高中数学教材 旧版 pdf-解透教材高中数学必修三
专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）
解圆锥曲线问题常用以下方法：
【学习要点】
1、定义法
（1）椭圆有两
种定义。第一定义中，
r
1
+r
2
=2a。第二定义中，r
1
=ed
1
r
2
=ed
2
。
（2）双曲线有两种定义。第一定
义中，
r?r
12
?2a
，当r<
br>1
>r
2
时，注意r
2
的最
小值为c-a：第二定义
中，r
1
=ed
1
，r
2
=ed
2
，尤其应注意第二定义的应用，常常将
半径与“点到准线距离”互相转化。
（
3）抛物线只有一种定义，而此
定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多
抛物线问题用定义解决更
直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的
问题常转化为方程组关系问题，最终转
化为一元二次
方程问题，故用韦达定理
及判别式是解决圆锥曲线问题的重点
方法之一，尤其是弦中点问题，弦
长问
题，可用韦达定理直接解决，但应注意
不要忽视判别式的作用。
3、解
析几何的运算中，常设一些
量而并不解解出这些量，利用这些量过
渡使问题得以解决，这种方法
称为“设
而不求法”。设而不求法对于直线与圆
锥曲线相交而产生的弦中点问题
，常用
“点差法”，即设弦的两个端点
A(x
1
,y
1
),
B(x
2
,y
2
),弦AB中点为M(x
0
,y
0
)，
将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作
差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：
（1）
x
2
y
2
?
2
?1(a?b?0)
2
ab
与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x
0
,y
0
)，则有
x
0y
0
?
2
k?0
2
ab
。
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)
a
2
b
2 （2）与直线l相交于
A、B，设弦AB中点为M(x
0
,y
0
)则有
x
0
y
0
?
2
k?0
2<
br>ab
（3）y
2
=2px（p>0）与直线l相交于
A、B设弦AB中点为M(x
0
,y
0
),则有
2y
0
k=2p,即y
0
k=p.
【典型例题】
例1、(1)抛物线C:y
2
=4x上一点P到
点A(3,4
2
)
与到准线的距离和最小,则点
P的坐标为______________
(2)抛物线C: y
2
=4x上一点Q到点
B(4,1)与到焦点F的距离和最小,
则点Q
的坐标为 。
分析：（1）A在抛物线外，如图，
连PF，则
PH?PF
，因而易发现，当
A、P、F三点共线时，距离和最小。 （2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l
A
Q
H
P
F
B
交于R，则当B、Q、R三点共线时，距
离和最小。
解：（1）（2，
2
）
连PF，当A、P、F三点共线时，
AP?
PH?AP?PF
42?0
(x?1)
3?1
最小，此时AF的方程为
y?
即 y=2
2
(x-1),代入y
2
=4x得
P(
2,2
2
)，（注：另一交点为(
1
它为
,?2
)，
2
直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
（2）（
1
,1
） <
br>4
过Q作QR⊥l交于R，当B、Q、R
三点共线时，
BQ?QF?BQ?QR
最小，此时Q
点的纵坐标为1，代入y
2
=4x得x=
1
，
4
∴Q(
1
,1
)
4
点评：这是
利用定义将“点点距离”
与“点线距离”互相转化的一个典型例
题，请仔细体会。
例
2、F是椭圆
x
2
y
2
??1
43
的右焦点，y
A
F
0
′
F
P
H
x
A(1
,1)为椭圆内一定点，P为椭圆
上一动点。
（1）
PA?PF
的最小值为
（2）
PA?2PF
的最小值为
分析：P
F为椭圆的一个焦半径，常需
将另一焦半径
PF
?
或准线作出来考虑问
题。
解：（1）4-
5
设另一焦点为
F
?
，则
F
?
(-1,0)连
A
F
?<
br>,P
F
?
PA?PF?PA?2a?PF
?
?2a?(PF
?
?PA)?2a?AF
?
?4?5
当P是
F
?
A的延长线与椭圆的交点时,
PA?PF
取得最小值为4-
5
。
（2）3
作
出右准线l，作PH⊥l交于H，因
a
2
=4，b
2
=3，c
2
=1， a=2，c=1，e=
1
，
2
PH,即2PF?PH
∴
PF?
1
2
∴
PA?2PF?PA?PH
当A
、P、H三点共线时，其和最小，
最小值为
a
2
?x
A
?4
?1?3
c
例3、动圆M与圆C
1
:(
x+1)
2
+y
2
=36内
切,与圆C
2
:(x-
1)
2
+y
2
=4外切,求圆心M的
轨迹方程。
分析：作
图时，要注意相切时
的“图形特征”：两个圆心与切
点这三点共线（如图中的A、M、
C共线，B、D、M共线）。列式的主要
途径是动圆的“半径等于半径”（如图
中的
M
C?MD
）。
解：如图，
MC?MD
，
∴
AC?MA?MB?DB即6?MA?MB?2
∴
MA?MB?8
（*）
y
M
D
C
5
x
A
0
B
∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=
4，
c=1，b=15轨迹方程为
2
x
2
y
2
??
