最新高中数学选修1-1《全称量词与存在量词》教案

最新高中数学选修1-1《全称量词与存在量词》教案
导学目标：
1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义.
2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词
的命题进行否定.
自主梳理
1.逻辑联结词
命题中的或，且，非叫做逻辑联结词.“p且q”记作p ∧q，“p
或q”记作p∨q，“非p”记作綈p.
2.命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断
p q p∧q p∨q 綈p
真 真 真 真 假
真 假 假 真 假
假 真 假 真 真
假 假 假 假 真
3.全称量词与存在量词
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常 叫做全称量词，
并用符号“?”表示.含有全称量词的命题，叫做全称命题，可用符
号简记为? x∈M，p(x)，它的否定?x∈M，綈p(x).

(2)短语“存在一个”“ 至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量
词，并用符号“?”表示.含有存在量词的命题，叫做特称命题， 可
用符号简记为?x∈M，p(x)，它的否定?x∈M，綈p(x).
自我检测
1.命题“?x∈R，x2-2x+1<0”的否定是( )
A.?x∈R，x2-2x+1≥0 B.?x∈R，x2-2x+1>0
C.?x∈R，x2-2x+1≥0 D.?x∈R，x2-2x+1<0
答案 C
解析 因要否定的命题是特称命题，而特称命题的否定为全称命
题.对x2-2x+1<0的否定为x2 -2x+1≥0，故选C.
2.若命题p：x∈A∩B，则綈p是( )
A.x∈A且x B B.x A或x B
C.x A且x B D.x∈A∪B
答案 B
解析 ∵“x∈A∩B”?“x∈A且x∈B”，
∴綈p：x A或x B.
3.(2011?大连调研)若p、q是两个简单命题，且“p∨q”的否
定是真命题，则必有( )
A.p真q真 B.p假q假
C.p真q假 D.p假q真

答案 B
解析 ∵“p∨q”的否定是真命题，
∴“p∨q”是假命题，∴p，q都假.
4.(2010?湖南)下列命题中的假命题是( )
A.?x∈R,2x-1>0
B.?x∈N*，(x-1)2>0
C.?x∈R，lg x<1
D.?x∈R，tan x=2
答案 B
解析 对于B选项x=1时，(x-1)2=0.
5.(2009?辽宁)下列4个命题：
p1：?x∈(0，+∞)，(12)x<(13)x;
p2：?x∈(0,1)，log12x>log13x;
p3：?x∈(0，+∞)，(12)x>log12x;
p4：?x∈(0，13)，(12)x
其中的真命题是( )
A.p1，p3 B.p1，p4
C.p2，p3 D.p2，p4
答案 D

解析 取x=12，则log12x=1，log13x=log32<1，
p2正确.
当x∈(0，13)时，(12)x<1，而log13x>1，p4正确.
探究点一 判断含有逻辑联结词的命题的真假
例1 写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“綈p”
形式的复合命题，并判断真假.
(1)p：1是素数;q：1是方程x2+2x-3=0的根;
(2)p：平行四边形的对角线相等;q：平行四边形的对角线互相垂
直;
(3)p：方 程x2+x-1=0的两实根的符号相同;q：方程x2+x-1=0的
两实根的绝对值相等.
解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义
是解题的关键，应根据组成 各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结
词进行命题结构与真假的判断.其步骤为：①确定复合命题的构 成形
式;②判断其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的真
假.
解 (1)p∨q：1是素数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题.
p∧q：1既是素数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题.
綈p：1不是素数.真命题.
(2)p∨q：平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题.

p∧q：平行四边形的对角相等且互相垂直.假命题.
綈p：有些平行四边形的对角线不相等.真命题.
(3)p∨q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同或绝对值相等.假
命题.
p∧q：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同且绝对值相等.假命
题.
綈p：方程x2+x-1=0的两实根的符号不相同.真命题.
变式迁移1 (2011?厦门月考)已知命题p：?x∈R，使tan x=1，
命题q：x2-3x+2<0的解集是{x|1
①命题“p∧q”是真命题;② 命题“p∧綈q”是假命题;③命题
“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题，其中正确 的
是( )
A.②③ B.①②④
C.①③④ D.①②③④
答案 D
解析 命题p：?x∈R，使tan x=1是真命题，命题q：x2-3x+2<0
的解集是{x|1
∴①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧綈q”是假命题;
③命题“綈p∨q”是真命题;④命题“綈p∨綈q”是假命题.
探究点二 全(特)称命题及真假判断

