人教A版高中数学选修1-1同步作业：第1章 常用逻辑用语1.3

第一章 1.3

一、选择题
1．(2018·湖北武汉二中调研)若命题?(p∨(?q))为真命题，则p，q的真假情况为( C )
A．p真，q真
C．p假，q真
B．p真，q假
D．p假，q假
解析 若?(p∨(?q))为真命题，则p∨(?q)是假命题，故p和? q都是假命题，即p假q真，
故选C．
2．下列有关命题的叙述：
①若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
②“x>5”是“x
2
－4x－5>0”的充分不必要条件；
③如果命题“?p”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题；
④命题“若x
2
－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1或x≠2，则x
2< br>－
3x＋2≠0”．
其中错误的个数为( B )
A．1
C．3
B．2
D．4
解析 若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，
所以p∧q不一定为真，所以①错误．
由x
2
－4x－5>0得x>5或x<－1，
所以“x>5”是“x
2
－4x－5>0”的充分不必要条件，②正确．
如 果命题“?p”是真命题，命题“p或q”是真命题，则p是假命题，q是真命题，所
以③正确． “若x
2
－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2”的逆否命题为“若x≠1且x≠2，则x< br>2
－3x＋2≠0”，

所以④错误．
所以错误的个数为2.
π
x＋
?
3．已知命题p：函数f(x)＝sin x·cos x的最小正 周期为π；命题q：函数g(x)＝sin
?
?
2
?
的图象关于原点 对称，则下列命题中为真命题的是( D )
A．?p
C．p∧q
B．(?p)∨q
D．p∨q
1
解析 因为f(x)＝sin x·cos x＝
sin 2x，其最小正周期为π，所以命题p为真命题．
2
π
x＋
?
＝cos x， 因为g(x)＝sin
??
2
?
π
x＋
?
的图象关于y轴对称， 所以g(x) ＝sin
?
?
2
?
所以命题q为假命题，所以命题p∨q为真命题．
4．命题p：函数y＝log
a
(ax＋2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点( －1,1)；命题q：如果函
数y＝f(x)的图象关于(3,0)对称，那么函数y＝f(x－3)的 图象关于原点对称，则有( C )
A．p且q为真
C．p真q假
B．p或q为假
D．p假q真
解析 将点(－1,1)代入y＝log
a
(ax＋2a)，成立，故p为真；由y＝f(x)的图象关于(3,0)对
称，知y＝f(x －3)的图象关于(6,0)对称，故q为假．故选C．
1
5．(2018·湖北黄冈调考) 已知p：函数y＝sinx的最小正周期是π，q：函数y＝tan x的
2
π
图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( C )
2
A．p为真
C．p∧q为假
B．?q为假
D．p∨q为真
解析 p和q均为假命题，所以?q为真，p∧q为假，p∨q为假，故选C．
e
x
－1< br>6．给定命题p：函数y＝ln[(1－x)·(1＋x)]为偶函数，命题q：函数y＝
x为偶函数，
e
＋1

下列说法正确的是( B )
A．p∨q是假命题
C．p∧q是真命题
B．(?p)∧q是假命题
D．(?p)∨q是真命题
解析 对于命题p：令y＝f(x)＝ln[(1－x)·(1＋x)]，
由(1－x)(1＋x)>0，得－1∴函数f(－x)的定义域为(－1,1)，关于原点对称，
又∵函数f(－x)＝ln[(1＋x)(1－x)]＝f(x)，
∴函数f(x)为偶函数，∴命题p为真命题．
e
x
－1
对于命题 q：令y＝g(x)＝
x
，函数g(x)的定义域为R，
e
＋1
1
－1
e
－1
e
x
1－e
x
关于原点对称， g(－x)＝
－
x
＝＝＝－g(x)，
e
＋1
1
1＋e
x
＋1
e
x
－
x
∴函数g(x)为奇函数， ∴命题q为假命题，
∴(?p)∧q是假命题，故选B．
二、填空题
7．已知p 和q都是命题，则“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的____
必要不充分____条 件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
解析 命题p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真，
而p∧q为真命题，则p，q都为真．
故“命题p∨q为真命题”是“命题p∧q为真命题”的必要不充分条件．
8．已知命题p： 函数f(x)＝lg(x
2
－4x＋a
2
)的定义域为R；命题q：当m∈[ －1,1]时，不
等式a
2
－5a－3≥m
2
＋8恒成立，如果命题 p∨q为真命题，且p∧q为假命题，则实数a
的取值范围是____[－2，－1]∪(2,6)__ __.
解析 若命题p为真，令x
2
－4x＋a
2
>0，则Δ＝1 6－4a
2
<0?a>2或a<－2.

