高中数学选修1-1第三章课后习题解答

新课程标准数学选修1—1第三章课后习题解答
第三章 导数及其应用
3．1变化率与导数
练习（P76）
在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为
?1
和3. 它说明在第3 h附近，原油温度大
约以1 ℃／h的速度下降；在第5 h时，原油温度大约以3 ℃／h的速率上升.
练习（P78）
函数
h(t)
在
t?t3
附近单调递增，在
t?t
4
附近单调递增. 并且，函数
h( t)
在
t
4
附近比在
t
3
附近
增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想.
练习（P79）
函数
r(V)?
3
3V
(0?V?5)
的图象为
4
?

根据图象，估算出
r
?
(0.6)?0.3
，
r
?
(1.2)?0.2
.
说明：如果没有信息技术， 教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意
义估算两点处的导数.
习题3.1 A组（P79）
W(t)?W
1
(t
0
? ?t)W
2
(t
0
)?W
2
(t
0
??t )
1、在
t
0
处，虽然
W
1
(t
0
)?W
2
(t
0
)
，然而
10
.
?
??t??t
所以，单位时间里企业甲比企业乙的平均治污率大，因此企业甲比企业乙略好一筹.
说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.
?hh(1??t)?h(1)
2、
???4.9?t?3.3
，所以，
h
?
(1)??3.3.
?t?t
这说明运动员在
t?1
s附近以3.3 m／s的速度下降.
3、物体在第5 s的瞬时速度就是函数
s(t)
在
t?5
时的导数.

?ss(5??t)?s(5)
???t?10
，所以，
s
?
(5) ?10
.
?t?t
1
?3?10
2
?150
J.
2
因此，物体在第5 s时的瞬时速度为10 m／s，它在第5 s的动能
E
k
?
4、设车轮转动的角度为
?
，时间为
t
， 则
?
?kt
2
(t?0)
.
1

由题意可知，当
t?0.8
时，
?
?2
?
. 所以
k?
25
?
25
?
2
，于是
?
?t
.
88
车轮转动开始后第3.2 s时的瞬时角速度就是函数
?
(t)
在
t?3.2
时的导数. ?
??
(3.?2?t?)
?
(3.2)
?
25
???t?20
?
，所以
?
?
(3.2)?20
?
.
?t?t8
因此，车轮在开始转动后第3.2 s时的瞬时角速度为
20
?
弧度／秒.
说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.

5、由图 可知，函数
f(x)
在
x??5
处切线的斜率大于0，所以函数在
x ??5
附近单调递增. 同
理可得，函数
f(x)
在
x??4
，
?2
，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调
递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.
6、函数（1）是一条直线，其斜率是一个小于0的常数；函数（2 ）的
f
?
(x)
均大于0，并且
随着
x
的增加，< br>f
?
(x)
的值也在增加；对于函数（3），当
x
小于0时，
f
?
(x)
小于0，当
x
大于0
时，
f< br>?
(x)
大于0，并且随着
x
的增加，
f
?
(x)
的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函
数图象中的一种.

说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系.
习题3.1 B组（P80） < br>1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是
速度变 化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.
2
、

说明：由给出的v(t)
的信息获得
s(t)
的相关信息，并据此画出
s(t)
的图象的大致形状. 这个
过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.
3、由 题意可知，函数
f(x)
的图象在点
(1,?5)
处的切线斜率为
? 1
，所以此点附近曲线呈下降
趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数
图象的大致形状.
说明：这是一个综合性问题，包含了对 导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思
想的领悟.
2

3．2导数的计算
练习（P85）
1、
f?
(x)?2x?7
，所以，
f
?
(2)??3
，f
?
(6)?5
.
2、（1）
y
?
?
1
； （2）
y
?
?2e
x
；
xln2
（3）
y
?
?10x
4
?6x?5
； （4）
y
?
??3sinx?4cosx

