排列组合高中数学吗-昂立 高中数学 辅导资料
90题突破高中数学圆锥曲线答案及解析(一)
1.解:(1)易知
b?3?b
2
?3,又F(1,0)
?c?1?a
2
?b
2
?c
2
?4
x
2
y
2
?椭圆C的方程为??1
43
(2)
?F(1,0),k?(a
2
,0)
先探索,
当m=0时,直线L⊥ox轴,则ABED为矩形,由对称性知,AE与BD相
a
2
?
1a
2
?1
,0)
。猜想:当m变化时,AE与BD相交于定点
N(
,0)
交于FK中点N ,且
N(
22
证明:设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),E(a
2
,y
2
),D(a
2
,y
1
)
,
当m变化时首先AE过定点N
?
x?my?1
2222222
?
?
22
即(a?bm)y?2mby?b(1?a)?0....8分
2222
?
bx?ay?ab?0
??4a
2
b
2
(a
2<
br>?m
2
b
2
?1)?0(
?
a?1)
?y<
br>1
?y
2
又K
AN
?
2
,K
EN<
br>?
a?11?a
2
?my
1
22
a
2
?1
(y
1
?y
2
)?my
1
y
22
而K
AN
?K
EN
??0
1?a
2
a
2
?1
(?my
1
)
22
a
2
?1
(这是
?
(y
1
?y
2
)?my
1<
br>y
2
2
a
2
?12mb
2
b
2(1?a
2
)
??(?
2
)?m?
222
2a
?mba?m
2
b
2
(a
2
?1)?(mb
2?mb
2
)
??0)
222
a?mb
∴K
AN
=K
EN
∴A、N、E三点共线
同理可得B、N、D三点共线
a
2
?1
,0)
∴AE与
BD相交于定点
N(
2
(文)解:(1)易知
b?3?b
2
?3,又F(1,0)
?c?1?a?b?c?4
222
x
2
y
2
?1
?椭圆C
的方程为?
43
(2)(文)
?F(1,0),k?(a,0)
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2<
br>),E(a
2
,y
2
)
2
?
x?
my?1
?
?
22
即(a
2
?b
2
m2
)y
2
?2mb
2
y?b
2
(1?a
2
)?0
2222
?
bx?ay?ab?0
??4a
2
b
2
(a
2
?m
2
b2
?1)?0(
?
a?1)
1
又K
AN
?
而K
AN
?y
1
?y
2
,
K?
EN
a
2
?11?a
2
?my
1
22
a
2
?1
(y
1
?y
2
)?m
y
1
y
2
2
?K
EN
??0
1?a
2
a
2
?1
(?my
1
)
22
a
2
?1
(
这是?
(y
1
?y
2
)?my
1
y
2
2
a
2
?12mb
2
b<
br>2
(1?a
2
)
??(?
2
)?m?
2
2a?m
2
b
2
a?m
2
b
2(a
2
?1)?(mb
2
?mb
2
)
??0)
222
a?mb
????????
∴K
AN
=K
EN
∴A、N、E三点共线
?AN?
?
NE
2.解:(1)
?AM?2AP,NP?AM?0.
∴NP为AM的垂直平分线, ∴|NA|=|NM|
又
?|CN|?|NM|?22,
?|CN|?|AN|?22?2.
∴动点N的轨迹是以点C(-1,0),A(1,0)为焦点的椭圆
且椭圆长轴长为
2a?22,焦距2c?2.
?a?2,c?1,b
2
?1.
x
2
?y
2
?1.
∴曲线E的方程为
2
x
2
2
(2)当直线GH斜率存在时,设直线GH方程为
y?kx?2,代入
椭圆方程?y?1,
2
13
?k
2
)x
2
?4kx?3?0.
由
??0得k
2
?.
22
?4k3
设
G(x
1
,y
1
),H(x
2
,y
2
),则x
1
?x
2
?
又
?
FH?
?
FH,
,x
1
x
1
?
11
?k
2
?k
2
22
得
(
2
?(x
1
,y
1
?2)?
?
(x
2,y
2
?2)
?x
1
?
?
x
2
,
?x
1
?x
2
?(1?
?
)x
2
,x
1x
2
?
?
x
2
?(
x
1<
br>?x
2
2
xx
?4k
2
3
2
)?x
2
?
12
()?,
11
1?
??
?k
2
?k
222
?
(1?
?
)
2
1616
3
16
(1?
?
)
2
2
?4??.
?
整理得
?k?,
3
1
3
2
?
?3
3(
2
?1)
2
2k
2k
2
1611
.解得?
?
?3.
又
?0?
?
?1,
??
?
?1.
?
333
11
又当直线GH斜率不存在,方程为
x?0,FG?FH,
?
?.
33
11
??
?<
br>?1,
即所求
?
的取值范围是
[,1)
33
?4?
?
??2?
3.
解:⑴设Q(
x
0
,0),由F(-c,0)
(0,b)知
FA?(c,b),AQ?(x
0
,?b)
1
b
2
8b
2
5
8
,y
1
?b
?FA?AQ,?cx
0
?b?0,x
0
?
设
P(
x
1
,y
1
),由AP?PQ
,得
x
1
?
13c13
5
c
2
8b
2
2
5
()(b)
2
13c
?
13
?1
因为点P在椭
圆上,所以
22
ab
整理得2b=3
a
c,即2(
a
-c)=3
a
c,
2e
2
?3e?2?0
,故椭圆的离心
率
e
=
222
1
2
b
2
3⑵由⑴知
2b?3ac,得?a;
c2
2
又
13
c11
, Q
(a,0)
?,得c?a
,于是F(-
a
,0)
22
a22
1
|a?5|
11
△AQF的外接圆圆心
为(
a
,0),半径r=|FQ|=
a
所以
2
?a,解得
a
=2,∴c=1,b=
3
,
22
2
x
2
y
2
??1
所求椭圆方程为
43
x
2
y
2
??1
4.(1)椭圆的方程为
42
(2)解: 过圆
x
2
?y
2
?t
2
上的一点M(2,
2
)处的切线方程为2x+
2y-6=0.
