高中数学学哪些内容-安徽高中数学必修三
最新北师大版高中数学选修1-1测试题全套及答案
章末综合测评(一)
常用逻辑用语
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题
5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.下列语句中,是命题的个数是( )
①|
x
+2|;②-5∈Z;③π?R;④{0}∈N
A.1
B.2 C.3 D.4
【解析】 由命题的概念,知①不是命题,②③④是命题.
【答案】 C
2.若命题
p
:任意
x
∈R,2
x
2
+1>0,则﹁
p
是( )
A.任意
x
∈R,2
x
2
+1≤0
2
B.存在
x
∈R,2
x
+1>0
C.存在
x
∈R,2
x
2
+1<0
D.存在
x
∈R,2
x
2
+1≤0
【解析】 ﹁
p
是特称命题,即存在
x
∈R,2
x
2
+1≤0.
【答案】 D
3.命题“已知
a
,
b
都是实数,若
a
+
b
>0,则
a
,
b
不全为0”的逆命题、否
命题与逆否
命题中,假命题的个数是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
【解析】 逆命题“已知
a
,
b
都是实数,若
a
,
b
不全为0,则
a
+
b
>0”为假命题,其
否命题
与逆命题等价,所以否命题为假命题.逆否命题“已知
a
,
b
都是实数,若<
br>a
,
b
全为
0,则
a
+
b
≤0”为
真命题,故选C.
【答案】 C
4.已知
a
,
b
,c
∈R,命题“若
a
+
b
+
c
=3,则
a
2
+
b
2
+
c
2
≥3”的否命题是(
)
A.若
a
+
b
+
c
≠3,则
a
2
+
b
2
+
c
2
<3
B.若
a
+
b
+
c
=3,则
a
2
+
b<
br>2
+
c
2
<3
C.若
a
+
b+
c
≠3,则
a
2
+
b
2
+
c
2
≥3
D.若
a
2
+
b
2
+
c
2
≥3,则
a
+
b
+
c
=3
【解析】
a
+
b
+
c
=3的否定是
a<
br>+
b
+
c
≠3,
a
2
+
b
2
+
c
2
≥3的否定是
a
2
+
b
2
+
c
2
<3.
【答案】 A
5.(2015·陕西高考)“sin
α
=cos
α
”是“cos 2
α
=0 ”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 cos 2
α
=0等价于cos
2
α
-sin<
br>2
α
=0,即cos
α
=〒sin
α
.由cos
α
=sin
α
可得到cos
2
α
=0,反之不成立,故选A.
【答案】 A
6.对任意
x<
br>∈R,
kx
2
-
kx
-1<0是真命题,则
k
的取值范围是( )
A.-4≤
k
≤0 B.-4≤
k
<0
C.-4<
k
≤0 D.-4<
k
<0
【解析】 由题意
kx
2
-
kx
-1<0对任意
x
∈R恒成立,①当
k
=0时,-1<0恒成立;
?
k
<0,
②当
k
≠0时,有
?
2
?
Δ=
k
+4k
<0,
由①②知,-4<
k
≤0.
【答案】 C
解得-4<
k
<0.
7.关于命题
p
:存在
x
∈R,使sin
x
=<
br>5
;命题
q
:任意
x
∈R,都有
x
2
+
x
+1>0.下列
2
结论中正确的是( )
A.命题“
p
且
q
”是真命题
B.命题“
p
且(﹁
q
)”是真命题
C.命题“(﹁
p
)或
q
”是真命题
D.命题“(﹁
p
)或(﹁
q
)”是假命题
5
【解析】 ≧>1,?
p
命题为假命题;又在
x
2
+
x
+1>0中,Δ<0.
2
?
x
2
+
x
+1>0恒成立.?
q
为真命题.
?(﹁
p
)或
q
为真命题.
【答案】 C
22
8.直线
x
-
y
+
m
=0与圆
x
+
y
-2
x
-1=0有两个不同交点的一个充分不必要条件是
(
)
A.-3<
m
<1 B.-4<
m
<2
C.0<
m
<1 D.
m
<1
|1+
m
|
【解析】 直线与圆有两个不同交点?<2,即-3<
m
<1,故0<
m
<1是-3<
m
<1的
2
充分不必
要条件.
【答案】 C
9.下列说法错误的是( )
A.如果命题“﹁
p
”与命题“
p
或
q
”都是真命题,那么命题
q
一定是真命题
B.命题“若
a
=0,则
ab
=0”的否命题是:“
若
a
≠0,则
ab
≠0”
2
C.若命题
p
:存在
x
0
∈R,
x
0
+2
x
0
-3<0,则﹁
p
:对任意的
x
∈R,
x
2
+2
x
-3≥0
1
D.“sin
θ
=”是“
θ
=30°”的充分不必要条件
2
1
【解析】 对于D选项,由sin
θ
=,得
θ
=30°+
k
·360°或
θ
=150°+
k
·360°
2
11
(
k
∈Z);若
θ
=30°,则sin
θ
=.所以“sin
θ
=”是“
θ
=30°”的必要不充分条件.
22
【答案】 D
1
2
10.已知命题
p
:任意
x
∈R,使
x
-
x
+<0;命题
q
:存在
x
∈R,使sin
x
+cos
x
=2,
4
则下列判断正确的是( )
A.
p
是真命题 B.
q
是假命题
C.﹁
p
是假命题 D.﹁
q
是假命题
1
?
