高中数学选修1-1复习

选修1-1复习提纲
第一章 常用逻辑用语
基础知识点：
一、什么叫命题？真命题？假命题？
二、四种命题：原命题的形式为“若P，则q”，试写出否命题，逆命题，逆否命题的形式。
注：互为逆否的两个命题同真假！
三、充要条件：
1、定义：若
p?q
，则称
p是q
的_________条件;
若
q?p
，则称
p是q
的_________条件;
若
p?q
且
q?p
，则称
p是q
的_________条件 ;
2、如何研究
p
是
q
的什么条件？
四、简单的逻辑联结词：且，或，非
1、三种复合命题的形式：p且q
(p?q)< br>，p或q
(p?q)
，非p
(p)

2、它们真假的判断原则分别是什么？
五、全称量词与存在量词：
1、全称题词与存在题词分别有些什么词语？
2、全称命题与特称命题的其本形式及否定形式：
全称命题p：
?x?M,p(x)
, 它的否定
?< br>?
p
：
?x
0
?M,p(x
0
)

p
：
?x?M,p(x)

?
?
特称命题p：< br>?x
0
?M,p(x
0
)
, 它的否定
典型例题：
例1、判断下列命题的真假：
① 能被6整除的整数一定能被3整除；
② 若一个四边形的四条边相等，则这是一个正方形；
③ 空集是任何集合的子集；
④ 若a是素数,则a是奇数；
⑤ 若空间中两条直线不相交，则这两条直线平行。
?
注：全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。
例2、写出下列命题的逆命题，否命题和逆否命题，并判断真假：
① 若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除；
② 若一个三角形有两条边相等，则这个三角形有两个角相等；
③ 若a,b都是偶数，则a+b是偶数；
④ 矩形的对角线相等；
⑤
若x?y
22
?0,则x,y全为0.

例3、下列各题中，
p是q
的什么条件？
①
p:x?1,q:
?
x?1
??
x?3
?
?0
；
②
p:
两个三角形面积相等，
q:
两个三角形全等；
③
p:
四边形的对角线互相垂直，
q:
四边形为菱形；

④
p:a?b,q:ac?bc
；
例4、写出下列命题，并判断它们的真假：
①
p?q,这里p:2是偶数
，q
:3不是素数
；

②
p?q,这里p:平行四边形对角线互相平分
，q
:平行四边形对角线互相垂直< br>；

③
p?q,这里p:47是7的倍数
，q
:49是7的倍 数
；

④
?p,这里p:空集是集合A的子集
；

⑤
?p,这里p:5不是15的约数
；

例5、 判断下列命题的真假，并写出它们的否命题：
1.任意的素数都是奇数；2.
?x?R,x< br>3.
?x
0
?R,x
基础练习：
1、判断下列命题的真假：
①2+4=7；②垂直于同一条直线的两个平面平行；③
若x
④3能被2整除；⑤两个 全等三角形的面积相等。
2、写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断它们的真假：
①若一个三角形的两条边相等，同这个三角形的两个角相等；
②若一个整数的末位数字为0，则这个整数能5被整除。
③若
m?0
，则
x
2
2
?1?1;

2
?2x?1?0.
4. 有些菱形是正方形。
2
?1,则x?1
；
?x?m?0
有实数根。
3、下列命题中，P是q的什么条件：
①
p:
四边形的对角线相等，
q:
四边形是平行四边形；
②
p:
x?0,y?0
，
q:
xy?0
；
③
p:a?b,q:a?c?b?c
；④
p:x?4,q:x?5
。
4、判断下列命题的真假，并写出它们的否命题：
①任意实数都有算术平方根；②所有的平行四边形是菱形；
③有的实数的绝对值是正数；
④
?x
0
?R,x
0
?0
。
2

第二章 圆锥曲线与方程
基础知识点及典型例题：
一、椭圆及性质：（定义：
PF
1
?PF
2
?2a?F
1
F
2
） 注：
a


图 形




标准方程
焦点在x轴上

??
2
?b?c


















22
焦点在y轴上
x
a
2
2
?
y
b
2
2
?1
?a?b?0
?





焦点坐标
?
?c,0
?

?
?a,0
?
,
?
0,?b
?

长轴长：
2a

短轴长：
2b

顶点坐标
轴
离心率
e?
c
a
?
0?e?1
?