例2 判断下列命题的真假.
(1)?x∈R，都有x2-x+1>12.
(2)?α，β使cos(α-β)=cos α-cos β.
(3)?x，y∈N，都有x-y∈N.
(4)?x0，y0∈Z，使得2x0+y0=3.
解题导引 判定一个全(特)称命题的真假的方法：
(1)全称命题是真命题，必须确定对集合中的每一个元素都成立，
若是假命题，举反例即可.
(2)特称命题是真命题，只要在限定集合中，至少找到一个元素
使得命题成立.
解 (1)真命题，
因为x2-x+1=(x-12)2+34≥34>12.
(2)真命题，如α=π4，β=π2，符合题意.
(3)假命题，例如x=1，y=5，但x-y=-4 N.
(4)真命题，例如x0=0，y0=3符合题意.
变式迁移2 (2011?日照月考)下列四个命题中，其中为真命题
的是( )
A.?x∈R，x2+3<0
B.?x∈N，x2≥1
C.?x∈Z，使x5<1

D.?x∈Q，x2=3
答案 C
解析 由于?x∈R都有x2≥0，因而有x2+3≥3，所以命题“?
x∈R，x2+3<0”为假命题;
由于0∈N，当x=0时，x2≥1不成立，所以命题“?x∈N，x2
≥1”为假命题;
由于-1∈Z，当x=-1时，x5<1，所以命题“?x∈Z，使x5<1”
为真命题;
由于使x2=3成立的数只有±3，而它们都不是有理数，因此没有
任何一个有理数的平方 能等于3，所以命题“?x∈Q，x2=3”为假命
题.
探究点三 全称命题与特称命题的否定
例3 写出下列命题的“否定”，并判断其真假.
(1)p：?x∈R，x2-x+14≥0;
(2)q：所有的正方形都是矩形;
(3)r：?x∈R，x2+2x+2≤0;
(4)s：至少有一个实数x，使x3+1=0.
解题导引 (1)全(特)称命题的否定与一般命题的否定有着一定
的区别，全(特)称命 题的否定是将其全称量词改为存在量词(或把存

在量词改为全称量词)，并把结论否定; 而一般命题的否定则是直接否
定结论即可.
(2)要判断“綈p”命题的真假，可以直接 判断，也可以判断p
的真假.因为p与綈p的真假相反且一定有一个为真，一个为假.
解 (1)綈p：?x∈R，x2-x+14<0，这是假命题，
因为?x∈R，x2-x+14=(x-12)2≥0恒成立，即p真，所以綈p
假.
(2)綈q：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题.
(3)綈r：?x∈R，x2+2x+2 >0，是真命题，这是由于?x∈R，
x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立.
(4)綈s：?x∈R，x3+1≠0，是假命题，这是由于x=-1时，x3+1=0.
变式迁移3 (2009?天津)命题“存在x0∈R,2x0≤0”的否定是
( )
A.不存在x0∈R,2x0>0
B.存在x0∈R,2x0≥0
C.对任意的x∈R,2x≤0
D.对任意的x∈R,2x>0
答案 D

解析 本题考查全称命题与特称命题的否定.原命题为特称命
题，其否定应 为全称命题，而“≤”的否定是“>”，所以其否定为
“对任意的x∈R,2x>0”.
转化与化归思想的应用
例 (12分)已知命题p：“?x∈[1,2]，x2-a≥0”，命 题q：
“?x0∈R，x20+2ax0+2-a=0”，若命题“p且q”是真命题，求实数
a的取值范围.
【答题模板】
解 由“p且q”是真命题，
则p为真命题，q也为真命题. [3分]
若p为真命题，a≤x2恒成立，
∵x∈[1,2]，∴a≤1. [6分]
若q为真命题，
即x2+2ax+2-a=0有实根，
Δ=4a2-4(2-a)≥0，
即a≥1或a≤-2， [10分]
综上，所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1. [12分]
【突破思维障碍】
含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个或 两个)命题
的真假，求出参数存在的条件，命题p转化为恒成立问题，命题q转

