高中数学选修1-1全套学案

高二（文科）数学导学案 选修1-1

数学选修
一．学习目标：
了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系。
二．基本知识：
1.可以判断真假的陈述句叫做_______.
其中判断为真的语句叫做_____命题；判断为假的语句叫做____命题.
2．命题常具有“若p ，则q”的形式．我们把这种形式的命题中的p叫做命题的_______，q
叫做命题的______ _．
3.四种命题的概念与表示形式，即如果原命题为：若p，则q，则
逆命题为：___________,即交换原命题的条件和结论即得其逆命题.
否命题为：____________，即同时否定原命题的条件和结论，即得其否命题.
逆否命题为：___________，即交换原命题的条件和结论，并且同时否定，则得其逆否命题.
三、例题
例1：判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？
（1）空集是任何集合的子集；
（2）若整数
a
是素数，则
a
是奇数；
（3）2小于或等于2；
（4）对数函数是增函数吗？
（5）
2x?15
；
（6）平面内不相交的两条直线一定平行；
（7）明天下雨.
2
(8)
(?2)??2

1-1导学案1 命题、四种命题及其相互关系


例2：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
（1）面积相等的两个三角形全等；

（2）负数的立方是负数；

（3）对顶角相等．


例3：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题并判断它们的真假：
（1）若一个三角形的两条边相等，则这个三角形的两个角相等；



（2）若一个整数的末位数字是０，则这个整数能被５整除；




1

高二（文科）数学导学案 选修1-1
（3）若x=1,则x=1；



（4）若整数
a
是素数，则是
a
奇数。


四、基础自测
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是( )．
A．不是命题 B．真命题 C．假命题 D．不能判断真假
2．下列命题中是假命题的是( )．
A．若
a?b
＝0(a≠0，b≠0)，则
a
⊥
b
B．若|
a
|＝|
b
|，则
a
＝
b

C．若ac
2
>bc
2
，则a>b D．5>3
3．命题:“a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是( )
A．若a,b都不是奇数,则a+b是偶数 B．若a+b是奇数,则a,b都是偶数
C．若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数 D．若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数
4．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b； ②方程x
2
－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0； ④若p>0，则p
2
>p； ⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________．
5．已知命题“若m-1

6．命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )
A．若一个数是负数,则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数,则它是负数
C．若一个数不是负数,则它的平方不是正数[来源:学#科#网Z#X#X#K]
D．若一个数的平方不是正数,则它不是负数
7．有下列四个命题,其中真命题有 (只填序号).
①“若
x
+
y
=0,则
x
,< br>y
互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若q≤1,则
x
2
+2
x
+q=0有实根”的逆命题;
④“若a>b,则ac
2
>bc
2
”的逆否命题.


2
2

高二（文科）数学导学案 选修1-1

数学选修1-1导学案2 充分条件和必要条件
一、学习目标：

理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。
二、知识梳理：
1.命题“若p则q”为真，记作p
?
q；“若p则q”为 假，记作________.
2．充分与必要条件：
①如果已知p
?
q，则称p是q的_______条件，而q是p的 条件.
②如果既有p
?
q，又有q
?
q，即p
?
q,则称p是q 的条件.
函数
y?ax
2
?bx?c
(a?0)
过原点的充要条件是
三、例题讲解：
例1. 下列“若p，则q”形式的命题中，那些命题中的p是q的充分条件？
（1）若
x
＝1，则
x
－ 4
x
＋ 3 ＝ 0；
2

（2）若f(
x
)＝
x
，则f(
x
)为增函数；

（3）若
x
为无理数，则
x
为无理数．
2

例2. 下列“若p,则q”形式的命题中，那些命题中的q是p的必要条件?
（1）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等；

（2）若
a＞
b
,则
ac
＞
bc
．

22
例3.（1）x ＝ y是 x ＝ y的___________________条件；

（2）
?

（3）
(x?4)(x?1)?0
是

（4）
?
?
?
是
tan
?
?tan
?
的__________ _________条件；

（5）
x?y?3
是
x?1
或
y?2
的___________________条件.

四、基础训练
1.若 ，则
p
是
q
的充分条件．若 ，则
p
是
q
的必要条件．若 ，则
p
是
q

的充要条件．
3
?
x? 2,
?
x?y?4,
是
?
的__________________ 条件；
?
y?2.
?
xy?4.
x?4
?0
的_ __________________条件；
x?1

高二（文科）数学导学案 选修1-1
2.用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件和既不充分也不必要条件”填空.
（1）已知
p:x?2
，
q:x?2
，那么
p
是< br>q
的 条件．
（2）已知
p:
两直线 平行，
q:
内错角相等，那么
p
是
q
的 条件．
（3）已知
p:
四边形的四条边相等，
q:
四边形是正方 形，那么
p
是
q
的 条件
（4）已知
p:a?b
，
q:ac?bc
，那么
p
是
q
的 条件
3.(2011·高考福建卷)若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件

a
4.“ab
A．充分条件

5.设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件


6.已知p:
x?x?0?
那么命题p的一个必要不充分条件是( )
A.01
?x?
2
D.
1
?x?2

2
22
B．必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
D．既不充分也不必要条件
232
7．(2012·高考安徽卷)设平面α与平面β相交于直 线m，直线a在平面α内，直线b在平面
β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件


8．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．



9．下列不等式：①x<1；②02
<1的充分条
件的序号为________．



10．“k>4，b<5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的 图象交y轴于负半轴，交x轴于正半
轴”的__________条件．



4

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案3
简单的逻辑联结词
一、学习目标
通过数学实例，了解逻辑连接词“或”、“且”、“非“的含义
二、课前预习：
（1）一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作
___________,读作“p或q”。若 x∈A或x∈B，则x∈A∪B。
（2）命题“___________”即命题“p且q”。若 x∈A且x∈B，则x∈A∩B。
（3）命题的否定为___________，从集合的角度看A与A补集的关系。

三、例题讲解
例1：将下列命题用“或” 联结成新命题 “p∨q”的形式，并判断它们的真假。
（1）p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。


（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；


（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.


例2：将下列命题用“且”联结成新命题“p∧q”的形式，并判断它们的真假。
（1） p：平行四边形的对角线互相平分，q：平行四边形的对角线相等。

（2）p：菱形的对角线互相垂直，q：菱形的对角线互相平分；

（3）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数.


例3：写出下列命题的否定，判断下列命题的真假
（1）p：y ＝ sinx 是周期函数；
（2）p：3＜2；
（3）p：空集是集合A的子集。[来源


例4： 写出下表中各给定语的否定语。
若给定语为 等于 大于 是 都是 至多有一个 至少有一个

p q P∧q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
[p q p∨q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
其否定语分别为 [来
四、基础训练
1、 判断下列复合命题的真假

5

高二（文科）数学导学案 选修1-1
（1）8≥7 （2）2是偶数且2是质数；
（3）
?
不是整数；
2、判断下列命题的真假：
（1）正方形ABCD是矩形，且是菱形； （2）5是10的约数且是15的约数
（3）5是10的约数且是8的约数 （4）x
2
-5x=0的根是自然数
3
.命题”p∧q”与命题”p∨q”都是假命题,则下列判断正确的是( ) A.命题“
B.命题“
C.命题“
D.命题“
p
”与“
p
”与“
q
”真假不同
q
”至多有一个是假命题
p
”与“
q
”真假相同
p
且
q
”是真命题
4.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q :正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的是
( )
A.(
p
)∨
q
B.
p
∧
q
C.(
p
)∧(
q
) D.(
p
)∨(
q
)
5.若p是真命题,q是假命题,则?? ( )
A．p∧q是真命题 B.p∨q是假命题
C.
p
是真命题 D.
q
是真命题
6．设命题p：2x＋y＝3；q：x－y＝6.若p∧q为真命题，则 x＝________，y＝________.