例 1、已知椭圆:
x
2
25
?
y
2
16
__ ____________,顶点坐标为:_______________________,
?1< br>则它的焦点坐标为：
长轴长为:_________,短轴长为:_________,焦距为: ________,离心率为:_________,若P为椭圆上的一点,且
PF
1
?4,则PF
2
?
_____________.(若椭圆的方程为:
例2、 已知下列条件求椭圆的标准方程：
y
2
100
?
x
264
?1
呢?)
1.已知椭圆的一个焦点为（3，0），且它的长轴长为10； 2.焦点在y轴上，焦距为4，离心率为
2
；
3
3.已知椭圆的焦点坐标为 （-2，0），（2，0），且经过点
?
53
?
?
,?
?< br>2
??
2
；
4.长轴长为20，离心率为
3
；5. 长轴长是短轴长的3倍，且经过点
P
?
3,0
?
.
5222
二、双曲线及性质：(定义：
|PF
1
?PF
2
|?2a(?F
1
F
2
)
) 注：
c


图 形
标准方程

焦点在x轴上


?a?b

焦点在y轴上
x
a
2
2
?< br>y
b
2
2
?1(a,b?0)

焦点坐标
?
?c,0
?

?
?a,0
?

实轴长：
2a

虚轴长：
2b
















顶点坐标
轴
离心率
e?
c
a
?
e< br>b
a
?1
?

x


渐近线 < br>y??
例3、已知双曲线：
16x
2
?9y
2
则它的 焦点坐标为：____________,它的顶点坐标为:___________,
?144
，
实轴长为:_________,虚轴长为:__________,焦距为:_______,离 心率为:______,渐近线的方程
为:_______________;若P为双曲线上的一点, 且
PF
1
?4,则PF
2
?
________.(若
PF
1
?8
呢?)
例4、 已知下列条件求双曲线的标准方程：
1.焦点在x轴上
a?4,b?3
；2.焦点为（0，-6），（0，6），且经过点（2， -5）；
3.顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，且
e?
5
4
；
4.焦距是10，虚轴长是8； 5.焦点在x轴上，渐近线为
y??
三、抛物线 及性质：（定义：
|PF|?d
）
方程
2
y?2px

4
3
x,
实轴长为12；




图 形
▲
y
▲
y
▲
y
▲
yx
O
x
O
x
O
O
x

焦 点
F(
p
2
,0)

p
2








准 线
x??
2

例5、抛物线
y?8x
的焦点F的坐标为：__ _______,准线方程为:_____________,焦点到准线的距离为
_________ .若该抛物线上的一点M到焦点F的距离为5,则M到准线的距离为:____,M点的坐标
为:___ _______.(若抛物线为
x
2
??4y
呢?)
例6、已知下列条件求抛物线的标准方程：

1.焦点为F（3，0）； 2.准线方程为
x??
1
2
； 3.焦点到准线的距离为2；
2< br>四、直线与曲线的位置关系：（联立直线与曲线方程消去y得：
Ax?Bx?C?0
）
1、相交：两个交点
???0
；（交点坐标为对应方程组的解！）
2、相切：一个交点
???0
； 3、相离：无交点
???0
。
五、求弦长的常见方法：
1、直接法：列方程组求出两个交点的坐标，再利用两点间的距离公式；
AB?
2、弦长公 式法：①列方程组并消去
y
得：
Ax
②利用韦达定理计算
(x
1
?x
2
)
22
2
?
x
1
?x
2
?
2
?
?
y
1
?y
2
?

2
?Bx?C?0
；

?(x
1
? x
2
)?4x
1
x
2
；③利用弦长公式求：
AB? 1?k
2
x
1
?x
2
。
3、定义法：抛物线的焦点 弦的长可借助定义。
AB?|x
1
?x
2
|?p
。
六．焦半径公式
基础练习：
1、椭圆
x
2
25
?
y
2
9
?1
上一点P到一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的 距离为（ ）
A、5 B、6 C、4 D、10
2、若椭圆的长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（ ）
2 2
22
22
2
A、
x
?
y
?1
B、
x
?
y
?1
C、
x
?
y?1
或
x
916
2516
2516
16
?y
2
25
?1
D、都不对
3、准线方程为
x?2
的抛物线的标准方程为（ ）
A、
y
2
??4x
B、
y
2
??8x
C、
y
2
?4x
D、
y
2
?8x

4、下列双曲线中，以
x?2y?0
为渐近线的是（ ）
22
2
A、
x
?
y
?1
B、
x
164
4
?
y
2
16
C、
x
2
?1
2
?y
2
2
D、
x
2
?
y
?1

?1
2
5、 若椭圆
x
2
?my
2
?1
的离心率为
3
2
，则它的长半轴长为：___________;
2
6、若曲线
x
4?k
?
y
2
1?k
?1
表示双曲线，则
k
的取值范围是：________________,
7、抛物线
y?
1
x
2
的焦点坐标为____;若此抛物线上一点M到焦点的距离是4,则M点的坐标为:___ ______.
4
22
8、求与椭圆
x
?
y
?1
有公共焦点，且离心率
e?
5
的双曲线的标准方程。
49244
9、已知直线
y?kx?2
和曲线
2x
2
?3y2
?6
；①当
k
分别为何值时，直线与曲线有一个公共点？有
两 个公共点？②当
k?
时，直线与曲线交于A、B两点，求|AB|。

