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高二数学选修1-1知识点
1、命题:用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
真命题:判断为真的语句.
假命题:判断为假的语句.
2、“若
p
,则
q
”形式的命
题中的
p
称为命题的条件,
q
称为命题的结论.
3、对于两个命题
,如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件,则
这两个命题称为互逆命题.其中一个命
题称为原命题,另一个称为原命题的逆命题.
若原命题为“若
p
,则
q”,它的逆命题为“若
q
,则
p
”.
4、对于两个命题,如果
一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结
论的否定,则这两个命题称为互否命题.中一
个命题称为原命题,另一个称为原命题
的否命题.
若原命题为“若
p
,则<
br>q
”,则它的否命题为“若
?p
,则
?q
”.
5、
对于两个命题,如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条
件的否定,则这两个命题
称为互为逆否命题.其中一个命题称为原命题,另一个称为
原命题的逆否命题.
若原命题为“
若
p
,则
q
”,则它的否命题为“若
?q
,则
?p
”.
6、四种命题的真假性:
原命题 逆命题 否命题 逆否命题
真
真 真 真
真 假 假 真
假 真 真 真
假 假 假 假
四种命题的真假性之间的关系:
?
1
?
两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性;
?
2
?
两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系.
7、若
p?q
,则
p
是
q
的充分条件,
q
是
p
的必要条件.
若
p?q
,则
p
是
q
的充要条件(充分必要条件).
8、用联结词“且”把命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q
.
当
p
、<
br>q
都是真命题时,
p?q
是真命题;当
p
、
q
两个命题中有一个命题是假命题
时,
p?q
是假命题.
用联结词“或”把
命题
p
和命题
q
联结起来,得到一个新命题,记作
p?q
.
当
p
、
q
两个命题中有一个命题是真命题时,
p?q
是真命题;当
p
、
q
两个命题都
是假命题时,
p?q是假命题.
对一个命题
p
全盘否定,得到一个新命题,记作
?p
.
若
p
是真命题,则
?p
必是假命题;若
p
是假命题,则
?p
必是真命题.
9、短语“对所有的”、“对任意一个”在逻辑中通常称为全称量词,用“
?
”表示.
含有全称量词的命题称为全称命题.
全称命题“对
?
中任意一个
x
,有
p
?
x
?
成立”,记作“
?x??
,
p
?
x
?
”.
短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常称为存在量词,用“
?
”表示.
含有存在量词的命题称为特称命题.
特称命题“存在
?
中的一个
x
,使
p
?
x
?
成立”,记作“
?x??
,
p
?
x
?
”.
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10、全称命题
p
:
?x??
,
p?
x
?
,它的否定
?p
:
?x??
,
?p
?
x
?
.全称命题的否
定是特称命题.
11、平面内
与两个定点
F
1
,
F
2
的距离之和等于常数(大于
F
1
F
2
)的点的轨迹称
为椭圆.这两个定点称为椭圆的焦点,两焦
点的距离称为椭圆的焦距.
12、椭圆的几何性质:
焦点的位置
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
x
a
2
2
y
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
?
a?b?0
?
?
x
b
2
2
?1
?
a?b?0
?
?a?x?a
且
?b?y?b
?b?x?b
且
?a?y?a
?
1
?
?
a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
?
1
?
?b,0
?
、
?2
?
b,0
?
顶点
?
1
?
0,?b
?
、
?
2
?
0,b
?
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
短轴的长
?2b
长轴的长
?2a
F
1<
br>?
?c,0
?
、
F
2
?
c,0
?<
br>
22
F
1
?
0,?c
?
、
F2
?
0,c
?
2
F
1
F
2
?2c
?
c?a?b
?
关于
x
轴、
y
轴、原点对称
c
a
ba
2
2
e??1?
?
0?e?1
?
a
2
准线方程
x??
a
2
c
y??
c
13、设
?
是椭圆上任一点,点
?到
F
1
对应准线的距离为
d
1
,点
?
到
F
2
对应准线的
距离为
d
2
,则
?F<
br>1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
.
14、平面内与两个定点
F
1
,
F
2
的距离之
差的绝对值等于常数(小于
F
1
F
2
)的点
的轨迹称为双曲
线.这两个定点称为双曲线的焦点,两焦点的距离称为双曲线的焦
距.
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15、双曲线的几何性质:
焦点的位置 焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
图形
标准方程
范围
顶点
轴长
焦点
焦距
对称性
离心率
a
2
y
a
2
2
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
?
a?0,b
?0
?
?
x
b
2
2
?1
?a?0,b?0
?
x??a
或
x?a
,
y?R
y??a
或
y?a
,
x?R
?
1
?
?a,0
?
、
?
2
?
a,0
?
?
1
?
0,?a
?
、
?
2
?
0,a
?
虚轴的长
?2b
实轴的长
?2a
F
1
?
?c,0
?
、<
br>F
2
?
c,0
?
22
F
1
?
0,?c
?
、
F
2
?
0,c
?
2
F
1
F
2
?2c
?
c?a?b?
关于
x
轴、
y
轴对称,关于原点中心对称
c
a
b
a
2
2
e??1?
?
e?1?
a
2
准线方程
渐近线方程
x??
c
b
a
x
y??
c
a
b
x
y??y??
16、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线.
17、设
?
是双曲线上任一点,点
?
到
F
1
对应准线的距离为
d
1
,点
?
到
F
2
对应准线
的距离为d
2
,则
?F
1
d
1
?
?F
2
d
2
?e
.
18、平面内与一个定点
F
和一条
定直线
l
的距离相等的点的轨迹称为抛物线.定点
F
称为抛物线的焦点,定直
线
l
称为抛物线的准线.