1
1615
点评：得到方程（*）后，应直接利
用椭圆的定义写出方程，而
无需再用距
离公式列式求解，即列出
(x?1)
2
?y
2
?
(x?1)
2
?y
2
?4
，再移项，平方，…
相当于将椭圆
标准方程推导了一遍，较
繁琐！
例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且
3
sinC-
sinB=
5
sinA,求点A的轨迹方程。
分析：由于sinA、sinB、si
nC的关系
为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接
圆半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=
3
5
sinA
3
2RsinC-2RsinB=
5
·2RsinA
3
∴
AB?AC?
5
BC
即
AB?AC?6
（*）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉
顶点）
∵2a=6，2c=10
∴a=3， c=5， b=4
所求轨迹方程为
x
2
y
2
??1
916
（x>3）
点评：要注意利用定义直接解题，这
里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支）
例5、定长为3的线段AB的两个端
点在y=x
2<
br>上移动，AB中点为M，求点
M到x轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设
点，
如设A(x
1
,x
1
2
)，B(x
2
，X
2
2
)，又设AB中
点为M(x
0
y
0
)用弦长公式及中点公式得
出y
0
关于x
0
的函数表达式，再用函
数
思想求出最短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线
距离”，可先考虑M到准
线的距离，想
到用定义法。
解法一：设A(x
1
，x
1
2
)，B(x
2
，x
2
2
)，
AB中点M(x
0
，y
0
)
则
22
?
(x1
?x
2
)
2
?(x
1
2
?x
2
)?9
?
?
x
1
?x
2
?2x
0
?
22
?
x
1
?x
2
?2y
0
①
②
由①得(x
1
-x
2
)2
[1+(x
1
+x
2
)
2
]=9
即[(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
]·[1+(x
1
+x
2
)
2
]=9 ④
由②、③得2x
1
x
2
=(2x
0
)
2<
br>-2y
0
=4x
0
2
-2y
0
代入④得
[(2x
0
)
2
-(8x
0
2
-4y
0
)]·[1+(2x
0
)
2
]=9 ∴
4y
0
2
?4x
0
?
9
2
1?4x
0
，
2
4y
0
?4x
0?
99
2
?(4x?1)??1
0
22
4x
0
4x
0
?1
≥
29?1?5,
y
0
?
5
4
2
2
当4x
0
2
+1=3 即
x
0<
br>??
时，
(y)
0min
?
5
4
此
时
M(?
25
,)
24
法二：如图，2MM
∴
MM
∴
2
2
?AA
2
?BB
2
?AF?BF?AB?3
B
?
3
2
，
即
MM
1
?
13
?
42
，
A
A
1
A
2
y
M
5
MM
1
?
4
， 当AB经过焦点F
0
M
1
M
2
B
1
B
2
x
时取得最小值。
∴M到x轴的最短距离为
5
4
点评：解法一是列出方程组，利用整
体消元思想消x
1
，x
2
，从而形成y
0
关于x
0
的函数，这是一种“设而不求”的方
法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地将中点M到x轴的距离转
化为它到准线的距离，再利用梯形的中
位线，转化为A、B到准线的距离和，
结合定义与三角形中两边之和大于第
三边（当三角形“压
扁”时，两边之和
等于第三边）的属性，简捷地求解出结
果的，但此解法中有缺点，即没有验证
AB是否能经过焦点F，而且点M的坐
标也不能直接得出。
例6、已知椭圆
x
2
y
2
??1(2?m?5)
mm?1
过其左焦
点且斜率为1的直线与椭圆及准线从
左到右依次变于A、B、C、D、设
f(m)=
A
B?CD
,（1）求f(m),（2）求f(m)
的最值。
分析：此
题初看很复杂，对f(m)的结
构不知如何运算，因A、B来源于“不
同系统”，A在准线上，
B在椭圆上，同
样C在椭圆上，D在准线上，可见直接
求解较繁，将这些线段“投影”到x轴<
br>上，立即可得防
f(m)?(x
B
?x
A
)2?(x
D
?x
C
)2?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?X
C
)
y
C
F
1
0
F
2
D
?
?
2(x
B
?x
C
)?(
x
A
?x
D
)
A
B
x
2(x
B
?X
C
)
此时问题已明朗化，只需用韦达定理
即可。
解：（1）椭圆
x
2<
br>y
2
??1
mm?1
中，a
2
=m，b
2<
br>=m-1，
c
2
=1，左焦点F
1
(-1,0
)
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即
(m-1)x
2
+my
2
-m(m-1)=0
得(m-1)x
2
+m(x+1)
2
-m
2
+m=0
∴(2m-1)x
2
+2mx+2m-m
2
=0
2m设B(x
1
,y
1
),C(x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=-
2m
(2?m?5)
<
br>?1
f(m)?AB?CD?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?x
C
)
2m
?2(x
1
?x
2)?(x
A
?x
C
)?2x
1
?x
2
?2?