1
?
【解析】 ≧任意
x
∈R,
x<
br>2
-
x
+=
?
x
-
?
≥0恒成立,
2
?
4
?
?命题
p
假,﹁
p
真;
π
?
π
???
x
+
x
+
????
=1时,sin
x
+cos
x
=2, 又sin
x
+cos
x
=2sin ,当sin
44
????<
br>2
?
q
真,﹁
q
假.
【答案】 D
11.以下判断正确的是( )
A.命题“负数的相反数是正数”不是全称命题
B.命题“任意
x
∈N,
x
3
>
x
”的否定是“存
在
x
∈N,
x
3
>
x
”
C.“
a
=1”是“函数
f
(
x
)=cos
2
ax
-sin
2
ax
的最小正周期为π”的必要不充分条件
D.“
b
=0”是“函数
f
(
x
)=
ax
2
+bx
+
c
是偶函数”的充要条件
【解析】
≧“负数的相反数是正数”即为任意一个负数的相反数是正数,是全称命题,
?A不正确;
又
≧对全称命题“任意
x
∈N,
x
3
>
x
”的否定为
“存在
x
∈N,
x
3
≤
x
”,?B不正确; 22
又≧
f
(
x
)=cos
ax
-sinax
=cos 2
ax
,
2π
当最小正周期
T
=π时,有=π,
|2
a
|
?|
a
|=1?
a
=1. 故“
a
=1”是“函数
f
(
x
)=cos
2<
br>ax
-sin
2
ax
的最小正周期为π”的充分不必要条件.
【答案】 D
12.
f
(
x
)是R上的增函数,且
f
(-1)=-4,
f
(2)=2,设
P
={
x
|
f
(
x
+
t
)+1<3},
Q
=
{
x
|
f
(
x
)<-4},若“
x
∈<
br>P
”是“
x
∈
Q
”的充分不必要条件,则实数
t的取值范围是( )
A.
t
≤-1 B.
t
>-1
C.
t
≥3 D.
t
>3
【解析】
P
={
x
|
f
(
x
+
t
)+1<3}={
x
|
f
(
x
+
t
)<2}={
x
|
f
(
x
+
t
)<
f
(2)}.
Q
={
x
|
f
(
x
)
<-4}={x
|
f
(
x
)<
f
(-1)},因为函数f
(
x
)是R上的增函数,所以
P
={
x
|<
br>x
+
t
<2}={
x
|
x
<2-
t
},
Q
={
x
|
x
<-1},要使“
x<
br>∈
P
”是“
x
∈
Q
”的充分不必要条件,则有2-<
br>t
<-1,
即
t
>3,选D.
【答案】 D
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)
1
3.命题“若
abc
=0,则
a
、
b
、
c
中至少有一个为零”的否定为:________,否命题为:
________.
【解析】 否定形式:若
abc
=0,则
a
、
b
、
c
全不为零.
否命题:若
abc
≠0,则
a
、<
br>b
、
c
全不为零.
【答案】
若
abc
=0,则
a
、
b
、
c
全不为零
若
abc
≠0,则
a
、
b
、
c
全不为零
14.设
p
、
r
都是
q
的充分条件,
s<
br>是
q
的充分必要条件,
t
是
s
的必要条件,
t
是
r
的
充分条件,那么
p
是
t
的___
_____条件,
r
是
t
的________条件.
【解析】
由条件可以作出图示如图,
?
p
是
t
的充分不必要条件
,
r
是
t
的充分必要条件.
【答案】 充分不必要 充要
1
2
15.已知命题
p
:
x
+2
x
-3
>0,命题
q
:>1,若“﹁
q
且
p
”为真,则
x
的取值范
3-
x
围是__________.
x
-2
【解析】 因为“﹁
q
且
p
”为真,即q
假
p
真,而
q
为真命题时,<0,即2<
x
<
x
-3
3,所以
q
假时,有
x
≥3或
x
≤2;
p
为真命题时,由
x
2
+2
x
-3
>0,解得
x
>1或
x
<-3,
?
x
>1或
x
<-3,
由
?
得
x
≥3或1<
x
≤2
或
x
<-3,
x
≥3或
x
≤2,
?
<
/p>
所以
x
的取值范围是
x
≥3或1<
x
≤2或
x
<-3.
【答案】 (-≦,-3)∪(1,2]∪[3,+≦)
16.给出下列命题:
①“数列{
a
n
}为等比数列”是“数列{
a
n
a
n
+1
}为等比数列”的充分不必要条件;
②“
a
=2”是“函数
f
(
x
)=|
x
-
a
|在区间[2,+≦)上为增函数”的充要条件;
③“
m
=3
”是“直线(
m
+3)
x
+
my
-2=0与直线
m
x
-6
y
+5=0互相垂直”的充要条件;
④设
a
,b
,
c
分别是△
ABC
三个内角
A
,
B
,
C
所对的边,若
a
=1,
b
=3,则“
A
=30°”
是“
B
=60°”的必要不充分条件.
其中真命题的序号是__________.