习题3.2 A组（P85）
?SS(r??r)?S(r)
1、
??2
?
r? ?r
，所以，
S
?
(r)?lim(2
?
r??r)?2< br>?
r
.
?r?0
?r?r
2、
h
?
(t)??9.8t?6.5
. 3、
r
?
(V )?
4、（1）
y
?
?3x
2
?
1
33
.
2
34
?
V
11
； （2）
y
?
?nx
n?1
e
x
?x
n
e
x
； （3）
y
?
??
2
.
xln2sinx
5、
f
?
(x)??8?22x
. 由
f
?
(x
0
)?4
有
4??8?22x
0
，解得
x
0
?32
.
6、（1）
y
?
?lnx?1
； （2）
y?x?1
. 7、
y??
8、（1）氨气的散 发速度
A
?
(t)?500?ln0.834?0.834
t
.
（2）
A
?
(7)??25.5
，它表示氨气在第7天左右时， 以25.5克／天的速率减少.
习题3.2 B组（P86）
1、当
y?0
时，
x?0
. 所以函数图象与
x
轴交于点
P(0,0)
.

y?
??e
x
，所以
y
?
x?0
x
?< br>?1
.
??1
.
所以，曲线在点
P
处的切线的方程为
y??x
.
2、
d
?
(t)??4sint
. 所以，上午6:00时潮水的速 度为
?0.42
m／h；上午9:00时潮水的速度为
?0.63
m／h；中 午12:00时潮水的速度为
?0.83
m／h；下午6:00时潮水的速度为
?1. 24
m／h.
3．3导数在研究函数中的应用
练习（P93）
1、（1 ）因为
f(x)?x
2
?2x?4
，所以
f
?
(x )?2x?2
.
3

当
f
?
(x)?0
，即
x?1
时，函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递增；
当
f
?
(x)?0
， 即
x?1
时，函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递减.
（2）因为
f(x)?e
x
?x
，所以
f
?< br>(x)?e
x
?1
.
当
f
?
(x)?0
，即
x?0
时，函数
f(x)?e
x
?x
单调递增；
当
f
?
(x)?0
，即
x?0
时，函数
f(x)?e
x
?x
单调递减.
（3）因为
f(x)?3x?x
3
，所以
f
?
(x)?3?3x
2
.
当
f
?
(x)?0
，即
?1 ?x?1
时，函数
f(x)?3x?x
3
单调递增；
当
f
?
(x)?0
，即
x??1
或
x?1
时，函数
f(x)?3x?x
3
单调递减.
（4）因为
f(x )?x
3
?x
2
?x
，所以
f
?
(x)? 3x
2
?2x?1
.
1
当
f
?(x)?0
，即
x??
或
x?1
时，函数
f(x)?x
3
?x
2
?x
单调递增；
3
1
当
f
?
(x)?0
，即
??x?1
时，函数
f(x )?x
3
?x
2
?x
单调递减.
3
2
、

注：图象形状不唯一.
3、因为
f(x )?ax
2
?bx?c(a?0)
，所以
f
?
(x)?2a x?b
.
（1）当
a?0
时，
b
时，函数
f (x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调递增；
2a
b
f
?
(x)?0
，即
x??
时，函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调递减.
2a
（2）当
a?0
时，
b
f
?
(x) ?0
，即
x??
时，函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a ?0)
单调递增；
2a
b
f
?
(x)?0
，即< br>x??
时，函数
f(x)?ax
2
?bx?c(a?0)
单调 递减.
2a
f
?
(x)?0
，即
x??
4、证明 ：因为
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
，所以
f< br>?
(x)?6x
2
?12x
.
当
x?(0,2)
时，
f
?
(x)?6x
2
?12x?0< br>，
因此函数
f(x)?2x
3
?6x
2
?7
在
(0,2)
内是减函数.
练习（P96）
1、（ 1）因为
f(x)?6x
2
?x?2
，所以
f
?
( x)?12x?1
.
4

令
f
?
(x)?12x?1?0
，得
x?
当
x?
1
.
12
11
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递增；当
x?
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递减.
1212
111149
所以，当
x?
时，
f (x)
有极小值，并且极小值为
f()?6?()
2
??2??
.
1212121224
（2）因为
f(x)?x
3
?27x，所以
f
?
(x)?3x
2
?27
.
令
f
?
(x)?3x
2
?27?0
，得
x??3< br>.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x) ?0
，即
x??3
或
x?3
时；②当
f
?
(x)?0
，即
?3?x?3
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)
，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?3)

＋
单调递增
?3

0
54
(?3,3)

－
单调递减
3
0
(3,??)

