高中数学选修1-1教学设计-双曲线及其标准方程

甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 2．2．5
双曲线及其标准方程教案 新人教A版选修1-1

（1）预习与引入过程
预习教科书56页至60页，当变 化的平面与圆锥轴所成的角在变化时，观察平面截圆锥的截口
曲线（截面与圆锥侧面的交线）是什么图形 ？又是怎么样变化的？特别是当截面与圆锥的轴线或平
行时，截口曲线是双曲线，待观察或操作了课件后 ，提出两个问题：第一、你能理解为什么此时的
截口曲线是双曲线而不是两条抛物线；第二、你能举出现 实生活中双曲线的例子．当学生把上述两
个问题回答清楚后，要引导学生一起思考与探究P
56
页上的问题（同桌的两位同学准备无弹性的细
绳子两条（一条约10cm长，另一条约6cm每 条一端结一个套）和笔尖带小环的铅笔一枝，教师准
备无弹性细绳子两条（一条约20cm，另一条约1 2cm，一端结个套，另一端是活动的），图钉两个）．当
把绳子按同一方向穿入笔尖的环中，把绳子的 另一端重合在一起，拉紧绳子，移动笔尖，画出的图
形是双曲线．启发性提问：在这一过程中，你能说出 移动的笔小（动点）满足的几何条件是什么？
〖板书〗§2．2．1双曲线及其标准方程．
（2）新课讲授过程
（i）由上述探究过程容易得到双曲线的定义．
〖板书〗把平 面内与两个定点
F
1
，
F
2
的距离的差的绝对值等于常数（ 小于
F
1
F
2
）的点的轨
迹叫做双曲线（hyperbol a）．其中这两个定点叫做双曲线的焦点，两定点间的距离叫做双曲线的焦
距．即当动点设为
M
时，双曲线即为点集
P?
MMF
1
?MF
2
?2a
．
（ii）双曲线标准方程的推导过程
提问：已知椭圆的图形，是怎么样建立直角 坐标系的？类比求椭圆标准方程的方法由学生来建
立直角坐标系．
无理方程的化简过程仍是教学的难点，让学生实际掌握无理方程的两次移项、平方整理的数学
活动过程．
类比椭圆：设参量
b
的意义：第一、便于写出双曲线的标准方程；第二、
a ,b,c
的关系有明显
的几何意义．
??
y
2
x
2
类比：写出焦点在
y
轴上 ，中心在原点的双曲线的标准方程
2
?
2
?1
?
a?0,b ?0
?
．
ba
（iii）例题讲解、引申与补充
例1 已知双曲 线两个焦点分别为
F
1
?
?5,0
?
，
F
2
?
5,0
?
，双曲线上一点
P
到
F
1< br>，
F
2
距离差的
绝对值等于
6
，求双曲线的标准方程 ．

分析：由双曲线的标准方程的定义及给出的条件，容易求出
a,b,c．
补充：求下列动圆的圆心
M
的轨迹方程：① 与⊙
C
：?
x?2
?
?y?2
内切，且过点
2
2
A?
2,0
?
；② 与⊙
C
1
：
x
2< br>?
?
y?1
?
?1
和⊙
C
2
：x
2
?
?
y?1
?
?4
都外切；③ 与⊙C
1
：
2
2
?
x?3
?
2
? y
2
?9
外切，且与⊙
C
2
：
?
x?3< br>?
?y
2
?1
内切．
2
解题剖析：这表面上看是圆 与圆相切的问题，实际上是双曲线的定义问题．具体解：设动圆
M
的
半径为
r
．
① ∵⊙
C
与⊙
M
内切，点
A
在⊙< br>C
外，∴
MC?r?2
，
MA?r
，因此有
MA?M C?2
，∴点
M
的轨迹是以
C
、
A
为焦点的双曲线 的左支，即
M
的轨迹方程是
2y
2
2x??1x??2
；
7
② ∵⊙
M
与⊙
C
1
、⊙
C
2
均外切，∴
MC
1
?r?1
，
MC
2
?r ?2
，因此有
2
??
MC
2
?MC
1
?1
，∴点
M
的轨迹是以
C
2
、
C
1
为焦点的双曲线的上支，∴
M
的轨迹方程是
4x
2
3
??< br>4y??1
?
y?
?
；
34
??
2
③ ∵
eM
与
eC
1
外切，且
eM
与
eC
2
内切，∴
MC
1
? r?3
，
MC
2
?r?1
，因此
x
2
y< br>2
??1
?
x?2
?
．
45
MC
1
?MC
2
?4
，∴点
M
的轨迹是以
C
1
、
C
2
为焦点的双曲线的右支，∴
M
的轨迹方程是
例2 已知
A
，
B
两地相距
800m
，在
A
地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2s
，且声速为
340ms
，求炮弹爆炸点的轨迹方程．
分析：首先要判断轨迹的形状，由声学原理：由声速及
A
，
B
两地听到爆炸声的时间差，即
可知
A
，
B
两 地与爆炸点的距离差为定值．由双曲线的定义可求出炮弹爆炸点的轨迹方程．
扩展：某中心接到其正 东、正西、正北方向三个观察点的报告：正西、正北两个观察点同时听
到了一声巨响，正东观察点听到该 巨响的时间比其他两个观察点晚
4s
．已知各观察点到该中心的
距离都是
10 20m
．试确定该巨响发生的位置（假定当时声音传播的速度为
340ms
；相关点均 在
同一平面内）．
解法剖析：因正西、正北同时听到巨响，则巨响应发生在西北方向或东南方 向，以因正东比正西
晚
4s
，则巨响应在以这两个观察点为焦点的双曲线上．
如图，以接报中心为原点
O
，正东、正北方向分别为
x
轴、
y轴方向，建立
直角坐标系，设
A
、
B
、
C
分别 是西、东、北观察点，则
A
?
?1020,0
?
，
B
?
1020,0
?
，
C
?
0,1020
?
．
设
P
?
x,y
?
为巨响发生点，∵
A< br>、
C
同时听到巨响，∴
OP
所在直线为
y??x
…… ①，又因
B
点比
A
点晚
4s
听到巨响声，∴
PB? PA?4?340?1360
?
m
?
．由双曲线定义知，
a?680
，
c?1020
，∴
b?3405
，∴
P
x
2
y
2
??1
?
x??680
?
……②．联立① 、②求出
P
点坐标为点在双曲线方程为
22
6805?340
P?6 805,6805
．即巨响在正西北方向
68010m
处．
??