化为方程有实根问题，最后再求出含逻辑联结词的命题成立的条件.
若直接求p成立的条件困难，可转化 成求綈p成立的条件，然后取补
集.
【易错点剖析】
“p且q”为真是全 真则真，要区别“p或q”为真是一真则真，
命题q就是方程x2+2ax+2-a=0有实根，所以Δ ≥0.不是找一个x0使
方程成立.
1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解.
(1)“或”与日常生活用语中的“或”意义有所不同，日常用语
“或”带有“不可兼有” 的意思，如工作或休息，而逻辑联结词“或”
含有“同时兼有”的意思，如x<6或x>9.
(2)命题“非p”就是对命题“p”的否定，即对命题结论的否定;
否命题是四种命题中的一种，是对 原命题条件和结论的同时否定.
2.判断复合命题的真假，要首先确定复合命题的构成形式，再指
出其中简单命题的真假，最后根据真值表判断.
3.全称命题“?x∈M，p(x)”的否定是一个特称命题“?x∈M，
綈p(x)”，
特称命题“?x∈M，p(x)”的否定是一个全称命题“?x∈M，綈
p(x)”.
(满分：75分)

一、选择题(每小题5分，共25分)
1.(2011?宣城模拟)已知命题p：?x∈R，x2-3x+3≤0，则( )
A.綈p：?x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为真命题
B.綈p：?x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为假命题
C.綈p：?x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为真命题
D.綈p：?x∈R，x2-3x+3>0，且綈p为假命题
答案 C
解析 命题 p是一个特称命题，它的否定綈p：对所有的x∈R，
都有x2-3x+3>0为真.故答案为C.命题 的否定要否定量词，即全称量
词的否定为存在量词，存在量词的否定为全称量词，而且要否定结论.
2.已知命题p：?x∈R，ax2+2x+3>0，如果命题綈p是真命题，
那么实数a 的取值范围是( )
A.a<13 B.a≤13
C.0
答案 B
解析 ∵命题綈p是真命题，∴命题p是假命题，而当命题p是
真命题时，不等式ax 2+2x+3>0对一切x∈R恒成立，这时应有a>0，
Δ=4-12a<0，解得a>13.因此当 命题p是假命题，即命题綈p是真命
题时，
实数a的范围是a≤13.

3.(2011?龙岩月考)已知条件p：|x+1|>2，条件q：x>a，且綈
p是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A.a≥1 B.a≤1
C.a≥-3 D.a≤-3
答案 A
解析 綈p是綈q的充分不必要条件的等价命题为q是p的充
分不必要条件，即q?p，而p q，条件p化简为x>1或x<-3，所以
当a≥1时，q?p.
4.已知命题“?a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题
是( )
A.?a，b∈R，如果ab<0，则a<0
B.?a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
C.?a，b∈R，如果ab<0，则a<0
D.?a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
答案 B
解析 ?a，b∈R是大前 堤，在否命题中也不变，又因ab>0，a>0
的否定分别为ab≤0，a≤0，故选B.
5.(2011?宁波调研)下列有关命题的说法正确的是( )
A.命题“若x2=1，则x=1”的否命题为“若x2=1，则x≠1”
B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件

C.命题“?x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“?x∈R，均有
x2+x+1<0”
D.命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命题
答案 D
二、填空题(每小题4分，共12分)
6.(2010?安徽)命题“对?x∈R， |x-2|+|x-4|>3”的否定是
______________.
答案 ?x∈R，|x-2|+|x-4|≤3
7.已知命题p：“?x∈R，?m∈R使4x-2x+ 1+m=0”，若命题綈
p是假命题，则实数m的取值范围为__________.
答案 m≤1
解析 命题綈p是假命题，即命题p是真命题，也就是关于x的
方程4x-2x+1+m=0有
实数解，即m=-(4x-2x+1)，令f(x)=-(4x-2x+1)，由于
f(x)=-(2x -1)2+1，所以当x-Ray
时f(x)≤1，因此实数m的取值范围是m≤1.
8.(2010?安徽)命题“存在x∈R，使得x2+2x+5=0”的否定是
______________________.
答案 对任意x∈R，都有x2+2x+5≠0

解析 因特称命题的否定是全称命题，所以得：对任意x∈R，
都有x2+2x+5≠0.
三、解答题(共38分)
9.(12分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”
形式的命题的真假.
(1)p：4∈{2,3}，q：2∈{2,3};
(2)p：1是奇数，q：1是质数;
(3)p：0∈?，q：{x|x2-3x-5<0}?R;
(4)p：5≤5，q：27不是质数.
解 (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，
綈p为真命题.(3分)
(2)∵1是奇数，
∴p是真命题.
又∵1不是质数，
∴q是假命题.
因此p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为假命题.(6分)
(3)∵0 ?，∴p为假命题.
又∵x2-3x-5<0?3-292