7．命题“若aa
<2
b
”的否命题为____ ___，命题的否定为___ _____．


8、写出下列命题的非，并判断真假：
（1）p：方程x
2
+1=0有实数根 （2）p：存在一个实数x，使得x
2
－9=0．
（3）p:对任意实数x，均有x
2
－2x+1≥0 （4）p：等腰三角形两底角相等



2
?
x－x－6 ≤0，
?
22
★9．设命题p：实数x满足x－4ax＋3a<0，其中a>0，命题 q：实数x满足
?
2

?
x＋2x－8>0.
?

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)命题p是命题q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．






6

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案4
全称量词与存在量词
一、学习目标
1、理解全称量词和存在量词的意义，会用符号表示
2、掌握含有量词的命题；会对全称命题和特称命题的真假作出判断
3、能正确地对含有一个量词的命题进行否定。
二、课前预习


1.常见的全称量词有： 用符号记作：
2.全称命题: .
3.常见的存在量词有: 用符号记作：
4.特称命题:
5.全称命题
?x?M,p(x)
的否定是 。
特称命题
?x
0
?M,p(x
0
)
的否定是 。[来源:学科网]
三、例题讲解
例1：下列命题为全称命题的个数为（ ）
①
a?b?a?b?0
；[来源:学科]②矩形都不是梯形；
③
?x,y?R,x
2
?y
2
?1
； ④任意互相垂直的两条直线的斜率之积等于－1。
A．0 B．1 C．2 D．3
例2：用符号“
?
”与“
?
”表示含有量词的命题
（1）实数的平方大于等于0

（2）存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立

例3：写出下列命题的否定,并判断其真假:
2
(1)p:不论m取何实数,方程x+mx-1=0必有实数根;

(2)p:有些三角形的三条边相等;

(3)p:菱形的对角线互相垂直;

x
(4)p:存在一个实数
x
,使得3<0.


四、基础练习
1.下列命题为特称命题的是（ ）
．．．．
A．偶函数的图象关于y轴对称 B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线 D．存在实数大于等于3
2.下列说法中，正确的个数是（ ）
①存在一个实数，使
?2x?x?4?0
； ②所有的质数都是奇数；
7
2

高二（文科）数学导学案 选修1-1
③斜率相等的两条直线都平行； ④至少存在一个正整数，能被５和７整除。
Ａ．１ Ｂ．２ Ｃ．３ Ｄ．４
4．下列命题中，是正确的全称命题的是（ ）
．．．．．．．
Ａ．对任意的
a,b?R
，都有
a?b?2a?2b?2? 0
；
Ｂ．菱形的两条对角线相等；[来源:学,科,网]
Ｃ．
?x,x
2
?x
；
Ｄ．对数函数在定义域上是单调函数。
5．下列命题的否定不正确的是（ ）
．．．
Ａ．存在偶数
2n
是７的倍数；
Ｂ．在平面内存在一个三角形的内角和大于
180
；
Ｃ．所有一元二次方程在区间［－1，1］内都有近似解；
Ｄ．存在两个向量的和的模小于这两个向量的模。
6．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定 。
．．

7．命题
p:?x?R
，
x?2x?5?0
是 （填“全称命题”或“特称命题”），
它是 命题（填“真”或“假”），它的否定命题
?p:
，
它是 命题（填“真”或“假”）．
8．判断下列命题的真假，并说明理由：
（1）
?x?R
，都有
x?x?1?

（2）
?
?
,
?
，使
cos(
?
?
?
) ?cos
?
?cos
?
；

（3）
?x,y?N
，都有
x?y?N
；

（4）
?x,y?Z
，使
2x?y?3
。


9．写出下列各命题的否命题和命题的否定：
2
（1）
?a,b?R
，若
a?b
，则
a?ab
；
2
22
2
1
；
2


（2）若
?
?
?
，则
sin
?
?sin
?
；






8

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案5 椭圆及其标准方程(1)
一、学习目标：
1．从具体情境中抽象出椭圆的模型； 2．掌握椭圆的定义； 3．掌握椭圆的标准方程．
二、新课导学：
探究：
取一条定长的细绳，把它的两 端都固定在图板的同一个点处，套上铅笔，拉紧绳子，移
动笔尖，这时笔尖画出的轨迹是一个 ．
如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两个点处，套上铅笔，拉紧绳子，
P< br>移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

F
1
F
2
思考：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

经过观察后思考：在移动笔尖的过程中，细绳的 保持不变

新知１：我们把平面内与两个定点
F
1
,F
2
的距离之和等于常数（ 大于
F
1
F
2
）的点的轨迹叫做
椭圆，这两个定点叫做椭圆 的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ．

反思：若将常数记为
2a
，为什么
2a?F
1
F
2
？
当
2a?F
1
F
2
时，其轨迹为 ；当
2a?F
1
F
2
时，其轨迹为 ．
试试：
已知
F
1
(?4,0)
，
F
2
(4,0)
，到
F
1
，
F
2
两点的距离之和等于8的点的轨迹 是 ．

小结：应用椭圆的定义注意两点：
①分清动点和定点；②看是否满足常数
2a?F
1
F
2
．
新知２：焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程
x
2
y
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
其中
b
2
?a
2
?c
2

2
ab

若焦点在
y
轴上，两个焦点坐标 ，则椭圆的标准方程是 ．
三、例题精讲：
例1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴
a?4,b?1
，焦点在
x
轴上；



⑵
a?4,c?15
，焦点在
y
轴上；



⑶
a?b?10,c?25
．





9

高二（文科）数学导学案 选修1-1
变式1：写出适合下列条件的椭圆的标准方程：
⑴焦点在
x
轴 上，焦距等于
4
，并且经过点
P3,?26
；




⑵焦点坐标分别为
?
0,?4
?
,
?
0,4
?
，
a?5
；




?
53
?
例2.已知椭圆两个焦点的坐标分别是
?
?2,0
?
，
(2,0)
，且经过点
?
,?
?
，求 它的标准方程 ．
?
22
?
??






变式2：已知椭圆两焦点的坐标分别为
(0,4),(0,?4)
，且椭圆经过点
(5,0)
，求椭圆的标准
方程。







四、基础自测
1．平面内一动点
M到两定点
F
1
、
F
2
距离之和为常数
2a，则点
M
的轨迹为（ ）．
A．椭圆 B．圆 C．无轨迹 D．椭圆或线段或无轨迹
2．如果方程
x
2
?ky< br>2
?2
表示焦点在
y
轴上的椭圆，那么实数
k
的取值 范围是（ ）．
A．
(0,??)
B．
(0,2)

C．
(1,??)
D．
(0,1)

x
2
y
2
3．如果椭圆
??1
上一点
P
到焦点
F
1
的距离等于6，那么点
P
到另一个焦点
F
2
的距
10036
离是（ ）．
A．4 B．14 C．12 D．8
4．椭圆两焦点间的距 离为
16
，且椭圆上某一点到两焦点的距离分别等于
9
和
15
，则椭圆的
标准方程
是 ．
五、能力提升
x
2
y
2
??1
有相同的焦点的椭圆的方程为 5.过点
(?3,2)
且与
94
10

