高中数学的思维导图下载-课题高中数学作业设计结题报告
数学公式(Part
1)
1.真值表
p q 非p p或q p且q
真 真
假 真 真
真 假 假 真 假
假 真 真 真 假
假 假 真 假 假
2.常见结论的否定形式
原结论 反设词 原结论
是 不是 至少有一个
都是 不都是 至多有一个
大于 不大于 至少有
n
个
小于
不小于 至多有
n
个
对所有
x
, 存在某
x
,
成立 不成立
p
或
q
对任何
x
,
存在某
x
,
不成立 成立
p
且
q
反设词
一个也没有
至少有两个
至多有(
n?1
)个
至少有(
n?1
)个
?p
且
?q
?p
或
?q
3.四种命题的相互关系
原命题 互逆 逆命题
若p则q
若q则p
互 互
互 为 为
互
否 否
逆
逆
否 否
否命题
逆否命题
若非p则非q 互逆 若非q则非p
4.充要条件
(1)充分条件:若
p?q
,则
p
是
q
充分条件.
(2)必要条件:若
q?p
,则
p
是
q
必要条件.
(3)充要条件:若
p?q
,且
q?p
,则
p
是<
br>q
充要条件.
注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然.
6.常见三角不等式
(1)若
x?(0,
(2) 若
x?(0,<
br>?
2
)
,则
sinx?x?tanx
.
)
,则
1?sinx?cosx?2
.
2
(3)
|sinx|?|cosx|?1
.
7.同角三角函数的基本关系式
?
sin
2
?
?cos
2
?
?1
,
tan
?
=
sin
?
,
tan
?
?cot
?
?1
.
cos
?
9.和角与差角公式
sin(
?
?
?
)
?sin
?
cos
?
?cos
?
sin
?
;
cos(
?
?
?
)?cos
?
cos
?
sin
?
sin
?
;
tan
?
?tan
?
.
tan(
?
?<
br>?
)?
1tan
?
tan
?
sin(
??
?
)sin(
?
?
?
)?sin
2
?
?sin
2
?
(平方正弦公式);
cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?
)?cos
2
?<
br>?sin
2
?
.
asin
?
?bcos
?
=
b
定,
tan
?
?
).
a
10.二倍角公式
a
2
?b
2
sin(<
br>?
?
?
)
(辅助角
?
所在象限由点
(a,b
)
的象限决
sin2
?
?sin
?
cos
?
.
cos2
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?2cos
2
?
?1?1?2sin
2
?
.
2tan
?
tan2
?
?
.
1?tan
2
?
11.三角函数的周期公式
函数
y?s
in(
?
x?
?
)
,x∈R及函数
y?cos(
?
x?
?
)
,x∈R(A,ω,
?
为常数,且A≠0,
ω>0)的周期
T?
2
?
?
;函数
y?tan(
?
x?
?
)
,
x?k
?
?
?
2<
br>,k?Z
(A,ω,
?
为常数,且A
≠0,ω>0)的周期
T
?
12.正弦定理
?
.
?
abc
???2R
.
sinAsinBsinC
52.余弦定理
a
2
?b
2
?c
2
?2bccosA
;
b
2
?c
2
?a
2
?2cacosB
;
c
2
?a
2
?b
2
?2abcosC
.
13.面积定理
111
ah
a
?bh
b
?ch<
br>c
(
h
a
、h
b
、h
c
分别表示a
、b、c边上的高).
222
111
(2)
S?absinC?bcsin
A?casinB
.
222
1
(|OA|?|OB|)
2
?(OA?OB)
2
. (3)
S
?OAB
?
2
(
1)
S?
14.三角形内角和定理
在△ABC中,有
A?B?C??
?C?
?
?(A?B)
?
C
?
A
?B
??
?2C?2
?
?2(A?B)
.
222
特别地,有
sin
?
?sin
?
?
?
?k
?
?(?1)
k
?
(k?Z)
.
cos
?
?cos
?
?
?
?2k
?
?
?
(k?Z)
.
tan
?
?tan
?
?
?
?k
?
?
?
(k?Z)
.
17.常用不等式:
(1)
a,b?R
?
a?b?
2ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
22
a?b
?ab
(当且仅当a=b时取“=”号).
2
(3)
a
3
?b
3
?c
3
?3abc(a?0,b
?0,c?0).
(2)
a,b?R
?
?
(4)柯西不等式
(a
2
?b
2
)(c
2
?d
2
)?(ac?bd)
2
,a,b,c,d?R.
(5)
a?b?a?b?a?b
.
18.极值定理
已知
x,y
都是正数,则有
(1)若积
xy
是定值
p
,则当
x?y
时和
x?y
有最小值<
br>2p
;
(2)若和
x?y
是定值
s
,则当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s
.
4
推广 已知
x,y?R
,则有
(x?y)
2
?(
x?y)
2
?2xy
(1)若积
xy
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|x?y|
最大;
当
|x?y|
最小时,
|x?y|
最小.
(2)若和
|x?y|
是定值,则当
|x?y|
最大时,
|xy|
最小;
当
|x?y|
最小时,
|xy|
最大.
19.一元二次不等式
ax?bx?c?0(或?0)(a?0,??b
2
?4ac?0)
,如果
a
与
2ax
2
?bx?c
同号,则其解集在两根之外;如果
a
与
ax
2
?bx?c
异号,则其解集在两根之
间.简言之:同号两根之外,异
号两根之间.
x
1
?x?x
2
?(x?x
1
)(
x?x
2
)?0(x
1
?x
2
)
;
x?
x
1
,或x?x
2
?(x?x
1
)(x?x
2)?0(x
1
?x
2
)
.
20.含有绝对值的不等式
当a> 0时,有
x?a?x
2
?a??a?x?a
.
2
x?a?x
2
?a
2
?x?a
或
x??a
.
x
2
y
2
24椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?e(x?)
,
PF
2
?e(?x)<
br>.
cc
25.椭圆的的内外部
x
2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆
2
?<
br>2
?1(a?b?0)
的内部
?
ab
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,y
0
)
在椭圆2
?
2
?1(a?b?0)
的外部
?
ab
26
. 椭圆的切线方程
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
xxyy
x
2
y
2
(1)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
上一
点
P(x
0
,y
0
)
处的切线方程是
0
2
?
0
2
?1
.
ab
ab
x
2
y
2
(2)过椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
外一点
P(x
0
,y0
)
所引两条切线的切点弦方程是
ab
x
0<
br>xy
0
y
?
2
?1
.
a
2
b
x
2
y
2
(3)椭圆
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线
Ax?By?C?0
相切
的条件是
ab
A
2
a
2
?B
2
b
2
?c
2
.
x
2
y
2
27.双曲线2
?
2
?1(a?0,b?0)
的焦半径公式
ab
a
2
a
2
PF
1
?|e(x?)|
,
PF<
br>2
?|e(?x)|
.
cc
28.双曲线的内外部
x2
y
2
(1)点
P(x
0
,y
0
)<
br>在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的内部
?<
br>ab
x
2
y
2
(2)点
P(x
0
,
y
0
)
在双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)<
br>的外部
?
ab
29.双曲线的方程与渐近线方程的关系
22
x
0
y
0
?
2
?1
.
2
ab
22
x
0
y
0
??1
.
a
2
b
2
x
2
y
2
x
2
y
2
b
(1)若双曲线方程为
2
?
2
?1
?
渐近线方程:
2
?
2
?0?
y??x
.
a
ab
ab
xy
x
2
y
2
b (2)若渐近线方程为
y??x
?
??0
?
双曲线可设
为
2
?
2
??
.
ab
a
ab
x
2
y
2
x
2
y
2
(3)若双曲线
与
2
?
2
?1
有公共渐近线,可设为
2
?
2
??
(
??0
,焦点在x
abab
轴上,
??0
,焦点在y轴上).
2
31. 抛物线
y?2px
的焦半径公式
p
2
抛物线
y?2px(p?0)
焦半径
CF?x
0
?
.
2
pp
过焦点弦长
CD?x
1
?
?x
2
??x
1
?x
2
?p
.
