高中数学课本全套word-高中数学平方差公式在必修几
选修 1-1 模拟测试题
一、选择题
1.
若 p、q 是两个简单命题 ,“p 或
q”的否定是真命题 ,则必有（
）
A.p 真 q 真
B.p 假 q 假
“
α －
3
”是“
α=kπ+
2.
cos2
=
5
C.p 真 q 假
D.p
假 q 真
）
2
1
∈
”的（
,k
Z
A. 必要不充分条件
件
B. 充分不必要条件
C.充分必要条件
D. 既不充分又不必要条
3. 设
f
( x)
A．
f
( x)
sin x
cos x
，那么
(
)
cos x
sin x
cos
x
B
．
f (x) cos x
sin
x
C ．
f ( x)
cos
x
sin x
D．
f
( x)
sin x
4.曲线 f(x)=x
3
+x－2
在点 P
0
处的切线平行于直线 y=4x－ 1,则点 P
0
的坐标为（
A.(1,0)
c）
B.(2,8)
C.(1,0)和(－1,－ 4)
D.(2,8)和(－ 1,－4)
5.平面内有一长度为
2 的线段 AB 和一动点 P,若满足 |PA|+|PB|=6,则 |PA|的取值范围是 (
d
A. ［1,4］
B. ［1,6］
C.［2,6］
D.［2,4］
22
已知
是双曲线
－λy
的一条渐近线
则双曲线的离心率为（
6.
2x+y=0
x
,
c
=1
A.
2
)
）
B.
3
C.
5
D.2
7.抛物线 y
2
=2px 的准线与对称轴相交于点
则∠
PSQ 的大小是（
A.
S,PQ为过抛物线的焦点 F 且垂直于对称轴的弦 ,
b
）
B.
C.
2
D.与 p 的大小有关
8.已知命题 p:
“|x－2|≥ 2” ,命题“ q:x∈Z”,如果“ p
且 q”与“非 q”同时为假命题 ,则满足
条件的 x 为（
d
）
A.{x|x ≥3 或 x≤－
1,x Z}
3
B.{x| －1≤x≤3,x
Z}
C.{ －1,0,1,2,3}
D.{1,2,3}
b
）
9.函数 f(x)=x +ax－ 2 在区间
(1,+∞)内是增函数 ,则实数 a 的取值范围是（
A. ［3,+∞］
B.［－ 3,+∞］ C.(－ 3,+∞)
10.若△ ABC 中 A 为动点 ,B、C 为定点 ,B(－ ,0),C(
,0),且满足条件 sinC－sinB=
1
sinA,则动
aa
D.(－∞ ,－ 3)
2
2
2
点 A
的轨迹方程是（
d
）
1
A.
2
16x
2
a
－
2
16 y
2
2
=1(y≠0)
3a
2
16 y
2
16 y
2
B.
2
+
2
=1(x≠0)
a
3a
0
2
C.
16
x
a
2
2
－
16 y
2
=1 的左支 (y≠0)
D.
16x
2
－
16 y
2
=1
的右支 (y≠0)
a
3a
2
3a
在点
0
处切线的倾斜角的取值范围为［
］,则 P
11.设 a>0,f(x)=ax +bx+c,曲线
y=f(x)
到曲线 y=f(x) 对称轴距离的取值范围为（
A.［0, ］
P(x
,f(x ))
0,
1
B.［0, ］
1
C.［0,| |］
b
b
）
D.［0,|
b1
|］
a
2a
2a
2a
1
、F
2
22
已知双曲线
x
－
y
12.
a
2
b
的左、右焦点分别为
2
=1(a>0,b>0)
点
F
,
在双曲线的右支上 且
P
,
|PF
1
|=4|PF
2
|,则此双曲线的离心率 e
的最大值为（
A.
5
B.
4
a
）
C.2
D.
7
3
3
3
二、填空题
13. 对命题
p
： x
R, x
7
7
x
0 ，则
p
是______.
14.函数 f(x)=x+
1
x 的单调减区间为 __________.
15.抛物线 y
2
=
1
x 关于直线 x－y=0 对称的抛物线的焦点坐标是 __________.
4
16.椭圆
x
2
2
y
+
=1 上有 3 个不同的点 A(x
1
,y
1
)、 B(4,
9
)、C(x
3
,y
3
),它们与点
F(4,0)的距离成等
25
9
3
4
差数列 ,则
x
1
三、解答题
+x =__________.
17. 已知函数 f(x)=4x
3
+ax
2
+bx+5 的图象在 x=1 处的切线方程为
y=－12x,且 f(1)= －12.
(1)求函数 f(x) 的解析式； (2)求函数
f(x) 在［－ 3,1］上的最值 .