【解析】 对于①,当数列{
a
n
}为等比数列时,易知数列{
a
n
a
n
+1
}
是等比数列,但当数列
{
a
n
a
n
+1
}为等比数
列时,数列{
a
n
}未必是等比数列,如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是
等比数列,
而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列,因此①正确;对于②,当
a
≤2时,函数
f
(
x
)
=|
x
-a
|在区间[2,+≦)上是增函数,因此②不正确;对于③,当
m
=3时,相应
的两条直
线互相垂直,反之,这两条直线垂直时,不一定有
m
=3,也可能
m
=0,因此③不正确;对于
b
sin
B
1
④,由题意得,==3,若
B
=60°,则sin
A
=,注意到
b
>
a
,故
A
=30°,反之,
a
sin
A
2
3
当
A
=30°时,有sin
B
=,由于
b
>
a
,所以
B
=60°或<
br>B
=120°,因此④正确.综上所
2
述,真命题的序号是①④.
【答案】 ①④
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17
.(本小题满分10分)下列命题为原命题,分别写出它们的逆命题、否命题和逆否命题,
并判断它们的
真假.
(1)若
x
2
-5
x
-14=0,则
x<
br>=7或
x
=-2;
(2)
a
,
b
,
c
,
d
∈R,若
a
=
c
,
b
=
d
,则
ab
=
cd
.
【解】 (1)逆命题:若
x
=7或
x
=-2,则
x
2
-5
x
-14=0.是真命题.
否命题:若
x
2
-5
x
-14
≠0,则
x
≠7且
x
≠-2.是真命题.
逆否命题:若
x
≠7且
x
≠-2,则
x
2
-5
x
-14≠
0.是真命题.
(2)逆命题:
a
,
b
,
c
,<
br>d
∈R,若
ab
=
cd
,则
a
=
c
,
b
=
d
,是假命题;
否命题:
a
,<
br>b
,
c
,
d
∈R,若
a
≠
c
或
b
≠
d
,则
ab
≠
cd
,是假命题;
逆否命题:
a
,
b
,
c
,
d
∈R
,若
ab
≠
cd
,则
a
≠
c
或
b
≠
d
,是真命题.
18.(本小题满分12分)写出下列命题的“﹁
p
”命题,并判断它们的真假. <
br>(1)
p
:任意
x
,
x
2
+4
x<
br>+4≥0.
(2)
p
:存在
x
0
,
x2
0
-4=0.
【解】 (1) ﹁
p
:存在
x0
,
x
2
0
+4
x
0
+4<0是假命
题.
(2)
﹁
p
:任意
x
,
x
2
-4≠0是假命题.
19.(本小题满分12分)求证:“
a
+2
b
=0”是“直线
a
x
+2
y
+3=0和直线
x
+
by
+2=0
互相垂直”的充要条件.
【证明】 充分性:
当
b
=0时,如果
a
+2
b
=0,那么
a
=0,此时直线
ax
+2
y
+3=0平行于
x
轴,直线
x
+
a
by
+2=0平行于
y
轴,它们互相垂直;当
b
≠0时,直线
a
x
+2
y
+3=0的斜率
k
1
=-,直
2
1
?
a
??
1
?
线
x
+
by+2=0的斜率
k
2
=-,如果
a
+2
b
=0
,那么
k
1
k
2
=
?
-
?
〓?
-
?
=-1,两直线互相
b
?
2
??
b
?
垂直.
必要性:
?
a
??
1
?
如果两条直线互相垂直且斜率都存在,那么
k
1
k
2
=
?
-
?
〓
?
-
?
=-1,所以
a
+2
b
=0;
?
2
??
b
?
若两直线中有直线的斜率不存在,且互相垂直,则
b
=0,且
a
=0
.所以,
a
+2
b
=0.
综上所述,“
a
+2<
br>b
=0”是“直线
ax
+2
y
+3=0和直线
x+
by
+2=0互相垂直”的充要
条件.
20.(本小题满分12分)
设
p
:关于
x
的不等式
a
x
>1(
a>0且
a
≠1)的解集为{
x
|
x
<0},
q
:
2
函数
y
=lg(
ax
-
x
+
a
)的定义域为R.如果
p
和
q
有且仅有一个真命题,求<
br>a
的取值范围.
【解】 当
p
真时,0<
a
<1,
?
a
>0,
1
当
q
真时,
?
即<
br>a
>,
2
2
?
1-4
a
<0,
1
所以
p
假时,
a
>1,
q
假时,
a
≤.
2
又
p
和
q
有且仅有一个真命题. <
br>1
当
p
真
q
假时,0<
a
≤,当
p
假
q
真时,
a
>1.
2
1
??
综上所述得,
a
∈
?
0,
?
∪(1,+≦).
2
??
x
-1
21.(本小题满分12分)已知
p
:-2≤1
-≤2,
q
:
x
2
-2
x
+1-
m
2
≤0(
m
>0),若﹁
p
3
是﹁
q
的
必要不充分条件,求实数
m
的取值范围.
【解】 由
x
2
-2
x
+1-
m
2
≤0(
m
>0),
得1-
m
≤
x
≤1+
m
.
?﹁
q
:
A
={
x
|
x
<1-
m
或<
br>x
>1+
m
,
m
>0}.
x
-1
由-2≤1-≤2,
3
得-2≤
x
≤10.
?﹁
p
:
B={
x
|
x
<-2或
x
>10}.
≧﹁
p
是﹁
q
的必要不充分条件,
且
m
>0,?
A
?
B
.
?
m<
br>>0,
?
?
1-
m
<-2,
?
1+
m
≥10
?
m
>0,
或
?
1-
m
≤-2,
?
