苏教版高中数学选修1-1同步全解答案

选修1-1参考答案
第一章 常用逻辑用语
第一节
针对训练
答案：
1．必要不充分 2.
?x?R,x
3
?x
2
?1?0
3 若
m?
1
?2,
则m>0
m
4 _存在矩形对角线不相等 5 ②③④ ①正确, ②中B≤0时不成立, ③中的定义域
为
?
, ④中应是随机抽样. 6 ②④ 7 必要不充分 8充分而不必要条件 9 ② ③ 10
若a?b,则a?1?b?1
11充分不必要 12充分非必要 13 （3）14 C 15A 16 2，2
2
ax?bx?c?0
有两个不等实根则
ac?0
（假） 17A 18C 19 A 20 逆命题：若
2
否命题：若
ac?0
则
ax?bx?c?0
没有两个不等实根（假）
2
逆否命题：若
ax?bx?c?0
没有两个不相等实根则
ac?0
（真）
21D 22A 23 A 24B 25A 26D 27C 28. D 29. A 30 D 31. C
. 32.
0?m?2
33. 真命题：
p
或
q
，非
p
；假命题：
p且
q
，非
q


第二节
针对训练
1B
2．D 原命题是真命题，所以逆否命题也为真命题
22
3．A ①
a?b?0?a?b
，仅仅是充分条件 ②
a?b?0?
11
?
，仅仅是充分条件；③
ab
a?b ?0?a
3
?b
3
，仅仅是充分条件
4．B “
?p< br>”为假，则
p
为真，而
p?q
（且）为假，得
q
为假
5．D 当
a?1,b?0
时，都满足选项
A,B
，但是不能得出
a?b?1

当
a?0.5,b?0.5
时，都满足选项
C
，但是不能得出
a?b?1

00
0
6．B 当
A?170
时，
sin170?sin10?
1
，所以“过不去” ；但是在△
ABC
中，
2
sinA?
1
?30
0
?A?150
0
?A?30
0
，即“回得来”
2

7．D 当
a??2,b?2
时，从
a?b?1
不能推出
a?b?1
，所以
p
假，
q
显然为真
8．解：
?p:4?x?6,x?10,或x??2,A?x|x?10,或x??2


q:x?2x?1?a?0，x?1?a,或x?1?a,记B?x|x?1?a,或x? 1?a

22
??
??
而
?p?q,?A
?< br>1?a??2
?
B
，即
?
1?a?10,?0?a?3
。
?
a?0
?
9B 10B 11A 12B 13D 14A
ab
15若
a?b
，则
2?2?1
16B 17A 18C 19B 20D 21C
2
22．
[?3,0]

ax ?2ax?3?0
恒成立，当
a?0
时，
?3?0
成立；当
a?0
时，
?
a?0

?
得
?3?a?0
；
??3?a?0

2
?
??4a?12a?0
第三节
针对训练
参考答案
1. C 2．A 3. D 4．C 5．D 6．D 7. B 8. A 9. B 10.B
11.任意一个三角形都有外接圆
12. ? x∈R，x－x+3≤0
13. ?
a
,b,c∈R+,a+b=c
14. 否定形式：至少存在一个末位数是0或5的整数，它不能被5整除；
否命题：所有末位数不是0且不是5的整数，都不能被5整除；
15. （1）?x∈R，x
2
≥0
（2）? x∈R，y∈R，2x＋3y＋3>0
16．（1）存在性命题，存在量词为“有的”
（2）全称命题，全称量词为“任意”
17．（1）对于任意实数x都是方程5x-12＝0的根；
（2）（至少）存在（一个）实数x，对于任意实数y，使x＋y≤0；
18. （1）?x∈R，若2x>4，则x>2；
?x
0
∈R，虽然满足2 x
0
>4，但x
0
≤2；
（2）?m∈R，若m≥0,则x＋x－m＝0有实数根；
2
222
2

?m
0
∈R，虽然满足m
0
≥0，但x＋x－m＝0没有实数根；
单元检测
参考答案
1.C 2. D 3.C 4.D 5.B 6.B 7.C 8.A 9.C 10.A
11.C 12. B 13.B 14.B 15.C 16.C 17.B 18.C 19.B
20.必要 21.
a?5
或
b?2
22.真命题 23.①②④
2
b、c
24．必要不充分 25.充分 必要 26.以（1）为列：否命题：若
abc?0
，则
a、
中都不为零
27．逆命题：若
x??8
或
x?1
，则
x
2
?7 x?8?0
真命题
否命题：若
x
2
?7x?8?0< br>，则
x??8
且
x?1
真命题
逆否命题：若x??8
且
x?1
，则
x
2
?7x?8?0
真命题
28．
1?m?2
或
m?3

第二章 圆锥曲线与方程
第一节
针对训练

题号 1


答案

D D D B A D D B C B C D
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
x
2
y
2
3y
2
4x
2
x
2
9y
2
??1
或
?? 1
14
??1
13
862525520
15
2ab

