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2020届高中数学分册同步讲义(选修1-1) 第1章 章末复习

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 07:45
tags:高中数学选修1-1

高中数学学科知识与能力目录-南通小题高中数学必修五答案

2020年9月22日发(作者:管锡仁)


章末复习
学习目标
1.梳理本章知识,构建知识网络.2.掌握命题
的等价性与充要条件的判定及其有关的应用.3.会解决有一些逻辑联结词与量词的简单的综合
性问题 .



1.命题及其关系
(1)判断一个语句是否为命题,关键是:
①为陈述句;
②能判断真假.
(2)互为逆否命题的两个命题的真假性相同.
(3)四种命题之间的关系如图所示.

2.充分条件与必要条件
(1)如果p?q,那么称p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)分类:
①充要条件:p?q且q?p,记作p?q;
②充分不必要条件:p?q,q?p;
③必要不充分条件:q?p,p?q;


④既不充分也不必要条件:p?q,且q?p.
3.简单的逻辑联结词
(1)用联结词“且”“或”“非”联结命题p和命题q,可得p∧q,p∨q,綈p.
(2)命题p∧q,p∨q,綈p的真假判断:
p∧q中p,q有一假为假,p∨q有一真为真,p与綈p必定是一真一假.
4.全称量词与存在量词
(1)全称量词与全称命题:
全称量词用符号“?”表示.
全称命题用符号简记为?x∈M,p(x).
(2)存在量词与特称命题:
存在量词用符号“?”表示.
特称命题用符号简记为?x
0
∈M,p(x
0
).
5.含有一个量词的命题的否定
命题 命题的否定
?x∈M,p(x)
?x
0
∈M,綈p(x
0
)
?x
0
∈M,p(x
0
)
?x∈M,綈p(x)


1.命题“若x>0且y>0,则x+y>0”的否命题是假命题.( √ )
2.“所有奇数都是质数”的否定“至少有一个奇数不是质数”是真命题.( √ )
3.命题“若p,则q”与命题“若綈p,则綈q”的真假性一致.( × )
4.已知命题 p:?x
0
∈R,x
0
-2>0,命题q:?x∈R,x
2
>x,则命题p∨(綈q)是假命题.( ) ×



题型一 命题及其关系
例1 (1)设a,b,c是非零向量,已知命题p:若a·b=0,b·c=0,则a·c=0;命题 q:若a∥b,
b∥c,则a∥c.则下列命题中真命题是( )
A.p∨q
C.(綈p)∧(綈q)
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案 A
解析 由向量数量积的几何意义可知,命题p为假命题;命题q中,当b≠0时,a ,c一定
共线,故命题q是真命题.故p∨q为真命题.
(2)有关下列命题,其中说法错误的是( )
A.命题“若x
2
-3x -4=0,则x=4”的否命题为“若x
2
-3x-4≠0,则x≠4”
B.“x>0”是“x>5”的必要不充分条件
C.若p∨q是真命题,则p,q都是真命题
D.命题“若x>1且y<-3,则x-y>4”的等价命题是“若x-y≤4,则x≤1或y≥-3”
考点 “或”“且”“非”的综合应用
题点 复合命题与充分、必要条件结合
答案 C
解析 C中p∨q是真命题,则p为真命题或q为真命题或p和q都是真命题.
反思感悟 (1)互为逆否命题的两命题真假性相同.
(2)“p与綈p”一真一假,“p∨q”一真即真,“p∧q”一假就假.
跟踪训练1 (1)命题“若x
2
>1,则x<-1或x>1”的逆否命题是( )
B.p∧q
D.p∨(綈q)