第三章 导数及其应用
1、函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
f
?
x
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
2
?
?f
?
x
1
?
< br>f(x
0
??x)?f(x
0
)
?x
x
2< br>?x
1
?f
?
(x
0
)?lim
2、导数定 义：
f
3、函数
y?f
；．
x?x
0
?x?0< br>?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
n'n?1'
y?f
?
x
?
在点
?
?
x< br>0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率．
4、常见函数的导数公式：
①
C
?0
；②
(x)?nx
x'x
'
； ③
(sinx)?cosx
；④
(cosx)??sinx
；
x
'
⑤
(a)?alna
；⑥
(e)?e
； ⑦
(log
5、导数运算法则：
x'
a
x)?
'
1
xlna
；⑧
(lnx)?
'
1
x

?
1
?

?
?
f
?
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
?
2?
；
?
?
f
?
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
；
?
?
f
?
x?
?
f
?
?
x
?
g
?
x?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?< br>?
g
?
x
?
?0
?
??
?
2
gx
??
3
?
??
??
?
g
?
x
?
?
?
．
6、在某个区间
?
a,b< br>?
内，若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
若
f
?
?
x
?
?0
，则函 数
y?f
7、求函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单 调递增；
?
x
?
在这个区间内单调递减．
f
?
?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0?
?0
时：
?
x
?
的极值的方法是：解方程
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
?
2
?
如果在
x
0
附近的左侧
8、求函数
y?f
f< br>?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是 极大值；
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极小值．
?
x
?
在
?
a,b?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y? f
?
x
?
在
?
a,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与 端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。
1、设
f(x)
是可导函数， 且
lim
A．
f(x
0
?2?x)?f(x
0
)< br>?x
?x?0
?2,则f
?
(x
0
)?
（ ）
1
2

2、
f
（
x
）是f
（
x
）的导函数，
f
（
x
）的图象如右图所 示，则
f
（
x
）的图象只可能是（ ）



（A） （B） （C） （D）
B．－1 C．0 D．－2

3、下列函数中,在
(0,??)
上为增函数的是 （ ）
2
A.
y?sin
4、已知
y?
1
3
x
B.
y?xe
C.
y?x?x
D.
y?ln(1?x)?x

x?bx
32
x3
?(b? 2)x?3
是R上的单调增函数，则
b
的取值范围是 （ ）
A.
b??1，或b?2
B.
b??1，或b?2
C.
?1?b?2
D.
?1?b?2

5、已知函数
f(x)??x?ax
A.
(??,?
32?x?1
在
(??,??)
上是单调函数,则实数
a
的取值范围 （ ）
3]?[3,??)
B.
[?3,3]
C.
(??,?3)?(3,??)
D.
(?3,3)

6、下列说法正确的是 （ ）
A. 函数在闭区间上的极大值一定比极小值大; B.函数在闭区间上的最大值一定 是极大值;C.对于
f(x)?x?px
32
?2x?1
,若
|p| ?6
,则
f(x)
无极值; D.函数
f(x)
在区间
(a,b)
上一定存在最值.
7、函数< br>f(x)?x
3
?ax
2
?bx?a
2
在
x ?1
处有极值10, 则点
(a,b)
为 （ ）
A.
(3,?3)
B.
(?4,11)
C.
(3,?3)
或
(?4,11)
D.不存在
8、定义在闭区间
[a,b]
上的连续函数
y?f(x)
有唯一的极值点
x?x
0
,且
y
极小值
?f(x
0
),则下列说
法正确的是 （ ） A.函数
f(x)
有最小值
f(x
0
)
B. 函数
f(x)
有最小值,但不一定是
f(x
0
)

C.函数
f(x)
的最大值也可能是
f(x
0
)
D. 函数
f(x)
不一定有最小值
9、函数
y?2x?3x
32
?12x?5
在[0，3]上的最大值和最小值分别是 （ ）
A. 5，15 B. 5，
?4
C. 5，
?15
D. 5，
?16

10、函数
f(x)?cos
A．
3
x?sin
C．
2
x?cosx
上最大值等于 （ ）
D．
4
27
B．
8
27
16
27
32
27

二、选择题
11、设函数
f(x)?ln(2?3x)
，则
f′
()
＝_____12、函数
f(x)?2x
3
?3x
2
?10
的单调递减区间
5
1
3
为 13、函 数
f(x)?x?3ax?b(a?0)
的极大值为6,极小值为2,则
f(x)的减区间是
14、点
P
是曲线
y?x
三、解答题
15、（12分）已 知直线
l
1
为曲线
y?x
2
3
2
?lnx
上任意一点, 则点
P
到直线
y?x?2
的距离的最小值是
?x?2
在点
(0,?2)
处的切线，
l
2
为该曲 线的另一条切线，且
l
1
?l
2
（Ⅰ）求直线
l
2
的方程；（Ⅱ）求由直线
l
1

l
2
和
x
轴所围成的三角形的面积