18. 设 P:关于 x 的不等式
a
x
>1 的解集是 {x|x<0}.Q: 函数 y=lg(ax
2
－
x+a)的定义域为 R.如果 P 和
Q 有且仅有一个正确 ,求 a 的取值范围
.
19. 已知 x∈ R,求证 :cosx≥1－
x
2
.
2
20. 某商场从生产厂家以每件 20 元购进一批商品，若该商品零售价定为
P
元，则销售量
Q
（单
位：件）与零售价
P
（单位：元）有如下关系：
Q 8300 170P
P
2
．问该商品零售价定为
销售收入 进货支出）．
多少时毛利润
L
最大，并求出最大毛利润（毛利润
2
2ax
已知 a∈R,求函数
f(x)=x e 的单调区间 .
21.
22.
已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点 ,且两条渐近线与以点
A(0,
圆心 ,1 为半径的圆相切 ,又知 C 的一个焦点与 A 关于直线
y=x 对称 .
(1)求双曲线 C 的方程；
2 )为
(2)若 Q 是双曲线 C 上的任一点
,F
1
、F
2
为双曲线 C 的左、右两个焦点 ,从
F
1
引∠ F
1
QF
2
的平分
线的垂线 ,垂足为 N, 试求点 N 的轨迹方程 .
3
参考答案：
1. B
“p 或 q”的否定是“
p 且
q”,∴
p、
q 是真命题 ,p、q 都是假命题 .
2.A
53
由“ α=kπ+
,k∈Z”
“cos2α =cos
5
=－
” ,又“
cos2α=－
3
”
2
2
π±
5
∈
”
∴“α
－
3
”是“ α=kπ +
5
∈
”的必要不充分条件
,k
Z
,
cos2 =
2
,k
Z
3.
4.C
f ′(x
)=3x
2
+1=4,∴x
=±1.
0
0
0
5.D
∵|PA|+|PB|=6>2,∴P
点的轨迹为一椭圆，∴ 3－1≤|PA|≤ 3+1.
6.C
2
x
－λ y
2
=1 的渐近线方程为
y=±
1
x,
∴
1
1
b
2
=2.∴λ
=
4
.∴e= 1
= 1 4 = 5 .
a
2
7.B
由
|SF|=|PF|=|QF|,知△ PSQ 为直角三角形 .
8.D
“p 且 q”与“非 q”同时为假命题则 p 假 q 真.
9.B
f′ (x)=3x
2
+a,令
3x
2
+a>0,
1
∴a>－ 3x
2
〔 x∈
(1,+∞)〕.∴a≥－ 3.
10.D
由正弦定理知
c－ b=
a,再由双曲线的定义知为双曲线的右支
(c>b).
2
11.B ∵
f′(x)=2ax+b,∴ k=2ax
0
+b∈［ 0,1］，
∴d=|x
0
b
|
2ax
0
b |
k
+
|=
∴ ≤ ≤
1
=
. 0 d.
2a
2a
2a
2a
10
12.A
2c
e= =
| F
1
F
2
|
≤
|PF
1
|
a
| PF
2
|
=
3
=
5
.
2a
|PF
1
|
|PF
2
|
| PF
3
1
| |
PF
2
|
2a
3
13.
7
x
R, x
7
x
0
；
14.
［
,1
］；
1
；
15.
(0,
)
16.
8.
4
16
13.这是一个全称命题，其否定是存在性命题 .
14.定义域为 {x|x ≤ 1},f ′(x)=1+
1
1
1
=
2 1
x
<0,
1 x ≤ ,
得 x≥
3
.
15. y
2
=
1
x
的焦点 F(
1
2 1 x
2
1
x
1
2
4
,0),F 关于 x－ y=0 的对称点为 (0,
).
∵－
4
16
4
4
16
16.|AF|=a ex =5
1
－
1
－
4
×4=
9
x ,|BF|=5
,|CF|=5
－
3
x ,
5
5
5
5
4
“
α=k
.
由题知 2|BF|=|AF|+|CF|,∴2×
9
－
4
+
=5
5
5
1
－
4
5
3
∴
1
3
+x =8.
17.解 : (1)∵f
′(x)=12x
2
+2ax+b,而 y=f(x) 在 x=1 处的切线方程为
y=－12x,
∴
12 f (1)12
f
(1)
12
k
2a
b
4
a
b 5
－
，故
12
－
f(x)=4x
12
a=
3,b=
18
3
－3x
2
－18x+5.
(2)∵f ′(x)=12x
－6x－18=6(x+1)(2x － 3)，令 f′(x)=0, 解得临界点为
x
1
=
－
2
2
1,x = .
