
?
?n?
3
?
?
, 由解得故
m?0,
24
?
?
?
?m5
?
?
n?
22
c
?
n?2(m?c)?
3
?
当
k?
n22
2
时,同理可得
??
.
m5
3
解法二:由(II)可知
x
1
?0
,x
2
?
当
k??
3c
2
2
时
,得
A(0,2c)
,由已知得
C(0,?2c)
3
由椭
圆的对称性可知B,
F
2
,C三点共线,因为点H(m,n)在
?AF
1
C
的外接圆上,
且
F
1
AF
2
B<
br>,所以四边形
AF
1
CH
为等腰梯形.
由直线
F
2
B
的方程为
y?2(x?c)
,知点H的坐标为
(m,2m?2c)
.
因为
AH?CF
1
,所以
m2
?(2m?2c?2c)
2
?a
2
,解得m=c(舍),或<
br>m?c
.
则
n?
22n22
c
,所以
?
.
3m5
n22
2
时同理可得
??
m53
5
3
当
k?
36.(2009四川卷理)(本小题满分12分
)
2
x
2
y
2
已知椭圆
2
??1(a?
b?0)
的左右焦点分别为
F
1
,F
2
,离心率
e
?
,右准线方程为
x?2
。
2
ab
(I)求椭圆的标准方程;
uuuuruuuur
226<
br>(II)过点
F
1
的直线
l
与该椭圆交于
M,N两点,且
F
2
M?F
2
N?
,求直线
l
的方程。
3
本小题主要考查直线、椭圆、平面向量等基础知识,以及综合运
用数学知识解决问题
及推理运算能力。
c2
?
a2
2
a
?2
c
解:(Ⅰ)有条件有
{
,解得
a?2,c=1
。
?b?a
2
?c
2
?1
。
所以,所求椭圆的方程为
x
2
?y
2
?1
。…………………
………………4分
2
(,0)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
F
1
(?
1,0)
、
F
。
2
1
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=-1.
将x=-1代入椭圆方程得
y??
不妨设
M(?1,
2
。
2
22
)
、
N(?1,?)
,
22
uuuuvuuuv
22
?F
2
M?F2
N?(?2,)?(?2,?)?(?4,0)
.
22
uuuuvuuuv
?F
2
M?F
2
N?4
,与题设矛盾。
?
直线l的斜率存在。
设直线l的斜率为k,则直线的方程为y=k(x+1)。
设
M(x
1
,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)
,
联立
{
x
2
?y<
br>2
?1
2
y=k(x+1)
,消y得
(1?2k
2<
br>)x
2
?4k
2
x?2k
2
?2?0
。 <
br>?4k
2
2k
y?y?k(x?x?2)?
由根与系数的关系知
x
1
?x
2
?
,从而,
1212
1?2k2
1?2k
2
uuuuvuuuuv
又
Q
F
2
M?(x
1
?1,y
1
)
,
F
2
N?(x
2
?1,y
2
)
,
uuuuvuuuuv
?F
2
M?F
2
N?(x
1
?x
2
?2
,y
1
?y
2
)
。
4(16k
4
?9k
2
?1)226
2
??()
。
4k
4
?
4k
2
?13
化简得
40k
4
?23k2
?17?0
解得
k
2
?1或者k
2
??
17
40
37.(2009福建卷文)(本小题满分14分)
x
2
y<
br>2
已知直线
x?2y?2?0
经过椭圆
C:
2
?2
?1(a?b?0)
ab
的左顶点A和上顶点D,椭圆
C<
br>的右顶点为
B
,点
S
和椭
圆
C
上位于x
轴上方的动点,直线,
AS,BS
与直线
l:x?
分别交于<
br>M,N
两点。
(I)求椭圆
C
的方程;
(Ⅱ)求线段MN的长度的最小值;
(Ⅲ)当线段MN的长度最小时,在椭圆
C
上是否存在这
样的点
T
,使得
?TSB
的面积为?若存在,确定点
T
的个数,若不存在,说明理由
解法一:
(I)由已知得,椭圆
C
的左顶点为
A(?2,0),<
br>上顶点为
D(0,1),?a?2,b?1
x
2
故椭圆
C
的方程为
?y
2
?1
4
10
3
1
5
(Ⅱ)直线AS的斜率
k
显然存在,且
k?0
,故可设直线
AS
的方程为
y?k(x
?2)
,从而
1016k
M(,)
33
?
y?k
(x?2)
2222
(1?4k)x?16kx?16k?4?
0 由
?得
?
x
2
2
?
?y?1
?4
16k<
br>2
?42?8k
2
4k
x?
y?
