高中数学必修二平面垂直讲解-浙江大学高中数学联赛代数分册
模块测试卷
时间:120分钟,满分150分
一、选择
题:本大题共12小题,每小题5
分,共60分.每小题给出的选项中,只有一
项是符合题目要
求的.
1.★★ 已知:
p:x?3?1
,
q:
x?4
?
x
2
?3x?10
?0
,则
P
是
?
q
的
( )
A.必要不充分条件B.充分不必要条
件C.既不充分也不必要条件D.充要条件
2. ★★方程
ax
2
?by
2
?1
表示双曲线的
必
要不充分条件是( )
A.
ab?0
B.
a?0
且b?0或a>0且b<0
C.
ab?5
D.
ab?0
3.★★★ 已知
y?x
3
?px
2
?qx
和图象
与
x
轴切于
?
1,0
?
,则
f(x)
的极
值情况是
( )
A.极大值为
f(
1
3
)
,极小值为
f
(1)
B.极大值为
f(1)
,极小值为
f(
1
3
)
C.极大值为
f(
1
3
)
,没有极小值D.极
小
值为
f(1)
,没有极大值
4. ★★★已知动点
P
?
x
,y
?
满足等式
10
?
x?1
?
2
??
y?2
?
2
?3x?4y
,则点
P
的轨迹是
( )A.椭圆B.双曲线C.抛
物线D.两相交直线
5.★★★ 我们把离心
率等于黄金比
5?1
2
的椭圆称为“优美椭圆”,设曲线
C
是优美椭
圆,
F
,
A
分别是它的左焦点和
右顶点,
B
是它的
短轴的一个端点,则
?ABF
等于( )
A.
60
0
B.
75
0
C.
90
0
D.
1200
6. ★★★已知
f(x)?2x
3
?6x
2?m
(
m
为常数),在
?
?2,2
?
上有最大
值
3
,那么此
函数在
?
?2,3
?
上的最小值为(
)
1
A.
?37
B.
?29
C.
?5
D.
?11
10★★.函数
y?2x?3x?12x?5
在
32
7. ★★
M<
br>是
N
的充分不必要条件,
N
是
?
0,3
?<
br>上的最大值和最小值分别是
P
的充要条件,
Q
是
P
的
必要不充分条件,
( )
则
Q
是
M
的(
)
A.充分不必要条件B.必要不充分条
件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8.
★★★已知命题
p
:
y?log
a
?
ax?2a
?
(a?0且a?1)
的图象
必过定点
?
?1,1
?
,命题
q
:
y?f(x?3)
的
图象关于原点对称,则函数
y?f(x)
的图
象关于点
?
3,0
?
对称,则(
)
A.
p且q
为真B.
p或q
为假C.
p
真q
假 D.
p
假
q
真
9. ★★★已知
a?
b?0
,
e
1
,e
2
分别为圆锥
曲线
x<
br>2
y
2
x
2
y
2
a
2
?<
br>b
2
?1
和
a
2
?
b
2
?
1
的离心率,
则
lge
1
?lge
2
的值为(
)
A.正数B.负数C.零D.不确定
A.
5,?15
B.<
br>5,4
C.
?4,?15
D.
5,?16
11.★★★ 已知直线
y?kx?1
与曲线
y?x
3
?a
x?b
切于点
?
1,3
?
,则
b
的值为
(
)
A.
3
B.
?3
C.
5
D.
?5
12. ★★★设
f
'
(x)
是函数
f(x)
的导
函数,
y?f
'
(x)
的图
象如图所示,则
y?f(x)<
br>的图象
最有可能是
( )
2
x
2
?mx?1?0
有两个不等的负根,命题
q
:
4x
2
?4
?
m?2
?
x?1?0
无实数根,若
命题
p
与命题
q
有且只有一个为真,求实数
m
的取值范围
。
18.
★★★(本题满分10分)已知曲线
C
的
方程为
kx
2
?<
br>?