3
2
那么 f(x) 的增减性及极值如下 :
x
(－∞,－1)
－1
(－1,
)
3
2
3
2
3
2
( ,+∞)
f′ (x)的符号
f(x)
的增减性
+
0
－
递减
0
递增
极大值 16
极小值－
61
4
+
递增
∵临界点
x
1
－
属于［－
=
1
3,1］ ,且 f( － 1)=16，又
f( －3)=－76,f(1)=
－ 12,
∴函数 f(x) 在［－ 3,1］上的最大值为
16,最小值为－ 76.
而
正确
Q
2
－x+a 对一切实数 x 恒大于 0.
18.解 :使 P 正确的 a 的取值范围是
0
2
ax
2
当
a=0 时,ax－x+a=－x 不能对一切实数恒大于
0,故 Q 正确
a
0
a> .
1
α
0
2
若 P 正确而 Q 不正确 ,则 0
2
1
故所求的 a 的取值范围是 (0,
1
］∪［1,+∞).
2
x
2
2
,则 f′ (x)=x－ sinx，
19.证明 : 令
f(x)=cosx － 1+
当 x>0
时,由单位圆中的正弦线知必有 x>sinx,∴ f′(x)>0, 即 f(x)
在(0,+∞)上是增函数 .
又∵ f(0)=0, 且 f(x) 连续
,∴f(x) 在区间［ 0,+∞］内的最小值 f(0)=0,
即 f(x) ≥
0,得 cosx－1+
x
2
≥0,即 cosx≥1－
x
2
.∵f( －x)=cos(－ x)－1+
(
x)
2
2
=f(x),
2
2
∴f(x) 为偶函数 ,即当 x∈(－∞
,0)时,f(x) ≥ 0 仍成立，∴对任意的 x ∈R,都有 cosx≥ 1－
.
x
2
2
20. 解：由题意知
L (P) P Q 20Q
Q(P 20)
(8300
170P P
2
)(P
令
L(P)
0
，得
P
30
20)
或
P
P
3
150P
2
11700P
166000， L ( P) 3P
2
130
（舍）．
5
300P 11700 ．
此时
L(30) 23000
．因为在
P 30
附近的左侧
L ( P)
根据实际意义知，
L(30)
是最大值，即零售价定为每件
0
，右侧
L (P) 0
，
L(30)
是极大值．
30 元时，有最大毛利润为
23000 元．
21. 解: 函数 f(x) 的导数 f′(x)=2xe
ax
+ax
2
e
ax
=(2x+ax
2
)e
ax
.
①当 a=0 时,若
x<0,则 f ′(x)<0,若 x>0,则 f′ (x)>0.
所以当
a=0 时,函数 f(x) 在区间 (－∞ ,0)内为减函数 ,在区间 (0,+∞)内为增函数
.
2
22
②当 a>0 时,由 2x+ax
－
或 x>0，由 2x+ax
解得
解得－
2
，
>0,
x<
<0,
a
a
2
2
在区间
－
内为减函数
所以当 a>0时,函数 f(x) 在区间 (－∞ ,－
)内为增函数
,
,在区间 (0,+∞)
(
,0)
a
a
内为增函数
.
③当 a<0 时,由 2x+ax
2
－
解得
－
2
或
2
,由 2x+ax <0,解得 x<0
x>
>0,
0
.
2
a
所以当
a<0 时 ,函数 f(x) 在区间 (－∞ ,0)内为减函数 ,在区间 (0,－
)内为增函数 ,在区间 (－ ,+
2
a
2
a
a
∞)内为减函数 .
22．解 : (1)设双曲线 C 的渐近线方程为 y=kx,即 kx－y=0，
∵该直线与圆 x
2
+(y－ 2 )
2
=1 相切
,∴
2
=1,即 k=± 1.
1
k
2
∴双曲线 C
的两条渐近线方程为 y=±x，故设双曲线 C 的方程为
x
2
2
－
y
2
2
=1.
a
a
又双曲线 C
的一个焦点为 (
2
,0),∴2a
2
=2,a
2
=1.∴双曲线 C 的方程为
x
2
－ y
2
=1.
(2)若 Q 在双曲线的右支上
,则延长 QF
2
到 T,使 |QT|=|QF
1
|.
若 Q 在双曲线的左支上 ,则在 QF
2
上取一点
T,使 |QT|=|QF
1
|.
根据双曲线的定义 |TF
2
所以点
在以
2
为圆心
为半径的圆上
即点
的轨迹方程
|=2,
T
F ( 2,0)
,2
,
T
是(x －
2 )
+y=4(y≠0).
22
①
由于点
N 是线段 F
1
T 的中点 ,设 N(x,y) 、T(x
T
,y
T
),
x
则
y
x
T
2
,
2
即
x
T
y
2x
2,
代入①并整理得点 N 的轨迹方程为 x+y=1(y ≠0).
22
T
,
y
T
2y.
2
6