高中数学：圆锥曲线的方程与性质练习

高中数学：圆锥曲线的方程与性质练习

一、选择题
x
2
y
2
1．(全国卷Ⅰ)双曲线C：
a
2
－
b
2
＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离
心率为( )
A．2sin 40°
1
C.
sin 50°

B．2cos 40°
1
D.
cos 50°

b
解析：选D 由题意可得－
a
＝tan 130°，
所以e＝
b
2
1＋
a
2
＝1＋tan
2
130°＝
sin
2
130°
1＋
cos
2
130°

11
＝
|cos 130°
＝.故选D.
|cos 50°
x
2
y
2
2．(福州模拟)已知点(0,3)到双曲线C：
a2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的渐近线的距离为2，则C
的 离心率是( )
3
A.
2

6
C.
2

6
B.
3

9
D.
4

解析：选A 由题意可得，双曲线C的一条渐近线的方程 为bx－ay＝0，则点(0,3)到双曲
|0－3a|
b
2
5c
线 C的渐近线的距离d＝
2
＝2，得＝，所以双曲线C的离心率e＝＝
2
2< br>a4a
b＋a
53
1＋
4
＝
2
，故选A.
x
2
y
2
3．设F
1
，F
2
分别 是椭圆C：
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)的左、右焦点， M为直线y＝2b上的一点，
△F
1
MF
2
是等边三角形，则椭圆C 的离心率为( )
7
A.
14

27
C.
7

7
B.
7

37
D.
14

b
2
1＋
a
2
＝
解析：选C 因为△F
1
MF
2
是等边三角形，故M(0,2b)，|MF
1
|＝|F1
F
2
|即4b
2
＋c
2
＝4c
2,
4a
2

c
2
427
＝7c，所以e＝
a
2
＝
7
，故e＝
7
.
22
4．(长 沙模拟)已知抛物线C：y
2
＝8x的焦点为F，点A(1，a)(a＞0)在C上，|AF| ＝3.若直
线AF与C交于另一点B，则|AB|的值是( )
A．12
C．9
B．10
D．4.5
解析：选C 解法一：因为A(1，a) (a＞0)在抛物线C上，所以a
2
＝8，解得a＝22或a
＝－22(舍去)，故直 线AF的方程为y＝－22(x－2)，与抛物线的方程联立，消去y，可得x
2
－5x＋4＝ 0，解得x
1
＝1，x
2
＝4.由抛物线的定义，得|BF|＝4＋2＝6， 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝9，
故选C.
解法二：因为直线AB过焦点F(2,0 )，设A(x
A
，y
A
)，B(x
B
，y
B
)，直线方程为y＝k(x－2)，
与y
2
＝8x联立得k
2
x< br>2
－(4k＋8)x－4k
2
＝0，所以x
A
x
B< br>＝4.又x
A
＝1，所以x
B
＝4，所以|AB|＝|AF|
＋|BF|＝x
A
＋x
B
＋4＝9，故选C.
x
2
y
2
5．(全国卷Ⅲ)已知F是双曲线C：
4
－
5
＝1的 一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若
|OP|＝|OF|则△OPF的面积为( )
3
A.
2

7
C.
2

5
B.
2

9
D.
2

x
2
y
2
解析：选B 由F是双曲线
4
－
5
＝1的一个焦点，知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限 ，P(x
0
，y
0
)，x
0
>0，y
0
> 0，
2
?
x
2
0
＋y
0
＝3，
?
2
则
?
x
2
0
y
0
－＝1，< br>?
?
45

2
56
x
?
?
0
＝
9
，
解得
?
2
25
y
??
0
＝
9
，


?
2145
?
所以P
?
，
3
?
，
?
3
?
1155
所以S
△
OPF
＝
2
|OF|·y
0
＝
2
×3×
3
＝
2< br>.故选B.
x
2
y
2
→
＝－
2
M B
→
，6．已知椭圆C：
9
＋
5
＝1，若直线l经过M(0 ,1)，与椭圆交于A，B两点，且MA
3
则直线l的方程为( )