设
S(x<
br>1
,y
1
),
则
(?2),x
1
?
得,从而
1
1
1?4k
2
1?4k
2
1?4k<
br>2
2?8k
2
4k
,),
又
B(2,0)
即
S(
22
1?4k1?4k
110
??
y??(x?2)
x?
??
??
4k3
由
?
得
?
?
x?
10
?
y??
1
??
33k
??<
/p>
故
|MN|?
16k1
?
33k
又
k?0,?|MN|?
当且仅当
16k116k18
??2??
33k33k3
16k11
,即
k?
时等号成立
?
33k4
18
?k?
时,线段
MN
的长度取最小值
43
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知,当
MN
取最小值时,
k?
此时
BS
的方程为
x?y?2?0,s(,),?|BS|?64
55
42
5
1
4
要使椭圆<
br>C
上存在点
T
,使得
?TSB
的面积等于,只须
T<
br>到直线
BS
的距离等于
所以
T
在平行于
BS
且与
BS
距离等于
设直线
l':x?y?1?0
则由35
|t?2|2
?,
解得
t??
或
t??
22
4
2
2
的直线
l
上。
4
1
5
2
,
4
38.(2009年上海卷理)(本题满分16分)本题共
有2个小题,第1小题满分8分,第
2小题满分8分。
v
x
2
2
已知双曲线
c:?y?1,
设
过点
A(?32,0)
的直线l的方向向量
e?(1,k)
2
(1) 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时,求直线l的方程及l与m的距离;
(2) 证明:当
k
>
2
时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之
到直线l的距离为
6
。
2
解:(1)双曲线C的渐近线
m:
?
直线
x
?2y?0............2分
2
l的方程
x?2y?32?0
………………..6分
32
?6
……….8分
1?2
直线l与m的距离
d?(2)设过原点且平行与l的直线
b:kx?y?0
则直线l与
b的距离
d?
当
k?
2
时,d?6
2
32k
1?k
2
又双曲线C的渐近线为
x?2y?0
?
双曲线C的右支在直线b的右下方,
。
?
双曲线
C<
br>右支上的任意点到直线
l
的距离为
6
故在双曲线
C
的
右支上不存在点
Q
,使之到直线
l
的距离为
6
。
[ 证法二] 双曲线
C
的右支上存在点
Q
(x
0
,y
0
)
到直线
l
的距离为
6
,
?kx
0
?y
0
?32
?
?6,(1)
2
则
?
1?k
?
?
x
0
?2y
0
?2,(2)
由(1)得
y
0
?kx
0
?32k
?6g1?k
2
,
设
t?
32k?6g1?k
2
当
k?
2
,
t?
32k?6g1?k
2
?
0………………………………..13分
2
将
y
0
?kx
0
?t
代入(2)
得
(1?2k
2
)x
0
2
?4ktx
0
?
2(t
2
?1)?0
(*)
?
方程(*)不存在正根,即假设不成立
故在双曲线C的右支上不存在Q,使之到直线l 的距离为
6
…………….16分 <
br>39.(2009上海卷文)(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2
小
题满分4分,第3小题满分8分.
0
?
,一条渐近线m:
x+2y?0,设过点已知双曲线C的中心是原点,右焦点为F
?
3,
A
(?32,0
)
的直线l
v
的方向向量
e?(1,k)
。
(1)
求双曲线C的方程;
(2)
若过原点的直线
al
,且a与l的距离为
6
,求K的值;
(3)
证明:当
k?
2
时,在双曲线C的右支上不存在点Q,使之到直线l的距离为
6
.
2
【解】(1)设双曲线
C
的方程为
x
2<
br>?2y
2
?
?
(
?
?0)
x
2
?
?
??3
,解额?
?2
双曲线
C
的方程为
?y
2
?1
2
2
?
(2)直线
l:kx?y?32k?0
,直线
a:kx?y?0
由题意,得
|32k|
1?k
2
?6
,解得
k??
2
2
(3)【证法一】设过原点且平行于<
br>l
的直线
b:kx?y?0
则直线
l
与
b
的距离
d?
32|k|
1?k
2
,
当
k?
2
时,
d?6
2
又双曲线
C
的渐近线为
x
?2y?0
?
双曲线
C
的右支在直线
b
的右下方,
?
双曲线
C
右支上的任意点到直线
l
的距离大于
6
。
故在双曲线
C
的右支上不存在点
Q
,使之到直线
l
的距离
为
6
【证法二】假设双曲线
C
右支上存在点
Q(x
0
,y
0
)
到直线
l
的距离为
6
, <
br>?
|kx
0
?y
0
?32k
?6(1)
?<
br>2
则
?