16
1

4
17 解:由已知条件 得椭圆的焦点在x轴上,其中c=
22
,a=3,从而b=1,所以其标准方程
是:

?
x
2
2
x
?
?y?1
2
,消去y得,
10x
2
?36x?27?0
.
?y?1
.联立方程组
?
9
9
?
?
y?x?2
2< br>设A(
x
1
,y
1
),B(
x
2
, y
2
),AB线段的中点为M(
x
0
,y
0
)
那么:
x
1
?x
2
??
所以
y
0
=
x
0
+2=
18
x?x
2
9
?
,
x
0
=
1
25
5
1
.
5
9
1
,).
5
5
4
,所以双曲线的焦 点为F(0,
?
4),离心率
5
也就是说线段AB中点坐标为(-
1 8 解:由于椭圆焦点为F(0,
?
4),离心率为e=
为2,
从而c=4,a=2,b=2
3
.
y
2
x
2
??1
所以求双曲线方程为:
412
第二节
针对训练
一DBCD ACCD C
x2
x
2
y
2
5
438
2
?y?1 13.
(1)??1;
(2) 6 10. 11. 4或
?
12.
4
9168
5
x
2
?y
2
?1
15.
a
2
?b
2
16.x+y+5=0 14.
4
17.
4x
2
?5y
2
?24

第三节
针对训练
参考答案

一．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
答
案
D A C C A A C C B A
1

916
x
2
y
2
11． t>4或t<1 12．
y
=
?
13．
??1
14．
3
5
412
x
2
y
2
15． [解析]：由椭圆
??1
?c?5
．
4924
4
?< br>b
x
2
y
2
??
?
设双曲线方程为
2
?
2
?1
，则
a3
?
ab
22
?
2
?
?
a?9
故所求双曲线方程为
?
?2
?
?
b?16
a?b?25
?
x
2
y
2
??1

916

x
2
y
2
16．[解析]：设双曲线方程为
2
?
2
?1
（
a
>0，b>0），
ab
a
9
99
9
22
∵两准线间距离为，∴
2?
=，得
a
2
?
c，
b?c?c
①
44
c
22
?
x
2
y
2
?< br>2
?1
?
2
?
ab
∵双曲线与直线相交，由方程组 得
?
?
y?
1
(x?4)?
3
?
2
a
2
2
8
2
16< br>(b?)x?ax?(b
2
?)a
2
?0
，
999
2
a
2
2
?0
，且
x
1
?x2
??
由题意可知
b?
9
2
8
2
a< br>2
?7a
2
?9b
2
②
9
??
a
2
3
2
2(b?)
9
x
2
y
2
??1
．
97
C
联立①②解得：
a
2
?9
，
b
2
?7
所以双曲线方程为
17． [解析]： （I）如图建立直角坐标系xOy，AA′在
x
轴上，AA′的中点为坐标
y
C'
原点O，CC′与BB′平行于
x
轴． 设双曲线方程为
x
2
?
y
2
?1(a?0,b?0),

ab
22
A'

O
则
a?
1
AA
?
?7.
又设B（11，
y
1
），C（9，
y2
），因为点B、C在双曲线上，
2
2
2
所以有
11< br>?
y
1
?1,
①
22
A
x
7 b
B'
B
2
9
2
y
2
?
2
?1,
② 由题意知
y
2
?y
1
?20.
③
27b
22
xy
由①、②、③得
y
1
??12,y
2
?8,b?72.
故双曲线方程为
??1.

4998
18． [解析]：由题意可得双曲线的两个焦点是
F
1
（0，-5）、
F
2
（0，5），
由双曲线定义得：
MF< br>1
?MF
2
?6
，联立
MF
得
1
?MF
2
?32

MF
1
+
MF
2
2
=100=
F
1
F
2
2
， 所以△
F
1
MF
2
是直角三角形，从而其面积为
S=
2

1
MF
1
?MF
2
?16

2
19． [解析]：以直线
AB
为
x
轴，线段
AB
的垂直平分线为
y
轴，建立直角坐标系，
则
A
（3，0）、
B
（－3，0）
?|PB|?|PA|?4?1?6?a?2,b?5,c?3

2
2

?P是双曲线
x
?
y
?1
右支上的一点 ∵
P在
A
的东偏北60°方向，∴
45
k
AP
?tan60 ?3
．
?
y
P
∴线段
AP
所在的直线方程为
y?3(x?3)

?
x2
y
2
?1
?
?
45
x?8
， 解方程组
?