令
Q
1
(x
1
,y
1
)
,
Q
2
(x
2
,y
2
)
,
则
?
?
2x?2y?6?0
?
222
?
?
x?2y?2b
化为5x-24x+36-2b=0,
由⊿>0得:
b?
3
22
10
5
2436?2b
2
18?4b
2
x
1
?x
2
?,x
1
x
2
?,y
1
y
2
?2x
1
x
2
?6(x
1
?x
2
)?18?
55
5
由
OQ
1
?OQ
2
知,
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0?
即b=3∈(
310
,+∞),故b=3
5
22
5.解:(1)根据椭圆的定义,可知动点M
的轨迹为椭圆,其中
a?2
,
c?3
,则
b?a?c
?1
.
b
2
?9
,
x
2
所以动点M
的轨迹方程为
?y
2
?1
.
4
(2)当直线
l
的斜率不存在时,不满足题意.
当直线
l
的斜率存在时,设直线
l
的方程为
y?kx?2
,设
C(
x
1
,y
1
)
,
D(x
2
,y
2
)
,
????????
∵
OC?OD?0
,∴
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
. ∵<
br>y
1
?kx
1
?2
,
y
2
?kx<
br>2
?2
,
3
∴
y
1<
br>y
2
?k
2
x
1
?x
2
?2k(x
1
?x
2
)?4
.∴
(1?k
2
)x<
br>1
x
2
?2k(x
1
?x
2
)?4?0.… ①
?
x
2
2
16k12
?
?y?
1,
22
由方程组
?
4
得
?
1?4k
?<
br>x?16kx?12?0
.则
x
1
?x
2
?
,,代入
x?x?
12
22
1?4k1?4k
?
y?kx?
2.
?
①,得
1?k
2
?
??
1?
12
4k
2
?2k?
16k
?4?0
.
1?4k
2
即
k
2
?4
,解得,
k?2
或
k??2
.所以,直线
l
的方程是
y?2x?2
或
y??2x?2
.
6.
解:(Ⅰ)设F、B、C的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),则FC、BC的中垂线分别为
1?c
?
x?,
?
1?c
b11
?
2,
y??(x?)
.联立方程组,解出
?
x?
22b2
2
?
y?
b?c
.
?
2b
?<
br>1?cb
2
?c
(b-c)>0,∴ b>c.
m?n???0<
br>,即
b?bc?b
2
?c?0
,即(1+b)
22b
从而
b
2
?c
2
即有
a
2
?2c
2
,∴
e
2
?
2
1
.又
e?0
,
∴
0?e?
.
2
2
(Ⅱ)直线AB与⊙P不能相切.由
k
AB
?b
,
k
PB
b
2
?c
b?
b
2
?c
2b
?
=.
1?c
b(c?1
)
0?
2
b
2
?c
如果直线AB与⊙P相切,则
b
·=-1.
b(c?1)
解出c=0或2,与0<c<1矛盾,所以直线AB与⊙P不能相切.
xx
43
,t)(t?R),A(x
1,
y
1
),B(x
2
,y
2
),则MA的方程为
1
?y
1
y
?1
34
3
3
∵点M在MA上∴
x
1
?
ty
1
?1
①
同理可得
x
2
?ty
2
?1
②
3
33
由①②知AB的方程为
x?ty?1,即x?3(1?ty)
3易知右焦点F(
3,0
)满足③式,故AB恒过椭圆C的右焦点F(
3,0
)
7.【解】(1)设M
(
x
2
?y
2
?1,
化简得7y?6y?1?0
(2)把AB的方程
x?3(1?y)代入
4
4
3
||
23
36?2816
?
又M到AB的距离
d?
3
?
∴
|AB|?1?3?
3
77
1?3
∴△ABM的面积
S?
1163
?|AB|?d?
221
y
8. 【解】(Ⅰ)点A代入圆C方程,
得
(3?m)
2
?1?5
.∵m<3,∴m=1.
圆C:
(x?1)
2
?y
2
?5
.设直线PF
1
的斜率为k,
F
4
1
O
C
Q
AF
2
P
x
则PF
1
:
y?k(
x?4)?4
,即
kx?y?4k?4?0
.
∵直线PF
1
与圆C相切,∴
|k?0?4k?4|
k?1
2
?5
.
解得
k?
当k=
当k=
111
,或k?
.
22
1136
时,直线PF
1
与x轴的交点横坐标为,不合题意,舍去.
211
1
时,直线PF
1
与x轴的交点横坐标为-4,∴c=4.F
1
(-4,0),F
2
(4,0).
2
22
x
2
y
2
?1
. 2a=AF1
+AF
2
=
52?2?62
,
a?32
,a
=18,b=2.椭圆E的方程为:
?
182
????????????????(Ⅱ)
AP?(1,3)
,设Q(x,y),
A
,
AP?AQ?
(x?3)?3(y?1)?x?3y?6
.
Q?x(?,3y?)1
x
2
y
2
?1
,即
x
2
?(3y)
2
?18
,而
x
2
?(3y)
2
≥2|x|?|3y|
,∴-18≤6xy≤18. ∵
?
182
则
(x?3y)
2?x
2
?(3y)
2
?6xy?18?6xy
的取值范围是[0
,36].
x?3y
的取值范围是[-6,6].
????????
∴AP?AQ?x?3y?6
的取值范围是[-12,0].
x
2
y2
9.【解】(1)依题意,设椭圆方程为
2
?
2
?1(a?b
?0)
,则其右焦点坐标为
ab
F(c,0),c?a
2
?b
2
,由
|FB
|?
2
,得
(c?2)
2
?(0?2)
2
?2,
即
(c?2)
2
?2?4
,解得
c?22
。
22
xy
222
??1
。 又 ∵
b?2
,∴
a?c?b?12
,即椭圆方程为
124
(2)由
|AM|?
|AN|
知点
A
在线段
MN
的垂直平分线上,
?
y?kx?2
?