1+
m
>10,
解得
m
≥9,
?
m
的取值范围是[9,+≦).
?
1
?
2
22.(本小题满分12分)已知函数
f
(x
)=
x
,
g
(
x
)=
??
-
m
.
?
2
?
(1)
x
∈[-1,3]
,求
f
(
x
)的值域.
(2)若对任意
x
∈[0
,2],
g
(
x
)≥1成立,求实数
m
的取值范围. (3)若对任意
x
1
∈[0,2],存在
x
2
∈[-1
,3],使得
g
(
x
1
)≤
f
(
x
2
)成立,求实数
m
的取值范
围.
【解】 (1)当
x
∈[-1,3]时,函数
f
(
x
)=
x
2
∈[0,9],所以
f
(
x
)的值域为[0,9].
(2)对任意
x
∈[0,2],
g
(
x
)≥1成立,
等价于
g
(
x
)在[0,2]上的最小值大于或等于1.
而
g
(
x
)在[0,2]上单调递减,
x
3
?
1
?
2
所以
??
-
m
≥1,即
m
≤-.
4
?
2
?
(3)对任意x
1
∈[0,2],存在
x
2
∈[-1,3],使得
g
(
x
1
)≤
f
(
x
2
)成立,等
价于
g
(
x
)在[0,2]
上的最大值小于或等于
f
(
x
)在[-1,3]上的最大值9,由1-
m
≤9,所以
m≥-8.
章末综合测评(二) 圆锥曲线与方程
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分
.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.双曲线2
x
2
-
y
2
=8的实轴长是( )
A.2 B.22
C.4 D.42
【解析】 双曲线方程可化为-=
1,所以
a
=4,
a
=2,2
a
=4.
48
【答案】 C
2.(2016·临沂高二检测)若抛物线的准线方程为
x
=-7,则此抛物线的标准方程为( )
A.
x
2
=-28
y
B.
y
2
=28
x
C.
y
2
=-28
x
D.
x
2
=28
y
【解析】 抛物线准线方程
x
=-=-7,?
p
=14,焦点在
x
轴上,标准方程为
y<
br>2
=28
x
.
2
【答案】 B
x
2y
2
4
3.已知双曲线
2
-
2
=1(
a
>0,
b
>0)的一条渐近线方程为
y
=
x
,则
双曲线的离心率为
ab
3
( )
521
A. B.
33
5
C.
4
D.
7
2
x<
br>2
y
2
2
p
b
4
【解析】
由题意双曲线焦点在
x
轴上,故=,
a
3
c
?
e
==
a
b
2
1+
2
=
a
1+165
=.
93
【答案】 A
x
2
y
2<
br>4.若椭圆+=1的焦点在
y
轴上,则
m
的取值范围是( ) 3
m
2
m
+1
?
1
?
A.
?
-,1
?
B.(0,1)
?
2
?
1
?
??
11
?
C.
?
0,
?
D.
?
-,
?
2
???
22
?
【解析】 由题意得3
m
>0,2
m
+1>0且2
m
+1>3
m
,解得0<
m
<1.
【答案】 B
→→
5.设
F
1
,
F<
br>2
分别是双曲线
x
2
-=1的左、右焦点,若点
P
在
双曲线上,且
PF
1
·
PF
2
=0,
9
→
→
则|
PF
1
+
PF
2
|=( )
y
2
B.210
D.25
→→
【解析】
设点
P
(
x
,
y
),由
PF
1
·
PF
2
=0,得点
P
满足在以
F
1
F2
为直径的圆上,即
x
2
+
y
2
→→→
=10.又
PF
1
+
PF
2
=2
PO
=
(-2
x
,-2
y
),
→→
?|
PF
1
+
PF
2
|=210.
【答案】 B
6.以双曲线-=1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )
169
A.
y
2
=16
x
B.
y
2
=-16
x
C.
y
2
=8
x
D.
y
2
=-8
x
-=1的右顶点为(4,0),即抛物
线的焦点坐标为(4,0),所以
169
抛物线的标准方程为
y
2
=
16
x
.
【答案】 A
【解析】 因为双曲线
A.10
C.5
x
2
y
2
x
2
y
2x
2
y
2
7.双曲线+=1的离心率
e
∈(1,2),
则
k
的取值范围是( )
4
k
A.(-≦,0)
B.(-12,0)
C.(-3,0) D.(-60,-12)
【解析】 由题意知k
<0,?
a
2
=4,
b
2
=-
k<
br>.
22
a
+
b
4-
kk
?
e2
=
2
==1-.
a
44
又
e
∈(
1,2),?1<1-<4.?-12<
k
<0.
4
【答案】 B
3
??
5
8.若椭圆的两焦点为(-2,0),(2,0),且该椭圆过点
?
,-
?
,则该椭圆的方程是( )
2
??
2
A.+=1
84
k
y
2
x
2
y
2
x
2
B.
y
2
10<
br>+=1
6
x
2
C.+=1 D.+=1
48610
【解析】 ≧椭圆的两个焦点为(-2,0),(2,0),
?
c
=2.
3
??
5
又椭圆过点
?
,-
?
,
2
??
2
22
?
5
??
3
?
?
+2
?
+
?
--0
?
+ ?2
a
=
?
2
??
2
?
22
?
5
??<
br>3
?
?
-2
?
+
?
--0
?
?
2
??
2
?
=210.
?
a
=10.
?
b
2
=
a
2<
br>-
c
2
=6.