＋
单调递增
f
?
(x)

f(x)

?54

因此，当
x?3
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
?54；
当
x??3
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为54.
（3）因为
f(x)?6?12x?x
3
，所以
f
?< br>(x)?12?3x
2
.
令
f
?
( x)?12?3x
2
?0
，得
x??2
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
?2?x ?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或x?2
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?2)

－
单调递减
?2

0
(?2,2)

＋
单调递增
2
0
22
(2,??)

－
单调递减
f
?
(x)

f(x)

?10

因此，当
x??2
时，
f(x)
有极小值 ，并且极小值为
?10
；
当
x?2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为22
（4）因为
f(x)?3x?x
3
，所以
f
?
(x)?3? 3x
2
.
5

令
f?
(x)?3?3x
2
?0
，得
x??1
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
?1?x ?1
时；②当
f
?
(x)?0
，即
x??1
或x?1
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?1)

－
单调递减
?1

0
(?1,1)

＋
单调递增
1
0
2
(1,??)

－
单调递减
f
?
(x)

f(x)

?2

因此，当
x??1
时，
f(x)
有极小值， 并且极小值为
?2
；
当
x?1
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为2
2、< br>x
2
，
x
4
是函数
y?f(x)
的极值点，
其中
x?x
2
是函数
y?f(x)
的极大值点，其中
x?x
4
是函数
y?f(x)
的极小值点.
练习（P98） < br>（1）在
[0,2]
上，当
x?
1149
时，
f(x )?6x
2
?x?2
有极小值，并且极小值为
f()??
.
121224
又由于
f(0)??2
，
f(2)?20
.
因此，函数
f(x)?6x
2
?x?2
在
[0,2]
上的最大值是20 、最小值是
?
49
.
24
（2）在
[?4,4]
上，当
x??3
时，
f(x)?x
3
?27x
有极大值，并 且极大值为
f(?3)?54
；
当
x?3
时，
f(x)? x
3
?27x
有极小值，并且极小值为
f(3)??54
；
又由于
f(?4)?44
，
f(4)??44
.
因此，函数
f(x)?x
3
?27x
在
[?4, 4]
上的最大值是54、最小值是
?54
.
1
（3）在
[ ?,3]
上，当
x?2
时，
f(x)?6?12x?x
3
有 极大值，并且极大值为
f(2)?22
.
3
155
又由于
f(?)?
，
f(3)?15
.
327
155
因此，函数
f(x)?6?12x?x
3< br>在
[?,3]
上的最大值是22、最小值是.
327
（4）在
[2,3]
上，函数
f(x)?3x?x
3
无极值.
因为
f(2)??2
，
f(3)??18
.
6