2
由
?
x
消去
y
得
x
2
?3(kx?2)
2
?12
即
(1?3k
2
)x
2
?12kx?0
(*)
y
2
?1
?
?
?
124
22
由
k?0
,得方程(*)的
??(?12k)?144k?0
,即方程(*)有两个不相
等的实数根。
设
M(x
1
,y
1
)
、
N
(x
2
,y
2
)
,线段
MN
的中点
P(x
0
,y
0
)
,
则
x
1
?x2
?
x
1
?x
2
12k
6k
x??<
br>,,
?
0
2
2
2
1?3k
1?3k
6k
2
?2(1?3k
2
)
6k?2
?2
P(,
)
?
,即
?
y
0
?kx
0
?2?
22
22
1?3k1?3k
1?3k1?3k
5
?2
?2
2
?2?2(1?3k
2)
1?3k
,
?k?0
,∴直线
AP
的斜率为
k
1
??
6k
6k
1?3k
2
?2?2(1?3
k
2
)
?k??1
,
由
AP?MN
,得
6k
∴
2?2?6k?6
,解得:k??
又
0?
?
?
?
,故
?
?
2
33
,即
tan
?
??
,
33
5
?
?
5
?
,∴ 存在直线
l
满足题意,其倾斜角
?
?
,或
?
?
。
666
?
b?2
a?b6
即
?
6a
2
?9a
2
?9b
2
?
?
a3
22
?
6
,或
?
?
?
b?2
?
10.【解】(1)设
c?a
2
?b
2<
br>,依题意得
?
c
e??
?
a
?
22
xy
22
??1
。 ∴
a?3b?12
,即椭圆方程为
124
(2)
?
MP?PN,AP?MN?0
∴
AP?MN
,且点
P
线段
MN
的中点,
?
y?kx?2
?
2
由
?
x
消去
y
得x
2
?3(kx?2)
2
?12
即
(1?3k
2
)x
2
?12kx?0
(*)
y
2
?1
?
?
?
124
22
由
k
?0
,得方程(*)的
??(?12k)?144k?0
,显然方程(*)有两个不相
等的实数根。
设
M(x
1
,y
1
)
、
N
(x
2
,y
2
)
,线段
MN
的中点
P(x
0
,y
0
)
,
则
x
1
?x2
?
x
1
?x
2
12k
6k
x??<
br>,
?
0
2
2
1?3k
2
1?3k
6k
2
?2(1?3k
2
)
6k?2
?2
P(,)
?
∴
y
0
?kx
0
?2?
,即
1?3k
2
1?3k
2
1?3k
2
1?3k<
br>2
?2
?2
2
?2?2(1?3k
2
)
1?
3k
?k?0
,∴直线
AP
的斜率为
k
1
?
,
?
6k
6k
1?3k
2
?2?2(1?3k
2
)
3
?k??1
, ∴
2?2?6k
2
?6
,解得:
k??
由
MN?AP
,得,
6k
311.【解】(1)当
e?
33
时,∵
a?1
,∴
c?
,
22
6
∴
b?a?c?1?
222
3111
3
?
,
b?
,点
B(0,),
F(?,0)
,
C(1,0)
4422
2
y
B(0,b)
设
?P
的方程为
(x?m)
2
?(
y?n)
2
?r
2
由
?P
过点F,B,C得
∴
m?(?n)?r
-----------------①
2
1
2
22
x
A(-1,0)
F(-c,0)
o
C(1
,0)
(m?
3
2
)?n
2
?r
2
---
--------------②
2
(1?m)
2
?n
2
?r
2
-------------------③
5
2?31?23
2
,
n?
,
r?
4
44
由①②③联立解得
m?
∴所求的
?P
的方程为<
br>(x?
2?3
2
1?23
2
5
)?(y?)?
444
(2)∵
?P
过点F,B,C三点,∴圆心P既在FC的垂直平分
线上,也在BC的垂直平分线上,FC的垂直平分线方
1?c1b
--------④
∵BC的中点为
(,)
,
k
BC
??b
222<
br>b11
∴BC的垂直平分线方程为
y??(x?)
-----⑤
2b
2
程为
x?
1?cb
2
?c
1?cb
2
?
c
,n?
,y?
由④⑤得
x?
,即
m?
22b
22b
1?cb
2
?c
??0
?
(1?b)
(b?c)?0
∵P
(m,n)
在直线
x?y?0
上,∴
22b
22
∵
1?b?0
∴
b?c
由
b?1?c
得
b?
2
1
2
∴椭圆的方程为
x?2y?1
12.【解】(Ⅰ)证明:设直
线
l
与曲线
C
的交点为
A(x
1
,y
1<
br>),B(x
2
,y
2
)
2222
?
|OA|?|OB|
∴
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
即:
x
1
?y
1
?x
2
?y
2
2222
22
∴
x
1
?x
2
?y
2
?y
1
?
A,B
在
C
上 <
br>2222
xyxy
∴
1
2
?
1
2
?
1
,
2
2
?
2
2
?1
ab
ab
∴两式相减得:
x
1
?x
2
<
br>22
2222
a
2
a
2
22
?
2<
br>(y
2
?y
1
)
∴
2
?1
即:
a
2
?b
2
b
b
7
∴曲线
C
是一个圆
(Ⅱ)设直线
l
与曲线
C
的交点为
A(x
1
,y
1
),B(x2
,y
2
)
,
?
a?b?0
∴曲线
C
是焦点在
x
轴上的椭圆
?
OA?OB
∴
y
1
y
2
???1
即:
y
1
y
2
??x
1
x
2
x
1
x
2
将
y?x?1
代入
b
2
x
2
?a
2
y
2
?a
2
b
2
?0
整理得:
(b
2
?a
2
)x
2
?2a
2
x?a
2
?a
2
b
2
?0
2a
2
a
2
(1?b
2
)
∴
x
1
?x
2
??
2
,<
br>x
1
?x
2
?
a?b
2
a2
?b
2
?
A,B
在
l
上 ∴
y
1
?y
2
?
(
x
1
?
1)(<
br>x
2
?