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案6 椭圆及其标准方程(2)
一、学习目标：

1．掌握点的轨迹的求法；2．进一步掌握椭圆的定义及标准方程．
二、新课导学：
探究一：利用椭圆的定义求轨迹方程

已知
F1
(?4,0)
，
F
2
(4,0)
，到
F1
，
F
2
两点的距离之和等于10的点的轨迹是 ．

例1 、已知
B
、
C
是两个定点, |
BC
| ＝6, 且△
ABC
的周长等于16, 求顶点
A
的轨迹方程





变式1：若△ABC的两个顶点坐标为A（－4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则
顶点C的轨迹方程为（ ）
x
2
y
2
y
2
x
2
??1(y?0)
B.
??1(y?0)
A.< br>259259
x
2
y
2
y
2
x
2< br>??1(y?0)
D.
??1(y?0)
C.
169169
探究二：含参法求轨迹方程

例2、如图，在圆
x ?y?4
上任取一点
P
，过点
P
作
x
轴的垂线段< br>PD
，
D
为垂足．当
点
P
在圆上运动时，求线段PD
的中点
M
的轨迹方程















l
y
P
M
D
x
22

小结：椭圆 与圆的关系：圆上每一点的横（纵）坐标不变，而纵（横）坐标伸长或缩短就可
得到椭圆．
11

高二（文科）数学导学案 选修1-1
例3、如图，设
A
，
B
的坐标分别为
?
?10,0
?
，
?
10,0
?
．直线
AM
，
BM
相交于点
M
，
且它们的斜率之积为
?
4< br>，求点
M
的轨迹方程．
9









三、基础自测：
1. 设
F
1
,F
2
为定点，|
F
1
F
2
| =
6
，动点
M
满足
|MF
1
|?|MF
2
|?6
，则动点
M
的轨迹是 ．
2．椭圆的两焦点为
F
1
(－4,0)、
F
2
(4,0)，点
P
在椭圆上，若△
PF
1
F
2
的面积最大为12，则椭
圆方 程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1
169 2592516
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
D.＋＝1
254
x
2
y
2
3. 已知椭圆＋＝1的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，
P
是椭圆上的一点，
Q
是
PF
1
的中点，若
169
|
OQ
| ＝1，则|
PF
1
|为________．

四、能力提升： < br>★4．已知两圆
c
1
：
(x?4)
2
?y
2
?169
，
c
2
：
(x?4)
2
?y2
?9
.动圆在圆
c
1
内部且与圆
c
1
相内切，与圆
c
2
相外切，求动圆圆心的轨迹．






x
2
y
2
※ 知识拓展

椭圆的第二定义：到定点
F
与到定直线
l
的距离的比是常数
e
(0?e?1)
的点的轨迹．
定点
F
是椭圆的焦点；定直线l
是椭圆的准线；常数
e
是椭圆的离心率．
5. 点
M
与定点
F(0,2)
的距离和它到定直线
y?8
的距离的比是
1: 2
，求点的轨迹方程式，
并说明轨迹是什么图形．





12

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案7 椭圆及其简单几何性质（1）
一、学习目标：

1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形；
2．根据几何条件求出曲线方程，并利用曲线的方程研究它的性质，画图．
二、新课导学：
x
2
y
2
问题：椭圆的标准方程
2
?
2< br>?1
(a?b?0)
，它有哪些几何性质呢？
ab

图形：



范围：
x
：
y
：

对称性：椭圆关于 轴、 轴和 都对称；

顶点：（ ），（ ），（ ），（ ）；

长轴，其长为 ；短轴，其长为 ；

离心率：刻画椭圆 程度．
c
椭圆的焦距与长轴长的比称为离心率，
a
c
记
e?
，且
0?e?1
．
a

三、例题精讲：

例1 求椭圆
16x
2?25y
2
?400
的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．






变式1：求适合下列条件的椭圆的标准方程：
1
⑴焦点在
x
轴上，
a?6
，
e?
；
3


3
⑵焦点在
y
轴上，
c?3
，
e?
；
5


⑶经过点
P(?3,0)
，
Q(0,?2)
；

13

高二（文科）数学导学案 选修1-1
3
⑷长轴长等到于
20
，离心率等于．
5



x
2
y
2
例2 已知
F
1< br>、
F
2
为椭圆
2
＋
2
＝1(
a>
b
>0)的两个焦点，过
F
2
作椭圆的弦
AB
，若△
AF
1
B
的周
ab
长为16，椭圆离心率
e
＝







变式2 短轴长为
5
，离心率
e?
则
?ABF
2
的周长为（ ）．
A．
3
B．
6
C．
12
D．
24



四、基础自测：
10
x
2
y
2
1．若椭圆
?
，则
m
的值是（ ）．
?1
的离心率
e?< br>5
5m
515
25
A．
3
B．
3
或 C．
15
D．
15
或
33
2．若椭圆经过原点，且焦点分别为
F
1
(1,0)
，
F
2
(3,0)
，则其离心率为（ ）．
3211
A． B． C． D．
4324
3．某椭圆中心在原点，焦点在
x< br>轴上，若长轴长为
18
，且两个焦点恰好将长轴三等分，则
此椭圆的方程是 ．




4．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点
P(?22,0),Q(0,5)
; （2）长轴长是短轴长的3倍，且经过点
P(3,0)
;







14
3
，求椭圆的方程。
2
2
的椭圆两焦点为
F
1
,F
2
，过
F1
作直线交椭圆于
A,B
两点，
3

高二（文科） 数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案8 椭圆及其简单几何性质（2）
一、学习目标：

1．根据椭圆的方程研究曲线的几何性质；
2．椭圆与直线的关系．
知识点归纳：（务必记忆）

椭圆标准方程

图形



范围

对称性
顶点坐标
焦点坐标

半轴长

离心率

a、b、c的关系















二、例题精讲：
例1．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，求该椭圆的离心率.








变式1：若椭圆的两个焦 点间的距离等于短轴的两端点间的距离，那么椭圆的离心率是
_______．





15

高二（文科）数学导学案 选修1-1
※ 知识拓展

2
直线与椭圆相交，得到弦，弦长
l? 1?k
2
x
1
?x
2
?(1?k
2
)?
?
x
1
?x
2
?
?4x
1
x
2
?

??
其中
k
为直线的斜率，
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
是 两交点坐标．
x
2
例2．经过椭圆
?y
2
?1
的 左焦点
F
1
作倾斜角为
60
的直线
l
，直线
l
与椭圆相交于
A,B
两
2
点，求
AB
的长．








变式2：:已 知长轴为12，短轴长为6，焦点在
x
轴上的椭圆，过它的左焦点
F
1
作倾斜角为
的直线交椭圆于
A
，
B
两点，求弦
AB
的长．








三、基础自测：

?
3
x
2
y
2
2
??1
的离心率为1．已知椭圆，则此椭圆的长轴长为
m4
2
2．椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等到比数列，则其离心率为 ．
3．设椭圆的两个焦点分别为
F
1、
、
F
2
， 过
F
2
作椭圆长轴的垂线交椭圆于点
P
，若△
F
1
PF
2
为等
腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ）．
22?1
A. B. C.
2?2
D.
2?1

22
x
2
y
2
4．已知椭圆??1
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，点
P
在椭圆上，若
P
、
F
1
、
F
2
是 一个直
169
角三角形的三个顶点，则点
P
到
x
轴的距离为 （ ）．
97
9
9
A. B. 3 C. D.
7
4
5
x
2
y
2
??1
的一个焦点为
F
1
，点
P
在椭圆上。如果线段
PF
5．椭圆
1
的中点
M

123
在
y
轴上，那么点
M
的纵坐标是 （ ）
A.
?

3
233
B.
?
C.
?
D.
?