?椭圆的方程为+=1.
106
y
2
x
2
x
2
y
2
【答案】
D
9.一动圆
P
与圆
O
:
x
2
+
y
2
=1外切,而与圆
C
:
x
2
+
y<
br>2
-6
x
+8=0内切,那么动圆的圆
心
P
的轨迹是
( )
A.双曲线的一支 B.椭圆
C.抛物线 D.圆
2
【解析】
圆
C
的方程即(
x
-3)+
y
2
=1,圆
C
与圆
O
相离,设动圆
P
的半径为
R
.
≧圆
P
与圆
O
外切而与圆
C
内切,
?<
br>R
>1,且|
PO
|=
R
+1,|
PC
|=
R
-1,又|
OC
|=3,
?|
PO
|-|PC
|=2<|
OC
|,即点
P
在以
O
,C
为焦点的双曲线的右支上.
【答案】 A
10.如图1,过抛物线
y
2
=3
x
的焦点
F
的直线交抛物线于点
A
,
B
,交其准线
l
于点
C
,
若|
BC<
br>|=2|
BF
|,且|
AF
|=3,则|
AB
|=(
)
图1
A.4 B.6
C.8 D.10
【解析】 如图,分别过点
A
,
B
作
AA
1
,
BB
1
垂直于准线
l
,垂足分别为
A
1
,
B
1
,由抛物
线的定义得|
BF
|=|
BB
1
|,
≧|
BC
|=2|
BF
|,
?|
BC
|=2|
BB
1
|,
?∠
BC
B
1
=30°,又|
AA
1
|=|
AF
|=3,
?|
AC
|=2|
AA
1
|=6,
?|
CF
|=|
AC
|-|
AF
|=6-3=3,
?|
BF
|=1,|
AB
|=4.
【答案】 A
x
2
y
2
11.设
F
1
、F
2
分别为双曲线
2
-
2
=1(
a
>
0,
b
>0)的左、右焦点,若双曲线右支上存在一
ab
4
点
P
满足|
PF
2
|=|
F
1
F
2
|,且cos ∠
PF
1
F
2
=,则双曲线的渐近线方程为(
)
5
A.3
x
〒4
y
=0
B.3
x
〒5
y
=0
C.4
x
〒3
y
=0
D.5
x
〒4
y
=0
【解析】
≧|
PF
1
|-|
PF
2
|=2
a
, <
br>?|
PF
1
|=|
PF
2
|+2
a
=2
a
+2
c
.
4?2
a
+2
c
?
2
+4
c
2
-4
c
2
c
5<
br>由余弦定理得=,?=.
52〓2
c
〓?2
a
+2
c
?
a
3
bc
2
-
a
2<
br>44
?==.?渐近线方程为
y
=〒
x
,
aa
2
33
即4
x
〒3
y
=0.
【答案】 C
12.若直线
y
=
kx
-2与抛物线
y
2
=8
x
交于
A
,
B
两个不同的点,
焦点为
F
,且|
AF
|,4,
|
BF
|成等差数列
,则
k
=( )
A.2或-1 B.-1
C.2 D.1〒5
?
y
=
kx
-2,
【解析】 设
A
(x
1
,
y
1
),
B
(
x
2<
br>,
y
2
).由
?
2
消去
y
得
k
2
x
2
-4(
k
+2)
x
+4=0,
?
y
=8
x
,
故Δ=[-4(
k
+2)]
2
-4
k
2
〓4=64(1+
k
)>0
,解得
k
>-1,且
x
1
+
x
2
=
4?
k
+2?
k
2
.
由|
AF
|=<
br>x
1
+=
x
1
+2,|
BF
|=
x
2
+=
x
2
+2,且|
AF
|,4,|
B
F
|成等差数列,得
x
1
+2+
x
2
22
+2=8,
4?
k
+2?
得
x
1
+
x<
br>2
=4,所以=4,解得
k
=-1或
k
=2,又
k<
br>>-1,故
k
=2.
2
pp
k
【答案】 C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)
1
3.若抛物线
y
=
mx
与椭圆+=1有一个共同的焦点,则
m
=________.
95
【解析】
椭圆的焦点为(〒2,0).由=〒2得
m
=〒8.
4
【答案】 〒8 <
br>14.已知双曲线的左、右焦点分别为
F
1
,
F
2
,
在左支上过
F
1
的弦
AB
的长为5,若2
a
=8,
那么△
ABF
2
的周长是________.
【解析】 由双曲线
的定义|
AF
2
|-|
AF
1
|=2
a
,
|
BF
2
|-|
BF
1
|=2
a
, ?|
AF
2
|+|
BF
2
|-|
AB
|=4
a
,?△
ABF
2
的周长为4
a
+2|AB
|=26.
【答案】 26
15.(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭
圆
2
x
2
y
2
m
x
2
16
+=1的三个顶点,且圆心在
x
轴的正半轴上,
4
y
2
则
该圆的标准方程为________.
【解析】 由题意知
a
=4,
b<
br>=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点
的坐标为(4,0).由圆心
在
x
轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标
?
m
+4=
r
,
222
准方程为(
x
-m
)+
y
=
r
(0<
m
<4,
r>0),则
?
22
?
?4-
m
?=
r
,
22
3
?
m
=,
?
2
解得<
br>?
25
r
=.
?
?
4
2
所以圆的
3
?
2
25
?