1)
?x
1
?x
2
?x1
?x
2
?
1
又
?y
1
y
2
??x
1
x
2
∴
2x
1
?x
2
?x
1
?x
2
?
1?0
a
2
(1?b
2
)2a
2
?(?
2
)?1?0
∴
a
2
?b
2<
br>?2a
2
b
2
?0
∴2
?
222
a?ba?b
∴
a
2
?a
2
?c
2
?2a
2
(a
2
?c2
)?0
∴
2a?2a?c?2ac?0
4
2222
2a
2
(a
2
?1)c
2
2(a
2
?1)1
2
e???1?
∴
c?
∴
2222
2a?1a2a?12a?1
2
?
a?[
1
13
61023
?[,]
e?[,
]
∴
2a
2
?1?[2,4]
∴
1?
2
,]
2a?1
24
2222
13.【解】(1)由题设知
F
1
(?a
2
?2,0),F
2
(a
2
?2,0)
由于
AF
2
?F
1
F
2
?0
,则
有
AF
2
?F
1
F
2
,所以点A的坐标为
(a?2,?
故
AF
1
所在直线方程为
y??(
2
2
)
,
a
1
?)
,
aa
2
?
2
a
x
a
2
?2
所以坐标原点O到直线
AF
(a?2)
,
1
的距离为
a
2
?1
a
2
?21
又
|OF
1
|?a?2
,所以
?
2
a?13
2
a
2
?2
,解得
a?2(a?2)<
br>,
x
2
y
2
??1
. 所求椭圆的方程为
42
(2)由题意知直线l的斜率存在,设直线l的方程为
y?k(x?1)
,则有<
br>M(0,k)
,
8
设
Q(x
1
,y
1
)
,由于
MQ?2QP
,∴
(x
1
,y
1
?k)?2(?1?x
1
,?y
1
)
,解得
x
1
??
2k
,y
1
?
33
2k
(?)
2
()
2
3
?
3?1
,解得
k??4
, 故直线l的方程为
y?4(x?1)
或
y??4(x?1)
,又Q在椭圆C上,得
42
即
4x?y?4?0
或
4x?y?4?0
.
14.
【解】(I)由题意可设抛物线的方程为
x
2
??2py(p?0)
,
∵过点
p(x
0
,y
0
)(x
0
?0)
的切线方程为
y?y
0
?2ax
0
(x
?x
0
)
,
?y
?
|
x?x
0
??
?p??
1
.
∴抛物线的方程为
y?ax
2
(a?0).
2a
(
II)直线PA的方程为
y?y
0
?k
1
(x?x
0
)
,
2
?
y?ax,
?
<
br>?ax
2
?k
1
x?k
1
x
0
?y
0
?0,
(x?
0
x).
0
?k
1
?
y?y
x
0
?2ax
0
,
p
?x
A
?x
0
?
k
1
k
,x
A
?
1
?x
0
.
aa
k
2
?
k
1
x?k
2?
?
?k
1
,
B
x???.
?x
0<
br>.
?k
2
?
?
k
1
?0,
0
a
a
?????????
又
BM?
?
MA(
?
?0,
?
??1),
?
x
A
?x
B
?x
M
?x<
br>B
?
?
(x
A
?x
M
),x
M???x
0
.
∴线段PM的中点在y轴上.
1?
?
(III)由
?
?1,P(1,?1),可知a??1.
?A(?k
1
?1,?(k
1
?1)
2
),B(k
1
?1,
?(k
1
?1)
2
).
????????
2
?
???
AP(2k
1
).
∵∠PAB为钝角,且P,
A, B不共线,
?
?
????
?k
1
,k
1<
br>?2k
1
),AB?(2k
1
,4
?AP?AB?0.
即
(2?k
1
)?2k
1
?(k
1
2
?2k
1
)?4k
1
?0.
同理,可得
x
B
?
?k
1
(2k
1
2
?5k
1
?2)?0.
2
1
?k
1
?0,?2k?5k
1<
br>?2?0.
?k
1
??2,或?
1
?k
1
?
0.
2
又∵点A的纵坐标
y
A
??(k
1
?1)
2
,
当
?
1
?k
1
?0时,?1?y
A
??
1
.
24
∴当
k
1
??2
时,
y
A
??1
; ∴∠PAB为钝角时点A的坐标的取值范围为
(??,?1)?(?1,?
1
).
4
15.【解】(1)设
A(a,0),B(0,b),P(x,y)
?
AP?tPB,即(x?a,y)?t(?x,b?y)
????
2分
?
a?(1?t)x
?
x?a??tx
?
?
?
则<
br>?
1?t
,由题意知t?0,
?y
?
y?t(b?y)
?
b?
t
?
1?t
2
22222
?<
br>|AB|?2?a?b?4即(1?t)x?()y?4
t
x
2
y2
?点P轨迹方程C为:??1
????
4分
2
4
4t
(1?t)
2
(1?t)
2
9
9x
2
9
2
?y?1
(2)t=
2时,
C为
416
设M(x
1
,y
1
),则N?(
?x
1
,?y
1
),则MN?2x
1
2
?y
1
2
.
设直线MN的方程为y?
y
1
x,(x
1
?0)
x
1
点Q到MN距离为
3
|y
1
?
3x
1
|
h?
2
????
7分
22
x1
?y
1
?S
?QMN
3
y
1
?3x
1
|
13
22
2
??2x
1
?y
1
??|y
1
?3x
1
|
????
8分
2
2
x
1
2
?y
1
2
|
9
2
y
1
?9x
1
y
1
4
22
?
S
?
?9x
QMN1
?
9x
1
2
9y
1
2
9
又??1?9x
1
2
?y
1<
br>2
?4
4164
2
?S
?QMN
?4?9x
1
y
1
9x
1
2
9y
1
2
3x3
y9xy
而1????2?
1
?
1
??
11
416
244
??9x
2
y
1
?4
????
11分
3x3y
1
当且仅当
1
?
1
,即x
1
?
?y
1
时,等号成立
242
?S
?QMN
的最大值为22<
br>????