4
224
16

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案9
双曲线及其标准方程

一、学习目标：
1．了解双曲线的定义，几何图形及标准方程的推导过程．

2．掌握双曲线的标准方程．
3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的实际问题．
二、课前预习：
1．双曲线的定义
[来源:Z#xx#]
平面内到两定点
F
1
,F
2
的 常数(大于零且小于 )的点的轨迹叫做
双曲线．两定点
F
1

,
F
2

叫做双曲线的_________ ，两焦点间的距离|
F< br>1
F
2
|叫做双曲线的
________ . 注：双曲线的定义 用代数式表示为
MF
1
?MF
2
?2a
，其中
2a ?F
1
F
2
.
（1）当
MF
1
?MF< br>2
?2a
时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支.
（2） 当
MF
1
?MF
2
??2a
时，曲线仅表示焦点 所对应的双曲线的一支.
[来源学科网]

（3）当
2a?F
1
F
2
时，轨迹为以 ， 为端点的两条射线.当
2a?F
1
F
2
时，
p点轨迹不存在 ．
2．双曲线的标准方程
(1) 标准方程：
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
，焦点在 轴上；
y
2
a
2
?
x
2
b
2
?1
，焦点在 轴上．其中：a 0，
b 0，
a
2
?
．
22
(2) 双曲线的标准方程的统一形式：
mx?ny?1(nm?0)

三、新课精讲： 例1：已知双曲线的两焦点为
F
1
(?5,0)
，
F
2
(5,0)
，双曲线上任意点到
F
1
,F
2
的距离 的差的绝
对值等于
6
，求双曲线的标准方程．






练习1：求适合下列条件的双曲线的标准方程式：
（1）焦点在
x
轴上，
a
= 4 ，
b

= 3 ；（2）焦点为(0,-6 ),(0,6) ，且经过点(2,-5 ) ．




x
2
y
2
练习2：已知双曲线??1
的左支上一点
P
到左焦点的距离为10，则点P到右焦点的
169
距离为
17

高二（文科）数学导学案 选修1-1
x
2
y
2
??1
表示双曲线，则
k< br>的取值范围是____________. 例2：已知方程
1?k1?k



例3： 已知
A,B
两地相距
800m
，在
A< br>地听到炮弹爆炸声比在
B
地晚
2s
，且声速为
340ms，
求炮弹爆炸点的轨迹方程．







四、基础自测：
1．动点
P
到点
M(1,0)
及点
N(3,0)
的距离之差为
2
，则点
P
的轨迹是（ ）．
A. 双曲线 B. 双曲线的一支
C. 两条射线 D. 一条射线


2．双曲线
5x
2
?ky
2
?5
的一个焦点是
(6,0)
，那么实数
k
的值为（ ）．
A．
?25
B．
25
C．
?1
D．
1



3．双曲线的两焦 点分别为
F
1
(?3,0),F
2
(3,0)
，若
a?2
，则
b?
（ ）．
A. 5 B. 13 C.


5
D.
13

x
2
y
2
4．已知方程
??1
表示双曲线，则
m
的取值 范围 ．
2?mm?1




五、能力提升：

相距
1400m
A,B
两个 哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差
3s
，已知声速是
340ms
，问炮
弹爆炸点在怎样的曲线上，为什么？











18

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案10
双曲线的简单几何性质（1）


一、学习目标：
1．类比椭圆推导双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、渐近线、离心率）；
2．掌握等轴双曲线的定义及性质；
3．能解决与几何性质相关的简单的综合性问题.
二、课前预习：
x
2
y
2
（1）由椭圆的哪些几何性质出 发，类比探究双曲线
2
?
2
?1
的几何性质?
ab
①范围：
x
：
y
：
②对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
③顶点：（ ），（ ）．实轴长为 ；虚轴长为 ．
c
④离心率：
e??1
．
a
xy
x
2
y
2
⑤渐近线：双曲线
2
?
2< br>?1
的渐近线方程为：
??0
．
ab
ab
22yx
（2）请你说出双曲线
2
?
2
?1
的几何性质：
ab
①范围：
x
：
y
：
②对称性：双曲线关于 轴、 轴及 都对称．
③顶点：（ ），（ ）实轴长为 ；虚轴长为 ．
c
④离心率：
e??1
．
a
y
2
x
2
⑤渐近线：双曲线
2
?
2
?1< br>的渐近线方程为： ．
ab
（3）实轴与虚轴等长的双曲线叫 双曲线．
三、新课精讲：
x
2
y
2
例1：求双曲线??1
的实半轴长、虚半轴的长、焦点坐标、离心率及渐近线的方程．
4925






练习1：求双曲线
9y
2?16x
2
?144
的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程．






例2：
求
双曲线的标准方程：
⑴实轴的长是10，虚轴长是8，焦点在
x
轴上； ⑵离心率
e?2
，经过点
M(?5,3)
；





19

高二（文科）数学导学案 选修1-1
练习2：求经过点
A(3,?1)
，并且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线的方程．







四、基础自测：
x
2
y
2
1．双曲线
16
?
8
?1实轴和虚轴长分别是（ ）．
A．
8
、
42
B．
8
、
22
C．4、
42

2．双曲线
x
2
?y
2
??4
的顶点坐标是（ ）．
A．
(0,?1)
B．
(0,?2)
C．
(?1,0)

3．双曲线
x
2
?4y
2
?1
的渐近线方程是 ．
4．双曲线
x
2
4
?
y
2
8
?1
的离心率为 ．
5、求下列双曲线的标准方程
（1）焦点在
y
轴上，焦距是16，
e?
4
3
．





（2）与椭圆
x
2
9
?
y
2
4
?1
有公共焦点，并且离心率为
5
2






）以椭圆
x
2
y
2
（3
8
?
5
?1
的焦点为顶点，以椭 圆的顶点为焦点







（4）经过点A（3，-1）的等轴双曲线







20
D．4、
22

D．（
?0,2
）

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案11
双曲线的简单几何性质（2）

一、学习目标：
1．掌握双曲线的定义及性质；
2．能解决与几何性质相关的简单的综合性问题.
二、课前准备：
复习双曲线的几何性质

三、新课精讲：
例1：已知双曲线的焦点在y
轴上，并且双曲线上两点
P
1
,P
2
坐标分别为(3,?42),(,5)
，
求双曲线的标准方程.


[来源:Z*xx*]
9
4



练习1：求中心在原点，两对称轴都在坐标轴上 ，并且经过
P(3,),和Q(
曲线方程.





5
4
16
,5)
两点的双
3
x
2
y
2
??1
共渐近线，例2：求与双曲线且经过
A23,?3点的双曲线的标准方及离心率．
169
??









练习2：若双曲线与
x
2?4y
2
?64
有相同的焦点，它的一条渐近线方程是
x?3y?0，求双
曲线的方程.






21

高二（文科）数学导学案 选修1-1
例3：过双曲线
x
2
?y
2
?8
的左 焦点
F
1
有一条弦
PQ
在左支上，若
PQ?7
，< br>
F
2
是双曲线
的右焦点，则
?PF
2
Q< br>的周长是 .



x
2
y
2
练习3：过双曲线
??1
的右焦点，倾斜角为
30
的直线交双曲线 于
A,B
两点，求
A,B
36
两点的坐标、
AB
以及
?AF
1
B
的周长.