1?k
?
22
(2)
?<
br>x
0
?2y
0
?2
由(1)得
y
0
?kx
0
?32k?6?1?k
2
设
t?32k?6?1?k
2
,
当
k?
2
时,
t?32k?6?1?k
2
?0
;
2
将
y
0
?kx
0
?t
代入(2)得
(1?2k
2
)x
0
2
?4ktx
0
?2(t
2
?1)?0<
br>
Qk?
2
,t?0
,
2
?
方程
(*)
不存在正根,即假设不成立,
故在双曲线
C
的右支上不
存在点
Q
,使之到直线
l
的距离为
6
40.(2009重庆卷理)(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)
已知以原点
O
为中心的椭圆的一条准线方程为
y?
的动点.
433
,离心率
e?
,
M
是椭圆上
32
<
br>(Ⅰ)若
C,D
的坐标分别是
(0,?3),(0,3)
,求
MCgMD
的最大值;
(Ⅱ)如题(20)图,点
A
的坐标为
(1
,0)
,
B
是圆
x
2
?y
2
?1
上的点,
N
是点
M
在
x
轴
uuuruuuuruu
uruuuruuur
上的射影,点
Q
满足条件:
OQ?OM?ON
,
QA
g
BA?0
.求线段
QB
的中点
P
的轨迹方程;
(20)(本小题12分)
x
2
y
2
解:
(Ⅰ)由题设条件知焦点在y轴上,故设椭圆方程为
2
?
2
?1
(a
>b> 0 ).
ab
设
c?a
2
?b
2
,由准线方程
y?
y
2
从而 b =
1,椭圆方程为
x??1
.
4
2
433c3
得.由
e?
得
?
,解得
a = 2 ,c =
3
,
32a2
y
2
又易知C,D两点是椭圆
x??1
的焦点,所以,
MC?MD?2a?4
<
br>4
2
MC?MD
2
)?2
2
?4
,当且仅当
MC?MD
,即点M的坐标为
(?1,0)
从而
MC?MD?(
2
时上式取等号,
MC?MD
的最大值为4 .
(II)如图(20)图,设
M(x
m
,y
m
),B(x<
br>B
,y
B
)
uuuuruuuruuur
Q(x
Q
,y
Q
)
.因为
N(x
N
,0),OM?ON?OQ
,故
22
x
Q
?y
Q
?(2x
M
)
2
?y
y
?4
①
uuuruuur
因为
QA?BA?0,
所以
x
Q
x
N
?y
Q
y
N
?x
N<
br>?x
Q
?1
. ②
记P点的坐标为
(x
P
,y
P
)
,因为P是BQ的中点
所以
2xP
?x
Q
?x
P
,2y
P
?y
Q?y
P
22
?y
N
?1
,结合①,②得
由因为
x
N
故动点P的估计方程为
41.(2009重庆卷文)(本小题满分12分,(Ⅰ)问5分,(Ⅱ)问7分)
已知以原点
O
为中心的双曲线的一条准线方程为
x?
(Ⅰ)求该双曲线的方程
;
5
,离心率
e?5
.
5
(Ⅱ)如题(
20)图,点
A
的坐标为
(?5,0)
,
B
是圆
x
2
?(y?5)
2
?1
上的点,点
M
在
双
曲线右支上,求
MA?MB
的最小值,并求此时
M
点的坐标;
解:
(Ⅰ)由题意可知,双曲线的焦点在
x
轴上,故可设双曲线的方程为
5a
2<
br>5
x
2
y
2
22
x??
??1(a?0,b
?0)
,设,由准线方程为得,由
e?5
c?a?b
5c5
a
2
b
2
y
2
c
2
得
?5 解得
a?1,c?5
从而
b?2
,
?
该双曲线的方程为
x??1
;
4
a
(Ⅱ)设点D的坐标为
(5,0)
,则点A、D为双曲线的焦点,
|MA|?|MD|?2a?2
Q
B
是圆
x
2
?
(y?5)
2
?1
上的点,所以
|MA|?|MB|?2?|MB|?|MD
|≥2?|BD|
,其圆心
为
C(0,5)
,半径为1,故
|B
D|≥|CD|?1?10?1
从而
|MA|?|MB|≥2?|BD|≥10?1
当
M,B
在线
段CD上时取等号,此时
|MA|?|MB|
的最小值为
10?1
Q
直线CD的方程为
y??x?5
,因点M在双曲线右支上,故
x?0
22
?
?5?4245?42
?
4x?y?4
,y?<
br>由方程组
?
解得
x?
33
?
?
y??x?5
所以
M
点的坐标为
(
?5?4245?42
,)
;
33