A.若x
2
>1,则-1≤x≤1
B.若-1≤x≤1,则x
2
≤1
C.若-12
>1
D.若x<-1或x>1,则x
2
>1
考点 四种命题的概念
题点 四种命题定义的应用
答案 B
ππ
(2)设命题p:函数y=sin 2x的最小正周期为;命题q:函数y=cos x的图象关于直线x=对
22
称.则下列判断正确的是( )
A.p为真
C.p∧q为假
B.q为真
D.p∨q为真
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
答案 C
解析 由题意知p是假命题,q是假命题,因此只有C正确.
题型二 充要条件
例2 (1)设x∈R,则“x
2
-3x>0”是“x>4”的( )
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
考点 对充分条件与必要条件的理解及判断
题点 充分条件与必要条件
答案 B
解析 解x
2
-3x>0,得x<0或x>3,
所以x<0或x>3?x>4,
而x>4?x<0或x>3,
故x
2
-3x>0是x>4的必要不充分条件.
(2)已知直线a,b分别 在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b相交”是“平面α和
平面β相交”的( )
A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
考点 对充分条件与必要条件的理解及判断
题点 充分条件与必要条件
答案 A


解析 当两个平面内的直线相交时,这两个平面有公共点,即两个平面相交;
但当两个平面相交时,两个平面内的直线不一定有交点.
反思感悟 分清条件与结论,准确判断p?q,还是q?p.
跟踪训练2 已知p:实数x满足x
2-4ax+3a
2
<0,其中a<0;q:实数x满足x
2
-x-6≤0 .
若綈p是綈q的必要条件,求实数a的取值范围.
考点 充分条件、必要条件的概念及判断
题点 由充分条件、必要条件求参数的范围
解 由x
2
-4ax+3a
2
<0且a<0,得3a所以p:3a由x
2
-x-6≤0,得-2≤x≤3,
所以q:-2≤x≤3,即集合B={x|-2≤x≤3}.
因为綈q?綈p,所以p?q,所以A?B,
3a≥-2,
?
?
所 以
?
a≤3,
?
?
a<0,

2
解得-≤a<0,
3
2
-,0
?
. 所以实数a的取值范围是
?
?
3
?
题型三 逻辑联结词与量词的综合应用
2
+2≤0.q:?x∈R,x
2
-2mx+ 1>0,若p∨q为假命题,则实数例3 已知p:?x
0
∈R,mx
0
m的取值范围是( )
A.[1,+∞)
C.(-∞,-2]
考点 简单逻辑联结词的综合应用
题点 由含量词的复合命题的真假求参数的范围
答案 A
解析 因为p∨q为假命题,所以p和q都是假命题.
2
+2≤0为假,得?x∈R,mx
2
+2>0,所以m≥0.① 由p:?x
0
∈R,mx
0
B.(-∞,-1]
D.[-1,1]
由q:?x∈R,x
2
-2mx+1>0为假,得?x
0
∈R,x< br>2
0
-2mx
0
+1≤0,
所以Δ=(-2m)
2
-4≥0?m
2
≥1?m≤-1或m≥1.②
由①和②得m≥1.
反思感悟 解决此类问题首先理解逻辑联结词的含义,掌握简单命题与含 有逻辑联结词的命
题的真假关系.其次要善于利用等价关系,如:p真与綈p假等价,p假与綈p真等价 ,将问
题转化,从而谋得最佳解决途径.


跟踪训练3 已知命题p:关于x的 不等式a
x
>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0},命题q:函
数y=l g(ax
2
-x+a)的定义域为R,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,则实数a的取值 范
围为________.
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 由复合命题的真假求参数的范围
1
0,
?
∪(1,+∞) 答案
?
?
2
?
解析 由关于x的不等式a
x
>1(a>0,且a≠1)的解集是{x|x<0},知0由函数y=lg(ax
2
-x+a)的定义域为R,知不等式ax
2
-x+a>0
?
?
a>0,
的解集为R,则
?
?
1 -4a
2
<0,
?

1
解得a>.
2
因 为p∨q为真命题,p∧q为假命题,所以p和q一真一假,即“p假q真”或“p真q假”,
a>1 ,0??
??
1

?
1

?< br>1
解得a>1或02
a>a≤,
??
22
??
1
0,
?
∪(1,+∞). 即a∈
?
?
2
?