四、基础自测：
x
2
y
2
x
2
y
2
1．若椭圆
?
2
?1
与双曲线
??1
的焦点相同，则
a
=____.
4aa2


x
2
y
2
2．以椭圆
?
．
?1
的焦点为顶点，离心率为
2
的双曲线的方程（ ）
251 6
x
2
y
2
x
2
y
2
A.
??1
B.
??1

1648927
x
2
y
2
x
2
y
2C.
??1
或
??1
D. 以上都不对
1648927

3．双曲线的渐近线方程为
x?2y?0
，焦距为
10
，这双曲线的方程为_______________.


x
2
y
2
4．方程
??1
表示焦点在x轴上的双曲线，则< br>k
的取值范围 ．
4?k1?k


3
x
2
y
2
x
，求双曲线的焦点坐标． 5．若双曲线
??1
的渐近线方程为
y??
2
4m






五、能力提升：
x
2
y
2
x
2
y
2
若椭圆
??1
和双曲线< br>??1
的共同焦点为F
1
，F
2
，P是两曲线的一个交点，< br>251645
则
PF
1
?PF
2
的值为（ ）．
[来源学_科_网]
21
A． B．
84
C．
3
D．
21

2

22

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案12
抛物线及其标准方程

一、学习目标：
1．掌握抛物线线的定义，几何图形及标准方程的推导过程．

2．掌握抛物线的标准方程．
3．会利用抛物线的定义和标准方程解决简单的实际问题．
二、课前预习：
1.定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛 物线．点F叫做
抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 ．
2.抛物线方程
图 形 焦点坐标 准线方程 标准方程





[来源:学科网ZXXK]








3.抛物线的标准方程中p具有一定的几何意义，它表示 .因为焦点不在准
线上，所以p＞0.
4.抛物线的焦点在 对应的轴上，开口方向由它的标准方程中2p前面
决定.
三、新课精讲：

例1：求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）
y?20x
（2）
y?2x
（3）
2y ?5x ?0
（4）
2x+8y=0




练习1：指出抛物线的焦点坐标、准线方程.
(1) y
2
=6x （2）x
2
=4y



23
2222

高二（文科）数学导学案 选修1-1
例2
：
根据下列条件，写出抛物线的标准方程：
（1）焦点是
F(3,0)
（2）焦点到准线的距离是2 （3）过点A（-3，2）


练习2：根据下列条件写出抛物线的标准方程：
（1）准线方程是
x??


例3：在抛物线
y
2
?8x
上有一点到
x
轴的距离为4，求该点到焦点的距离.
[来1
（2）焦点到准线的距离是2 （3）过点（1,2）
4
练习3：抛 物线
y
2
?24ax(a?0)
上有一点
M
，它的横坐标是 3，它到焦点的距离是5，求
抛物线的方程.



四、基础自测：
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）
y
2
?20x
（2）
x?
2
1
y
（3）
2y
2
?5x?0

2




2、根据下列条件，求抛物线的方程，并画出图形：
（1）顶点在原点，对称轴是
x
轴，并且顶点与焦点的距离等于6；



（2）顶点在原点，对称轴是
y
轴，并经过点
P
?
?6,?3
?



3、已知
P(8,a)< br>在抛物线
y?4px
上，且
P
到焦点的距离为10，求焦点到准线的距 离.



2

24

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案13 抛物线的简单的几何性质

一、学习目标：
1、掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的几何性质；
2、了解抛物线在实际问题中的初步应用；
3、进一步理解抛物线的方程、几何性质及图形三者之间的内在联系。
二、课前预习：
类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？
根据抛物线的标准方程：
y
2
?2px(p?0)
1.范围

2.对称性

3.顶点

4.离心率



三、新课精讲：
研究它的简单几何性质：
例1：已知抛物线 关于
x
轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
M(3,?32)
，求它的
标准方程．




变式1：顶点在坐标原点，对称轴是 坐标轴，并且经过点
M(3,?32)
的抛物线有几条？求
出它们的标准方程．






例2：斜率为1的直线
l< br>经过抛物线
y
2
?4x
的焦点
F
，且与抛物线相交于
A
，
B
两点，求
线段
AB
的长 ．

[来源:]


变式2：过点
M(2,0)
作斜率为
1
的直线
l
，交抛物线
y
2
?4x
于
A
，
B
两点，求
AB
．
[来源


25

高二（文科）数学导学案 选修1-1
四、基础自测：
1、抛物线
y
2
?2px
上 的横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是
（ ）
A、4 ；B、8 ；C、16 ；D、32

2、过抛物线y
2
?4x
的焦点作直线交抛物线于
A
?
x
1
,y
1
?
，
B
?
x
2
,y
2
?
，
x
1
?x
2
?6
，那么
AB
等于（ ）
A、8 ；B、10 ；C、6 ；D、4


x
2
y
2
??1
?
mn?0
?
的离心率为2，有一个焦点与抛物线
y
2
?4x
的焦点重合，3、双曲线
mn
则
mn
的值为（ ）
A、


4、抛物线
y
2
?4x
上的一 点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是（ ）
A、
33168
；B、；C、 ；D、
16833
17157
；B、 ；C、 ；D、0
168
16


5、过抛物线y
2
=8x的焦点，倾斜角为45°的直线被抛物线截得的弦长为 .




五、能力提升：
1、已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y轴上，抛物线上的点(m，－2）到焦点的距离

等于4，则m的值为 .




2、抛物线y=4x的弦AB垂直于x轴，若|AB|=4
3
，则焦点到AB的距离为 .
2



26

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案14 圆锥曲线复习
一、学习目标：
1．掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程；
2．掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质；
二、课前预习：
复习1：完成下列表格：

椭圆 双曲线 抛物线

定义



图形



标准方程



顶点坐标



对称轴


焦点坐标



离心率

（以上每类选取一种情形填写）
复习2：
3
①若椭圆
x
2
?my
2
?1
的离心率为，则它的长半轴长为__________； < br>2
②双曲线的渐近线方程为
x?2y?0
，焦距为
10
，则双 曲线的方程为 ；
x
2
y
2
③以 椭圆
??1
的右焦点为焦点的抛物线方程为 ．
2516
三、新课精讲：
x
2
y
2
??1
的右焦点和右准线；左焦点和左准线. 例1：求椭圆
2516


变式练习、求下列曲线的准线方程
(1)
x?4y?16
(2)
x?2y?8
(3)
y?4x



例2：已知双曲线的离心率为2,准线方程为
x??1
,求双曲线标准方程.


变式练习：已知椭圆离心率为

22222
1
，准线为
y??2
，求椭圆的标准方程。
2
27

高二（文科）数学导学案 选修1-1
x
2
y
2
??1
的焦点为焦点，例３：双曲线
M
的中心在原点，并以椭圆以抛物线
y
2
??23x
251 3
的准线为右准线，求双曲线的方程；



x
2
y
2
变式训练：双曲线与椭圆
??1
有相同焦点，且经过点
(15 ,4)
，求双曲线的方程．
2736


四、基础自测：
x
2
?y
2
?1
的对称中心为顶点，求以椭圆焦点为焦点的抛物线 方程. 1. 以椭圆
2



x
2
y
2
??1
上的一点P到左焦点的距离为9，求P到右准线的距离. 2.如果双曲线
25144




x
2
y
2
3．若曲线
??1
表示椭圆，求
k
的取值范围是．
k1?k





4．双曲线
2mx?m y? 2
的一条准线是y=1,则
m
的值。





22
5．
已知椭圆的中心在原 点，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的
3
倍，且过点
P(3,2)
，求椭圆的方程．


28

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案15
变化率问题
一、课前预习（预习教材
P
72
~
P
74
，找出疑惑之处）
问题1 气球膨胀率
气球的体积
V
(单位:
L
)与半径
r
(单位:
dm
)之间的函 数关系是
V(r)?
径
r
表示为体积
V
的函数,那么
r(V)?
3
4
3
?
r
如果将半
3
3V
在吹气球问题中，当空气容量V从0增加到1L
4
?
时，气球的平均膨胀率为 __________；当空气容量V从1L增加到2L时，气球的平均膨胀
率为__________ ________；当空气容量从
V
1
增加到
V
2
时,气球 的平均膨胀率为
_____________。
问题2 高台跳水
在高台跳水运动 中，,运动员相对于水面的高度
h
(单位：
m
)与起跳后的时
h < br>2
间
t
（单位：
s
）存在函数关系
h
(t
)= -4.9
t
+6.5
t
+10. 如何用运动员在
某些时间段内的平均速度
v
粗略地描述其运动状态?
在0?t?0.5
这段时间里，
v
=_________________
在
1?t?2
这段时间里，
v
=_________________
o
问题3 平均变化率
已知函数y=
f
?
x
?
，则变化率可用式子_____________表示,此式称之为函数y=
f
?x
?
从
x
1
到
t
x
2
的_ ________.习惯上用
?x
表示
x
2
?x
1
，即
?x
=___________,可把
?x
看做是相对于
x1
的一个“增量”，可用
x
1
?
?x
代替
x< br>2
，类似有
?f(x)?
__________________,于是，平均 变化率可以表示为
_______________________
新知：平均变化率：< br>f(x
2
)?f(x
1
)
?f
?

x
2
?x
1
?x

二、典型例题
例1 过曲线
y?f(x)?x
3
上两点
P(1,1)
和
Q(1? ?x,1??y)
作曲线的割线，求出当
?x?0.1
时
割线的斜率.