得
?
?
?
?
y?3( x?3)
?
y?53
?
x?0
?
?
?
y? 0
B
O
A
x

即
P
点的坐标为（8，
53
） ∴
A
、
P
两地的距离为
AP?(3?8)
2
?(0?53)
2
= 10（千
米）．
20．[解析]：如图，以AB的垂直平分线为
y
轴，直线 AB为
x
轴，建立直角坐标系，
则CD⊥Oy．
c1
c?AB，，h），B（c，0），其中c为双曲线的半焦距，
22
y
h是梯形的高． 由定比分点公式，得点E的坐标为
D
C
8c
8
?c??
E
0??h
7
，
8
112
11
x
E
???c
y
E
?
B
x
A
O
?h
．
8
8
19
19
1?
1?
11
11
由题意可设A（-c，0），C（
c
x
2
y
2
设双曲线的方 程为
2
?
2
?1
，由离心率
e?
． 由点C、E在双曲线上，得
a
ab
?
1c
2
h
2
①
22< br>?
2
?
2
?1,
h1c
?
c
2?
4
ab
由①得
2
??
2
?1
，代入②得
2
?9
所以离心率
?
22
b4a
a
?
49
?
c< br>?
64
?
h
?1.
②
?
?
361
a
2
361
b
2
c
2
e??3

a
2
第四节
针对训练

一、选择题
题号
答案
二、填空题
11．
(,?
1
C
2
D
3
A
4
B
5
B
6
A
7
C
8
B
9
C
10
D
1
8
2
)
12． 2 13．
(??,?
13
)
14． （2），（5）
4
4
三、解答题
15．[解析]：（1）由点A（2，8）在抛物线
y
2
?2px
上，有
8
2
?2p?2
，
2
解得p=16. 所以抛物线方程为
y?32x
，焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，M是BC的中点，所以F是线段AM的
定 比分点，且
AF
?2
，设点M的坐标为
(x
0
,y
0
)
，则
FM
2?2x
0
8?2y
0
? 8,?0
，解得
x
0
?11,y
0
??4
，
1?21?2
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直 线的方程为：
y?4?k(x?11)(k?0).

由
?
y?4? k(x?11),
消x得
ky
2
?32y?32(11k?4)?0
，
?
2
?
y?32x
2
因此BC所在直线的方程为：4x?y?40?0.

16．[解析]：设在抛物线y=ax
2
－1上 关于直线x+y=0对称的相异两点为P(x,y),Q(－y,－x)，
则
k
2< br>?
?
y?ax?1
①
?
2
?
?
?x ?ay?1

②
，由①－②得x+y=a(x+y)(x－y),∵P、Q为相异两点 ，∴x+y≠0，又a≠0，
y?y
2
所以
y
1
?y2
?
32
，由（2）的结论得
1
??4
，解得
k??4.

∴
x?y?
11
3
代入②得a
2x
2
－ax
－
a+1=0，其判别式△=a
2
－4a< br>2
(1－a)＞0，解得
a?
．
,即y?x?
，
4
aa
x
y?1
)
，L:y=kx－1,代入抛物线方程得
2 2
17．[解析]：设R(x,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB的中心为
C(,
x
2
－4kx+4=0, 设A(x< br>1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),则x1
+x
2
=4k,x
1
x
2
=4，且△=16 k
2
－16＞0，即|k|＞1 ①，
x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
?2x< br>1
x
2
?y
1
?y
2
???4k
2
?2
，∵C为AB的中点.
44
x
x
2
?x2
??2k
22
∴

y?1
y
2
?y
2
2
??2k?1
22
x?4k
2
?
y?4k?3
2
，消去k得x=4(y+3),由① 得，
x?4
，故动点R的轨迹方程为x
2
=4(y+3)(
x?4
)．
18． [解析]：（1）由题意设过点M的切线方程为：
y? 2x?m
，代入C得
x
2
?2x?(?m)?0
，
则?
7
2
7551
1
?4?4(?m)?0?m?
，?x
0
??1,y
0
??2??
，即M（－1，
222
22
7
7
?x
2
?(4?k)x?(?n)?0< br>，则
??0?(k?4)
2
?14?4n
，
2
2
）．
（2）当a＞0时，假设在C上存在点
Q(x
1
,y
1
)
满足条件．设过Q的切线方程为：
y?kx?n
， 代入
y?x
2
?4x?
y
1
?a
11
k
2
?2
k?4
???k
2
?4a?k??2a
，且
x
1
?
．若
k?0
时，由于
k
PQ
???