标准方程为
?
x<
br>-
?
+
y
2
=.
2
?
4
?
3
?
2
25
?
【答案】
?
x
-
?
+
y
2
=
2
?
4
?
16.已知抛物线
y
2
=4
x
,过
点
P
(4,0)的直线与抛物线相交于
A
(
x
1
,
y
1
)、
B
(
x
2
,
y
2
)两点,
2
则
y
2
1
+
y
2<
br>的最小值是________.
2
【解析】 若
k
不
存在,则
y
2
1
+
y
2
=32.若
k存在,设直线
AB
的斜率为
k
,当
k
=0时,
直线
AB
的方程为
y
=0,不合题意,故
k
≠0.
由题意设直线
AB
的方程为
y
=
k
(
x
-4)(
k
≠0),
?
y
=
k
?
x-4?,
由
?
2
得
ky
2
-4
y-16
k
=0,
?
y
=4
x
4<
br>?
y
1
+
y
2
=,
y
1
y
2
=-16.
k
?
4
?
2
?
y
+
y
=(
y
1
+
y
2
)-2y
1
y
2
=
??
+32>32.
?
k
?
2
?
y
2
1
+
y
2
的最小值为32.
【答案】 32
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
4<
br>17.(本小题满分10分)已知双曲线的渐近线方程为
y
=〒
x
,并
且焦点都在圆
x
2
+
y
2
=
3
100上,
求双曲线方程.
4
【解】
≧双曲线的渐近线方程为
y
=〒
x
,
3
2
12
2
2
?设双曲线方程为
2
-
2
=
λ
(
λ
≠0).
34
又焦点在圆
x
2
+<
br>y
2
=100上,?
c
2
=100.
则(3|λ
|)
2
+(4|
λ
|)
2
=100,解得<
br>λ
=〒4.
?所求双曲线方程为-=〒4,
916
即-=〒1.
3664
18.(本小题满分12分)已知
F
1
、
F
2
是椭圆的两个焦点,点
P
在椭圆上,∠
F
1
PF
2
=60°,
求椭圆离心率的取值范围.
【解】 ≧|
PF
1<
br>|+|
PF
2
|=2
a
,|
F
1
F
2
|=2
c
,
?
|
PF
1
|+
|
PF
2
|
?
2
2
?
=
a
. ?|
PF
1
|·|
PF
2
|≤
?
2
??
在△
F
1
PF
2
中,由余弦定理得
|
F
1
F
2
|
2
=|
PF
1|
2
+|
PF
2
|
2
-2|
PF1
|·|
PF
2
|·cos ∠
F
1
PF2
,即|
F
1
F
2
|
2
=|
PF
1
|
2
+|
PF
2
|
2
-<
br>?
|
PF
1
|+|
PF
2
|
?2
22
?
, |
PF
1
|·|
PF
2
|=(|
PF
1
|+|
PF
2
|)-3|
PF
1
||
PF
2
|≥(|
PF
1
|+|
PF
2
|)-3
?
2
??
22222
?(
2
c
)≥(2
a
)-3
a
,?
a
≤4c
.
c
1
?
1
?
?≥,?
e
∈
?
,1
?
.
a
2
?
2
?<
br>x
2
y
2
x
2
y
2
x
2<
br>y
2
x
2
y
2
19.(本小题满分12分)已知点<
br>P
(6,8)是椭圆
2
+
2
=1(
a
>b
>0)上一点,
F
1
,
F
2
为椭圆
ab
→→
的两焦点,若
PF
1
·
PF
2
=
0.试求:
(1)椭圆的方程;
(2)求sin∠
PF
1
F
2
的值.
→→
【解】 (1)因为
PF
1
·
PF
2
=0,所以-(
c
+6)(
c
-6)+64=0,所以
c
=
10,
所以
F
1
(-10,0),
F
2
(10,0),
所以2
a
=|
PF
1
|+|
PF<
br>2
|
=?6+10?
2
+8
2
+?6-10?2
+8
2
=125,
所以
a
=65,
b
2
=80.
所以椭圆方程为+=1.
18080
(2)因为
PF
1
⊥
PF
2
,
11
所以
S
=|
PF
1
|·|
PF
2
|=|
F
1
F
2
|·
y
P
=
80,
2
PF
1
F
2
2
x
2
y
2
△
所以|
PF
1
|·|
PF
2
|=160,
又|
PF
1
|+|
PF
2
|=125,
所以|
PF
2
|=45,
|
PF
2
|4
55
所以sin∠
PF
1
F
2
===.
|
F
1
F
2
|205
20.(本小题满分12分)如图2所示,已知
抛物线
y
2
=4
x
的焦点为
F
,顶点为
O
,点
P
在
抛物线上移动,
Q
是
OP
的中点
,
M
是
FQ
的中点,求点
M
的轨迹方程.
图2
【解】 设
M
(
x
,
y
),
P
(
x
1
,
y
1
),
Q
(
x
2
,
y
2
),易求
y
2
=4
x
的
焦点
F
的坐标为(1,0).
1+
x
?
x
=,<
br>?
2
≧
M
是
FQ
的中点,?
?
y<
br>y
=
?
?
2
,
2
2
?
x
2
=2
x
-1,
即
?
y
=2
y
.
?
2
又≧
Q
是
O
P
的中点,
x
?
x
=,
?
2
?
?
y
y
=,
?
?
