高中数学人教版选修1-1 1.1.1命题 教案(系列二)

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1．1 命题及其关系
1.1.1 命题
一：教法分析
●三维目标
1.知识与技能
理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是 否为命题，能判断命题的真假；能
把命题改写成“若p，则q”的形式．
2．过程与方法
多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的
能力．
3．情感、态度与价值观
通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．
●重点、难点
重点：命题的概念、命题的构成．
难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．
二：方案设计
●教学建议 < br>命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问
题，判断是 否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基
于教材内容简单且以前曾 经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、
回答问题的过程中学习知识，增长技能 ，进而突破重难点．
●教学流程
创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.
?
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引导学生结合初中学习过的命题概念 ，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.
通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.
通过例2及其互动探究，使学生 掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.
通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩 固，学会对命题进行改写.
归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.
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?完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
三、自主导学
课标解读


【问题导思】
观察下列实例：
①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；
②4是集合{1,2,3,4}的元素；
③若x∈R，方程x
2
－x＋2＝0无实根；
④作△ABC∽△A′B′C′
上述语句中，哪些能判断真假？
【提示】 ①、②、③、④是祈使句不能判断真假．
1．定义
在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
2．分类
①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.

【问题导思】
1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？
【提示】 是命题，为假命题．
2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？
【提示】 若两个角为同位角，则这两个角相等．
命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
四、互动探究

命题的判断
命题的形式
命题的概念
1.了解命题的概念及构成．(重点)
2．会判断命题的真假．(难点、易错点)
例1 判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)x－2＞0；
(2)梯形是不是平面图形呢？
(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；
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(4)这盆花长得太好了！
(5)若x＜2，则x＜3.
【思路探究】 (1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？
【自主解答】 (1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．
(2)不是命题，疑问句不是命题．
(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)
(4)不是命题，感叹句不是命题．
(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．
（一）规律方法
判断一个语句是否为命题的步骤：
(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．
(2)该语句能否判断真假，语 句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公
理、定理，是明确的，不能模棱两可．
（二）变式训练
判断下列语句是否为命题，并说明理由．
(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；
(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；
(3)作△ABC∽△A′B′C′.
【解】 (1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．
(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．
(3)不是命题，祈使句不是命题．


命题真假的判定
例2 判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)函数y＝sin
4
x－cos
4
x的最小正周期是π；
(2)若x＝4，则2x＋1＜0；
(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(4)求证：x∈R时，方程x
2
－x＋2＝0无实根．
【思路探究】
命题证明举反例
判定是否
语句――→
――→

是命题
定义
真假命题
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【自主解答】 (1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．
命题(1)中，y＝sin< br>4
x－cos
4
x＝sin
2
x－cos
2
x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．
命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．
命题(3)中，当等比数列的首项a< br>1
＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．
(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．
（一）规律方法
1．真假命题的判定方法：
(1)真命题的判定方法：
真命题的判定过程实际就是 利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推
理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命 题的条件，选择正确的逻辑推理方法．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．
2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．
（二）互动探究
在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．
【解】 (2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.
(3)是假命题，改为真命题为：一 个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递
增数列．
(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x
2
－x＋2＝0无实根.

命题的形式及改写
例3 把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)两个周长相等的三角形面积相等；
(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m＞1时，x
2
－2x＋m＝0无实根；
(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
【思路探究】 (1)这些命题的条件与结论分别是什么？
(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？
【自主解答】 (1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；
(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；
(3)若m＞1，则x
2
－2x＋m＝0无实根，真命题；
(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．
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（一）规律方法
1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．
2．对 于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情
况，要适当补充使语句顺 畅．
（二）变式训练
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)奇数不能被2整除；
(2)当(a－1)
2
＋(b－1)
2
＝0时，a＝b＝1；
(3)两个相似三角形是全等三角形；
(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．
【解】 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
(2)若(a－1)
2
＋(b－1)
2
＝0，则a＝b＝1，是真命题；
(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．
五、易误辨析
因知识欠缺，导致对命题真假判断失误
典例 判断下列命题的真假．
11
(1)若a＞b，则
＜；
ab
(2)x＝1是方程(x－1)(x－2)＝0的一个根．
【错解】 (1)真命题． (2)假命题．
【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小 ”，而忽视a、b的条件，
11
当a＞0，b＜0时，a＞b但＞
.
ab< br>(2)因为方程的根为x＝1或x＝2，解题时误认为x＝1不全面，而没有分析清逻辑关系．
【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻．
【正解】 (1)假命题 (2)真命题