因此，函数
f(x)?3x?x
3
在
[2 ,3]
上的最大值是
?2
、最小值是
?18
.
习题3.3 A组（P98）
1、（1）因为
f(x)??2x?1
，所以
f
?
(x)??2?0
.
因此，函数
f(x)??2x?1
是单调递减函数.
（2）因为
f(x )?x?cosx
，
x?(0,)
，所以
f
?
(x)?1? sinx?0
，
x?(0,)
.
22
因此，函数
f(x)?x?cosx
在
(0,)
上是单调递增函数.
2
（3）因为
f(x)?2x?4
，所以
f
?
(x)?2?0
.
因此，函数
f(x)?2x?4
是单调递增函数.
（4）因为
f(x) ?2x
3
?4x
，所以
f
?
(x)?6x
2
?4?0
.
因此，函数
f(x)?2x
3
?4x
是单调递增函数.
2、（1） 因为
f(x)?x
2
?2x?4
，所以
f
?
(x) ?2x?2
.
当
f
?
(x)?0
，即
x??1
时，函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递增.
当
f
?
(x)?0
，即
x??1
时， 函数
f(x)?x
2
?2x?4
单调递减.
（2）因为
f (x)?2x
2
?3x?3
，所以
f
?
(x)?4x?3< br>.
?
?
?
3
时，函数
f(x)?2x
2< br>?3x?3
单调递增.
4
3
当
f
?< br>(x)?0
，即
x?
时，函数
f(x)?2x
2
?3 x?3
单调递减.
4
当
f
?
(x)?0，即
x?
（3）因为
f(x)?3x?x
3
，所以
f< br>?
(x)?3?3x
2
?0
.
因此，函数
f(x)?3x?x
3
是单调递增函数.
（4）因为
f (x)?x
3
?x
2
?x
，所以
f
?
(x )?3x
2
?2x?1
.
当
f
?
( x)?0
，即
x??1
或
x?
1
时，函数
f(x) ?x
3
?x
2
?x
单调递增.
3
1
当
f
?
(x)?0
，即
?1?x?
时，函数
f(x )?x
3
?x
2
?x
单调递减.
3
3、（1）图略. （2）加速度等于0.
4、（1）在
x?x
2
处，导函数
y?f
?
(x)
有极大值；
（2）在
x?x
1
和
x?x
4
处，导函数
y?f< br>?
(x)
有极小值；
7

（3）在
x?x
3
处，函数
y?f(x)
有极大值；
（4）在
x?x
5
处，函数
y?f(x)
有极小值.
5、 （1）因为
f(x)?6x
2
?x?2
，所以
f
?
(x)?12x?1
.
令
f
?
(x)?12x?1?0
，得
x??
当
x??
1
.
12
1
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递增；
12
1
当
x??
时，
f
?
(x)?0
，
f(x)
单调递减.
12
111149
所以，并且极小值为
f(?)?6?(?)
2
??2??
.
x??
时，
f(x)
有极小值，
1212121224
（2）因为
f(x)?x
3
?12x
，所以
f
?
( x)?3x
2
?12
.
令
f
?
( x)?3x
2
?12?0
，得
x??2
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或
x?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
? 2?x?2
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?2)

＋
单调递增
?2

0
16
(?2,2)

－
单调递减
2
0
(2,??)

＋
单调递增
f
?
(x)

f(x)

?16

因此，当
x??2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为16； < br>当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
?16
.
（3）因为
f(x)?6?12x?x
3
，所以
f
?
(x)??12?3x
2
.
令
f
?< br>(x)??12?3x
2
?0
，得
x??2
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或
x?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
? 2?x?2
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?2)

＋
?2

0
8
(?2,2)

－
2
0
(2,??)

＋
f
?
(x)

f(x)

单调递增
22
单调递减
?10

单调递增
因此，当
x??2
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为22； < br>当
x?2
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为
?10
.
（4）因为
f(x)?48x?x
3
，所以
f
?
(x)?48?3x
2
.
令
f
?
(x)?48?3x
2
?0
，得
x??4
.
下面分两种情况讨论：
①当
f
?
(x)?0
，即
x??2
或
x?2
时；②当
f
?
(x)?0
，即
? 2?x?2
时.
当
x
变化时，
f
?
(x)，
f(x)
变化情况如下表：
x

(??,?4)

－
单调递减
?4

0
(?4,4)

＋
单调递增
4
0
128
(4,??)

－
单调递减
f
?
(x)

f(x)

?128

因此，当
x??4
时，
f(x)
有极小 值，并且极小值为
?128
；
当
x?4
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为128.
6、（1）当
x??
149
时，
f(x)
有极小值，并且极小值为< br>?
.
1224
由于
f(?1)?7
，
f(1)?9
，
所以，函数
f(x)?6x
2
?x?2
在
[?1,1]
上的最大值和最 小值分别为9，
?
49
.
24
（2）在
[?3,3]
上，当
x??2
时，函数
f(x)?x
3
?12x
有极大值，并且极大值为16；
当
x?2
时，函数
f(x)?x
3
?12x
有极小值，并且极小值为
?16
.
由于
f(?3)?9
，
f(3)??9
，
所以，函 数
f(x)?x
3
?12x
在
[?3,3]
上的最大值和最 小值分别为16，
?16
.
1
（3）函数
f(x)?6?12x?x
3
在
[?,1]
上无极值.
3
11269
因为
f(x)?6?12x?x
3在
[?,1]
上单调递减，且
f(?)?
，
f(1)??5，
3327
1
269
所以，函数
f(x)?6 ?12x?x
3
在
[?,1]
上的最大值和最小值分别为，
?5.
3
27
9