12分
ca
2
?b
2
3
y
2
?x
2
?1
16.解:(Ⅰ)
2b?2.b?1,e
????a?2,c?3
椭圆的方程为
4
aa2
(Ⅱ)由题意,设AB的方程为
y?kx?3
?
y?kx?3?
2
?(k
2
?4)x
2
?23kx?1?0....
.............4分
?
y
2
?
?x?1?4
x
1
?x
2
?
?23k?1
,xx?.
.................5分
12
k
2
?4k
2
?4
由已知
m?n?0
得:
x
1
x
2
y
1
y
2
1
?
?xx?(kx
1
?3)(kx
2
?3)
12
22
ba4
?(1?
k3k3
)x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)? .................6分
444
2
10
k
2<
br>?413k?23k3
?(?
2
)????0,解得k??2
4k?44k
2
?44
y
1
2
?0?y
1
2
?4x
1
2
(Ⅲ) (1)当直线AB斜率不存在时,即
x<
br>1
?x
2
,y
1
??y
2
,由
m?
n?0
得
x?
4
2
1
4x
1
2
2
又
A(x
1
,y
1
)
在椭圆上,所以
x
??1?x
1
?,y
1
?2
42
2
1<
br>s?
11
x
1
y
1
?y
2
?x1
2y
1
?1
22
所以三角形的面积为定值
(2).当直线AB斜率存在时:设AB的方程为y=kx+b
?
y?kx?b
?2kb
?
2
222
?
(k?4)x?2kbx?b?4?0得到x?x?
?
y
12
2
2<
br>k?4
?
?x?1
?
4
b
2
?4
x
1
x
2
?
2
k?4
x
1x
2
?
y
1
y
2
(kx?b)(kx
2
?b)
?0?x
1
x
2
?
1
?0代入整
理得:
2b
2
?k
2
?4
441
b
1|b|4k
2
?4b
2
?16
2
S?AB?|b|(x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?
2
2
2
1?k
2k?4
4b
2
??1
所以三角形的面积为定值.
2|b|
17.【解】
(1)F(-c,0),B(0,
3a
),∵k
BF
=
3
,
k
BC
=-
线l
1
:x+
3
u+3=0相切,
3
,C(3c,0) 且圆M的方程为(x-c)
2
+y
2=4c
2
,圆M与直
3
∴
1?c?3?0?3
1?3
x
2
y
2
?2c
,解得c=1,∴所求的椭圆方程为
??1
43
(2)
点A的坐标为(-2,0),圆M的方程为(x-1)
2
+y
2
=4,
过点A斜率不存在的直线与圆不相交,设直线l
2
的方程为y=k(x+2),
∵
MP?MQ??2
,又
MP?MQ?2
,∴cos
1
??
2
MP?MQ
MP?MQ
k?2k1
2
?1
,∴k=
?
∴∠PMQ=120°,圆心M到直线l<
br>2
的距离d=
r?1
,所以
2
2
4
k?1
所求直线的方程为x×2
2y
+2=0.
11
x
2
y
2
18.【解】(1)如图建系,设椭圆方程为
2<
br>?
2
?1(a?b?0)
,则
c?1
ab
又∵
AF?FB?1
即
2
(a?c)?(a?c)?1?a
2
?c
2
x
2
∴
a?2
故椭圆方程为
?y
2
?1
2
(2)假设存在直线
l
交椭圆于
P,Q
两点,且
F
恰为
?PQM
的垂
心,则设
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
,∵
M(0,1),F(1,0)
,故
k
PQ
?1
,
于是设直线
l
为
y?x?m
,由
?
?
y?x?m
得
22
?
x?2y?2
∵
3x
2
?4mx?2m
2
?2?
0
????????
MP?FQ?0?x
1
(x
2
?1)?
y
2
(y
1
?1)
又
y
i
?x
i
?m(i?1,2)
得
x
1
(x
2
?1)?(x
2
?m)(x
1
?m?1
)?0
即
2x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)(m?1)?m
2
?m?0
由韦达定理得
2m
2
?24m
2??(m?1)?m
2
?m?0
33
解得
m??
44
或
m?1
(舍)
经检验
m??
符合条件
33
19. 【解】
x
2
y
2
3
(1)设椭圆方程为
2
?
2
?1,因为e
?,所以a
2
?4b
2
,
ab2
161
又椭圆过点M(4,1),所以
2
?
2
?1,解得b
2
?5
,a
2
?20,
ab
x
2
y
2
故椭圆方程
为??1.
205
x
2
y
2
(2)将y?x?m代入??1
并整理得5x
2
?8mx?4m
2
?20?0.
205<
br>??(8m)
2
?20(4m
2
?20)?0,得?5?m?5.
12
(3)设直线MA,MB斜率分别为k
1
和k<
br>2
,只要证k
1
?k
2
?0.
8m4m
2<
br>?20
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x
1
?x
2
??,x
1
x
2
?.
55
y?1y
2
?1(y
1
?1)(x
2
?4)?(y
2
?1)(x
1
?4)
k
1
?k
2
?
1
??
x
1
?4x
2
?4(x
1
?4)(x
2
?4)
分子?(x
1?m?1)(x
2
?4)?(x
2
?m?1)(x
1
?
4)
?2x
1
x
2
?(m?5)(x
1
?x
2
)?8(m?1)
2(4m
2
?20)8m(m?5)
???8
(m?1)?0,
55
因此MA,MB与x轴所围的三角形为等腰三角形.
?????????
y
20.【解】 (1)设
N(x,y)
,则由
MN?2MP
得
P
为
MN
中点,所以
M(?x,0
),P(0,)
2
?????????
yy
又<
br>PM?PF
得
PM?PF?0
,
PM?(?x,?),PF?(1,?
)
,
22
所以
y
2
?4x
(
x?0
)
(2)由(1)知
F(1,0)
为曲线
C
的焦点,由抛物线定义知,抛物线
上任一点
P
0
(x
0
,y
0
)
到
F
的距离等于其到准
线的距离,即
|P
0
F|?x
0?
pppp
,所以
|AF|?x
1
?,|BF|?x
2
?,|DF|?x
3
?