若命题q为真，因为m∈[－ 1,1]，所以m
2
＋8∈[22，3]．
因为对于任意m∈[－1,1]，不等式 a
2
－5a－3≥m
2
＋8恒成立，
所以只需满足a
2
－5a－3≥3，解得a≥6或a≤－1.
命题“p∨q”为真命题，且“p∧q”为假命题，则p，q一真一假．
?
?
a>2或a<－2，
①当p真q假时，可得
?
?2?
－1?
?
?
－2≤a≤2，
②当p假q真时，可得
?
?－2≤a≤－1.
?
a≤－1或a≥6
?


综合①②，可得a的取值范围是[－2，－1]∪(2,6)．
a
9．当a>0时， 设命题P：函数f(x)＝x＋
在区间(1,2)上单调递增；命题Q：不等式x
2
x
＋ax＋1>0对任意x∈R都成立．若“P且Q”是真命题，则实数a的取值范围是____(0,1 ]____.
a
解析 ∵f(x)＝x＋在区间[a，＋∞)上单调递增，
x
∴(1,2)?[a，＋∞)，
∴0又不等式x
2
＋ax＋1>0对任意x∈R都成立，
∴Δ＝a
2
－4<0，∴－2若“P且Q”是真命题，则P和Q都是真命题，
故取①②的交集得0则实数a的取值范围是(0,1]．
三、解答题
2
?
?
x
－x－6≤0，
10．设p：实数x满足x
2
－4ax＋3a
2< br><0，其中a≠0，q：实数x满足
?
2

?
x
＋2x－8>0.
?

(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解析 (1)由x
2
－4ax＋3a
2
<0，得(x－3a)(x－a)<0，
当a＝1时，解得1即p为真时，1?
x
2
－x－6≤0，
?
由
?
2
得2?
x
＋2x－8>0，
?

即q为真时，2若p∧q为真，则p真且q真，
所以实数x的取值范围是(2,3)．
(2)p是q的必要不充分条件，
即q能推出p，且p推不出q，
设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则B是A的真子集，
又B＝(2,3]，当a>0时，A＝(a,3a)；
当a<0时，A＝(3a，a)．
?
?
a≤2，
所以当a>0时，有
?
解得1?
3<3a，
?

当a<0时，显然A∩B＝?，不符合题意．
所以实数a的取值范围是(1,2]．
11．(2018·河南郑州检测)已知p：方程x< br>2
＋mx＋1＝0有两个不相等的负实根；q：方程
4x
2
＋4(m－ 2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求实数m的取值范围．
2
?
?
Δ
1
＝m
－4>0，
解析 当p是 真命题时，由
?
解得m>2；当q是真命题时，由Δ
2
＝16(m
?
－m<0，
?

－2)
2
－16<0，解得1又p或q为真，p且q为假，所以命题p，q一真一假，

?
?
m>2，
当p真q假时，由
?
解得m≥3，
?
m≤1或m≥3，
?
?
?
m≤2，
当q真p假时，由
?
解得1?
1?


综上，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞)．
?
mx－1
?1
12．已知两个集合A＝
?
x|<0
?
，B＝{x|log< br>2
x>1}．命题p：实数m为小于6的正整
x
??
数；命题q：A是 B成立的必要不充分条件．若p∧q是真命题，求实数m的值．
解析 ∵p∧q是真命题，
∴p和q都是真命题．
∵p是真命题，即0*
，① ?
mx－1
?
?
1
?
∴A＝
?
x|< 0
?
＝
?
x|0m
?
，
x
?
??
?
1
??
B＝{x|log
1
x>1}＝
?
x|02
?
.
2
??
11
∵q是真命题，∴BA，则
>.②
m2
由①②得m＝1.

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