高中数学圆锥曲线的知识点总结

高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线
C
(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的 点与一个二元方程
f(x,y)?0
的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是 这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标
的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条 曲线叫做方程的曲线.
点与曲线的关系：若曲线
C
的方程是
f(x,y) ?0
，则点
P
0
(x
0
,y
0
)
在曲线
C
上
?
f(x
0
,y
0
)?0；点
P
0
(x
0
,y
0
)
不在曲线< br>C
上
?
f(x
0
,y
0
)?0
.
两条曲线的交点：若曲线
C
1
，
C
2
的方程分别为
f
1
(x,y)?0
，
f
2
(x,y)?0
，则点
P
0
(x
0
,y
0
)
是
C
1
，
C
2
的交点
?
{
f
1(x
0
,y
0
)?0
f
2
(x
0,y
0
)?0
方程组有
n
个不同的实数解，两条曲线就有
n
个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没
有交点.
二、圆：
1 、定义：点集
{M|OM?r}
，其中定点
O
为圆心，定长
r
为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在
C(a,b)
，半径为
r
的圆方程是
(x?a)?(y?b)?r

圆心在坐标原点，半径为
r
的圆方程是
x?y?r

22
( 2)一般方程：①当
D?E?4F?0
时，一元二次方程
x?y?Dx?Ey?F?0
叫做圆的一般方程，圆心为
22
222
222
D
2
?E
2
?4F
DE
22
(?,?)
半径是. 配方，将方程
x?y?Dx?Ey?F?0
化为
2
22
D
2
E< br>2
D
2
?E
2
?4F
(x?)?(y?)?

224
②当
D?E?4F?0
时，方程表示一个点
(?
22
22
DE
,?)

22
③当
D?E?4F?0
时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心
C(a,b)
，半径为
r
，点
M
的坐标为
(x
0
,y
0
)
，则
|MC|?r

?
点
M
在圆
C
内，
|MC |?r
?
点
M
在圆
C
上，
|MC|?r
?
点
M
在圆
C
外，其中
|MC|?(x
0
? a)?(y
0
?b)
.
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、 相切、相离三种位置关系：直线与圆相交
?
有两个公共点；
直线与圆相切
?< br>有一个公共点；直线与圆相离
?
没有公共点.
②直线和圆的位置关系的判定 ：(i)判别式法；(ii)利用圆心
C(a,b)
到直线
Ax?By?C?0
的距离
22
d?
Aa?Bb?C
A?B
22
与半径
r
的大小关系来判定.

三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点
P(x,y)
到一个定点
F(c,0)
的距离与到不通过这个定 点的一条定直线
l
的距离之比是一个常数
则动点的轨迹叫做圆锥曲线. 其中定点F(c,0)
称为焦点，定直线
l
称为准线，正常数
e
称为离心 率. 当
e(e?0)
，
0?e?1
时，轨迹为椭圆；当
e?1时，轨迹为抛物线；当
e?1
时，轨迹为双曲线.

四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆
1．到两定点
F
1
，
F
2
的距离之和
为定值
2a(2a?|F
1
F< br>2
|)
的点的
定义
轨迹
迹
2．与定点和直线的 距离之比为
2．与定点和直线的距离之比为
定值
e
的点的轨迹.
(0?e?1)

定值
e
的点的轨迹.
(e?1)

点集：

点集：

{M||MF|?点M

到直线l的距离}
双曲线
1．到两定点< br>F
1
，
F
2
的距离之
差的绝对值为定值
抛物 线
2a(0?2a?|F
1
F
2
|)
的点的轨
与 定点和直线的距离
相等的点的轨迹.
轨迹
条件
点集：
{M| |MF
1
|?|MF
2
|?2a,
|F
1
F
2
|?2a}
y
B
1
M
{M||MF
1
|?|MF
2
|??2a,
|F
1
F
2
|?2a}

图形
b
A
1
F
1
B
2a
2
x=-
c
a
c
F
2
A
2
x
x=
a
2
c


方
标
准


程
方
程
x
2
y
2
?
2
?1
(
a?b
>0)
2ab
x
2
y
2
?
2
?1
(a?0,b ?0)

2
ab
y
2
?2px

参
数

方
程
范围
中心
?
x?acos
?
?
y?bsin
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?asec
?
?
y?btan
?