,
2222
根据
|AF|,|BF|,|DF|
成等差数列,得
x
1
?x
3
?2x
2
,
直线
AD
的斜率为
y
3
?y
1
y?y
1
4
?
2
3
?
,
2
x
3
?x
1
y?y
y
3
y13
?
1
44
y
1
?y
3
(x?3)
,
4
所以
AD
中垂线方程为
y??
又
A
D
中点
(
所以点
B(1,?2)
.
x
1
?x
3
y
1
?y
3
x?x
,)
在直线上
,代入上式得
13
?1
,即
x
2
?1
,
2
22
21.【解】(1)设
P(x,y)代入|PC|?|BC|?PB?CB得(
x?1)
2
?y
2
?1?x,化简得y
2
?4x.
(5分)
(2)将A(m,2)代入y
2
?4x得m?1,?点A的坐标为(1,2)
.
(6分)
设直线DE的方程为x?my?
t代入y
2
?4x,得y
2
?4mt?4t?0,
(9分)
设D(x
1
,y
1
),E(x
2
,y<
br>2
)则y
1
?y
2
?4m,y
1
?y
2
??4t,??(?4m)
2
?16t?(0*)
?AD?AE?(x<
br>1
?1)(x
2
?1)?(y
1
?2)(y
2
?2)?x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
1?y
1
?y
2
?2(y
1
?y
2
)?4
22
y
1
2
y
2
y
1
2
y
2
???(?)?y
1
?y
2
?2(y
1
?y
2
)?5
4444
(y
1<
br>?y
2
)
2
(y
1
?y
2
)
2
?2y
1
?y
2
???y
1
?y
2<
br>?2(y
1
?y
2
)?5
164
13
(?4t)
2
(4m)
2
?2(?4
t)
???(?4t)?2(4m)?5?0化简得t
2
?6t?5?4m
2
?8m
(11分)
164
2
即t
2
?6t?9?
4m
2
?8m?4即(t?3)?4(m?1)
2
?t?3??2(m?1)
?t?2m?5或t??2m?1,代入(*)式检验均满足??0
(13分)
?直线DE的方程为x?m(y?2)?5或x?m(y?2)?1
?直线DE过定点(5,?2).(定点(1,2)不满足题意
)
(15分)
22.【解】 (1)设椭圆方程为
mx
2
?my
2<
br>?1(m?0,n?0),
将
A(?2,0)
、
B(2,0
)
、
C(1,)
代入椭圆E的方程,得
3
2
?
4
m?1,
11
x
2
y
2
?
??1
解得
m?,n?
. ∴椭圆
E
的方程
?
9
43<
br>43
m?n?1
?
?4
(2)
|FH|?2
,设?DFH
边上的高为
S
?
DFH
?
1
?2?h?h
2
当点
D
在椭圆的上
顶点时,
h
最大为
3
,所以
S
?
DFH
的
最大值为
3
.
设
?DFH
的内切圆的半径为
R
,
因为
?DFH
的周长为定值6.所以
1
R?6?S?DFH
,
2
所以
R
的最大值为
33
.所以内切圆圆心的坐标为
(0,)
33
x
2
y
2
??1
并整理. (3)法一:将直
线
l:y?k(x?1)
代入椭圆
E
的方程
43
得
(3?4k)x?8kx?4(k?3)?0
.
设直线
l
与椭圆
E
的交点
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
)
,
2222
14(k
2
?3)
,x
1
x
2
?
由根系数的关系,得
x
1
?x<
br>2
?
.
22
3?4k3?4k
直线
AM
的
方程为:
y?
y
1
(x?2)
,它与直线
x?4
的
交点坐标为
x
1
?2
p(4,
6y
1
2y
2
),
同理可求得直线
BN
与直线
x?4
的交点坐标为<
br>Q(4,)
.
x
1
?2x
2
?2
下面证明
P
、
Q
两点重合,即证明
P
、
Q
两点的纵
坐标相等:
?y
1
?k(x
1
?1),y
2
?k
(x
2
?1)
,
?
6y
1
2y
2
6k(x
1
?1)?(x
2
?2)?2k(x
2
?1)(x
1
?2)
??
x
1
?2x
2
?2(x
1
?2)(x
2
?2)
14
<
br>?
8(k
2
?3)40k
2
?
2k
?
??8
?
3?4k
2
3?4k
2
2k[2x
1<
br>x
2
?5(x
1
?x
2
)?8]
??
?0
??
(x
1
?2)(x
2
?2)(x1
?2)(x
2
?2)
因此结论成立.
综上可知.直线
AM
与直线
BN
的交点住直线
x?4
上.
法二:直线
AM
的方程为:
y?
(16分)
y
1
k(x
1
?1)
(x?2),即y?(x?2)
x<
br>1
?2x
1
?2
y
2
k(x
2
?1
)
(x?2)
,即
y?(x?2)
x
2
?2x
2
?2
由直线
AM
的方程为:
y?
由直线<
br>AM
与直线
BN
的方程消去
y
,得
x?
2(x
1
x
2
?3x
1
?x
2
)
2[2x
1
x
2
?3(x
1
?x
2
)?4
x
2
]
?
x
1
?3x
2
?4(
x
1
?x
2
)?2x
2
?4
?
4k
2
?6
?
4
?
??x
2
?
2
?
3?4k
?
?4
2
4k?6
2
??x
3?4k
2
?8(k
2
?3)24k
2
?
2
?
??4x2
?
3?4k
2
3?4k
2
??
??
2
8k
?4?2x
2
2
3?4k
∴直线
AM
与直线
BN
的交点在直线
x?4
上.
23.解:(1)焦点F
?
1,0
?
,过抛物线的焦点且倾斜角为
?
p
的直线方程是
y?x?
42
?
y
2
?2px<
br>2
p
2
p
?
2
由
?
p<
br>?x?3px?