22b
2
4ac?b
2
2
(a?0)
的图象是抛物线:33
二次函数
y?ax?bx?c?a(x?)?
(1)顶
2a4a
b4ac?b
2
b4ac?b
2
?1
,)
;
,)
;点坐
标为
(?
(2)焦点的坐标为
(?
(3)准线方程是
2a4a2a4
a
4ac?b
2
?1
y?
.
4a
34.抛物线的内外部
(1)点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y?2px(p?0)
的内部
?y?2px(p?0
)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线y?2px(p?0)
的外部
?y?2px(p?0)
.
(2)点P(x
0
,y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)<
br>的内部
?y??2px(p?0)
.
点
P(x
0
,
y
0
)
在抛物线
y??2px(p?0)
的外部
?y??2
px(p?0)
.
(3)点
P(x
0
,y
0
)<
br>在抛物线
x?2py(p?0)
的内部
?x?2py(p?0)
. <
br>点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(
p?0)
的外部
?x?2py(p?0)
.
(4) 点
P(x0
,y
0
)
在抛物线
x?2py(p?0)
的内部?x?2py(p?0)
.
点
P(x
0
,y
0
)
在抛物线
x??2py(p?0)
的外部
?x??2py(p?0).
22
22
22
22
22
22
22
22
37直线与圆锥曲线相交的弦长公式
AB?(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2或
AB?(1?k
2
)(x
2
?x
1
)2
?|x
1
?x
2
|1?tan
2
?
?|y
1
?y
2
|1?cot
2
?
(弦端点
?
y?kx?b
2
A
(x
1
,y
1
),
B(x
2
,y
2
)
,由方程
?
消去y得到
ax?bx?c?0
,
??0
,
?
为直
?
F(x
,y)?0
线
AB
的倾斜角,
k
为直线的斜率).
40.
f(x)
在
x
0
处的导数(或变化率或微商) f(x
0
??x)?f(x
0
)
?y
f
?(x
0
)?y
?
x?x
0
?lim?lim
.
?x?0
?x
?x?0
?x
41.瞬时速度
?
?
s
?
(t)?lim
?ss(t??t)?s(t)
?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
42.瞬时加速度
a?v?
(t)?lim
?vv(t??t)?v(t)
?lim
.
?t?0
?t
?t?0
?t
43.
f(x)
在
(a
,b)
的导数
dydf
?yf(x??x)?f(x)
f
?
(x)?y
?
??
?lim?lim
.
?x?0?x?0
dxdx
?x?x
44
函数
y?f(x)
在点
x
0
处的导数的几何意义
函数y?f(x)
在点
x
0
处的导数是曲线
y?f(x)
在
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线的斜率
f
?
(x
0
)
,相应的切线方程是
y?y
0
?f<
br>?
(x
0
)(x?x
0
)
.
45.几种常见函数的导数
(1)
C
?
?0
(C为常数).
(2)
(x
n
)
'
?nx
n?1
(n?Q)
.
(3)
(sinx)
?
?cosx
.
(4)
(cosx)
?
??sinx
.
(5)
(l
nx)
?
?
1
1
e
x
;
(loga)?
?log
a
.
x
x
xxxx
(6)
(e)
?
?e
;
(a)
?
?alna
.
(1)
(u?v)?u?v
.
(2)
(uv)?uv?uv
.
'''
'''
46导数的运算法则
u
'
u
'
v?uv
'
(v?0)
.
(3)
()?
2
vv
47.复合函数的求导法则
''
设函数
u?
?
(x)
在点
x
处有导数
u
x
?
?
(x)
,函数
y?f(u)
在点
x
处
的对应点U处有
'''''
导数
y
u
?f(u)
,则复合函
数
y?f(
?
(x))
在点
x
处有导数,且
yx
?y
u
?u
x
,或写作
f
x
'(
?
(x))?f
'
(u)
?
'
(x)
.
49判别
f(x
0
)
是极大(小)值的方法
当函数
f(x)
在点
x
0
处连续时,
(1)如果
在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是极大值; (2)如果在
x
0
附近的左侧
f
?
(x)?0
,右侧
f
?
(x)?0
,则
f(x
0
)
是
极小值.