,
y
1
?
kx?2k
2
41

x
1
?a?2
∴
x
1
?? a?2
y
1
?a?
1
2
2
1
， ∴有三个 点（－2＋
a
，
2a?1
），（－2－
a
，
2a? 1
）及（－2，－）
2
2
2
y
1
?a?
且 过这三点的法线过点P（－2，a），其方程分别为：
x＋2
1
或 ；若k=0时，显然
Q(?2,?)
也满足要求．
1
2
a
y＋2－2a
a
＝0，x－2
a
y＋2＋2a
a
＝0，x＝ －2.
1
当a≤0时，在C上有一个点（－2，－），在这点的法线过点P（－2，a），其 方程为：x＝－2.
2
19．[解析]：（1）F（a,0）,设
M(x
1
,y
1
),N(x
2
,y
2
),P(x
0
,y
0
)
，由
y
2
?4ax
(x?a?4)?y?16
22

? x
2
?2(a?4)x?(a
2
?8a)?0
，
???0, ?x
1
?x
2
?2(4?a)
，
MF?NF?(x
1
?a)?(x
2
?a)?8

（2）假设存在a值，使的
MF,PF,NF
成等差数列，即
2PF?MF?NF?2x
0
?x
1
?x
2


?x
0
?4?a
①，∵P是圆A上两点M、N 所在弦的中点，∴
AP?MN
?
y
0
y?y
1
< br>?
2
x
0
?a?4x
2
?x
1
y< br>2
?y
1
4a(y
2
?y
1
)
8a
2
4a
2
由①得
y
0
??2a
这是不可能 的．
??2a?????y
0
2
??4a
2
?0
，
x
2
?x
1
x
2
?x
1
y1
?y
2
y
0
∴假设不成立．即不存在a值，使的
MF ,PF,NF
成等差数列．
1
x
x
1
??4x
2
?8
2
20．[解析]：【解】(1) 解方程组 得 或
y
1
??2y
2
?4
1
2
y?x?4
8
y?< br>即A(－4,－2),B(8,4), 从而AB的中点为M(2,1).由k
AB
==
y－1=
1
2
,直线AB的垂直平分线方程
1
2
(x－2). 令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0, 设P(x,
1
2
x－4).∵点P到直线OQ的距离
8
1
x?x2
?4
8
d==
1
x
2
?8x?32
,
OQ?52
,∴S
ΔOPQ
=
1
OQd
=
5
x
2
?8x?32
.
2
16
82
2
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点, 且P不在直线OQ上, ∴－4≤x<4
3
－4或4
3
－4 ∵函数y=x
2
+8x－32在区间[－4,8] 上单调递增, ∴当x=8时,

ΔOPQ的面积取到最大值30．
第五节
针对训练
答案：1D 2C
单元检测
答案：B B C A A B B A B D DA
x
2
y
2
23
?1(x?2)
16.
○
13.
e?
2
○
3
或2
14.
43
15 .
?
45
3
y
2< br>x
2
y
2
22
??1

?1
或
3y?9x?1
18. 17.
x?
66
3
2

x
2
y
2
x
2
y
2
4
?1
（2）
arccos

??1
双曲线方程
?
19（1）椭圆方程
5
94
4936
20 .
4x
2
?y
2
?8x?2y?0
21. （1）
y?
2
1
(x?a)
2
（2）
a??2

2
3x
2
??
2
?3
?
,]

?y
2
?1
（2）
?
?[,]?[
22. （1）
C
1:
y?4x

C
2
:
4334
2

第三章 导数及其应用
第一节
针对训练
一、选择题
1．A
f
'
(x)?sinx,f
'
(
?
)?sin
?

2．A 对称轴
?
b
?0,b?0,f
'
(x)?2x ?b
，直线过第一、三、四象限
2
3．B
f
'
(x) ??3x
2
?2ax?1?0
在
(??,??)
恒成立，
? ?4a
2
?12?0??3?a?3

4．C 当
x?1
时，
f
'
(x)?0
，函数
f(x)
在
(1,?? )
上是增函数；当
x?1
时，
f
'
(x)?0
，< br>f(x)
在
(??,1)
上是减函数，故
f(x)
当
x?1
时取得最小值，即有
f(0)?f(1),f(2)?f(1),
得
f(0)?f(2)?2f(1)

5．A 与直线
x?4y?8?0
垂 直的直线
l
为
4x?y?m?0
，即
y?x
在某一点的导数 为
4
4
，而
y
?
?4x
3
，所以
y?x
4
在
(1,1)
处导数为
4
，此点的切线为
4x?y?3?0

6．A 极小值点应有先减后增的特点，即
f
'(x)?0?f
'
(x)?0?f
'
(x)?0

二、填空题
2
1．
6

f
'
(x) ?3x?4cx?
2
c,
'
f(2?)
2
c?8?c1?2 0c?,或
，
2
c
,
?2
6
时取极小值
2．
(??,??)

y
'
?2?cox

s?
对于任何实数都成立
0
3．
?

f'
(x)??sin(3x?
?
)(3x?
?
)
'??3sin(3x?
?
)

6

f(x)?f
?
(x)?2cos(3x?
?
?
?
3
)

要使
f(x)?f
?
(x)
为奇函数，需且仅需?
?
?
3
?k
?
?
?
2
,k ?Z
，

即：
?
?k
?
?
?
6
,k?Z
。又
0?
?
?
?
，所以
k< br>只能取
0
，从而
?
?
?
6
。
4．
(7,??)