六、课堂小结
1．判断一个语句是否是命题要注意两点：
(1)是不是陈述句；
(2)能否判断真假．
2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题
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可以分清条件和结论后改写成“若
p
，则
q
”的形式再加以判断.
七、双基达标
1．下列语句中是命题的是( )
π
A.
是无限不循环小数
2
C．什么是“温室效应”
呀！
【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C、D不是命题，对于B无法判断真假，只有A
是命题．
【答案】 A
2．下列命题中是假命题的是( )
A．5是15的约数
C．对顶角相等
B．对任意实数x，有x
2
＜0
D．0不是奇数
B．3x≤5
D．《非常学案》真好
【解析】 对任意实数x，有x
2
≥0，所以B为假命题．A、C、D均为真命题．
【答案】 B
3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p，则q”的形式为________．
【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行
4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假．
(1)求证：2是无理数．
(2)若G
2
＝ab，则a、G、b成等比数列．
(3)末位数字是0的整数能被5整除．
(4)你是高二的学生吗？
【解】 (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.
八、知能检测
一、选择题
1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( )
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
【解析】 A中平行投影可能平行，A为假命题．B、C中的两个平面可以平行或相交，
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为假命题．由线面垂直的性质，D为真命题．
【答案】 D
2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( )
A．这个数能被2整除
B．这个数能被3整除
C．这个数既能被2整除，也能被3整除
D．这个数是6的倍数
【解析】 “若p，则q”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能
被3整除．
【答案】 C
3．下列命题中，是真命题的是( )
A．{x∈R|x
2
＋1＝0}不是空集
B．若x
2
＝1，则x＝1
C．空集是任何集合的真子集
11
D．若
＝，则x＝y
xy
【解析】 A中方程在实数范围内无 解，故为假命题；B中，若x
2
＝1，则x＝±1，也
为假命题；因为空集是任何非空 集合的真子集，故C为假命题，D为真．
【答案】 D
4．给出命题：方程x
2< br>＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以
是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
【解析】 方程无实根应满足Δ＝a
2
－4＜0即a
2
＜4，故当a＝0时适合条件．
【答案】 C
5．有下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a＞b，则a＋c＞b＋c；③矩形的对角线互相垂直．
其中真命题共有( )
A．0个
【解析】 ①由x·y＝0得到x＝0或y＝0，
所以|x|＋|y|＝0不正确，是假命题；
②当a＞b时，有a＋c＞b＋c成立，正确，所以是真命题；
③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题．
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B．1个 C．2个

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【答案】 B
二、填空题
6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p，则q”的形式是________．
【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．
1
7．如果命题“若x∈A，则x＋
≥2 ”为真命题，则集合A可以是________．(写出一个即
x
可)
1
【解析】 当x＞0时，有x＋
≥2，故A可以为{x|x＞0}．
x
【答案】 {x|x＞0}
8．下列命题：①若xy＝1，则x，y互为倒数，② 平行四边形是梯形，③若a＞b，则ac
2
＞bc
2
，④若x、y互为相反数 ，则x＋y＝0，其中真命题为________．
【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形， 假命题，③若a＞b，则ac
2
≥bc
2
，故
为假命题，④为真命题 ．
【答案】 ①④
三、解答题
9．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假：
(1)实数的平方是非负数；
(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；
(3)当ac＞bc时，a＞b；
(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．
(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．
(3)若ac＞bc，则a＞b，假命题．
(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．
10．判断下列命题的真假并说明理由．
(1)合数一定是偶数；
(2)若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0且b＞0；
1
(3)若m＞
，则方程mx
2
－x＋1＝0无实根．
4
【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．
(2)真命题．因为ab＞0，则a、b同号．
又a＋b＞0故a、b不能同负，
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故a、b只能同正，即a＞0且b＞0.
1
(3)真命题．因为当m＞
时，Δ＝1－4m＜0；
4
∴方程无实根．
11．若命题“ax
2
－2ax－3＞0不成立”是真命题，求实数a的取值范围．
【解】 因为ax
2
－2ax－3＞0不成立，
所以ax
2
－2ax－3≤0恒成立．
(1)当a＝0时，－3≤0成立；
?
a＜0，
(2)当a≠0时，应满足
?

Δ≤0，
?
解之得－3≤a＜0.
由(1)(2)，得a的取值范围为[－3,0]．
九、备课资源
（一）备选例题
下列四个命题：
①若向量a，b满足a·b＜0，则a与b的夹角为钝角；
②已知集合A＝{正四棱柱}，B＝{长方体}，则A∩B＝B；
③在平面直角坐标系内，点M(|a|，|a－3|)与N(cos α，sin α)在直线x＋y－2＝0的异侧；
④规定下式对任意a，b，c，d都成立．
2
a
a ba ba b
?
??
2
＝
??
·
??
＝
＋bc ab＋bd
?
，则
?
－sin α cos α
?
2
＝
?
1 0
?
.
????????????
?
c d
??
c d
??
c d
?
?
ac＋cd bc＋d
2
?
?
cos α sin α
?
?
0 1
?

其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．
【解析】 当a与b的夹角为π时，有a·b＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误
的； 因为正四棱柱的底面是正方形，所以A∩B＝A，故②也是错误的；因为|a|＋|a－3|－2≥|a
π
α＋
?
－2＜0，所以点M，N在直线x＋y－2＝0－a＋3|－2＝1＞0，c os α＋sin α－2＝2sin
?
?
4
?
的异侧，故③是真命题；根据题意有
?
－sin α cos α
?
2
?
－sin α cos α
??
－sin α cos α
?
??
＝
??
·
??

?
cos α sin α
??
cos α sin α
??
cos α sin α
?
?
－sin α＋cos
α －sin αcos α＋cos αsin α
?
?
1 0
?
＝
??
＝
??
，
22
?
－sin αcos α＋cos αsin α cos
α＋sinα
?
?
0 1
?
22
所以④是真命题，故填③④.
【答案】 ③④
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（二）备选变式
把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．
若函数f(x)＝3＋log
2
x(x＞0)的图象与g(x)的图象关于x轴对称，则g(x)＝________.
【解析】 设g(x)图象上任一点(x，y)，则它关于x轴的对称点为(x，－y)，此点在f(x)
的图象上 ，故有：－y＝3＋log
2
x成立，即y＝－3－log
2
x(x＞0)．
【答案】 －3－log
2
x(x＞0)

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