2
1
2
1
2
?
x
1
=2
x
2
=4<
br>x
-2,
即
?
?
y
1
=2
y
2
=4
y
,
≧
P
在抛物线
y
2
=4
x
上,
?(4
y
)
2
=4(4
x
-2),
1
整理得,
y
2
=
x
-.
2
1
故
M
点的轨迹方程为
y
=
x
-.
22
x
2
y
2
2
21.(本小题满分12
分)(2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆
C
:
2
+
2
=1(<
br>a
>
b
>0)的离心率为,
ab
2
点(2,2)在<
br>C
上.
(1)求
C
的方程;
(2)直线
l
不过原点
O
且不平行于坐标轴,
l
与
C
有两个交点
A
,
B
,线段
AB
的中点为
M
.
证明:
直线
OM
的斜率与直线
l
的斜率的乘积为定值.
a
2
-
b
2
242
【解】
(1)由题意有=,
2
+
2
=1,
a
2
ab解得
a
2
=8,
b
2
=4.
x
2
y
2
所以
C
的方程为+=1.
84
(2)设直线
l
:
y
=
kx
+
b
(
k
≠0,
b
≠0),
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y2
),
M
(
x
M
,
y
M
).
将
y
=
kx
+
b
代入+=1,得
84<
br>(2
k
2
+1)
x
2
+4
kbx
+
2
b
2
-8=0.
x
1
+
x
2
-2
kbb
故
x
M
==
2
,
y
M
=
k
·
x
M
+
b
=
2
.
22
k
+12
k
+1
y
M
1
于是
直线
OM
的斜率
k
OM
==-,
x
M
2
k
1
即
k
OM
·
k
=-.
2
所以直线
OM
的斜率与直线
l
的斜率的乘积为定值. <
br>22.(本小题满分12分)已知抛物线
C
1
的焦点与椭圆
C
2
:+=1的右焦点重合,抛物
65
线
C
1
的顶点在坐标原
点,过点
M
(4,0)的直线
l
与抛物线
C
1
交于
A
,
B
两点.
(1)写出抛物线
C
1
的标准方程;
(2)求△
ABO
面积的最小值.
【解】 (1)椭圆
C
2
:+=1的右焦点为(1,0),即为抛物线
C
1
的焦点,又抛物线
C
1
65
的顶点在坐标原点,所以抛物线的标准方程为
y
2
=4
x
.
1
(2)当直线
AB
的斜率不存在时,直线方
程为
x
=4,此时|
AB
|=8,△
ABO
的面积
S
=〓8
2
〓4=16.
当直线
AB
的斜率存在时, <
br>设
AB
的方程为
y
=
k
(
x
-4)
(
k
≠0),
?
y
=
k
?
x
-
4?,
联立
?
2
?
y
=4
x
x
2
y
2
x
2
y
2
x
2
y
2
消去
x
,得
ky
2
-4
y<
br>-16
k
=0,Δ=16+64
k
2
>0,
设A
(
x
1
,
y
1
),
B
(<
br>x
2
,
y
2
),由根与系数之间的关系得
4
y
1
+
y
2
=,
y
1
·
y2
=-16,
k
1
?
S
△
AOB
=
S
△
AOM
+
S
△
BOM
=|
O
M
||
y
1
-
y
2
|=2
2
16
k
2
+64>16,综上所述,△
ABO
面积的最小值为
16.
章末综合测评(三) 变化率与导数
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分 .在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
5
1.若
y
=
x
,则
y
′=( )
1
A.
5
4
B.
1
5
5
x
4
x
5
C.
x
4
3
D.
1
5
xx
14
-
11
【解析】 < br>y
=
x
5
,则
y
′=
x
5
=.
5
5
5
x
4
【答案】 B
2.某质点沿直 线运动的位移方程为
f
(
x
)=-2
x
2
+1,那 么该质点从
x
=1到
x
=2的平均
速度为( )
A.-4 B.-5
C.-6 D.-7
f
?2?-
f
?1?-2〓2
2
+1-?-2〓1
2
+1?
【解析】
v
===-6.
2-12-1
【答案】 C
3.如果物体做S
(
t
)=2(1-
t
)
2
的直线运动,则其 在
t
=4 s时的瞬时速度为( )
A.12 B.-12
C.4 D.-4
22
【解析】
S
(
t
)=2(1-
t
)=2
t
-4
t
+2,则
S
′(
t
)=4
t
-4,所以
S
′(4)=4〓4-4=
12.
【答案】 A
4.曲线
y
=e
x
在点
A
(0,1)处的切线斜率为( )
A.1 B.2
1
C.e D.
e
xx
0
【解析】 由题意知
y
′=e,故所求切线斜率< br>k
=e|
x
=0
=e=1.
【答案】 A
1+cos
x
?
π
?
5.设曲线
y
=在 点
?
,1
?
处的切线与直线
x
-
ay
+1 =0平行,则实数
a
等于
sin
x
?
2
?
( )
1
A.-1 B.
2
C.-2 D.2
2
-sin
x
-?1+cos
x
?cos
x
-1-cos
x
【解析】 ≧
y
′==,
sin
2
x
sin
2
x< /p>
1
?
π
?
又
f
′
??
=-1,?=-1,
a
?
2
?
?
a
=-1,故选A.