?
(参数
?
为离心角）
?
x?2pt
2
t
?
y?2pt
(为参
?
数)
?a?x?a
，
?b?y?b

原点
O(0,0)

|x|?a
，
y?R

原点
O(0,0)

x?0


(a,0)
，
(?a,0)

顶点
(a,0)
，
(?a,0)

(0,b)
，
(0,?b)

(0,0)

对称
轴
x
轴，
y
轴；
长轴长
2a
，短轴长
2b

x
轴，
y
轴；
实轴长
2a
， 虚轴长
2b
.
x
轴
焦点
F
1
(c,0)
，
F
2
(?c,0)

F
1
(c,0)
，
F
2
(?c,0)

p
F(,0)

2
准
线
x??
a

c
2
x??
a

c
2
x??
p

2
准线与焦点位于顶点
准 线垂直于实轴，且在两顶点
两侧，且到顶点的距离
的内侧.
相等.

准线垂直于长轴，且在椭圆外.
渐近
无
线
y??
b
x

a
无
焦距
2c(c?a
2
?b
2
)

2c(c?a
2
?b
2
)

左支：

|PF
1
|??(ex?a)
焦半
径
|PF
1
|?a?ex,|PF
2
|?a?ex

|PF
2
|??(ex?a)
右支：

|PF|?x?
p

2
|PF
1
|?ex?a

|PF
2
|?ex?a
通径
2b
2

a
2b
2

a
2p

离心
率
【备注1】双曲线：
e?
c
(0?e?1)

a
e?
c
(e?1)

a
e?1

（1）等轴双曲线：双曲线
x
2
?y
2
??a
2
称为等轴双曲线，其渐近线方程为
y??x
，离心率
e?2
.
（2）共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
??
?
与
2
?
2
??
?
互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：
2
?
2
?0
.
a
2
b
2
ab
ab
（3）共渐近线的双曲线 系方程：
x
2
a
2
x
2
a
2
?< br>y
2
b
2
?
?
(
?
?0)
的渐近线方程为
x
2
a
2
?
y
2
b
2
如果双曲线的渐近线为
?0
；
x
y
??0
ab
时，它的双曲线方程可设为
【备注2】抛物线：
?
y
2
b
2
?
?
(
?
?0)
.
（1）抛物线< br>y?2px(p?0)
的焦点坐标是(
2
p
p
2
，0 )，准线方程
x??
，开口向右；抛物线
y?2px(p?0)
2
2
的焦点坐标是(
pp
p
2
，0)，准线方程
x??
，开口向左；抛物线
x?2py(p?0)
的焦点坐标是(0，)，准线
22
2
方程
y??
p
pp
2
，开口向上；抛物线
x? 2py(p?0)
的焦点坐标是(0，)，准线方程
y??
，开口向下.
2
22
2
（2）抛物线
y?2px(p?0)
上的点
M(x
0
,y
0
)
与焦点
M
的距离
MF?x0
?
p
；
2
pp
，顶点到准线的距离，
2 2
（3）设抛物线的标准方程为
y?2px(p?0)
，则抛物线的焦点到其顶点的距 离为
焦点到准线的距离为
p
.
五、坐标的变换：
2
（ 1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换. 实
施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标 轴的平
移，简称移轴.
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点
M
， 它在原坐标系
xOy
中的坐标是
(x,y)
，在新坐标系
xOy中的
'
坐标是
(x,y)
. 设新坐标系的原点
O
在原 坐标系
xOy
中的坐标是
(h,k)
，则
?
''
'''
?
x?x'?h

?
y?y'?k
叫做平移(或移轴)公式.
六、椭圆的常用结论：

1. 点
P
处的切线
PT
平分
?PF
1
F
2
在点
P
处的外角.
证明：如图，设
F
1
(?c,0)
，
F
2
(c,0)
，
P( x
0
,y
0
)
.
x
2
y
2< br>2x2yy
'
对椭圆方程
2
?
2
?1
两边求 导得，
2
?
2
?0

abab
b
2
x
b
2
x
0
'
?y??
2
，
k ?k
PT
?y
(x
0
,y
0
)
??
2

ay
ay
0
'
又
k
1
?k
PF
1
?
y
0
y
,k
2
?kPF
2
?
0

x
0
?cx
0
?c
?k
2
?(?k)
b
2

?tan?2?ta n(?PF
2
F
1
??PTF
2
)??
1?kk< br>2
cy
0
b
2
同理
?tan?4?