x?[?1,2]
时，
f(x)
max
?7

5．
2
n?1
?2

y

x?2< br>??2
n?1
?
n?2
?
切线方程为,:y?
n2??
?n1
2
?
n?
?
2?x(
，
2

)
n
令
x?0
，求出切线与
y
轴交点 的纵坐标为
y
0
?
?
n?1
?
2
，所以< br>a
n
?2
n
，
n?1
21?2
n
?
a
n
?
则数列
?
?2
n?1
?2

?
的前
n
项和
S
n
?
1?2
?< br>n?1
?
三、解答题
1．解：
y?(1?cos2x)
3< br>?(2cos
2
x)
3
?8cos
6
x
< br>??
y
'
?48cos
5
x?(cosx)
'
?48cos
5
x?(?sinx)

??48sinxcos
5
x
。
2．解：函数的定义域为
[?2,??)
，
y?
'
1111

???
2x? 42x?32x?44x?12
当
x??2
时，
y
'
?0< br>，即
[?2,??)
是函数的递增区间，当
x??2
时，
y< br>min
??1

所以值域为
[?1,??)
。
< br>3．解：（1）
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c,f'
(x)?3x
2
?2ax?b

'
由
f(? )?
2
3
1241
?a?b?0
，
f
'
( 1)?3?2a?b?0
得
a??,b??2

932
f
'
(x)?3x
2
?x?2?(3x?2)(x?1)
，函数
f(x)
的单调区间如下表：

x

2
(??,?)

3
?
22

(?,1)


33
1


(1,??)


f
'
(x)


?

f(x)

?

0

极大值
?

?


0

?

极小值
?

所以 函数
f(x)
的递增区间是
(??,?)
与
(1,??)
, 递减区间是
(?
2
3
2
,1)
；
3

3
（2）
f(x)?x?
1
2
2222
x?2x ?c,x?[?1,2]
，当
x??
时，
f(?)??c

23327
为极大值，而
f(2)?2?c
，则
f(2)?2?c
为 最大值，要使
f(x)?c
2
,x?[?1,2]

恒成立，则只需 要
c
2
?f(2)?2?c
，得
c??1,或c?2
。
x
2
?ax?b
4．解：设
g(x)?

x
∵
f(x)
在
(0,1)
上是减函数，在
[1,??)
上 是增函数
∴
g(x)
在
(0,1)
上是减函数，在
[1, ??)
上是增函数.
∴
?
?
b?1?0
?
g'( 1)?0
?
a?1
∴
?
解得
?
< br>?
a?b?1?3
?
g(1)?3
?
b?1
经检验，
a?1,b?1
时，
f(x)
满足题设的两个条件.
第二节
针对训练
1、B；2、D；3、C；4、B；5、A；6、B；7、A；8、-26；9、< br>(?,0)
；10、C
11、A；12、B；13、B.
16、解：（I）设该学生从家出发，先乘船渡河到达公路上某一点P(x,0) (0≤x≤d)，再 乘公交
车去学校，所用的时间为t，则
t?f(x)?
1
e
a
2
?x
2
?
0
?
d?x
(0?x?d)
.
2
?
0
令
f
?
(x)?0,得x?
3
a.

3
且当
0?x?
3
a时,f
?
(x)?0,

3
当
3
a?x?d时,f
?
(x)?0,

3
当
x?
3
a
时，所用的时间最短，最短时间为：
3
32
a)
3
3
a
3
?(1?
3
)
a
.
2
?
0
2
?
0
a
2< br>?(
t?
d?
?
?
0

答：当d=2a 时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是
(1?
3
)
a
. < br>2
?
0
（II）由（I）的讨论可知，当d=
时,t?f(x)为(0 ,]
上的减函数，所以当
x?
即该学生直接乘船渡河到达公路上学校，所用的时间最短
a
a
2
?()
2
2
?
5a
?
0
2
?
0
a
2
a
2
a时，
2
最短的时间为
t?
答：当
d?
'
17 、解：
f(x)?
a
5a
时，该学生从家出发到达学校所用的最短时间是.
2
2
?
0
13
?a
，
?f(x)
在
(0,)
上是增函数
x?22
131??a?0
在
x?
(0,)
上恒成立 ，
?a??
恒成立
x?22x?2
11
?
???2?a?2
，
2x?2< br>a
2
设
t?e,
则
h(t)?g(x)?|t?a|?

2
x
?0?x?ln3,?1?t?3

?
a
2
?t?a?,1?t?a
?
?
2
当
2?a?3
时 ，
h(t)?
?

2
?
t?a?
a
,a?t?3
?
2
?
a
2
a
2
?M?h( 1)?a?1?,m?h(a)?

22
?M?m?a?1?
35
?a?

22
a
2
当
a?3
时，
h(t)??t?a?

2a
2
a
2
?M?h(1)?a?1?,m?h(3)?a?3?