4
?0
?x
A
?x
B
?3p
,x
A
x
B
?
4
?AB?x
A
?x
B
?p?4p
?
y?x?
2
?
( 或
AB?
2p
sin
2
?
4
?4p
)
(2)
cos?AOB?
AO?BO?AB
2AOBO
222<
br>x?y
A
?x
B
?y
B
?
?
xA
?x
B
?
?
?
y
A
?y
B
?
?
A
2222
2x
A
?y
A
x
B
?y
B
222222
????
?
?
x
x
A
x
B
?y
A
y
B
2
A
?y
A
2
??
x
2B
?y
B
2
?
?
pp
2
2x
A
x
B
?
?
x
A
?x
B
?
?
341
24
??
41
x
A
x
B
x
A
x
B
?2p
?
x
A
?x
B
?
?4p
2
??
∴
?AOB
的大小是与
p
无关的定值,
?AOB
?
?
?arccos
34
1
41
24.[解]:(1)由于点
(3,
3
(3))
在椭圆上,
2
?
2
a
2
(
3
2
)
2
?1
b
2
2
a
=4,
x
2
y
2
?1
椭圆C的方程为
?
43
焦点坐标分别为(-1,0) ,(1,0)
15
(2)设
KF
1
的中点为B(x,
y)则点
K(2x?1,2y)
x
2
y
2
?1<
br>把K的坐标代入椭圆
?
43
(2x?1)
2
(2y)
2
??1
中得
43
1
2
y
2
线
段
KF
1
的中点B的轨迹方程为
(x?)??1
3
2
4
(3)过原点的直线L与椭圆相交的两点M,N关于坐标原点对称
设
M(x
0
,y
0
)N(?x
0
,?y<
br>0
),p(x,y)
x
0
2
y
0
2
x
2
y
2
M,N,P在椭圆上,应满足椭圆方程
,得<
br>2
?
2
?1,
2
?
2
?1
abab
k
PM
?
y?y
0
x?x
0
K
PN
?
y?y
0
x?x
0
k
P
M
y?y
0
y?y
0
y
2
?y
0
2
b
2
??
?K
PN
==
?
2
x?x
0
x?x
0
x
2
?x
0
2
a
?K
PN
的值与点P的位置无关,同时与直线L无关, 故:
k<
br>PM
3c
2
a
2
?b
2
1
2
25.解:(Ⅰ)∵
e?,?e?
2
??,?2a
2
?3b
2
∵直线
l:x?y?2?0与圆x
2
?y
2
?b<
br>2
相切,
2
3ac3
x
2
y
2
??
1
∴
?b,?b?2,b?2
∴
a?3
∵椭圆C
1
的方程是
32
2
2
2
2
(
Ⅱ)∵MP=MF
2
,∴动点M到定直线
l
1
:x??1
的
距离等于它到定点F
1
(1,0)的距离,
∴动点M的轨迹是C为l
1
准线,F
2
为焦点的抛物线
∴点M的轨迹C
2
的方程为
y?4x
22
y
1
2
y
2
y
1
2
y
2
?y
1
2
,y
1
),S(,y
2
)
∴
Q
R?(,y
1
),RS?(,y
2
?y
1
)
(Ⅲ)Q(0,0),设
R(
4444
2
y
1
2
(
y
2
?y
1
2
)
?y
1
(y
2<
br>?y
1
)?0
∵
QR?RS?0
∴
16
256
16
22
∵
y
1
?y
2
,y
1
?0
,化简得
∴
y
2
??(y
1
?)
∴
y
2
?y
1
?
2
?32?2256?32?64
y
1
y
1
256
22
当且仅当
y
1
?
2
,y
1
?16,y
1
??4
时等
号成立
y
1
2
2
y
2
1
222
∵
|QS|?()
2
?y
2
?(y
2
?8)
2
?64,又?y
2
?64
44
2
∴当
y
2
?64,y
2
??8时,|QS|
min
?85,故
|QS|
的取值范围是
[85,??)
26.解(1)设直线
l<
br>与椭圆相交于
P(my
1
?c,y
1
)
,
Q
(my
2
?c,y
2
)
,因为
A
(a,0)
;
故
AP?(my
1
?c?a,y
1
)
,
AQ?(my
2
?c?a,y
2
)
,由
AP?AQ?
(m?1)y
1
y
2
?(a?c)(y
1
?y
2
)?(a?c)?
22
??
??
1
(a?c)
2
得:
2
1
(a?c)
2
①;
2
16
x
2
y
2
将
x?my?c
代入
2
?
2
?1
得:
(a
2
?b
2
m
2
)y
2
?2b
2
cmy?b
4
?0
;
ab
?
2b
2
cm
y
1
?y
2
?
2
?
22
a
2
?2
(a?c)
2
?
a?bm
2
由题意得:
?
代入①中,并化简得:
m?
2
4
b
b
?
yy??
12
?
a
2
?b
2
m
2
?
因此,
a
2
?2(a?c)
2?0
,
?
2
c2
;即椭圆的离心率的最小值为
1?;
?1?
2
a2
a
2
?2(a?c)
2a
2
?2(a?c)
2
?1?4e?2e
2
2
?
(2)由
m?
得:
m?
;
b
2
a2
?c
2
1?e
2
2
M
l
P
F
1
y
O
N
A
x
Q
l
?2?
16(4e?3)
?2?
7?6(4e?3)?(4e?3)
2
12
23
27
35
1
6
7
?(4e?3)?6
4e?3
;由于
m
是
e<
br>的单调增函数,
2
因为
e?(,)
,故
m?(,)
,
所以
m
的取值范围:
2
(?
356635
,?)?(,)
5335
y
1
a
2
(3)
AP
的方程为
y?(x?a)
;因为
x??
;
c
my
1
?c?a
故
y
M
y
1
y
2
a
2
a
2
?(??a)
,同理:
y
N
?(??a)
;
my
1
?c?acmy
2
?c?ac
y
1
y
2
a
2
所以
y
M
y
N
?(?