（4）当
x?4
时，
f(x)
有极大值，并且极大值为128..
由于
f(?3)??117
，
f(5)?115
，
所以，函数
f(x)?48x?x
3
在
[?3,5]
上的最大值和最 小值分别为128，
?128
.
习题3.3 B组（P99）
（1）证 明：设
f(x)?sinx?x
，
x?(0,
?
)
.
因为
f
?
(x)?cosx?1?0
，x?(0,
?
)

所以
f(x)?sinx?x
在
(0,
?
)
内单调递减
因此
f(x)?sinx?x?f(0)?0
，
x? (0,
?
)
，即
sinx?x
，
x?(0,
?)
.
（2）证明：设
f(x)?x?x
2
，
x?(0,1)
.
因为
f
?
(x)?1?2x
，
x?(0,1)

所以，当
x?(0,
1
2
)
时，
f
?
(x )?1?2x?0
，
f(x)
单调递增，
f(x)?x?x
2
?f(0)?0
；
当
x?(
1
2
,1)
时，
f
?
(x)?1 ?2x?0
，
f(x)
单调递减，
f(x)?x?x
2
?f(1)?0
；
又
f(
11
2
)?
4
?0
. 因此，
x?x
2
?0
，
x?(0,1)
. 图略
（3）证明：设
f(x)?e
x
?1?x
，
x?0< br>.
因为
f
?
(x)?e
x
?1
，
x?0

所以，当
x?0
时，
f
?
(x)? e
x
?1?0
，
f(x)
单调递增，
f(x)?e
x
?1?x?f(0)?0
；
当
x?0
时，
f
?
(x)?e
x
?1?0
，
f(x)
单调递减，
f(x)?e
x
?1?x?f(0)?0
；
综上，
e
x
?1?x
，
x?0
. 图略
（4）证明：设
f(x)?lnx?x
，
x?0
.
10
图略

因为
f
?
(x)?
1
?1
，
x?0

x
1
?1?0
，
f(x)
单调递增，
x
所以，当
0?x?1
时，
f
?
(x)?
f(x)?lnx? x?f(1)??1?0
；
当
x?1
时，
f
?
(x)?
1
?1?0
，
f(x)
单调递减，
x
f(x)?lnx?x?f(1)??1?0
；
当
x?1
时，显然
ln1?1
. 因此，
lnx?x
.
由（3）可知，
e
x
?x?1?x
，
x?0
.
. 综上，
lnx?x?e
x
，
x?0
图略
3．4生活中的优化问题举例
习题3.4 A组（P104）
1、设两段 铁丝的长度分别为
x
，
l?x
，则这两个正方形的边长分别为
xl? x
，，两个正方
44
xl?x
2
1
形的面积和为
S?f(x)?()
2
?()?(2x
2
?2lx?l
2
)
，
0?x?l
.
4416
l
令
f
?
(x)?0
，即
4x?2l?0
，
x?
.
2
ll
当
x?(0,)
时，
f
?
( x)?0
；当
x?(,l)
时，
f
?
(x)?0
.
22
l
因此，
x?
是函数
f(x)
的极小值点，也是最小值点.
2
l
所以，当两段铁丝的长度分别是时，两个正方形的面积和最小.
2
2、如图所示，由于在边长为
a
的正方形铁片的四角截去
四个边长为
x
的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无
盖方盒的底面为正方形，且边长为
a?2x
，高为
x
.
a
（1）无盖方盒的容积
V(x)?(a?2x)
2
x
，
0?x?
.
2
（2）因为
V(x)?4x
3
?4 ax
2
?a
2
x
，
所以
V
?
(x)?12x
2
?8ax?a
2
.
x
a
aa
（舍去），或
x?
.
26
aaa
当
x?(0,)
时，
V
?< br>(x)?0
；当
x?(,)
时，
V
?
(x)?0.
662
a
因此，
x?
是函数
V(x)
的极大值点，也是最大值点.
6
a
所以，当
x?
时，无盖方盒的容积最大.
6
令
V
?
(x)?0
，得
x?
11