cy
0
故
?2??4

总结：角相等利用和差角的正切值转换成直线斜率，多利用几何方法
补充角平分线定理
x
2
y
2
xxyy
2. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
? 1
上，则过
P
0
的椭圆的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
. （和圆上点的切线做比较）
ab
ab
x< br>2
y
2
2x2yy
'
解析：对椭圆方程
2
?
2
?1
两边求导得，
2
?
2
?0

abab
b
2
x
b
2
x
0
'
? y??
2
，
k?k
PT
?y
(x
0
,y< br>0
)
??
2

ay
ay
0
'
故直线方程为
x
0
xy
0
y
?
2
?1< br>
2
ab
总结：常见的求切线的方法
x
2
y
2
3. 若
P
0
(x
0< br>,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
外，则 过
P
0
作椭圆的两条切线切点为
P
1
P
2
的直线方程是
1
、P
2
，则切点弦
P
ab
x
0
xy
0
y
?
2
?1
.
2
ab
2
补充圆的切线公式：
(x?a)(x
0
?a)?(y?b)( y
0
?b)?r

2
圆的切点弦公式：
(x?a)(x0
?a)?(y?b)(y
0
?b)?r

总结：知识点的对比性记忆
x
2
y
2
4. 椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的左右焦点分别为
F
1
、F
2
，点
P
为椭圆上任意一点
?F
1
P F
2
?
?
，则椭圆的焦
ab

点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?btan
2
?
2
.
证明：设
PF
1
?m,PF
2
?n
，则由余弦定理可得
4c
2
?m
2
?n
2
?2m ncos
?

4c
2
?(m?n)
2
?2mn(c os
?
?1)

2b
2
mn?

1?co s
?
1sin
??
S
?PF
1
F
2
?mnsin
?
?b
2
??b
2
tan

21?cos
?
2
总结：求面积的方法：
11
底乘高、大减小、割 补法、
S?absinC

22
x
2
y
2
5. 椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
的焦半径公式
|MF
1
|?a?ex< br>0
，，其中
ab
(
F
1
(?c,0)
，
F
2
(c,0)
，
M(x
0
,y
0
)
).
b
2
x
0
2
(cx
0
?a
2
)
2
?
解析：
|MF
1
|?(c ?x
0
)?y
0
?x
0
?2cx
0
?x< br>0
?b?

22
aa
222222
?|MF
1
|?a?ex
0

同理
|MF
1
|?a?ex
0

x
2
y
2
b
2
6.
AB
是椭圆
2
?
2
?1
的不平行于对称轴的弦，
M(x
0,y
0
)
为
AB
的中点，则
k
OM
? k
AB
??
2
，即
ab
a
K
AB
b
2
x
0
??
2
.
ay
0
2 a
2
k
2
x
0
?2ka
2
y
0< br>b
2
x
0
?2x
0
，
k??
2 解析：设直线方程为
y?k(x?x
0
)?y
0
，联立可得< br>x
1
?x
2
?
b
2
?a
2
k
2
ay
0
x
0
xy
0
yx
0< br>2
y
0
2
x
2
y
2
7. 若
P
0
(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?
2
?1
内，则被
P
0
所平分的中点弦的方程是
2
?
2
?
2
?
2
；
ababab
x
2
y
2
8、已知椭圆
2
?
2
?1
(a?b?0)
，
O
为坐标原点，
P、Q
为椭圆上两动点，且OP?OQ
. （1）
ab
4a
2
b
2
a2
b
2
1111
22
??
2
?
2;（2）
|OP|?|OQ|
的最小值为
2
;（3）
S
?OPQ
的最小值是
2
.
22
22
a?ba?b
|OP||OQ|ab
解析: 设直线方程为
y?kx?m
，联立可得
(ak?b)x?2kmax?am?ab?0
< br>222222222
a
2
m
2
?a
2
b2
22
,yy?kxx?km(x?x)?m
可得
x
1
x
2
?

121212
222
ak?b

m
2
a
2
b
2
?
2
由
x1
x
2
?y
1
y
2
?0?