∴{x|x2-3x-5<0}={x|3-292
∴q为真命题.
∴p∨q为真命题，p∧q为假命题，綈p为真命题.(9分)
(4)显然p：5≤5为真命题，q：27不是质数为真命题，
∴p∨q为真命题，p∧q为真命题，綈p为假命题.
(12分)
10.(12分 )(2011?锦州月考)命题p：关于x的不等式x2+2ax+4>0
对一切x∈R恒成立，q：函 数f(x)=(3-2a)x是增函数，若p或q为
真，p且q为假，求实数a的取值范围.
解 设g(x)=x2+2ax+4，
由于关于x的不等式x2+2ax+4>0对一切x∈R恒 成立，所以函数
g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，
故Δ=4a2-16<0，∴-2
又∵函数f(x)=(3-2a)x是增函数，
∴3-2a>1，∴a<1.(6分)
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假.
(1)若p真q假，则-2
∴1≤a<2;(8分)
(2)若p假q真，
则a≤-2，或a≥2，a<1，∴a≤-2.(10分)

综上可知，所求实数a的取值范围为
1≤a<2，或a≤-2.(12分)
11.(14分)已知p：x2+mx+1=0有两个不等 的负根，q：
4x2+4(m-2)x+1=0无实根.若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围.
解 p：x2+mx+1=0有两个不等的负根?Δ1=m2-4>0-m<0?m>2.(3
分)
q：4x2+4(m-2)x+1=0无实根.
?Δ2=16(m-2)2-16<0?1
因为p或q为真，p且q为假，所以p与q的真值相反.
①当p真且q假时，有m>2m≤1或m≥3
?m≥3;(10分)
②当p假且q真时，有m≤21
综上可知，m的取值范围为{m|1
《全称量词与存在量词》练习题及答案
一、选择题(每小题3分,共18分)
1.(2014?烟台高二检测)对下列命题的否定说法错误的是( )
A.p:能被2整除的数是偶数; p:存在一个能被2整除的数不是偶
数
B.p:有些矩形是正方形; p:所有的矩形都不是正方形

C.p:有的三角形为正三角形; p:所有的三角形不都是正三角形
D.p:?x0∈R, +x0+2≤0; p:?x∈R,x2+x+2>0
【解析】选C.“有的三角形为正三角形” 为特称命题,其否定为
全称命题:所有的三角形都不是正三角形,故选项C错误.
2.关于命题p:“?x∈R,x2+1≠0”的叙述正确的是( )
A. p:?x0∈R, +1≠0
B. p:?x∈R,x2+1=0
C.p是真命题, p是假命题
D.p是假命题, p是真命题
【解析】选C.命题p:“?x∈R,x2+1≠0”的否定是“?x 0∈R,
+1=0”.所以p是真命题, p是假命题.
3.(2014?广州高二检测)命题“?x>0,都有x2-x≤0”的否定是
( )
A.?x0>0,使得 -x0≤0
B.?x0>0,使得 -x0>0
C.?x>0,都有x2-x>0
D.?x≤0,都有x2-x>0
【解析】选B.由含有一个量词的命题的否定易知选B.
【变式训练】已知命题p:?x0∈R, +1<0,则 p是( )
A.?x0∈R, +1≥0 B.?x∈R,x2+1≥0

C.?x0∈R, +1≠0 D.?x∈R,x2+1<0
【解析】选B.命题p是一个特称命题,其否定为全称命题, p:?
x∈R,x2+1≥0.
4.已知命题p:“对?x∈R,?m∈R,使4x+2x?m+1=0”.若命题 p
是假命题,则实数m的取值范围是( )
A.-2≤m≤2 B.m≥2
C.m≤-2 D.m≤-2或m≥2
【解题指南】根据p与 p的真假性相反知p是真命题,然后求m
的取值范围即可.
【解析】选C.因为 p是假命题,所以p是真命题.X
所以m=- ≤-2.
5.已知命题p:?x∈R,2x2+2x+ <0;命题q:?x0∈
R,sinx0-cosx0= ,则下列判断正确的是( )
A.p是真命题 B.q是假命题
C. p是假命题 D. q是假命题
【解析】选D.因为2x2+2x+ = (2x+1)2≥0,所以p是假命题.又
因为sinx-cosx= sin ,所以 ?x0= ,使sinx0-cosx0= ,故q是真命
题,故选D.
6.(2013?衡水高二检测)已知p:存在x0∈R,m +1≤0;q:对任意
x∈R,x2+mx+1>0,若p或q为假,则实数m的取值范围为( )