1
A．y＝±
2
x＋1
C．y＝±x＋1
1
B．y＝±
3
x＋1
2
D．y＝±
3
x＋1
y＝kx＋1，
?
?
解析：选B 依题意，设直线l：y＝kx＋1，点A( x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)．则由
?
x
2
y
2
＋＝1，
?
?
95< br>消去y，整理得(9k
2
＋5)x
2
＋18kx－36＝0，Δ＝(1 8k)
2
＋4×36×(9k
2
＋5)＞0，

?
?
36
?
xx＝－
9k＋5
，
2
?
?< br>x＝－
3
x，
12
2
12
18k
x
1
＋x
2
＝－
2
，
9k＋5

11
解得k＝±，即直线l的方程为y＝±
33
x＋1，故选B.
二、填空题
x
2
y
2
7．(全国卷Ⅲ)设F
1< br>，F
2
为椭圆C：M为C上一点且在第一象限．若
36
＋
20
＝1的两个焦点，
△MF
1
F
2
为等腰三角形，则M的坐标 为________．
解析：设F
1
为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F
1
为圆心、焦距为半径的圆上，即在圆
(x＋4)
2
＋y
2
＝64上．
x
2
y
2
因为点M在椭圆
36
＋20
＝1上，
?x＋4?
2
＋y
2
＝64，
?
?
所以联立方程可得
?
x
2
y
2
＋＝1 ，
?
?
3620

?
x＝3，
解得
?

?
y＝±15.

又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3，15)．
答案：(3，15)
8 ．(福州四校联考)已知抛物线C的顶点为坐标原点，对称轴为坐标轴，直线l过抛物线C
的焦点F，且 与抛物线的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，且|AB|＝8，M为抛物线C准线
上一点，则△AB M的面积为________．
解析：不妨设抛物线C：y
2
＝2px(p＞0)， 因为直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线的对
称轴垂直，所以线段AB为通径，所以2p＝8，p＝4 ，又M为抛物线C的准线上一点，所以点
1
M到直线AB的距离即焦点到准线的距离为4，所以 △ABM的面积为
2
×8×4＝16.

答案：16
x2
y
2
9．(郑州模拟)已知双曲线E：
a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F向双曲线的一
→
＝3F Q
→
，则双曲线E的离心率为条渐近线引垂线，垂足为P，交另一条渐近线于点Q，若5PF< br>________．
x
2
y
2
解析：由题意知，双曲线a
2
－
b
2
＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F的坐标为(c, 0)，设一条渐近线
b
?
bb
?
OP(O为坐标原点)的方程为y＝
a
x，另一条渐近线OQ的方程为y＝－
a
x，不妨设P
?
m，
a
m
?
，
??
5?c－m?＝3?n－c?，
?
?
b
??
→
＝3FQ
→
，得
?
Q
?
n，－
a
n
?
，由5PF
?
b
??
b
?
??
?
－m
?
＝3
?
－n
?
，5
?
?
?
a
??
a
?< br>
解得
?
4
m＝
?
?
5
c，
4
n＝
?
?
3
c，

因为OP⊥FP，所以b
－
a
m
ac
2
b
2
55
2 22
k
PF
＝＝－
b
，解得a＝4b，所以e＝
a
2
＝1＋
a
2
＝
4
，故双曲线E的离心率e＝
2< br>.
c－m
5
答案：
2

三、解答题
x< br>2
y
2
10．(全国卷Ⅱ)已知F
1
，F
2
是椭圆C：
a
2
＋
b
2
＝1(a>b>0)的两个焦点，P 为C上的点，O
为坐标原点．
(1)若△POF
2
为等边三角形，求椭圆C的离心率；
(2)如果存在点 P，使得PF
1
⊥PF
2
，且△F
1
PF
2
的面积等于16，求b的值和a的取值范围．
解：(1)连接PF
1
.由△POF
2
为等边三角形可知在△F
1
PF
2
中，∠F
1< br>PF
2
＝90°，|PF
2
|＝c，|PF
1
|c
＝3c，于是2a＝|PF
1
|＋|PF
2
|＝(3＋1)c ，故椭圆C的离心率为e＝
a
＝3－1.
1yyx
2
(2)由题意 可知，满足条件的点P(x，y)存在，当且仅当
2
|y|·2c＝16，·＝－1，
a
2
＋
x＋cx－c
y
2
b
2
＝1，
即c|y|＝16，①
x
2
＋y
2
＝c
2
，②
x
2< br>y
2
a
2
＋
b
2
＝1.③