2m?1
（2）
f(m)?2
2m?1?11
?2
(1?)
2m?12m?1
∴当m=5时，
f(m)
min
?
102
9
当m=2时，
f(m)
max
?
42
3
点评：此题因最终需求
x
B
?x
C
，而BC
斜率
已知为1，故可也用“点差法”设
BC中点为M(x
0
,y
0
),通
过将B、C坐标代
y
??k?0
，将y
0
=x
0
+
1，k=1入作差，得
x
mm?1
00
代入得
x
B
?x
C
??
x
0
x
0
?1
??0
mm?1
，∴
x
0
??
m
2m?1
，可见
2m
2m?1
AB?CD
当然，解本题的关键在于对
f(m)?<
br>的认识，通过线段在x轴的“投影”发
现
f(m)?x
【同步练习】
B
?x
C
是解此题的要点。
x<
br>1、已知：F
1
，F
2
是双曲线
a
2
2y
2
?
2
?1
b
的左、
右焦点，过F
1
作直线交双曲线左支于点
A、B，若
AB?m
，△ABF<
br>2
的周长为（ ）
A、4a B、4a+m
C、4a+2m D、4a-m
2、若点P到点F(4,0)的距离比它
到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨
迹方程是
（
）
A、y
2
=-16x B、y
2
=-32x
C、y
2
=16x D、y
2
=32x
3、已知△ABC的三边AB、BC、AC
的长依次成等差数列，且
AB?AC
，点B
、
C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶
点A的轨迹方程是（
）
A、
x
2
y
2
??1
43
B、
x
2
y
2
??1(x?0)
43
D、C、
x
2
y
2
??1(x?0)
43
x
2
y
2
??1(x?0且y?0)
43
4、过原点的椭
圆的一个焦点为F(1，
0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹
方程是
（ ）
A、
19
(x?)
2
?y
2?(x??1)
24
B、
19
(x?)
2
?
y
2
?(x??1)
24
D、C、
19
x
2
?(y?)
2
?(x??1)
24
1
9
x
2
?(y?)
2
?(x??1)
24
x
2
y
2
??1
916
5、已知双曲线上一点M的横坐标为4，则点M到左焦点的距离是
6、抛物线y=2x
2
截一组斜率为2的平
行直线，所得弦中点的轨迹方程是
7、已知抛物线y
2
=2x的弦AB所在直
线过定点p(-2，0)，则弦A
B中点的轨
迹方程是
8、过双曲线x
2
-y
2
=4的焦点且平行于
虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x
2
-y
2
=1的
交点个数
只有一个，则k=
10、设点P是椭圆
x2
y
2
??1
259
上的动点，
F
1
，F
2
是椭圆的两个焦点，求sin∠F
1
PF
2
的最大值
。
11、已知椭圆的中心在原点，焦点在
x轴上
，左焦点到坐标原点、右焦点、
右准线的距离依次成等差数列，若直线
l与此椭圆相交于A、B
两点，且AB中
点M为(-2，1)，
AB?43
，求直线l的方
程和椭圆方
程。
12、已知直线l和双曲线
x
2
y
2
??1(a?0,b?0)
a
2
b
2
及其渐近线的交点从左到右依次为A、
B、C、D。求证：
AB?CD
。
1、C
【参考答案】
AF
2
?AF
1
?
2a,BF
2
?BF
1
?2a
，
选C ∴
AF<
br>2
?BF
2
?AB?4a,AF
2
?BF
2
?AB?4a?2m,
2、C
点P到F与到x+4=0等距离，P点轨
迹为抛物线
p=8开口向右，则方程为
y
2
=16x，选C
3、D
∵
AB?AC?2?2
，且
AB?AC
∵点A的轨迹为椭
圆在y轴右方的部
分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，
故选D。
4、A
设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，
2y)，则
原点到两焦点距离和为4得
1?(2x?1)
2
?(2y)
2
?4<
br>，∴
(x?
1
)
2
2
?y
2
?9
4
①又c
2
?y
2
?2
∴(x-1)
2
+y
2
<4
②，由①，②得x≠-1，
选A
5、
29
3
左准线为x
=-
9
，M到左准线距离为
5
929
d?4?(?)?
55
ed?
52929
??
353
则M到左焦点的距离为
1
(y?)
6、
x?
1
22
设弦
为AB，A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2)AB
中点为(x，y)，则y
1
=2x
1
2
，y2
=2x
2
2
，
y
1
-y
2
=2(x
1
2
-x
2
2
)
?y
∴
y
x?x
1
1
2
?2(x
1
?x
2)
2
∴2=2·2x，
x?