A.m≤-2 B.m≥2
C.m≥2或m≤-2 D.-2≤m≤2
【解题指南】先判断命题p,q的真假,转化为含有一个量词的命
题的 否定求参数的取值范围,再求交集.
【解析】选B.由p或q为假,得p,q都是假命题,从而 p, q都是
真命题.
p:对任意x∈R,mx2+1>0成立,得m≥0;
q:存在x0∈R, +mx0+1≤0成立,得Δ=m2-4≥0,
解得m≥2或m≤-2.
综上所述,m≥2为所求.
二、填空题(每小题4分,共12分)
7.(2014?深圳高二检测)命题“同位角相等”的否定
为 ,否命题为 ________________________.
【解析】全称命题的否定是特称命题,“若p,则q”的否命题是
“若 p,则 q”.故否定为:有的同位角不相等.否命题为:若两个角不
是同位角,则它们不相等.
答案:有的同位角不相等 若两个角不是同位角,则它们不相等
【误区警示】解答本题易混淆命题 的否定与否命题的概念,命题
的否定只否定结论,而否命题既否定条件又否定结论.

8.(2014?长春高二检测)设命题p:?x∈R,x2+ax+2<0,若 p为真,
则实数a的取值范围是 ___________________.
【解析】因为 p为真,又 p:?x0∈R, +ax0+2≥0,而函数
f(x)=x2+ax+2开口向上,所以a∈R.
答案:a∈R
9.命题“?x0,y0<0, + ≥2x0y0”的否定为 ______
________________.
【解析】命题是特称命题,其 否定是全称命题,否定为:?
x,y<0,x2+y2<2xy.
答案:?x,y<0,x2+y2<2xy
三、解答题(每小题10分,共20分)
10.(2014?日照高二检测)已知p:?x∈R,2x>m(x2+1),q:?x0∈
R, +2x0-m-1=0,且p∧q为真,求实数m的取值范围.
【解析】2x>m(x2+1)可化为mx2-2x+m<0.
若p:?x∈R,2x>m(x2+1)为真,
则mx2-2x+m<0对任意的x∈R恒成立.
当m=0时,不等式可化为-2x<0,显然不恒成立;
当m≠0时,有m<0,Δ=4-4m2<0,
所以m<-1.[来
若q:?x0∈R, +2x0-m-1=0为真,

则方程 +2x0-m-1=0有实根,
所以Δ=4+4(m+1)≥0,所以m≥-2.
又p∧q为真,故p,q均为真命题.
所以m<-1且m≥-2,
所以-2≤m<-1.
11.写出下列命题的否定,判断其真假并给出证明.
命题:已知a=(1,2),存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行.
【解题指南】先写出否 定,再判真假,最后给出证明.
【解析】命题的否定:已知a=(1,2 ),则对任意的b=(x,1),a+2b
与2a-b都不平行,是一个假命题.
证明如下:假设存在b=(x,1)使a+2b与2a-b平行,则a
+2b=(1,2)+2(x,1)=(2x+1,4).
2a-b=2(1,2)-(x,1)=(2-x,3).
因为a+2b与2a-b平行,
所以存在λ∈R,使得a+2b=λ(2a-b).
即(2x+1,4)=λ(2-x,3).
所以 ?2x+1= (2-x).
解得x= .
这就是说存在b= 使a+2b与2a-b平行,故已知命题为真命题,其
否定为假命题.

(30分钟 50分)
一、选择题(每小题4分,共16分)
1.(2012?湖北高考)命题“存在一个无理数,它的平方是有理数”
的否定是( )
A.任意一个有理数,它的平方是有理数
B.任意一个无理数,它的平方不是有理数
C.存在一个有理数,它的平方是有理数
D.存在一个无 理数,它的平方不是有理数
【解析】选B.特称命题的否定是全称命题,将存在量词改为全称
量词,然后再否定结论即可.
2.已知命题p:?n∈N,2n >1000,则 p为( )
A.?n∈N,2n≤1000 B.?n∈N,2n<1000
C.?n0∈N, ≤1000 D.?n0∈N, <1000
【解析】选C.全称命题的否定是特称命题,故 p:?n0∈N, ≤
1000.
【举一反三】若本题中的命题p换为“?n0∈N, >1000”,其他
条件不变,结论又如何呢?
【解析】选A.将存在量词“?”改为全称量词“?”, 然后否
定结论即可, p:
?n∈N,2n≤1000.