变式：已知函数
f(x)??x
2
?x
的图象上一点
(?1,?2)
及邻近一点
(?1??x,?2??y)
，
?y
则=
?x
2
例2 已知函数
f(x)?x
，分别计算
f(x)
在下列区间上的平均变化率：
（1）[1，3]；（2）[1，2]；（3）[1，1.1]；



29

高二（文科）数学导学案 选修1-1
三、当堂检测
1．函数
f
?
x
?
? x
2
在区间
?
?1,3
?
上的平均变化率是（ ）
A、4 B、2 C、
3
1
D、
4
4
2．经过函数
y??2x
2
图象上两点A、B的 直线的斜率（
x
A
?1.5,x
B
?1
）为_______ ;函数
y?2x
2
在区间[1，1.5]上的平均变化率为____________ _____
3．如果质点M按规律
s?3?t
运动，则在时间[2，2.1]中相应 的平均速度等于______
4.已知函数
f(x)?2x?1
，
g (x)??2x
，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上
f(x)
及
g(x)
的
平均变化率. （发现：
y?kx?b
在区间[m，n]上的平均变化率有什么特点？）



※ 知识拓展
平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率“视觉化”．
四、课后练习与提高
1.
y?2x?1
在
(1,2)
内的平均变化率为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0

2. 设函数
y?f(x)< br>，当自变量
x
由
x
0
改变到
x
0
? ?x
时，函数的改变量
?y
为（ ）
A．
f(x
0
??x)
B．
f(x
0
)??x

C．
f(x
0
)?x
D．
f(x
0
??x)?f(x
0
)



3. 质点运动动规律
s?t
2
?3
，则在时间
(3,3? ?t)
中，相应的平均速度为（ ）
9
A．
6??t
B．
6??t?

?t
C．
3??t
D．
9??t



1
4.已知
s?gt
2
，从
3s
到
3.1s
的平均速度是_______
2


5.
y?x
2
?2x?3
在
x?2
附近的平均变化率是____


6.已知函数
f(x)??x?1
，分别计算
f
?
x
?
在下列区间上的平均变化率
2
2
（1）[1，1.1] (2)[0.9,1]



30

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案 16 导数的概念
一、学习目标：
1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念;
2.理解导数的概念,知道瞬时变化率就是导数,体会导数的思想及其内涵;
3.会求函数在某点的导数.
二、课前预习：
问题1 我们把物体在某一时刻的速 度称为________。一般地，若物体的运动规
律为
s?f(t)
，则物体在时刻 t的瞬时速度v 就是物体在t到
t??t
这
段时间内，当_________时平均 速度的极限，即
?s
v?lim
=___________________
?x?0
?t
h
?
t
?
??4.9t
2
?6.5t?10

问题2 函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是:
?x?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
?lim
< br>?x?0
?x?x
我们称它为函数
y?f(x)
在
x?x0
处的______，记作
f
'
(x
0
)
或_ _______，即
________________________


三、新课精讲：
(一)平均变化率：
(二)探究
探究: 计算运动员在
0?t?
h
65
这段时间里的平均速度,并思考以下问题:
49
(1)运动员在这段时间内使静止的吗？
(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
探究过程:




二、学习新知
1.瞬时速度
我们把物体在某一时 刻的速度称为瞬时速度.运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬
时速度,那么,如何求运动员的瞬 时速度呢？比如,
t?2
时的瞬时速度是多少？考察
t?2
附
近的情 况:
思考: 当
?t
趋近于
0
时,平均速度
v
有什么样的变化趋势？
结论:

31
o
t

高二（文科）数学导学案 选修1-1
2.导数的概念
从函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率是:
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f

? lim
?x?0
?x?x
?x?0
lim
我们称它为函数
y ?f(x)
在
x?x
0
出的导数,
记作
f(x
0
)
或
?x?0
'
y
'
|
x?x
0
即
f
?
(x
0
)?lim
说明: (1)导数即为函数
(2)
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率;
?x?x?x
0
,当
?x?0
时,
x?x
0
,所以
x?x
0
f
?
(x
0
)?lim
三、典例 分析
f(x)?f(x
0
)
.
x?x
0
例1 用定义求函数在某点处的导数
(1)求函数
y?3x
2
在
x?1
处的导数.
( 2)求函数
f(x)??x
2
?x
在
x??1
附近的平均变 化率,并求出该点处的导数.
分析: 先求
?f??y?f(x
0
??x) ?f(x
0
)
,再求
解: (1)




(2)







一用定义求函数在某点处的导数的步骤：
(1)求函数的增量Δy＝f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)； Δy
f(x
0
＋Δx)－f(x
0
)
(2)求平均变化 率＝；
ΔxΔx
Δy
(3)Δx趋近于0时，若
趋近于一个常数，则这个常 数就是函数在该点处的导数．
Δx

32
?y
?y
,最后求
lim
.
?x?0
?x
?x

高二（文科）数学导学案 选修1-1
例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果 第
xh
时,原油的温度(单位:
C
)为
f(x)?x
2?7x?15(0?x?8)
,计算第
2h
时和第
6h
时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
解:





注: 一般地,
f
'
(x
0
)
反映了原 油温度在时刻
x
0
附近的变化情况.

四、课堂练习
1.质点运动规律为
s?t
2
?3
,求质点在
t



2.求曲线
y?f(x)?x
3
在
x?1
时的导数.



五、课堂反馈及课后作业
1．函数在某一点的导数是( )
A．在该点的函数值的增量与自变量的增量的比 B．一个函数
C．一个常数，不是变数 D．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率 < br>2．如果质点A按照规律s＝3t
2
运动，则在t
0
＝3时的瞬时速度 为( )
A．6 B．18 C．54 D．81
?3
的瞬时速度为.
3．y＝x
2
在x＝1处的导数为( )
A．2x B．2C．2＋Δx D．1
4．一质点做直线运动，若它所经过 的路程与时间的关系为s(t)＝4t
2
－3(s(t)的单位：m，t的
单位：s) ，则t＝5时的瞬时速度为( )
A．37

