高中数学圆锥曲线复习总结椭圆( 高考)

高中数学圆锥曲线复习总结：椭圆( 2011高考)


圆锥曲线复习资料(一)---------椭圆
一、曲线与方程
1、求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下 （1）建立坐标系；设动点坐。（2）由限制
条件，列出几何等式。（3）代换（4）化简 （5）证明（常注意方程变量的取值范围)。 2、
求曲线方程的常见方法： （1）直接法（直译法）（2）转移代入（3）几何法（定义法）（4）
参数法（5）交轨法 3、已知曲线方程求曲线：
如 （1）方程x2y2x3y20表示什么曲线？
22
（2）方程xy1xy40表示什么曲线？
解：（1）原方程等价于：xy1xy20为两条直线
x2y240（2）原方程等价于：或x2y24
xy10
所以，曲线C为圆：x2y24和直线xy1在此圆外面的两条射线（画图）








三、椭圆性质的挖掘
x2y2
椭圆221上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2 (c,0)，设F1PF2
ab
2
（1） 构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)，其面积S△PF1F2btan
2
（2） a-c≤|PF1|≤a+c (3)b≤ |PF1||PF2|≤a （4）
F1PF2min0,F1PF2maxF1BF2 (5)过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长
为4a.
2
2
y2x2x2y2
与221（a＞b＞0）共焦点的椭圆为221 abakbk四、直线与椭圆的位置关系
1．直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程， 然后通过判别式Δ来判断直线
和椭圆相交、相切或相离．
2．消元后得到的一元二次方程的 根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两
根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础 ．
3．直线y＝kx＋b(k≠0)与圆锥曲线相交于A(x1，y1)，B(x2， y2)两点，则
222

当直线的斜率存在时，弦长公式： lkx1x2=(1k)(x1x2)4x1x2
或当k存在且不为零时l
112
yy1(yy)4y1y2。 121222
kk
五、例题讲解：
题型一、求椭圆的标准方程
例1．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）两个焦点的坐标分别是(4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；
（2）两个焦点的坐标分别是(0,2)、(0,2)，并且椭圆经过点(（3）焦距为6，a
（4）椭 圆经过两点(





35
,)； 22
35
,)，。 22





x2y2
解析：（1）∵椭圆的焦点在x轴上，故设椭圆的标准方程为221（ab0），
ab
222
∵2a10，c4，∴bac9，
x2y2
1。 所以，椭圆的标准方程为
259
y2x2
（2）∵椭圆焦点在y轴上，故设椭圆的标准方程为221（ab0），
ab
由椭圆的定义知，







b1；

2a
222
∴a10，又∵c2，∴bac1046，
y2x2
1。 所以，椭圆的标准方程为
106
（3）∵焦距为6，∴c3，
222
∴abc9，又∵ab1，∴a5，b4，
x2y2y2x2
1或1． 所以，椭圆的标准方程为
25162516



（4）设椭圆方程为xy1（m,n0）， mn22
5232()()1 由m得m6,n10， n
351mn
y2x2
1． 所以，椭圆方程为106
例2 、（1）与圆C1：(x＋3)＋y＝1外切，且与圆C2：(x－3)＋y＝81∴b＝16，所求椭圆的方程为 2516
x2y2
1 （2）用定义得432
题型二、椭圆的几何性质的应用

x2y2
例3、（1）椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，123
那么|PF1|是|PF2|的（ ）
A.7倍 B.5倍 C.4倍 D.3倍
解：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±
因此|PF1|=7|PF2|，故选A。 33），即|PF2|=，|PF1|=，222
x2y2
0（2）如图，A、B、C分别为椭圆221（a>b>0）的顶点和焦点， 若∠ABC=90，
则该ab
椭圆的离心率为

x2y2
例4、已知点P是椭圆221（ab0）上一点，F1、ab
F2是椭圆的两个焦点，且椭圆上存在一点P使
1（1）[,1) F1PF260.1求椭圆离心率e的取值范围；2求△PF1F2的面积 答
案：2
32（2）b 3
题型三、直线与椭圆的综合应用
0)B(01)，是它的两个顶点，直线ykx(k0)与










AB例5．设椭圆中心在坐标原点，A(2，，



相交于点D，与椭圆相交于E、F两点． （Ⅰ）若ED6DF，求k的
值； （Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值． x2
y21， （Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为4直线AB，EF的方程分别为x2y2，
ykx(k0)．
如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，