3.(2014?大连高二检测)命题p:x=2且y=3,则 p为( )
A.x≠2或y≠3 B.x≠2且y≠3
C.x=2或y≠3 D.x≠2或y= 3
【解题指南】“且”的否定为“或”,然后否定结论即可.
【解析】选A.将“且”改为“或”,将x=2与y=3都否定即为原
命题的否定, p为:x≠2或y≠3.
4.下列关于命题p:“?x0∈R, =sinx0”的叙述正确的是( )
A. p:?x0∈R, ≠sinx0
B. p:?x∈R, =sinx
C.p是真命题, p是假命题
D.p是假命题, p是真命题
【解析】选C.命题p:“?x0∈R, =sinx0”的否定是 p:?x∈R,
≠sinx.
当x=0时, =sinx,所以p是真命题, p是假命题.
二、填空题(每小题5分,共10分)
5.命题“对任意x∈R,|x-2|+|x-4|>3”的否定是 .
【解析】根据全称命题的否定形式写.
答案:存在x0∈R,|x0-2|+|x0-4|≤3

6.(2014?兰州高二检测)已知命题p:“?x∈[1,2],x2-a≥0 ”,
命题q:“?x0∈R, +2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,则实
数a的取值范围是 _______.
【解析】命题p:“?x∈[1,2],x2-a≥0”为真,则a≤x2,x∈[1,2]
恒成立,所以a≤1;
命题q:“?x0∈R, +2ax0+2-a=0”为真,则“4a2 -4(2-a)≥0,即
a2+a-2≥0”,解得a≤-2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题,则实数a的取值范围是{a|a≤-2或
a=1}.
答案:{a|a≤-2或a=1}
【变式训练】已知命题p:?x0∈R, +2ax0+a=0.若命题p是假命
题,则实数a的取值范围是 .
【解析】方法一:若命题p:?x0∈R, +2ax0+a=0是真命题,则Δ
=(2a)2-4a≥0,即a(a-1)≥0.
因为命题p是假命题,所以a(a-1)<0,解得0
方 法二:依题意,命题 p:?x∈R, x2+2ax+a≠0是真命题,则Δ
=(2a)2-4a<0,即a(a-1)<0,解得0
答案:(0,1)
三、解答题(每小题12分,共24分)
7.写出下列命题的否定,并判断其真假.

(1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根.
(2)q:存在一个实数x,使得x2+x+1≤0.
(3)r:等圆的面积相等,周长相等.
(4)s:对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
【解析】(1)这一命 题可以表述为p:“对所有的实数m,方程
x2+x-m=0有实数根”,其否定形式是 p:“存在实数m0,使得x2+x-m0=0
没有实数根”.
注意到当Δ=1+4m0<0时,即m0<- 时,一元二次方程没有实数根,
所以 p是真命题.
(2)这一命题的否定形式是 q :“对所有实数x,都有x2+x+1>0”;
利用配方法可以证得 q是一个真命题.
(3)这一命题的否定形式是 r:“存在一对等圆,其面积不相等或
周长不相等”,由平面几何知识知 r是一个假命题.
(4)这一命题的否定形式是 s:“存在α0∈R,有sin2α0+cos2α
0≠1”.由于命题s是真命题,所以 s是假命题.
8.(2014?汕头高二检测)设p:“?x0∈R, -ax0+1=0”,q :“函
数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)上的值域为[1,+∞)”,若“p∨q”< br>是假命题,求实数a的取值范围.
【解析】由 -ax0+1=0有实根,
得 Δ=a2-4≥0?a≥2或a≤-2.

因此命题p为真命题的范围是a≥2或a≤-2.
由函数y=x2-2ax+a2+1在x∈[0,+∞)的值域为[1,+∞),得a≥0.
因此命题q为真命题的范围是a≥0.
根据p∨q为假命题知:p,q均是假命题,p为假命题对应的范围是
-2
这样得到二者均为假命题的范围就是 ?-2