22
?M?m?2
不符题意
综上，
a
的取值为
a ?
18、（1）
f
?
(x)?
5

2
2x2t2t
2
?
l
,则f(t)?y?ln(t?a)?(x?t) ，切线的方程：
22
2
x?at?a
t

2t< br>2
2
2t4at2t(t
2
?a)
（2）令x=0，
g(t)?ln(t?a)?
2

(t??a),g
?
(t)?2
??
t?at?a(t
2
?a)
2
(t
2< br>?a)
2
2
?
?
t
2
??a
?t?R
① 当a>0时,由
?
，
得t?a或?a?t?0
得
?
?
?
g(t)?0,
?
?
t?a或?a? t?0
?
t
2
??a
得t?0
②当a=0时,由
?
?
g
?
(t)?0,
?
t??a或t???a
?
t
2
?a?0
?
③当a<0时,
?
得
?
有t??a

?
?
g(t)?0,
?
?
t?0
综合①②③当
a?0时,增区间为（a，+?），（?a ，

0）
??）
当a=0时,
增区间为（0，

当a<0时,
增区间为（?a，

??）
第三节
针对训练
一、1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．D 7．B 8．B 9．B 10．B 11．B 12．D
二、13．2x－y+4=0；14．不为零的常数函数；15．3
x－y－11＝ 0；
16．(理)
125
(文)arctan
16
4

3
三、17．解：⑴设f(x)=ax
2
+bx+c，则f ?(x)=2ax+b．
?
f
?
(1)?0,
?
2a?b ?0,
?
a?1,
???
由题设可得：
?
f
?
(0)??2,
即
?
b??2,
解得
?
b?? 2,

?
f(0)??3,
?
c??3.
?
c?? 3.
???
所以f(x)=x
2
-2x-3．
⑵g(x)=f(x
2
)=x
4
－2x
2
－3，g ?(x)=4x
3
－4x=4x(x
－
1)(x+1)．列表：





由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(-1,0)，(1,+∞)．
x
f?(x)
f(x)
(-∞,-1)
－
↘
-1
0

(-1,0)
+
↗
0
0

(0,1)
－
↘
1
0

(1,+∞)
+
↗

18．解：⑴函数
f(x)
的定义域为
(?1, ??)
．
f
?
(x)
＝
1x
－1＝－。由
f
?
(x)
<0及x>
x?1x?1
－1，得x>0．∴ 当x∈（ 0，＋∞）时，
f(x)
是减函数，即
f(x)
的单调递减区间为（0，＋∞ ）．
⑵证明：由⑴知，当x∈（－1，0）时，
f
?
(x)
＞0， 当x∈（0，＋∞）时，
f
?
(x)
＜0，
因此，当
x? ?1
时，
f(x)
≤
f(0)
，即
ln(x?1)?x≤0∴
ln(x?1)?x
．
令
g(x)?ln(x?1)?
11x
1
?1
，则
g
?
(x)?
＝．
?
x?1
x?1(x?1)
2
(x?1)
2
∴ 当 x∈（－1，0）时，
g
?
(x)
＜0，当x∈（0，＋∞）时，
g
?
(x)
＞0．
∴ 当
x??1
时，
g(x)
≥
g(0)
，即
ln( x?1)?
综上可知，当
x??1
时，有
1?
11
?1≥0，∴
ln(x?1)?1?
．
x?1x?1
1
?ln(x?1)?x
．
x?1
(文)解 ：函数f(x)的导数：
f
?
(x)?3ax
2
?6x?1.

（Ⅰ）当
f
?
(x)?0
（
x?R
）时，< br>f(x)
是减函数.
3ax
2
?6x?1?0(x?R)
? a?0且??36?12a?0
所以，当
a??3时,由f
?
(x)?0,知 f(x)(x?R)
是减函数；
3
（II）当
a??3
时，
f(x)??3x
3
?3x
2
?x?1
=
?3(x?)?
?a??3.

1
3
8
,

9
由 函数
y?x
3
在R上的单调性，可知当
a??3
时，
f(x )(x?R
）是减函数；
（Ⅲ）当
a??3
时，在R上存在一个区间，其上 有
f
?
(x)?0,

所以，当
a??3
时，函数
f(x)(x?R)
不是减函数.
综上，所求
a
的取值范围是（
??,?3].

19．解：a＝
3711
3?133?13
，
b
＝－6. 由f(x)
min
＝－+
c
>-得。
?c?0
或
c?
22c2
22
20．解：
f
?
(x)??x
2
?4ax?3a
2
.
令
f
?
(x)??x
2
?4ax?3a
2
?0,得x?a或x?3a
由表
x
f
′

f

－
递减
a
0

+
递增
3a
0
b

－
递减
?
4
3
a?b

3
可知：当
x?(??,a)
时，函数
f(x)
为减函数，当
x?(3a,??)时。函数
f(x)
也为减函数；

当
x?(a,3a)时，函数
f(x)
为增函数.
当x=a时，
f(x)
的极小 值为
?
4
3
a?b;当x?3a
时，
f(x)
的极 大值为b.
3
⑵由
|f
?
(x)|?a,得?a??x
2
?4ax?3a
2
?a.