1
2
21
将
x?
1
代入y=2x得
y?
，轨迹方程是
22
x?
1
2
(y>
1
)
2
7、y
2
=x+2(x>2)
设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，AB中点M(x，
y)
，则
22
y
1
2
?2x
1
,y
2
?2x
2
,y
1
2
?y
2
?2(x
1<
br>?x
2
),
y
1
?y
2
?(y
1<
br>?y
2
)?2
x
1
?x
2
∵k
AB
?k
MP
?
y?0
x?2
y
2
?2y?2
，即y=x+2 ，∴
x?2
又弦中点在已知抛物线内P，即y
2
<2x，即x+2<2x，∴x>2
8、4
a<
br>2
?b
2
?4,c
2
?8,c?22
，令
x
?22
代入方程得
8-y
2
=4
∴y
2
=4，y=±2，弦长为4
9、
?2或?1
y=kx+1代入x
2
-y
2
=1得x
2
-(kx+1
)
2
-1=0
∴(1-k
2
)x
2
-2kx-2=0
①
?1?k
2
?0
?
?
??0
得4k
2
+
8(1-k
2
)=0，k=
?2
②1-k
2
=0得k=±1
y
10、解：a
2
=
25，b
2
=9，c
2
=16
P
设F
1
、F
2
为左、右焦点，则F
1
(-4，0)F
2
(
4，
①
0)
x
F
1
F
2
设
P
F?r,PF
112
?r
2
,?F
1
PF
2
?
?
r?r?2
?
则
?
?
r?r?2rrcos
?
?(2c)
12
?
1
22
2
2
12
①
2
-②得2r
1
r
2
(1+cosθ)=4b
2
∴1+cosθ=4b
2
2b
2
?
2r
1
r
2
r
1
r
2
∵r
1
+r
2
?2r
1
r
2
，
∴r
1
r
2
的最大值为a
2
∴1+co
sθ的最小值为
?
18
25
2b
2
a
2
，
即1+cosθ
0?
?
?
?
?arccos
7<
br>25
7
cosθ
??
25
，
则当
?
?
?
时，
2
sinθ取值得最大值1，
即sin∠F
1
PF
2
的最大值为1。
11、设椭圆方程
为
由题意：C、2C、
∴
a
2
4c?c??c即a
2
?2c
2
c
x
2
y
2
??1(a?b?0)a
2
b
2
a
2
?c
c
成等差数列，
，
∴
a
2
=2(a
2
-b
2
),∴a
2
=2b
2
椭圆方程为
x
2
y
2
?
2<
br>?1
2
2bb
，设A(x
1
，y
1
)，B(
x
2
，
y
2
)
则
x
22
1y
2b
2
?
1
b
2
?1
①
x
22
2
2b
2
?
y
2
b
2?1
②
①-②得
x
2
x
22
1
?<
br>2
y
2
1
2b
2
?
?y
2
b
2
?0
∴
x
m
2b
2
?y
m
b
2
?k?0
即
?2
2
?k?0
∴k=1
直线AB方程为y-1=x
+2即y=x+3，
入椭圆方程即x
2
+2y
2
-2b
2<
br>=0
x
2
+2(x+3)
2
-2b
2
=0
∴3x
2
+12x+18-2b
2
=0
AB?x
1
1
?x
2
1?1?
3
12
2
?12(18
?2b
2
)2?43
代
得
，
解得b=12， ∴椭圆方程为
直线l方程为x-y+3=0
2<
br>x
2
y
2
??1
2412
，
12、证明：设
A(x
1
，y
1
)，D(x
2
，y
2
)，
AD中点为M(x
0
，y
0
)直线l的斜率为k，
则 ?
x
1
2
y
1
2
??1
?
?
a
2
b
2
?
22
?
x
2
?
y
2
?1
?
?
a
2
b
2
①
①-②得
2
a
x
12200
0
2
?
2y
0
?k?0
2b
③
设
B(x
?
,y
?
),C(x
?
,y
?
),BC中点为M
?
(x
?
,y
?
)
，
1
则
④
<
br>④-⑤得
2
a
x
?
?
2
b
y
?k?0
⑥
1
2
1
0
2
?
x
1
2
y
1
2
?
1
2
?
1
2
?0
?
ab
?
1
22
y
1
?
x
22
?
2
?0
?
b
?
a
2
2x2y
??k?0
由③、⑥知M、
M
?
均在直线l
?
:
ab
22
上，而M、
M
?
又在
直线l上 ，
若l过原点，则B、C重合于原点，
命题成立
若l与x轴垂直，则由对称性知命题
成立
若l不过原点且与x轴不垂直，则
与
M
?
重合
∴
AB?CD
M