22
1?ka?b
11|OP|
2
?|OQ|
2
|PQ|< br>2
a
2
?b
2
11
????
22
?
2
?
2

|OP|
2
|OQ|
2
|OP|
2
|OQ|
2
|PQ|
2
d
2
abab
1111|OP|
2
?|OQ|
2
222
)
（2）
|OP|?|OQ|?(
2
?
2
)(|OP||OQ|) ?(
2
?
2
)(
abab2
22
4a
2< br>b
2
a
2
b
2
|OP|?|OQ|?
2（3）同理可求
S
?OPQ
?
2

22
a?ba?b
22
七、双曲线的常用结论：
1、点
P
处的切线
PT
平分
?PF
1
F
2
在点P
处的内角.
x
2
y
2
xxyy
2、若< br>P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2< br>?
2
?1
(a?0,b?0)
上，则过
P
0
的双曲线的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
. ab
ab
x
2
y
2
3、若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
外 ，则过
P
0
作双曲线的两条切线切点 为
P
1
、P
2
，则切点弦
ab
P
1
P
2
的直线方程是
x
0
xy
0
y
?2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
4、双曲线
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
的左 右焦点分别为
F
1
、F
2
，点
P
为双曲线上任意一 点
?F
1
PF
2
?
?
，则双曲
ab
线的焦点角形的面积为
S
?F
1
PF
2
?bcot
2
?
2
.
x
2
y
2
5、双曲线2
?
2
?1
(a?0,b?0)
的焦半径公式：(
F< br>1
(?c,0)
，
F
2
(c,0)
）当
M( x
0
,y
0
)
在右支上时，
ab
|MF
1
|?ex
0
?a
，
|MF
2
|?ex
0< br>?a
；当
M(x
0
,y
0
)
在左支上时，< br>|MF
1
|??ex
0
?a
，
|MF
2|??ex
0
?a
.
b
2
x
0
x
2
y
2
6、
AB
是双曲线
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
的不平行于对称轴的弦，
M(x
0
,y
0
)
为
AB
的中点，则
K
AB
?2
.
ab
ay
0
x
0
xy
0yx
0
2
y
0
2
x
2
y
2< br>7、若
P
0
(x
0
,y
0
)
在双曲 线
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
内，则被
P0
所平分的中点弦的方程
2
?
2
?
2
?
2
.
ababab
x
2
y
2
8、已知双曲 线
2
?
2
?1
(b?a?0)
，
O
为坐标 原点，
P、Q
为双曲线上两动点，且
OP?OQ
.
ab
4a
2
b
2
a
2
b
2
1111
2 2
??
2
?
2
;（2）
|OP|?|OQ|
的最小 值为
2
（1）;（3）
S
?OPQ
的最小值是
2
.
2
22
b?ab?a
2
|OP||OQ|ab
八、抛物线的 常用结论：
4ac?b
2
b
1、
ay?by?c?x
顶点
(?)
.
4a2a
2

2、设
AB
是过抛物线
y?2px(p?0)
的焦点
F
的弦，
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，则 < br>2
p
2
,y
1
y
2
??p
2
（1）
x
1
x
2
?
4
（2）弦长
|A B|?x
1
?x
2
?p?
2p
(
?
为弦A B的倾斜角)

2
sin
?
p
)
，代入抛物线方程可得：
2解析：（一）设直线为
y?k(x?
4k
2
x
2
?(4 pk
2
?8p)x?p
2
k
2
?0

则< br>x
1
?x
2
?...,x
1
x
2
? ...

|AB|?1?k
2
2p(k
2
?1)
( x
1
?x
2
)?4x
1
x
2
?

2
k
2
（二）利用定义
|AB|?x
1
?(?pp
)?x
2
?(?)

22
（3）
112
??

|FA||FB|p
解析 ：
x
1
?x
2
?p
11112
?????

pp
2
p|FA||FB|
x?
p
x?
p
x
1
x
2
?(x
1
?x
2
)?
1 2
22
24
（4）以弦
AB
为直径的圆与准线相切
（5）
A、O
与
B
在准线上的射影
B
三点共线，
B,O< br>与
A
点在准线上的射影
A
三点共线
（6）通径长度为
2p

3、
y
2
?2px(p? 0)
则焦点半径
PF?x?
P
;
x
2
?2py(p ?0)
则焦点半径为
PF?y?
P
.
22
''

y
2
?2px

y
2
??2px

▲
x
2
?2py

x
2
??2py

▲
y
y
▲
y
▲
y
图形
O
x
x
O
x
O
x
O

p
F(,0)

2
x??
p

2
p
,0)

2
p

2

p
)

2
p

2

p
F(0,?)

2
y?
p

2

焦点
准线
范围
F(?
F(0,
x?y??
x?0,y?R

x?0,y?R

x?R,y?0

x?R,y?0

对称轴
顶点
离心率
焦距

PF?
p
?x
1

2
x
轴
y
轴
（0，0）
e?1

PF?
p
?x
1

2
PF?
p
?y
1

2
PF?
p
?y
1

2