1
5．函数y＝x＋在x＝1处的导数是________．
x

6．已知函数f(x)＝ax＋4，若f′(2)＝2，则a等于______．

33
B．38 C．39 D．40

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1 导学案 17 导数的几何意义
一、学习目标：
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系;
2.理解曲线的切线的概念;
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题.
二、课前预习：
(一) 平均变化率、割线的斜率
设函数y＝f(x)的图象如图 所示，AB是过点A(x
0
，f(x
0
))与点B(x
0
＋ Δx，f(x
0
＋Δx))的一
Δy
条割线，此割线的斜率是=------ -----------
Δx
(二)瞬时速度、导数
我们知道,导数表示函数y?f(x)
在
x?x
0
处的瞬时变化率,反映了函数
y?f( x)
在
x?x
0
附近的变化情况,导数
f
?
(x< br>0
)
的几何意义是什么呢？
三、新课精讲：
(一)曲线的切线及切线的斜率
如图,当
P,2,3,4)
沿着曲线
f(x)
趋近于点
P(x
0
,f(x
0
))
时, 割线
PP
n
的
n
(x
n
,f(x
n
))(n?1
变化趋势是什么？
我们发现:








PT
的斜率
k
有什么关系？ 问题: (1)割线
PP
n
的斜率
k
n
与切线
(2)切线
PT
的斜率
k
为多少？

(二)导数的几何意义
函数
y?f(x)
在
x?x
0
处的 导数等于在该点
(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率,
即
f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?k

?x
(三)导函数
由函数
y?f(x)
在
x?x
0
处求导数的 过程可以看到,当
x?x
0
时,
f
?
(x
0
)
是一个确定的数,
那么,当
x
变化时,便是
x
的一个函 数,我们叫它为
f(x)
的导函数.
记作:
f
?
(x)< br>或
y
?
,即
f
?
(x)?y
?
?l im
?x?0
f(x??x)?f(x)
.
?x
注: 在不致发生混淆时,导函数也简称导数.
34

高二（文科）数学导学案 选修1-1
三、典例分析
例1 (1)求曲线
y?f(x)?x
2
?1
在点
P(1,2)
处的切线方程.
(2)求函数
y?3x
2
在点
(1,3)
处的导数.
解:




变式练习：
1.求曲线
y?f(x)?x
3
在点
(1,1)
处的切线.


2.求曲线
y?




四、基础自测：
1．如果曲线y＝f(x)在点(x
0
，f(x
0
))处的切线方程为x＋2y－3＝0，那么( )
A．f′(x
0
)＞0 B．f′(x
0
)＜0C．f′(x
0
)＝0 D．f′(x
0
)不存在
x
在点
(4,2)
处的切线.
3
1
1，－
?
处切线的倾斜角为( ) 2．曲线y＝x
2
－2在点
?
2
??
2
A．1
π
5
B.C.
π
44

π
D．－

4
π
3．在曲线y＝x
2
上切线的倾斜角为的点是( )
4
A．(0,0)
11
?
B．(2,4)C.
?< br>?
4
，
16
?

11
?
D .
?
?
2
，
4
?

4．曲线y＝x
3
－3x
2
＋1在点(1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝3x－4 B．y＝－3x＋2C．y＝－4x＋3 D．y＝4x－5
5．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )
A．3,3 B．3，－1C．－1,3 D．－1，－1
6．曲线f( x)＝x
3
＋x－2在P点处的切线平行于直线y＝4x－1，则P点的坐标为( )
A．(1,0)或(－1，－4) B．(0,1)C．(－1,0) D．(1,4)
7．已知函数f(x)＝x
2
＋3，则f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_ _______．
1
8．若函数f(x)＝x－，则它与x轴交点处的切线的方程为________．
x

35

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案18 几个常用函数的导数
一、学习目标：
掌握基本初等函数的导数公式，并能利用导数公式求简单函数的导数.
二、课前预习：
填写以下几个常用函数的导数公式:
C＇=____
(x
n
)'?______


?
1
?
＇=________ （cos x）＇=________
(x)'?______
（sin x）
??
'?_____
?
x
?

(lnx)'?____.



(a
x
)'?_____

(e
x
)'?____

(log
a
x)'?______
三、新课精讲：
例1．求下列函数的导数。
（1）
y?10
（2）
y?x
4
（3）
f(x)?()



（4）
f(x)?log
3
x
（5）
y?3
2
（6）
y?

< br>变式训练1：已知
f(x)?sinx
，求
f
?
()
。
1
2
x
1

x
?
2



例2、 求曲线
y?x
2
在点（1,1）处的切线的斜率
k
.




变式训练2：
3
（1）已知
f(x)?x
，求
f
?
(2)
； （2）已知
f(x)?lnx
，求
f
?
()
。
2
3



例3、已知P(-1,1)，Q（2,4）是曲 线
y?x
上的两点，则与直线PQ平行的曲线
y?x
的
切线方程 .


36
22

高二（文科）数学导学案 选修1-1
四、基础自测：
1、填空题：
（1）已知
f(x)?x2
，则
f

(3)?
.
（2）已知
f(x)?
1
，则
f

(?2)?
.
x
（3）设函数
y?
?
2
，则
y
?
.
（4）过曲线
y?
1
上的一点P的切线的斜率为-4，则点P的坐标为 . x
（5）曲线
y?x
2
上的切线倾斜角为
?
的点坐标为 .
4
（6）曲线
y?x
2
上的斜率等于2的切线的方程为 .


（7）曲线
y?x
2
在点P（1,2）处切线的方程为 .





五、能力提升：
1、质点沿直线 运动的路程和时间的关系是
s?
5
t
，则质点在
t?4
时的 速度
为 .

2、曲线
y?sinx
在点
(

3、曲线
y?x
5
上的斜率等于5的切线方程为 .

4、已知
f(x)?x，若
f(?1)??4
，则
?
的值为 .
5、已知直线
y?kx
是
y?lnx
的切线，则
k
的值为 .

6、求曲线
y?


37
[来源学科网Z,X,X,K]
?
4
,
2
)
处的切线方程为 .
2
?


1
3
x
2
在点
(8,)
处的切线方程.
1
4

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案19 导数的运算法则
一、学习目标：
掌握并运用导数的运算法则.
二、课前预习：
函数的和、差、积、商的导数运算法则：
（1）和差的导数：
[f(x)?g(x)]'?_________.

（ 2）积的导数：
[f(x)?g(x)]'?_________________.

（3）商的导数：
[
三、新课精讲：
f(x)
]'?______ _____________.
（
g(x)?0
）
g(x)
例1：求函数
y?x
3
?2x?3
的导数.




变式训练1、求下列函数的导数：
（1）
y?log
2
x
； （2）
y?2e
x
； （3）
y?2x
5
?3x
2
?5x?4
；



（4）
y?3cosx?4sinx
； （5）
y?x
3
?log
2
x
； （6）
y?x
n
e
x
；




（7）
y?
cosx
2
； （8）
y?(2x?3)(3x?2)
.
sinx




例2：求下列各函数的导函数：
e
x
?1
s inxlnx
（1）
y?(x?1)(2x?3x?1)

（2）y=（3）
y=
x

e?1
x

2


38

高二（文科）数学导学案 选修1-1
四、基础自测：
1．判断正误。
（1）
(ax
2
?bx?c)
?
?2ax?b

（2）
(sinx?2x
2
)
?
?cosx
（3）
(sinxcosx)
?
?(sinx)
?
cosx?( cosx)
?
cosx

cosx(cosx)
?
?( x
2
)
?
（4）
(
2
)
?
?
xx
2

1
的导数是（ ）
x
1111
A．
1?
2
B．
1?
C．
1?
2
D．
1?

xxxx
3. 已知
f(x)?x
2
,则
f
?
(3)?
（ ）
A．0 B．2
x
C．6 D．9
4. 函数
y?sinx(cosx?1)
的导数是（ ）
A．
cos2x?cosx
B．
cos2x?sinx

C．
cos2x?cosx
D．
cos
2
x?cosx


cosx
5.
y?
的导数是（ ）
x
sinx
A．
?
2
B．
?sinx

x
xsinx?cosxxcosx?cosx
C．
?
D．
?
x
2
x
2


2. 函数
y?x?
32
f(x)?ax?3x?2
，若
f'(?1)?4
，则 a的值为（ ）
6.
A．

10131619
B． C． D．
3333

?
的点为（ ）
4
7. 在曲线
y?x
2
上的切线的倾斜角为

1111
A．
(0,0)
B．
(2,4)
C
(,)
． D．
(,)
41624

1
上点
(1,1)
且与过这点的切线平行的直线方程是
x
8.过曲线
y?