且x1，x2满足方程(14k2)x24，
故x2x1．①
15由ED6DF知x0x16(x2x0)，得x0(6x2x1)x2； 772由D在
AB上知x02kx02，得x0． 12k
2所以， 12k232化简得24k25k60，解得k或k． 38
（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为
h1 h2．
又ABAEBF的面积为
1AB(h1h2) 2
1 2S
≤ 1当2k1，即当k时，上式取等号．所以S的最大值为 2
解法二：由题设，BO1，AO2．
设y1kx1，y2kx2，由①得x20，y2y10，
故四边形AEBF的面积为
SS△BEFS△AEFx22y2

当x22y2时，上式取等号．所以S的最大值为



yx1(ab0)22ab
5
线C2:x24y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且|MF1|3(1)求椭圆C1的方程;
例6、已知F1、F2分别为椭圆C1:
(2)已知点P(1,3)和圆O:x2y2b2,过点P的动
直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点
22

Q,满足:APPB,AQQB,(0且1). 求证:点Q总在某定直线上.
故x024y0?①
.解:(1)由C2:x24y知F1(0,1),设M(x0,y0)(x00),因M在抛物线C2上,

552,则y0





1??②, 由①②解得x0,y0.





而点M椭圆上,33322()248
1即221?③, 又c1,则b2a21?④ 故有22
ab9a3b
y2x222
1. 由③④可解得a4,b3,∴椭圆C1的方程为43
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x,y), x1x21由APPB可
得:(1x1,3y1)(x21,y23),即
y1y23(1)
x1x2(1)x由AQQB可
得:(xx1,yy1)(x2x,y2y),即
yy(1)y12
⑤⑦得:x122x22(12)x ⑥⑧得:y122y223y(12)
又|MF1|
两式相加得(x12y12)2(x22y22)(12)(x3y)
又点A,B在圆x2y23上,且1,所以x12y123,x22y223 即x3y3,∴点
Q总在定直线x3y3上.
例7、已知动点P与双曲线x2－y2=1的 两个焦点F1、F2的距离之和为定值，且cos∠F1PF2
的最小值为－
1。 3
（1）求动点P的轨迹方程; （2）设M（0,－1），若斜率为k(k≠0)的直线与P的轨迹交 于
不同的两点A、B，试求k的取值范围，使|MA|=|MB|；
（3）若直线l:y=x+m与P的轨迹交于不同的两点A、B，且ABM到直线l的距离。
，求3，M（0，－1）
x2y2
1 （a>2） 解：(1)设P的轨迹方程为22
aa2
a2a2(22)241
12 ，a2=3 cos∠F1PF2最小值为

2aa3a








xy21 3
（2）设A（x,y）,B(x2,y2) ∴P点轨迹方程为2
MAx1(y11)2 MB2222x2(y11)2 MA|MB| ∴|MA|2=|MB|2 2∴
x1+(y1+1)2=x22+(y2+1)2 ∴(x1+x2)(x1－x2)+(y1+y2+2)(y1－y2)=0 y2y1k x2x1
122xy1113∴(x1+x2)+k(y1+y2+2)=0 (A) 1x2y21223
两式相减得(x1x2)(x2x2)(y1y2)(y1y2)0 ∴(x1x2)k(y1y2)0 代入（A）
k(－2y1－2y2+2)=0 ∵k≠0 131
3
l:ykxb∴y1+y2=1 ∴x1+x1=－3k 设直线方程为l:y=kx+b x2
2y13
6bkx2
3k (kxb)21 (3k2+1)x2+6bkx+3b2－3=0 x1+x2=23k13
3b2122b=3k+1 △=(6bk)－4(3k+1)(3b－3)>0 ∴3k+1>b ∴3k+1>()
22222222k2<1 ∴k∈（－1，1）
l:yxmx222(xm)1 （3）x 23y13
3xxm212224x+6mx+3m－3=0 设A（x1,y1）,B(x2,y2) ∴
xx3(m21)124
|x1－x2|=3m23 |AB|=43k2|x1x2|2m233∴m=±2 4
21 m=－2时，l:yx2 2m=2时，l:yx2 M到l距离d1=
M到距离d2=－21 2