?a
)
2
22
c
my
1
y
2
?(a?c)m(
y
1
?y
2
)?(a?c)
b
4
??
2
(为定值)
c
17
2
7.解(1)由题意
FC,BC
的中垂线方程分别为
x?
?
1?cb
2
?c
?
于是圆心坐标为
?
?
2
,
2b
?
?
??
2
2
1?cb1
?
1?
,y??
?
x?
?
,
22b
?
2
?
1?cb
2
?c
2
?
>
0
,即
b?bc?b?c
>
0
即
?
1?b
??
b
?c
?
>
0
所
m?n
=
22b
2
以
b
>
c
, 于是
b
>
c
即
a
>
2c
,所以
e
<
(2)假设相切,
则
k
AB
?k
PB
??1
,
2
2
1
2
即
0
<
e
< <
br>2
2
b
2
?c
b?
b
2
?cbb<
br>2
?c
2b
?
k
PB
??,k
AB
??b,?k
PB
?
k
AB
???1
1?c
b(c
?1)ac?1
0?
2
2
?1?c?c?1?c,即c
2
?
2c,?c?0,?c?2
这与
0
<
c
<
1
矛盾.
故直线
AB
不能与圆
P
相切.
2
y
1
2
y
2
,y
1
),P(,y
2
),?P<
br>、M、A三点共线, 28.解:(I)设点
M(
44
,
?k
AM
?k
DM
,即
y
1
y
1
2
?1
4
?
y
1
?y
2
y
11
,
即?,?y
1
y
2
?4
2
y
1
2
y
2
y
1
2
?
4
y
1
?y
2
?
44
2
y1
2
y
2
?OM?OP???y
1
y
2
?5.
44
(II)设∠POM=α,则
|OM|?|OP|?cos
?
?5.
?
S
?ROM
?
5
,?|OM|?|OP|?sin
?
?5.
由此可得tanα=1.
2
又
?
?(0,<
br>?
),?
?
?45?,故向量OM与OP的夹角为45?.
2
y
3
,y
3
),?M
、B、Q三点共线,
?k
BQ
?k
QM
,
(Ⅲ)设点
Q(
4
y
1
?y
3
y
3
?1
1
,即?,
22
2
2
y
3
y
1
y
3
y
3
?4y
1
?y
3
?1?
444
2
?(y
3
?1)(y
1
?y
3
)?y
3
?4,即y
1
y
3
?y
1
?y
3
?4?0.????11分
即?
?y
1
y
2
?4,即y
1
?
444
,??y
3
??y
3
?4?0,
即
4(y
2
?y
3
)?y
2
y
3
?4?0.(*)
y
2
y
2
y
2
y
3
?k
PQ
2
y
2
?y
3
y
24
4
?
2
?,
?直线PQ的方程是y?y
2
?(x?)
2
y
2
?y
3
y
2
?y
3
4
y
2
y
3
?
44
2
即
(y?y
2
)(y
2
?y
3
)?4x?y
2
,即y(y2
?y
3
)?y
2
y
3
?4x.
18
29.
由(*)式,
?y
2
y
3
?4(y
2
?y
3
)?4,
代入
上式,得
(y?4)(y
2
?y
3
)?4(x?1).
由此可知直线PQ过定点E(1,-4).
解析:设
p
?
x,y
?
,由
x
2
y
2
??1
42
得<
br>?
x
2
?
y?2
?
1?
?
4
??
2
故
PM
2
?
?
x?m
?
2
?
x
2
??
x
2
?
1
2
?2
?
1?
?
?2
?
1?
?
?
?
x?2m
?
?2?m
2
由于
0?m?2
且
?2?x?2
故当
4
?
4
?
2
??
2<
br>0?2m?2
时,
PM
的最小值为
2?m
2
?1此时
m?1
,当
2?2m?4
时,
x?2
取得最小值为
2?4m?m
2
?2?1
解得
m?1,3
不合题意舍去。综
上所知当
m?1
是满足题意此时M的坐标为(1,0)。
????????
????????????
?
6
?
(2)由题意知条件
OA?OB?
AB
等价于
OA?OB?0
,当
l
的斜率不存在时,
l与C的交点为
?
1,?
?
??
,
2
??
????????
2222
此时
OA?OB?0
,设
l
的
方程为
y?k
?
x?1
?
,代入椭圆方程整理得
?
1?2k
?
x?4kx?2k?4?0
,由于
????????
22
2
点M在椭圆内部故
??0
恒成立,由
OA?OB?0
知
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
即
?
1?k
?
x
1
x
2
?k
?
1
?x
2
?
?k?0
,据
4k
2
2k
2?4
222222
1?k2k?4?k?4k?k1?2k?0
得
xx?
韦达定理得
x
1
?x
2
?
,代入上式得
?
?????
12
22
1?2k1?2k
k
2
??4
不合题意。综上知这样的直线不存在。
30.解:依题意,直线
AB
的斜率存在,设
直线
AB
的方程为
y?k(x?1)
,
将
y?k(x?1)
代入
x?3y?5
,
消去
y
整理得
(3k
2
?1)x
2
?6k
2
x?3k
2
?5?0.
22
?
??36k
4
?4(3k
2
?1)(3k
2
?5)?0,
(1)
?
B(x
2
,y
2
),
则
?
设
A(x
1
,y
1
),
6k
2
?
x
1
?x
2
??
2. (2)
3k?1?
1
x
1
?x
2
3k
2
1
3
??
2
??
,解得
k??
由线段
AB
中点
的横坐标是
?
,得,适合
(1)
.
2
23k?12
3
19
114
2
(2m?)(3k?1)?2m?
????????
(6m?1)k
2?5
2
33
?m
2
?m
2
?2m?
1
?
6m?14
.
MA?MB??m?
33(3k
2
?1)
3k
2
?13
k
2
?1
????????
47
注意到
MA?MB
是与
k
无关的常数,从而有
6m?14?0,m??
,
此时
MA?MB?.
39
综上,在
x
轴上存在定点M
?
?,0
?
,使
MA?MB
为常数.
?
7
?
?
3
?
20
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