39

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案20 导数在研究函数单调性中的应用
一、学习目标：
1.了解函数单调性和导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.
二、问题探究：
探究一：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：
1．
f(x)?x
3
?3x
； 2．
f(x)?




3．
f(x)?x?lnx
．





小结: 1．函数的单调性与导函数的关系:


2．用导数求函数单调区间的步骤：

探究二：
4．已知导函数
f
?
(x)
的下列信息：
（1）当
1?x?4
时，
f
?
(x)?0
； （2）当
x?4
，或
x?1
时，
f
?
(x)? 0
；
（3）当
x?4
，或
x?1
时，
f
?
(x)?0
．
试画出函数
f(x)
图象的大致形状．



5．函数
y?f(x)
的图象如图所示，试画出导函数
f
?
(x)
图象的大致形状．

y











40
1
；
2x
y
O
x
O
x

高二（文科）数学导学案 选修1-1
6．求证：函数
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
在
(0,2)
内是减函数.





7．已知函数
f(x)?2ax?x
3
(a?0)
，若< br>f(x)
在（0,1）上是增函数，求
a
的取值范围．
[

小结:
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的 条件；
f
?
(x)?0
是
f(x)
为增函数的 条件．（填充分、必要或充要）
探究三：
8．已知
f
?
x
?
?e
x
?ax?1
．
（1）求
f
?
x
?
的单调增区间；（2）若
f
?
x
?
在定义域< br>R
内单调递增，求
a
的取值范围．






三、基础自测：
1．函数
y?x
4
?2x
2
?5
的单调减区间是（ ）
A．
(??,?1]和[0,1]
B．
[?1,0]和[1,??)
C．
[?1,1]
D．
(??,?1]和[1,??)

2．若函数
y?x
3
?ax
2
?4
在区间（0，2）内是减函数，则实数
a
的取值范围是 （ ）
A．
a?3
B．
a?3
C．
a?3
D．
0?a?3

3．若导函数
y?f
?
(x)
的 图象如图所示，则函数
y?f(x)
的图象最有可能是（ ）
[来源学_科_网]






A． B． C． D．
(第3题)
4．函数
f(x)?2x?ln2x
的单调递增区间是 ．
5．函数
f(x)?2x?ax?1
在区间
(??,0)
和< br>(2,??)
内单调递增，且在区间
(0,2)
内
单调递减，则常数< br>a
的值为 ．
41
32
2

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案21 导数的应用2——极值
一、学习目标：
1．理解函数的极大值、极小值的概念；
2．运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值；
二、课前预习：
复习1：用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f (x)的导数
f
?
(x)
． ②令 解
不等式，得x的范围就是递增区间．③令 解不等式，得x的范围就是递减区间．
复习2：已知函数
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
，
(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象；

(2)函数f(x)在x=0和x=2处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?





三、感受理解：
1
例1．求函数
y?x
3
?4x?4
的极值，并判断是极大值还是极小值．
3










小结——求可导函数f(x)的极值的步骤:


[来源:]



变式1：已知函数
f(x)?x
3
?3x
2< br>?9x?11
．讨论函数的极大值和极小值，如有，试写出极值；










42

高二（文科）数学导学案 选修1-1
变式2：求函数
y?(x
2
?1)
2
?1< br>在
?
0,2
?
的极值.







变式3：求函数
y?x
3
的极值.





思考：导数值为0的点一定是函数的极值点吗?

例2. 已知函数f（x）=ax
3
+bx
2
－3x在x=±1处取得极值，讨论：
f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值.






例3. 已知函数
f(x)?x
3
?ax< br>2
?bx?a
2
在x=1处有极值为10，求a、b的值.







四、基础自测：
1．函数
y?2?x
2
?x
3
的极值情况是（ ）
A．有极大值，没有极小值 B．有极小值，没有极大值
C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也极小值
[来源学科网]

2．函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?a
2
在
x?1
时有极值10，则 a
、
b的值为（ ）
A．
a?3,b??3
或
a??4,b?11
B．
a??4,b?1
或
a??4,b?11

C．
a??1,b?5
D．以上都不正确
3. 函数
f(x)?x
3
?ax
2
? 3x?9
在
x??3
时有极值10，则a的值为 ．

4. 数
f(x)?x
3
?3ax
2
?a(a?0)
的极大值为正数，极小值为负数，则
a
的取值范围
为 ．


43

高二（文科）数学导学案 选修1-1
数学选修1-1导学案22 导数的应用3——最值
一、学习目标：
⒈ 理解函数的最大值和最小值的概念；
⒉ 掌握用导数求函数最值的方法和步骤.
二、课前准备：
复习1：若
x
0< br>满足
f
?
(x
0
)?0
，且在
x
0
的两侧
f(x)
的导数异号，则
x
0
是
f(x)< br>的极值点，
并且如果
f
?
(x)
在
x
0两侧满足“左正右负”，则
x
0
是
f(x)
的 点，
f(x
0
)f(x
0
)
是极值，
是极 值 ；如果
f
?
(x)
在
x
0
两侧满足“左负右正”， 则
x
0
是
f(x)
的 点，
f(x
0
)
是
极 值
复习2：求函数
f(x)
在
?
a,b
?
上的极值的步骤：



三、感受理解：阅读课本 96页-98页内容，完成下列填空
问题：观察在闭区 间
?
a,b
?
上的函数
f(x)
的图象，你能找出它的极大 （小）值吗？最大值，
最小值呢？
图1 图2
图 1 图2
在图1中，在闭区间
?
a,b
?
上的最大值是 ，最小值是 ；
在图2中，在闭区间
?
a,b
?
上的极大值是 ，极小值是 ；最大值是 ，最小值
是 .
例1．求函数
f
?
x
?
?
1
3
x?4x?4
在
?
0,3
?
的最大值与最小值
3








42
变式1：求函数
y?x? 2x?5
在区间[-2,2]上的最大值与最小值.








学科网]
44

高二（文科）数学导学案 选修1-1
变式2.已知函数
f(x)?lnx?x
2
.
（1）求函数
f(x)
的单调增区间； （2）求函数
f(x)
在定义域上的最大值.







变式3. 已知函数
f(x)?2x
3
?6 x
2
?a
在
[?2,2]
上有最小值
?37
. < br>（1）求实数
a
的值；（2）求
f(x)
在
[?2,2]上的最大值．








四、基础自测：
1．若函数
f(x)?x
3
?3x?a
在 区间
[0,3]
上的最大值、最小值分别为M、N，则
M?N
的值
为 （ ）
A．2 B．4 C．18 D．20
2．函数
f(x)?x
3
?3x(x
2
?1)
（ ）
A．有最大值但无最小值 B．有最大值也有最小值
C．无最大值也无最小值 D．无最大值但有最小值
1
?
sin3x
在
x?
处有最值 ，则实数
a
等于（ ）
3
3
23
A．2 B．1 C． D．0
3
3 ．若函数
f(x)?asinx?
4．函数
y?x?2x
在
[0,4 ]
上的最大值为 ．

5．已知函数
f(x)??x3
?3x
2
?9x?a
，
（1）求
f(x)
的单调区间；
（2）若
f(x)
在区间
[?2,2]
上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.
[来源

45