转化与化归思想的应用
1
?
x
典例 已知函数f(x)=x
2
,g(x)=
?
?
2
?
-m.
(1)若对? x
1
∈[-1,3],x
2
∈[0,2],使得f(x
1
) ≥g(x
2
)成立,求实数m的取值范围;
(2)若对?x
2
∈[ 0,2],?x
1
∈[-1,3],使得f(x
1
)≥g(x
2)成立,求实数m的取值范围.
解 (1)由题设知,f(x
1
)
mi n
≥g(x
2
)
max

∵f(x)在[-1,0]上单调递减,在(0,3]上单调递增,
∴f(x
1
)
min
=f(0)=0,
又∵g(x)在[0,2]上单调递减,
∴g(x
2
)
max
=g(0)=1-m,
∴有0≥1-m,得m≥1,
∴m的取值范围为[1,+∞).
(2)由题设知, f(x
1
)
max
≥g(x
2
)
max

∴有f(3)≥g(0),即9≥1-m,
∴m的取值范围是[-8,+∞).
[素养评析] 从中我们可以看到面对形同质不同的问题,要善于从已有的问题或概念本身出
发 去加以辨析和研究,将抽象的问题具体化,如此才能更为准确的把握问题的内涵.



1.下列说法正确的是( )
A.命题“若x
2
>1,则x>1”的否命 题为“若x
2
>1,则x≤1”
2
B.命题“?x
0
∈R ,x
2
0
>1”的否定是“?x∈R,x>1”
C.命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆否命题为假命题
D.命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆命题为假命题
考点 四种命题的概念
题点 判断四种命题的真假
答案 D
解析 A中,命题“若x
2
>1,则x>1”的否命题为“若x
2
≤1,则x≤1”,∴A错误.
2
B 中,命题“?x
0
∈R,x
2
0
>1”的否定是“?x∈R,x≤1 ”,∴B错误.
C中,“若x=y,则cos x=cos y”为真命题,则其逆否命题也为真命题,∴C错误.
D中,命题“若x=y,则cos x=cos y”的逆命题“若cos x=cos y,则x=y”为假命题,∴D
正确.
2.命题“?x
0
∈R,f(x
0
)<0”的否定是( )
A.?x
0
?R,f(x
0
)≥0
C.?x∈R,f(x)≥0
考点 存在量词的否定
题点 含存在量词的命题的否定
答案 C
3.以下判断正确的是( )
A.命题“负数的平方是正数”不是全称命题
2
B.命题“?x∈Z,x
3
>x
2
”的否定是“?x
0
∈Z,x
3
0
0

B.?x?R,f(x)≥0
D.?x∈R,f(x)<0
π
C.“φ=”是“函数y=sin(x+φ)为偶函数”的充要条件
2

< p>
D.“b=0”是“关于x的二次函数f(x)=ax
2
+bx+c是偶函数”的 充要条件
考点
题点
答案 D
2
解析 A为全称命题;B 中否定应为“?x
0
∈Z,x
3
0
≤x
0
”;C中 应为充分不必要条件.
4.已知命题p:?m∈R,x
2
-mx-1=0有解,命题 q:?x
0
∈N,x
2
0
-x
0
-1≤0,则下列 选
项中是假命题的为( )
A.p∧q
C.p∨q
B.p∧(綈q)
D.p∨(綈q)
考点 “或”“且”“非”的综合问题
题点 判断复合命题的真假
答案 B
解析 p:Δ=m
2
+4>0,故为真命题,
2
-x-1≤0, q:当x
0
=1时,满足x
00
所以q也为真命题,
则p∧(綈q)为假命题.
5.已知命题p:|x-a|<4,命题q:(x-1)(2-x )>0,若p是q的必要不充分条件,则实数a
的取值范围是________.
考点 充分、必要条件的综合应用
题点 由充分、必要条件求参数的范围
答案 [-2,5]
解析 p:a-4因为p是q的必要不充分条件,
所以(1,2)(a-4,a+4),
?
a-4≤1,
?

?
且等号不能同时取得,
?
a+4≥2
?

所以a的取值范围是[-2,5].



1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”“非” 的含义,应根据
命题中所出现的逻辑联结词进行命题结构的分析与真假的判断.
2.条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法:直接判断若p则q,若q则p的真假.
(2)等价法:利用p?q与綈q?綈p,q?p与綈p?綈q,p?q与綈q?綈p的等价关系,对< br>于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
(3)利用集合间的包含关系判断:A={x |p(x)},B={x|q(x)},若A?B,则p是q的充分条件或
q是p的必要条件;若A=B ,则p是q的充要条件.

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