∵0a?1 ?2a,f
?
(x)??x
2
?4ax?3a
2
在[a?1 ,a?2]
上为减函数.
∴
[f
?
(x)]
max?f
?
(a?1)?2a?1,[f
?
(x)]
min
?f
?
(a?2)?4a?4.

于是，问题转化为求不等式组
?
解不等式组，得
?
2a?1?a,
的解.
4a?4??a
?
44
?a?1.
又0?a?1.

55
21．解：⑴由原式得
f( x)?x
3
?ax
2
?4x?4a,
∴
f
?
(x)?3x
2
?2ax?4.

11
22
,此时有f(x)?(x?4)(x?),f
?
(x)?3x?x?4
.
22
44509
,f(?1)?,f(?2)?0,f(2)?0,
由
f
?
(?1)?0
得
x?
或x=-1 , 又
f()??
33272
950
.
所以f(x)在[－2,2 ]上的最大值为
,
最小值为
?
227
⑵由
f
?(?1)?0
得
a?
⑶解法一:
f
?
(x)?3x< br>2
?2ax?4
的图象为开口向上且过点(0,－4)的抛物线,由条件得

f
?
(?2)?0,f
?
(2)?0,

即
?
4a?8?0
∴－2≤a≤2.
8?4a?0
所以a的取值范围为[－2,2].
a?a
2
?12
解法二:令
f
?
(x)?0
即
3x?2ax?4?0,
由求根公式得:
x
1,2
?(x
1
?x
2
)

3
2
所以
f
?
(x)?3x
2
? 2ax?4.
在
?
??,x
1
?
和
?
x< br>2
,??
?
上非负.
由题意可知,当x≤-2或x≥2时,
f
?
(x)
≥0,
从而x
1
≥-2, x
2
≤2,
?
?
a
2
?12?a?6
即
?
解不等式组得－2≤a≤2.
2
?
?
a?12?6?a.
∴a的取值范围是[－2,2].

22．解：⑴
f
?
(x)?3ax
2
?2bx? 3
，依题意，
f
?
(1)?f
?
(?1)?0
，即

?
?
3a?2b?3?0,

?
3a?2b?3?0.
解得
a?1,b?0
。
∴
f(x)?x
3
?3x,f
?
(x)?3x
2
? 3?3(x?1)(x?1)
。
令
f
?
(x)?0
，得
x??1,x?1
。
若< br>x?(??,?1)?(1,??)
，则
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在
(??,?1)
上是增函数，
f(x)
在
(1,??)
上是增函数。
若
x?(?1,1)
，则
f
?
(x)?0
，故
f(x)
在
(?1,1)
上是减函数。
所以，
f(?1)?2
是极大值；
f(1)??2
是极小值。 ⑵曲线方程为
y?x
3
?3x
，点
A(0,16)
不在 曲线上。
3
设切点为
M(x
0
,y
0
)
，则点M的坐标满足
y
0
?x
0
?3x
0
。 2
2
因
f
?
(x
0
)?3(x
0?1)(x?x
0
)

?1)
，故切线的方程为
y?y
0
?3(x
0
注意到点A（0，16）在切线上，有
32
16?(x
0
?3x
0
)?3(x
0
?1)(0?x
0
)

3
化简得
x
0
??8
，解得x
0
??2
。
所以，切点为
M(?2,?2)
，切线方程为
9x?y?16?0
。
第四节
针对训练
一、
题号
答案
1
C
2
A
3
A
4
A
5
D
6
A
7
A
8
A

9.4x-y-1=0 10. 3x+y+2=0 11.
aa2
;
12.
22
3
13. 解：f′（x）=3x
2
+2ax+b．据题意，－1，3是方程3x
2
+2 ax+b=0的两个根，由韦达定理得
2a
?
?1?3??
?
?< br>3
?
?
?1?3?
b
?
3
?
∴a= －3，b=－9
∴f（x）=x
3
－3x
2
－9x+c
∵f（－1）=7，∴c=2
极小值f（3）=3
3
－3×3
2
－9×3+2=－25
∴极小值为－25，a=－3，b=－9，c=2．
14．解：（Ⅰ）
f
'
(x)??3x
2
?6x?9