4?k
?
y
2
?k?1(k?R)
,(1)
若曲线
C
是椭圆,求
k
的取值范围。(2)若
曲线C
是双曲线,且有一条渐近线的倾斜角
二、填空题:本大题共4小题,第小题5分,
共20分
13★★.已知命题
p
:
x
2
?x?6
,
q
:
为
60
,求此双曲线的方程。
0
x?Z,
又已知“
p
且
q
”和“非<
br>q
”同时为
假命题,则
x
的值
为 。
14★★.已知
函数
19.★★(本题满分12分)已知函数
f(x)?x
3
?3ax
2
?3ax?1
既有极大值又
有极小值,则实数
a
的取值范围是
。
15.★★★函数
f(x)?
f
(x)?x
3
?3ax
2
?2bx
在点
x?1
处有
极
小值
?1
,试确定
a,b
的值,并求出
f(x)
的
单调区间。
1
x?cosx
在
2
大值
20.★★★★
(本小题满分12分)已知函数
?
0,2
?
?
上的最
是
。
x
2
y
2
??1
的左焦点为16.★★★已知椭圆259
F
,点
P
的坐标为
?
2,?1
?
,在椭圆上存在
4
一点
Q
,使
QF?PQ
的值最小,此最
5
小值为 。
三、解答题:本大题6小题,共70分
17.
★★★(本题满分10分)已知命题
p
:
1
f(x)?x
3
?x
2
?bx?c
,(1)若函数
2
f(x)
的
图象上有与
x
轴平行的切线,求
b
的取值范围;(2)若
f(x)<
br>在
x?1
时取得极
3
值,且
x?
?
?1,2
?
时,
f(x)?c
2
恒成立,
求
c
的取值范围。
21.★★★★(本题满分12分)某商场从生
产厂家以每件
20
元购进一批商品
,若该商
品零售价定为
p
元,则销售量
Q
(单位:
件)与零
售价
p
(单位:元)有如下关系:
Q?8300?170p?p
2
,
问该商品零售价定
为多少时利润
L
最大,并求出最大利润(利
润
?<
br>销售收入
?
进货支出)
22. ★★★★★(本小题满分14分) 过抛物
线
y?1
2
x
2
的焦点
F
的直线交抛物线于
A,B<
br>两点,过
A,B
的抛物线的两切线相交
于点
P
,(1)证明点
P
在抛物线的准线上;
(2)是否存在常数
?
,使
FAgF
B?
?
gFP
2
成立,若存在,求
?
,若不存在,请说明理
由。
4
答案部分:
1.解析:
p
:
x?4
或
x?2
,
q
:
?5?x?2
或
x?4
,
∴
p
:
2?x?4
,
q
:
x??5
或2?x?4
,∴
p
是
q
的充分不必要条件。故选
B。
2.解析:
A
与
B
等价,而
D
显然不对,故选
C
。
3.解析:
y?3x?2px?q
,∴
y
'2
??
??
'
x?1
?3?2p?q?0
,又
0?1?p?q
,两式联立解得
?
p?2
1
?
1
?
'2
y?3x?4x?1?0
??,
,∴得,∴在f(x)
x?1或x?
?
??
和
?
1,??
?
上递增,
3
?
3
?
?
q??1
在
?
,1
?
上递减,∴极大值为
f()
,极小值为
f(1)<
br>。故选
A
。
4.解析:将原式化为
?
1
?
?
3
?
1
3
?
x?1
?
??
y?2
?
3x?4y
5
22
?
1
,
∴点
?
x,y
?
到
?
1,2
?
的距离与它
到直线
2
3x?4y?0
的距离之比为
5.解析:
cos
?ABF?
1
?1
,符合椭圆的定义。故选
A
。
2
2
a
2
?
?
b
2
?a
2
??
?
a?c
?
2aa
2
?b
2
,利用
e?
5?1
化简可得
cos?ABF?0
,
2
所以
?ABF?90
0
。故选
C
。
'2
6
.解析:
f(x)?6x?12x
,由
f(x)?0
得
x?0
或
x?2
,∴
f(x)
在
?
??,0
?
和
?
2,??
?
'
上递增,在
?
0,2
?
上递减,又
x?
?
?2,2
?
,∴
x?0
时,
f(x)
取得最大值
m
,∴
m?3
,∴
f(?