（第2题）

3、如图，设圆柱的高为
h
，底半径为
R
，
则表面积
S?2
?
Rh?2
?
R
2

R
V
.
2
?
R
V2V
22
因此，
S(R)?2
?
R
，
R?0
.
?2
?
R??2
?
R
2
?
RR
由
V?
?
R
2
h
，得
h?
令
S
?
(R)??
h
V
2V
.
?4?
R?0
，解得
R?
3
2
?
R
当< br>R?(0,
3
V
)
时，
S
?
(R)?0；
2
?
当
R?(
3
V
,??)
时，
S
?
(R)?0
.
2
?
3
（第3题）
因此，
R?
VVV
3
?2?2R
. 是函数
S(R)
的极小值点，也是最小值点. 此时，
h?
2
?
?
R
2
2
?
所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.
1
n
2
n
24、证明：由于
f(x)?
?
(x?a
i
)
，所以f
?
(x)?
?
(x?a
i
)
.
n
i?1
n
i?1
1
n
令f
?
(x)?0
，得
x?
?
a
i
，
n
i?1
1
n
可知，
x?
?< br>a
i
是函数
f(x)
的极小值点，也是最小值点.
n
i?1
1
n
这个结果说明，用
n个数据的平均值
?
a
i
表示这个物体的长度是合理的，这就
n< br>i?1
是最小二乘法的基本原理.
?
x
2
2
x5、设矩形的底宽为
x
m，则半圆的半径为m，半圆的面积为
m
， 8
2
矩形的面积为
a?
?
x
2
a
?< br>x
m
2
，矩形的另一边长为
(?)
m
8
x 8
因此铁丝的长为
l(x)?
?
x
2
?x?
8a< br>2a
?
x
?
2a
??(1?)x?
，
0?x ?

?
x44x
令
l
?
(x)?1?
?< br>4
?
8a
2a
x?
?0
，得（负值舍去）.
4?
?
x
2
12

当
x ?(0,
8a8a8a
)
时，
l
?
(x)?0
；当
x?(,)
时，
l
?
(x)?0
.
4?
?
4?
??
8a
是函数
l(x)
的极小值点，也是最小值点 .
4?
?
8a
m时，所用材料最省.
4?
?
因 此，
x?
所以，当底宽为
6、利润
L
等于收入
R
减 去成本
C
，而收入
R
等于产量乘价格.
由此可得出利润
L
与产量
q
的函数关系式，再用导数求最大利润.
11
收入
R?q?p?q(25?q)?25q?q
2
，
88
11
利润
L?R?C?(25q?q
2
)?(10 0?4q)??q
2
?21q?100
，
0?q?200
.
88
1

L
?
??q?21

4
1
令
L
?
?0
，即
?q?21?0
，
q?84
.
4
当
q?(0,84)
时，< br>L
?
?0
；
当
q?(84,200)
时，
L
?
?0
；
因此，
q?84
是函数
L
的极大值点，也是最大值点.
所以，产量为84时，利润
L
最大,

