人教A版高中数学选修1-1同步作业：第1章 常用逻辑用语1.1.1

第一章 1.1 1.1.1

一、选择题
1．下列语句中，不是命题的是( D )
A．两点之间线段最短
C．不是对顶角不相等
B．互补的两个角相等
D．延长线段AB
解析 A，B，C三项都是陈述句，并可以判断真假，只有D项不符合命题的定义．
2．下列命题中的真命题是( C )
A．互余的两个角不相等
B．相等的两个角是同位角
C．若a
2
＝b
2
，则|a|＝|b|
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角
解析 由平面几何知识可知A，B，D三项都是错误的．
3．下列语句是命题的是( B )
A．你的目标是考上北京大学吗？
B．共线的向量相等
C．抛掷一枚骰子，统计向上的点数
D．向抗洪英雄学习！
解析 A是疑问句，所 以A不是命题；C为祈使句，所以C不是命题；D是感叹句，所
以D不是命题；很明显B是命题．故选B ．
4．(2018·辽宁锦州中学检测)下列命题中，为真命题的是( B )
A．若x
2
＝1，则x＝1
B．若一个球的半径变为原来的2倍，则其体积变为原来的8倍

C．若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等
D．直线x＋y＋1＝0与圆x
2
＋y
2
＝1相切
解析 若x
2
＝1，则x＝±1，故A中命题是假命题；由球的体积公式可知B中命题为真
命 题；C中命题为假命题．如“3,3,3”和“2,3,4”的平均数相等，但标准差显然不相等；圆x
2
＋y
2
＝1的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝
为假命题．
5．下列命题为真命题的是( A )
11
A．若
＝，则x＝y
xy
B．若x
2
＝1，则x＝1
C．若x＝y，则x＝y
D．若x2
2

解析 很明显A正确；B中 ，由x
2
＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0
时，结论不成立， 所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假
命题．故选A．
6．设α，β，γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命
题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l?α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是( B )
A．1
C．3
B．2
D．4
2
<1，故直线与圆相交，所以D中命题
2
解析 由面面垂直的性质，知①为 假命题；由面面平行的判定定理，知缺少m，n相交

这一条件，故②为假命题；由面面平 行的性质，知③为真命题；因为α∩β＝l，所以l?α，
l?β，又l∥γ，γ∩α＝n, 所以l∥n，同理l∥m，所以m∥n，所以④为真命题．
二、填空题
7．命题“若两个三 角形相似，则它们的对应角相等”中的条件是____两个三角形相似
____，结论是____它们的 对应角相等____，它是____真____命题．(填“真”或“假”)
1
8．如果命题 “若x∈A，则x＋
≥2”为真命题，则集合A可以是____{x|x>0}____.(写
x
出一个即可)
1
解析 当x>0时，有x＋≥2，所以A可以是{x|x>0}．
x
9．给出下列三个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中是真命题的有____②③____.
解析 命题①是假命题，“两条直线”应改为“两 条相交直线”；命题②是面面垂直的
判定定理，是真命题；命题③是面面垂直的性质定理的另一种说法， 是真命题．
三、解答题
10．判断下列语句是否是命题．若是，判断其真假，并说明理由．
(1)我希望明年考上理想的大学；
(2)一个整数不是合数就是质数；
(3)若xy＝1，则x，y互为倒数．
解析 (2)(3)是命题，(1)不是命题．因为 1既不是合数也不是质数，所以(2)是假命题；
由倒数的定义，知(3)是真命题．
11．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)实数的平方是非负数；

(2)当ac>bc时，a>b；
(3)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
解析 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数．真命题．
(2)若ac>bc，则a>b.假命题．
(3)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等．真命题．
12 ．已知命题p：函数y＝log
a
(1－2x)在定义域上单调递增，命题q：不等式(a－2 )x
2
＋
2(a－2)x－4<0对任意实数x恒成立．若p，q中只有一个是真命题 ，求实数a的取值范围．
解析 若函数y＝log
a
(1－2x)在定义域上单调递 增，则02
＋2(a－2)x
?
a－2<0 ，
?
－4<0对任意实数x恒成立，则a＝2或
?

2
?
?
Δ＝4?a－2?
＋16?a－2?<0，

即－2∵p，q只有一个是真命题，
?
0 ?
当p真q假时，
?
?
?
a≤－2或a>2，

无解；
?
?
a≤0或a≥1，
当p假q真时，
?
即－2?
－2?

∴实数a的取值范围是(－2,0]∪[1,2]．

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