2)??37
,
f(2)??5
,∴
f(x)
的最小值为
?
37
。故选
A
。
7.解析:
M
??
?
?
N?P
??
??
Q
,∴
M
??
??Q
,故选
B
。
5
8.
解析:
y?log
a
a
?
x?2
?
?1?log<
br>a
?
x?2
?
,当
x?2?1
时,
y?1<
br>,即
x??1,y?1
,
∴
P
为真命题。
y?f(x
?3)
的图象是由
y?f(x)
的图象向右平移
3
个单位后得到,而
?
3,0
?
向右
3
个单位就为
?
6,0<
br>?
,故
q
是假命题。故选
C
。
a
2
?b
2
a
2
?b
2
a
4
?b
4
,e
2
?
9.解析:
e
1
?
,
∴
lge
1
?lge
2
?lge
1
e
2<
br>?lg
2
aaa
b
4
?lg1?
4
?0
,故选
B
。
a
10.解析:
6x
2
?6x?12?0
得
x??1
或
x?2
,又
x
?
?
0,3
?
,而
f(0)?5,f(3)??4
,
f(2)??15
,∴最小值为
?15
,最大值为
5
。故选
A
。
11.解析:由
y?kx?1
过点
?
1,3
?
得
k?2
,又
y?3x?a
,∴
y
'2
'
x?1
?3?a?2
,∴
a??1
,
∴<
br>f(x)?x?x?b
过点
?
1,3
?
,∴
b?3<
br>,故选
A
。
3
12.解析:由
y?f(x)的图象可知函数在
?
??,0
?
内为增函数,在
?
0,
2
?
内为减函数,在
'
?
2,??
?
上为增函数,
且
x?0,x?2
是函数的两个极值点,故选
C
。
13
.解析:
p
为假命题,
q
为真命题,∴
x
2
?x?
6
,∴
?2?x?3
,又
x?Z
,∴
x??1,0,1,2
。
14.解析:
f(x)?3x?6ax?3a
,由题意得f(x)?0
有两个不同的解,∴
'2'
??
?
6a
?
?4?
?
3a
?
?3?0
解得
x?
???,0
?
U
?
1,??
?
。
2
1
1
?
5
?
为函数
?sinx?0
得
sinx?,又
x?
?
0,2
?
?
,∴
x?
或<
br>x?
2266
?
5
?
的极值点,计算
f(0),f(
),f()
并取其中最大者为
f(x)
在
?
0,2
?
?
上的最大值为
?
?1
。
66
15.解析:
f
'
(x)?
16.解析:
P
到左准线的距离即为所求,答案是
33
。
5
6
?
m
2
?4?
0
17.解析:∵
x?mx?1?0
有两个不等的负根,∴
?
得m?2
。∵
?m?0
?
2
∴
16
?
m
?2
?
?16?0
得
1?m?3
。因两者只有一个为真,
4
x
2
?4
?
m?2
?
x?1?0
无实根,
2
若
p
真
q
假:得
m?3
;若
p
假
q
真:得
1?m?2
。综上,
m?3
或
1?m?
2
。
18.解析:(1)当
k?0
或
k??1
或
k?4
时,曲线
C
表示直线,当
k?0
且
k??
1
且
k?4
?
k?1
?
k
?0
?
22
xy
?
k?1
??1
---①;方程①表示椭圆的充要条件是<
br>?
时,方程为,解得
?0
k?1k?1
?
4?k
k4
?k
?
k?1k?1
?
k
?
4?k
?
(2
)方程①表示双曲线的充要条件是
0?k?2
或
2?k?4
。
k?1
k?1
g
?0
,即
k??1
或
k4?k
?1?k?
0
或
k?4
。当
k??1
或
k?4
时,双曲线的焦
点在
x
轴上,∴
a
2
?
bk
k?1
2k?1
?3
,解得
k?6
。综上所述,,其一条渐近线的斜率为
?
,b?
ak?4
k4?k
x
2
y
2
??
1
。 双曲线的方程为
77
62
19.解析:
f(x)?