令
f
'
(x)?0即?3x
2
?6x?9?0

解得x>3或x<-1 ?x?(??,?1)和(3,??)单调递减

（Ⅱ）令
f(x)?0解得x=-1或x=3(舍）

f(2)=-8+12+18+1=23
f(-2)=8+12-18+1=3

f(-1)=1+3-9+1=-4
f(x)的最大值为23，最小值为-4.
15．解：（Ⅰ）
y
'
?2?3x
2

‘

K
切
?y|
x??1
?2?3?(
2
1)??
1
?切线方程为：y?1??1(x?1)即x?y?2?0

（Ⅱ）对x+y+2=0;令x=0,y=-2令y=0,x=-2
1
?S
?ABC
??2?2?2

2
16．解： 正方形边长为x，则V=（8－2x）·（5－2x）x=2（2x
3
－13x
2+20x）（0V′=4（3x
2
－13x+10）（05
）
2
5
）.V′=0得x=1
2
根据实际情况，小盒容积最大是存在的，
∴当x=1时，容积V取最大值为18．
单元检测
一、选择题

1．C
y
'
?3x
2
?6x?9?0,x??1,得x?3
，当
x??1
时，< br>y
'
?0
；当
x??1
时，
y
'
? 0

当
x??1
时，
y
极大值
?5
；
x
取不到
3
，无极小值
2．D
lim< br>h?0
f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)f(x
0
?h)?f(x
0
?3h)
?4lim?4f
'
(x
0
)??12

h?0
h4h
'2
3．C 设切点为
P
,k?f
'
(a)?3a
2
?1?4,a??1
，
0
(a,b)
，
f(x)?3x?1
把
a??1
，代入到
f(x)=x
3
+x-2
得
b??4
；把
a?1
，代入到
f(x)=x
3
+x-2
得
b?0
，所以
P
0
(1,0)
和
(?1,?4)

4．B
f(x)
,
g(x)
的常数项可以任意
18 x
3
?11
2
?0,(2x?1)(4x?2x?1)?0,x?
5 ．C 令
y?8x?
2
?

xx
2
2
'
(lnx)
'
x?lnx?x
'
1?lnx
'
? ?0,x?e
6．A 令
y?
，当时，
x?e
y?0
； 当
x?e
时，
22
xx
'
11
y
'
?0
，
y
极大值
?f(e)?
，在定义域内只有一个极值，所以< br>y
max
?

ee
二、填空题
1．
?
66
33
'2'
2．
?
f(x)?3x?4,f(1)?7,f(1)?10,y?10?7(x?1),y?0时,x??

77
222
'2
3．
(0,)

(??,0),(,??)

y??3x?2x?0,x?0,或x?

333
4．
a?0,且b
2
?3ac

f
'
(x)?3ax
2
?2bx?c?0
恒成立，
?3

y
'
?1?2sinx?0,x?
?
6< br>，比较
0,
??
62
,
处的函数值，得
y
m ax
?
?
?3

?
a?0
2
则
?
,a?0,且b?3ac

2
?
??4b?12ac?0
5．
4,?11

f
'
(x)?3x
2
?2ax?b,f
'
(1)?2a?b ?3?0,f(1)?a
2
?a?b?1?10

?
2a?b??3
?
a??3
?
a?4

?
2
，当
a??3
时，
x?1
不是极值点
,
?
,或
?
?
b??11
?
a?a?b?9?
b?3
三、解答题
1．解：
y?2x,k
1
?y|
x?x
0
?2x
0
;y?3x,k
2
?y|
x?x
0
?3x
0

'''2'2

k
1
k
2
??1,6x
0
??1,x
0< br>??
3
3
36
。
6
2．解：设小正方形的边长为< br>x
厘米，则盒子底面长为
8?2x
，宽为
5?2x


V?(8?2x)(5?2x)x?4x
3
?26x
2
?40x
'2'

V?12x?52x?40,令V?0,得x?1,或 x?
1010
，
x?
（舍去）
33

V
极大值
?V(1)?18
，在定义域内仅有一个极大值，

?V
最大值
?18

3．解：（1）
f(x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象经过点
(0,1)
，则
c ?1
，
f
'
(x)?4ax
3
?2bx,k?f
'
(1)?4a?2b?1,

切点为
(1,?1)
，则
f (x)?ax
4
?bx
2
?c
的图象经过点
(1,?1)< br>
得
a?b?c??1,得a?
59
,b??

22
f(x)?
5
4
9
2
x?x?1
< br>22
（2）
f
'
(x)?10x
3
?9x?0,?< br>310310

?x?0,或x?
1010
单调递增区间为
( ?
310310
,0),(,??)

1010
13
)
得
ab?0,a?2,b?1

2 2
4．解：由
a?(3,?1),b?(,
[a?(t
2
?3)b] (?ka?tb)?0,?ka
2
?tab?k(t
2
?3)ab?t(t< br>2
?3)b
2
?0

?4k?t
3
?3t? 0,k?
1
3
1
(t?3t),f(t)?(t
3
?3t)

44
3333
f
'
(t)?t
2
??0 ,得t??1,或t?1；t
2
??0,得?1?t?1

4444
所以增区间为
(??,?1),(1,??)
；减区间为
(?1,1)
。