19、抛物线的几何性质:
y
2
?2px
y
2
??2px
p?0
?
x
2
?2py
p?0
?
x
2
??2py
p?0
?
标准方程
?
p?0
?
?
?
?
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图形
顶点
?
0,0
?
对称轴
?
p
?
F
?
,0
?
?
2
?
x
轴
p
??
F
?
?,0
?
2
??<
br>p
??
F
?
0,
?
2
??
y
轴
p
??
F
?
0,?
?
2
??
焦点
准线方程
x??
p
2
x?
p
2
y??
p
2
y?
p
2
离心率
e?1
范围
x?0
x?0
y?0
y?0
20、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于
?
、
?
两点的线段<
br>??
,称为抛
物线的“通径”,即
???2p
.
21、焦半径公式:
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
?2px
?
p?0
?<
br>上,焦点为
F
,则
?F?x
0
?
p
2
;
p
2
若点
?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
y
2
??2px
?
p?0
?<
br>上,焦点为
F
,则
?F??x
0
?
若点
?<
br>?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x
2?2py
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则
?F?
y
0
?
p
2
;
;
p
2
若点<
br>?
?
x
0
,y
0
?
在抛物线
x2
??2py
?
p?0
?
上,焦点为
F
,则<
br>?F??y
0
?
22、若某个问题中的函数关系用
f
?
x
?
表示,问题中的变化率用式子
?f
?x
.
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?x
2
?x
1
?
表示,则式子
f
?
x<
br>2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?
x
1
称为函数
f
?
x
?
从
x
1<
br>到
x
2
的平均变化率.
f
23、函数
f
?
x
?
在
x?x
0
处的瞬时变化率是
lim
?x?0
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
?lim
?f
?x
?x?0<
br>,则称它为函
数
y?f
?
x
?
在
x?x0
处的导数,记作
f
?
?
x
0
?
或<
br>y
?
x?x
,即
0
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f
?
x
0
??x
?
?f
?
x
0
?
?x
f
?
?
x
0?
?lim
.
?x?0
24、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的
切线的斜率.曲线
y?f
?
x
?
在点
?
?
x
0
,f
?
x<
br>0
?
?
处的切线的斜率是
f
?
?
x
0
?
,切线的方程
为
y?f
?
x
0
??f
?
?
x
0
??
x?x
0
?
.若函数在
x
0
处的导数不存在,则说明斜率不存在,切
线的方程为
x?x
0
.
25、若当
x
变化时,
f
?
?
x
?
是
x
的函数,则称它为
f
?
x<
br>?
的导函数(导数),记作
f
?
?
x
?
或<
br>y
?
,即
f
?
?
x
?
?y
?
?lim
f
?
x??x
?
?f
?
x?
?x
.
?x?0
26、基本初等函数的导数公式:
?1
?
若
f
?
x
?
?c
,则
n
?1
f
?
?
x
?
?0
;
?
2?
若
f
?
x
?
?x
n
?
x?
Q
*
?
,则
f
?
?
x
?
?nx<
br>;
?
3
?
若
f
?
x
?
?
sinx
,则
?
5
?
若
f
?
x
?
?a
x
,则
f
?
?
x
?
?cos
x
;
?
4
?
若
f
?
x
?
?cosx
,则
f
?
?
x
?
??sinx
;
x
xx
f
?
?
x
?
?alna
;
?
6
?
若
f
?
x
?
?e,则
f
?
?
x
?
?e
;
?
7
?
若
f
?
x
?
?log
a
x<
br>,则
27、导数运算法则:
?
?
1
?
?
fx?gx
?
????
??
f
?
?
x?
?
1
xlna
;
?
8
?
若
f
?
x
?
?lnx
,则
f
?
?
x
?
?
1
x
.
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
;
f
?
?<
br>x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
;
?
?
2
?
?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?
?
?
f
?
x
?
?
f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
?
g
?
x
?
?0?
.
?
3
?
??
?
2
gx
?
?
??
?
?
g
?
x
?
?
?
28、对于两个函数
y?f
?
u
?
和
u?g<
br>?
x
?
,若通过变量
u
,
y
可以表示成x
的函数,则
称这个函数为函数
y?f
?
u
?
和
u?f
?
x
?
的复合函数,记作
y?f
?
g
?
x
?
?
.
复合函数
y?f
?g
?
x
?
?
的导数与函数
y?f
?
u
?
,
u?g
?
x
?
的导数间的关系是
?
?u
?
y
?
?y
uxx
.
2
9、在某个区间
?
a,b
?
内,若
f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?f
?
x
?
在这个区
间内单调递增;若
f
?
?
x
?
?0
,则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减.
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30、点
a
称为函数
y?f
?
x
?
的极小值点,
f
?
a
?
称为函数
y?f
?
x
?
的极小值;点
b
称
为函数
y?f
?
x
?
的极大值点,
f
?
b
?
称为函数<
br>y?f
?
x
?
的极大值.极小值点、极大值
点统称为极值点,
极大值和极小值统称为极值.
31、求函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是:解方程
f
?
?
x
?
?0
.当f
?
?
x
0
?
?0
时:
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?
0
,那么
f
?
x
0
?
是极大值;
f?
?
x
?
?0
,右侧
f
?
?
x
?
?0
,那么
f
?
x
0
?
是极
小值.
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
3
2、求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?<
br>上的最大值与最小值的步骤是:
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值;
?<
br>2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处
的函数值
f
?
a
?
,
f
?
b
?<
br>比较,其中最大的一个
是最大值,最小的一个是最小值.
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