3x?6ax?2b
,根据题意有
x?1
是方程
f(x)?0
的一个
根,则
'2'
11
32
又
f(1)?1?3a?2b??1
,解得
a?,b??
,此时
f(x)?x?x?x
,
3?6a?2b
?0
,
32
11
''
f
'
(x)?3x
2
?2x?1
,由
f(x)?0
得
x??
或
x?1<
br>;由
f(x)?0
得
??x?1
,故
f(x)
33<
br>的递增区间为
?
??,?
?
和
?
1,??
?
,减区间是
?
?,1
?
。
20.解析:(1)
f(x)?3x?x?b
,
f(x)
的图象上有与
x
轴平行
的切线,则
f(x)?0
有
2
实数根,即方程
3x?x?b
?0
有实数根,由
??1?12b?0
得
b?
?
?
1
?
3
?
?
1
?
?
3
?
'2'
1
。(2)由题意得
x?1
12
1
?
x?1
?
2
?
0
?
x??
?
?
3
2是方程
3x?x?b
?0
的一个根,设另一根为
x
0
,
则
?
,∴
?
0
3
,∴
b
?
x?1
?
?
0
?
b??2
?
3
?
7
2
?
1
?
f(x)?x
3
?x2
?2x?c
,
f
'
(x)?3x
2
?x?2
,当
x?
?
?1,?
?
时,
f
'
(x)?0
,
3
?
2
?
2
?
2
?
x?
?
?,1
?
时,
f
'
(x)?0,
x?
?
1,2
?
时,
f
'
(x)?
0
,∴当
x??
时,
f(x)
有极大值
3
?
3
?
221
?c
,又
f(?1)??c
,
f(2
)?2?c
,即当
x?
?
?1,2
?
时,
f(x)
的最大值为
272
f(2)?2?c
,∵当
x?
?
?1,2
?
时,
f(x)?c
2
恒成立,∴
c
2<
br>?2?c
,解得
c??1
或
c?2
。
所以
c
的取值范围是
?
??,?1
?
U
?
2,??
?
。
21.解析:
L?
?
p?20
?
8300?170p?p
2
??p?150p?11700p?166000
且p?20
。
32
??
求导得
L??3p?300p?11700
,令
L
'
?0
得
p?30
或
p??130
(合去),并且当
p?30
时,
L
'
?0
,
p?30
时,
L
'
?0
,则当
p?30
时,L
取得极大值,最大值为
21000
元。即
当该商品零售价定为
30
元时利润最大,最大利润为
21000
元。
22.解析:(
1)抛物线
y?
'2
1
2
1
?
1
?
x
,即
x
2
?2y
,焦点坐标为
F
?
0
,
?
,准线为
l:y??
。
22
?
2
?<
br>设直线
AB
:
y?kx?
1
,代入抛物线的方程并整理得x
2
?2kx?1?0
。设
2
'
?
1
?
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2<
br>)
,则有
x
1
x
2
??1
,∵
y?
?
x
2
?
?x
,∴
k
PA
?x<
br>1
,k
PB
?x
2
,有
?
2
?k
PA
gk
PB
??1
,∴
PA?PB
。∴<
br>y
1
?
1
2
1
x
1
?x
1
?
x?x
1
?
,即
y?x
1
x?x
1
2
,同理可得
22
1xx1
?
x?xxx
?<
br>PB:y?x
2
x?x
2
2
,由上面的两个式子得交点
P
?
12
,
12
?
,∵
12
??
,∴
P
点
2
?
222
?
2
uuur?
1
2
1
?
uuur
?
1
2
1
?
在抛物线的准线上。(2)∵
FA?
?
x
1
,
x
1
?
?
,
FB?
?
x
2
,x<
br>2
?
?
,∴
2
?
2
?
?
2
?
2
uuuruuur
111
2
FA
g
F
B?x
1
x
2
?
?
x
1
x
2?
?
?
x
1
2
?x
2
2
?<
br>?
444
11
???
?
x
1
2
?x
2
2
?
24
,又
r
?
x?x?
u
uu
?
12
FP?,?1
??
?
uuuruuuruuur
2
?
?
2
?
FA
g
FB?
?g
FP
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