习题3.4 B组（P105）
1、设每个房间每天的定价为
x
元，
x?1801
那么宾馆利润< br>L(x)?(50?)(x?20)??x
2
?70x?1360
，
1 80?x?680
.
1010
1
令
L
?
(x)??x?70?0
，解得
x?350
.
5
因为
L(x)
只有一个极值，所以
x?350
为最大值点.
因此，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大.
2、设销售价为
x
元／件时，
b?x45b
利润
L(x) ?(x?a)(c?c?4)?c(x?a)(5?x)
，
a?x?
.
bb4
8c4ac?5bc4a?5b
?0
，解得
x?
令
L
?
(x)??x?
.
bb8
4a?5b4a?5b5 b
)
时，
L
?
(x)?0
；当
x?(,)
时，
L
?
(x)?0
. 当
x?(a,
884
4a?5b
所以，销售价为元／件时，可获得最大利润.
8
第三章 复习参考题
A组（P110）
1、（1）3； （2）
y??4
.
13

e
x
2sinxcosx?2x
x
2、（1）
y
?
?
； （3）
y
?
?elnx?
.
2
x
cosx
3、
F
?
??
2GMm
.
3
r
4、（1）
f
?
(t)?0
. 因为红茶的温度在下降.
（2）
f
?
(3)??4
表明在3℃ 附近时，红茶温度约以4℃／min的速度下降. 图略.
5、因为
f(x)?
3
x
2
，所以
f
?
(x)?
2
3x
3
.
当
f
?
(x)?
2
3
3x
2
3x
3
?0
，即
x?0
时，
f( x)
单调递增；
当
f
?
(x)??0
，即
x ?0
时，
f(x)
单调递减.
6、因为
f(x)?x
2< br>?px?q
，所以
f
?
(x)?2x?p
.
当
f
?
(x)?2x?p?0
，即
x??
由
?
p
?1
时，
f(x)
有最小值.
2
p
?1
，得
p??2
. 又因为
f(1)?1?2?q?4
，所以
q?5
.
2
7、 因为
f(x)?x(x?c)
2
?x
3
?2cx
2
?c
2
x
，
所以
f
?
(x)?3x
2< br>?4cx?c
2
?(3x?c)(x?c)
.
当
f
?
(x)?0
，即
x?
c
，或
x?c
时，函数f(x)?x(x?c)
2
可能有极值.
3
由题意当
x?2< br>时，函数
f(x)?x(x?c)
2
有极大值，所以
c?0
.
由于






x

c
(??,)

3
＋
c

3
0
c
(,c)

3
－
c

0
(c,??)

＋
f
?
(x)

f(x)

所以，当
x?
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
cc
时，函数
f(x)?x(x?c)
2
有极大值. 此时，
?2
，
c?6
.
33
8、设当点
A
的坐标为
(a,0)
时，
?AOB
的面积最小.
因为直线
AB
过点
A(a,0)
，
P(1,1)
，
14

y?0x?a1
，即
y??(x?a)
.
x?01?a1?a
aa
当
x?0
时，
y?
， 即点
B
的坐标是
(0,)
.
a?1a?1
所以直线
AB
的方程为
因此，
?AOB
的面积
S
?AOB
1aa
2
?S(a)?a?
.
2a?12(a?1)
1a
2
?2a
?0
. 令
S
?
(a)?0
，即
S
?
(a)??
2(a?1 )
2
当
a?0
，或
a?2
时，
S
?< br>(a)?0
，
a?0
不合题意舍去.
由于






x

(0,2)

－
单调递减
2
0
极小值
(2,??)

＋
单调递增
f
?
(x)

f(x)

所以 ，当
a?2
，即直线
AB
的倾斜角为
135?
时，
?AOB
的面积最小，最小面积为2.
9、
D
.
10、设底面一边的长为
x
m，另一边的长为
(x?0.5)
m. 因为钢条长为14.8m.
所以，长方体容器的高为
设容器的容积为
V
，则
14.8?4x?4(x?0.5)12.8?8x
??3.2?2x
.
4 4
V?V(x)?x(x?0.5)(3.2?2x)??2x
3
?2.2x
2
?1.6x
.
令
V
?
(x)?0
，即< br>?6x
2
?4.4x?1.6?0
，
0?x?1.6
.
所以，
x??
4
（舍去），或
x?1
.
15

x?1
是函数
V(x)
在
(0,1.6 )
内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，当长方体容器的高为1 m时，容器最大，最大容器为1.8 m
3
.
11、设旅游团人数为
100?x
时，
旅行社费用为
y?f(x) ?(100?x)(1000?5x)??5x
2
?500?100000
(0?x? 80,x?N)
.
令
f
?
(x)?0
，即
? 10x?500?0
，
x?50
.
又
f(0)?100000
，
f(80)?108000
，
f(50)?112500
.
所以，
x?50
是函数
f(x)
的最大值点.
所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多.
12、设打印纸的长为
x
cm时，可使其打印面积最大.
15