b
4
由②③及a＝b＋c得y＝
c
2
.
2222
16
2
又由①知y＝
c
2
，故b＝4.
2
a
2
2
由②③及a＝b＋c得x＝
c
2
(c－b
2
)，
2222
所以c
2
≥b
2
，从而a
2
＝b
2
＋c
2
≥2b
2
＝3 2，故a≥42.
当b＝4，a≥42时，存在满足条件的点P.
所以b＝4，a的取值范围为[42，＋∞)．
11．(广东七校联考)已知抛物线C：y< br>2
＝2px(p＞0)的焦点为F，抛物线C上存在一点E(2，
t)到焦点F的距离等 于3.
(1)求抛物线C的方程；
(2)已知点P在抛物线C上且异于原点，点Q为直线x＝－1 上的点，且FP⊥FQ，求直
线PQ与抛物线C的交点个数，并说明理由．
p
解：(1)抛物线C的准线方程为x＝－
2
，
p
所以点E(2，t)到焦点F的距离为2＋
2
＝3，
解得p＝2.
所以抛物线C的方程为y
2
＝4x.
(2)直线PQ与抛物线C只有一个交点．
理由如下：
?
y
0< br>?
设点P
?
4
，y
0
?
，点Q(－1，m) ．
??
2
?
y
0
?
→→
由(1)得焦点 F(1,0)，则FP＝
?
4
－1，y
0
?
，FQ＝(－2 ，m)，
??
2
→→
由题意可得FP·FQ＝0，
y
0
－4
?
y
0
?
故－2
?
4
－1< br>?
＋my
0
＝0，从而m＝
2y
.
??
0
y
0
－m
2
故直线PQ的斜率k
PQ
＝
y
2
＝
y
.
00
＋1
4
2
?y
2
y
0
yy
2
0
?
0
故直 线PQ的方程为y－y
0
＝
y
?
x－
4
?
，得x＝
2
－
4
.①
?
0
?
2
2

又抛物线C的方程为y
2
＝4x，②
y
2
0
所以由①②得(y－y
0
)＝0，故y＝y
0
，x＝
4
.
2
故直线PQ与抛物线C只有一个交点．
x
2
y2
12．(永州模拟)已知椭圆E：右焦点分别为F
1
，F
2
， 椭圆过点(0,2)，
a
2
＋
b
2
＝1(a＞b＞0)的左 ，
点Q为椭圆上一动点(异于左右顶点)，且△QF
1
F
2
的周长为 4＋42.
(1)求椭圆E的方程；
(2)过点F
1
，F
2分别作斜率为k
1
，k
2
的直线l
1
，l
2< br>，分别交椭圆E于A，B和C，D四点，
且|AB|＋|CD|＝62，求k
1
k
2
的值．
?
b＝2，
解：(1)由题意可知，
?
2a＋2c＝4＋4
?
a
2
＝b
2
＋c
2
，
x
2
y
2
∴椭圆E的方程为
8
＋
4< br>＝1.
(2)由题意可知，F
1
(－2,0)，F
2
(2,0)，
2，

解得a＝22，b＝2，
设直线AB的方程为y＝k
1(x＋2)，A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
?
x
2
＋2y
2
＝8，
222 2
联立
?
∴(1＋2k
1
)x＋8k
1
x＋8k< br>1
－8＝0.
?
y＝k
1
?x＋2?.
2222< br>∴Δ＝(8k
2
1
)－4(1＋2k
1
)(8k
1< br>－8)＝32(k
1
＋1)＞0，

8k
2
8k< br>2
1
－8
1
则x
1
＋x
2
＝，x< br>1
x
2
＝，
1＋2k
2
1＋2k
2
11
|AB|＝1＋k
2
1
|x
1
－x
2
|＝
2
?1＋k
2
1
?[?x
1
＋x
2
?－4x
1
x
2
]＝
42?1＋k
2
1
?
2
.
1＋2k
1
42?1＋k
2
2< br>?
同理联立方程，由弦长公式可知，|CD|＝
2
，
1＋2k
2
2
42?1＋k
2
42?1＋k
2
?
1
?
∵|AB|＋|CD|＝62，∴＋＝62，
1＋2k
2
1＋2k2
12
1
22
1
化简得k
1
k
2＝
4
，则k
1
k
2
＝±
2
.