因为打印纸的面积为623.7，长为
x
，所以宽为
打印面积
S(x)?(x?2?2.54)(
623.7
，
x
623.7
?2?3.17)

x
3168.396

?655.90?
，
5.08?x?98.38
.
72x6.?34
2
x
3168.396623.7
令
S
?
(x)?0
，即
6.34?
，（负值舍去），
?0?2 7.89
.
x?22.36
2
x22.36

x?22 .3
是函数
S(x)
在
(5.08,98.38)
内唯一极值点，且 为极大值，从而是最大值点.
6
所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm，22.36cm时，可使其打印面积最大.
13、设每年养
q
头猪时，总利润为
y
元.
1
则
y?R(q)?20000?100q??q
2
?300q?20000
(0?q?400,q?N)
.
2
令
y
?
?0
，即
?q?300?0
，
q?300
.
当
q?30 0
时，
y?25000
；当
q?400
时，
y?20000
.

q?300
是函数
y(p)
在
(0,40 0]
内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.
所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.
第三章 复习参考题
B组（P111）
1、（1）
b
?
(t)?10
4
?2?10
3
t
. 所以，细菌在
t?5
与
t ?10
时的瞬时速度分别为0和
?10
4
.
（2）当
0?t?5
时，细菌在增加；当
5?t?5?55
时，细菌在减少.
2、设扇形的半径为
r
，中心角为
?
弧度时，扇形的面积为
S
.
1l
因为
S?
?
r
2
，
l?2r?
?
r
，所以
?
??2
.
2r
11l1l
S?
?
r
2
?(?2)r
2
?(lr ?2r
2
)
，
0?r?
.
22r22
l
令
S
?
?0
，即
l?4r?0
，
r?
，此 时
?
为2弧度.
4
ll

r?
是函数
S(r)
在
(0,)
内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.
42
l
所以，扇形的半径为、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.
4
3、设圆锥的底面半径为
r
，高为
h
，体积为
V
， 那么
r
2
?h
2
?R
2
.
1111
因此，
V?
?
r
2
h?
?< br>(R
2
?h
2
)h?
?
R
2
h?< br>?
h
3
，
0?h?R
.
3333
3
1
R
. 令
V
?
?
?
R
2
?
?
h
2
?0
，解得
h ?
3
3
16

h?
3
R
是函数
V(h)
在
(0,R)
内唯一极值点，且是极大值点，从 而是最大值点.
3
6
3
R
.
R
代入
r
2
?h
2
?R
2
，得
r?
3
3< br>26
?
.
3
把
h?
由
R
?
?2
?
r
，得
?
?
所以，圆心角为
?
?
26
?
时，容积最大.
3
4 、由于
80?k?10
2
，所以
k?
4
.
5
4
2
2020
x???480

5xx
9600

?16x?
，
x?0

x
9600
令
y
?
?0
，即
16?
2
?0
，
x?24< br>.
x
设船速为
x
km／h时，总费用为
y
，则
y?

x?24
是函数
y
在
(0,??)
上唯一极值点，且是极小值点，从 而是最小值点.
960020
?784
（元）. 于是
780?()?940.8
（元／时）
2424
所以，船速约为24km／h时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.
当
x?2 4
时，
16?24?
390x
2
130
(3?)??14< br>，
50?x?100
5、设汽车以
x
km／h行驶时，行车的总费用
y?
x360x
令
y
?
?0
，解得
x?53
，
y?114
；当
x?50
，
y?114
；当
x?100
，
y? 138
.
因此，当
x?53
时，行车总费用最少.
所以，最经济的车速约为53km／h；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.

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