【答案】 A
6.(2016·淮北高二检测)若曲线
y
=
f(
x
)=
x
2
+
ax
+
b
在
点(0,
b
)处的切线方程是
x
-
y
+1=0,则( )
A.
a
=1,
b
=1
B.
a
=-1,
b
=1
C.
a
=1,
b
=-1
D.
a
=-1,
b
=-1
【解析】
y
′=2<
br>x
+
a
,?
f
′(0)=
a
=1,
?
y
=
x
2
+
x
+
b
,又点(
0,
b
)在切线上,故-
b
+1=0,
?
b
=1.
【答案】 A
7.若函数
f
(x
)=
x
2
+
bx
+
c
的图像的顶点
在第四象限,则函数
f
′(
x
)的图像是( )
?<
br>-
b
4
c
-
b
?
,
?
在第
四象限.所以
b
<0,则
f
′【解析】
f
′(
x
)=2
x
+
b
,因为
f
(
x
)顶
点
?
24
??
(
x
)图像与
y
轴交于负半
轴.
【答案】 A
2
8.点
P
在曲线
y
=x
3
-
x
+上移动,设点
P
处切线的倾斜角为
α
,则
α
的取值范围是( )
3
π
?
π
??
3π
???
,π
?
A.
?
0,
?
B.
?
0,
?
∪
?
2
?
2
??
4
???
?
3π
?
?
π3π
?
,π
?
C.
?
D.
?
,
?
4
??
4
??
2
【解析】
y
′=3
x
2
-1≥-1,则tan
α
≥-1.
π
??
3π
??
,π
?
. ≧
α
∈[0,π),?
α
∈
?
0,
?
∪
?
2<
br>??
4
??
【答案】 B
9.抛物线
y
=
x
2
+
bx
+
c
在点(1,2)处的切线与其平行直线bx
+
y
+
c
=0间的距离是
( )
22
A. B.
42
2
32
D.2
2
【解析】 ≧抛物线过点(1,2),?
b
+
c
=1.
又≧
f
′(1)=2+
b
,由题意得2+
b
=-<
br>b
,?
b
=-1,
c
=2.
?所求的切线方程为<
br>y
-2=
x
-1,即
x
-
y
+1=0, <
br>|1+2|32
?两平行直线
x
-
y
+1=0和
x<
br>-
y
-2=0间的距离
d
==.
2
2
C.
【答案】 C
10.设函数
f
(
x
)=
5π
?
sin
θ
3
3cos
θ
2
?
x
+
x
+tan
θ
,其
中
θ
∈
?
0,
?
,则导数
f
′(1)12
?
32
?
的取值范围是( )
A.[-2,2]
B.[2,3]
C.[3,2] D.[2,2]
【解析】
≧
f
′(
x
)=
x
2
sin
θ
+3
x
cos
θ
,
π
??
?
f
′(1)=sin
θ
+3cos
θ
=2sin
?
θ
+
?
3
?
?
5π
?
π
?
π3π
??
因为
θ
∈
?
0,
?
,所以
θ
+∈
?
,
?
,
12
?
4
?
3
?
3
?
π
?
?
2
?
?
所以sin
?
θ
+
?
∈
?
,1
?
,故
f
′(1)∈[2
,2].
3
?
?
2
?
?
【答案】 D
11.过点(-1,0)作抛物线
y
=
x
2
+
x
+
1的切线,则其中一条切线为( )
A.2
x
+
y
+2=0
B.3
x
-
y
+3=0
C.
x
+
y
+1=0
D.
x
-
y
+1=0
【解析】
y
′=2
x
+1,设所求切线的切点为(
x
0
,
x
2
0<
br>+
x
0
+1).
2
x
0
+
x0
+1
则=2
x
0
+1,
x
0
+1
?
x
0
=0或
x
0
=-2.
当
x
0
=0时,曲线
y
=
x
2
+
x
+1在点(0,1)处的切线斜率为1,方程为
y
-1=
x
,即
x<
br>-
y
+1=0.当
x
0
=-2时,切线方程为3
x<
br>+
y
+3=0.
【答案】 D
12.点
P
是曲线
x
2
-
y
-2ln <
br>x
=0上任意一点,则点
P
到直线4
x
+4
y
+1=0的最短距
离是( )
22
A.(1-ln 2) B.(1+ln
2)
22
2
?
1
1
?
C.
?
+ln
2
?
D.(1+ln 2)
2
?
2
2
?
【解析】 将直线4
x
+4<
br>y
+1=0平移后得直线
l
:4
x
+4
y
+
b
=0,使直线
l
与曲线切于
点
P
(
x<
br>0
,
y
0
),
1
由
x
2
-
y
-2ln
x
=0得
y
′=2
x
-,
x
1
?直线
l
的斜率
k
=2
x
0
-=-1
x
0
1
解得
x
0
=或
x
0
=-1(
舍去),
2
?
11
?
?
P
?
,+ln
2
?
,
?
24
?
?
11
?
所求
的最短距离即为点
P
?
,+ln 2
?
到直线4
x
+4
y
+1=0的距离
d
=
?
24
?
|2
+?1+4ln 2?+1|2
=(1+ln 2).
2
42
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)
13.若
y
=-3cot
x
,则
y
′=________.
-13
【解析】
y
′=-3(cot
x
)′=-3·.
2
=
s
in
x
sin
2
x
3
【答案】
2
sin
x
14.下列四个命题中,正确命题的序号为________.
①
若
f
(
x
)=
x
,则
f
′(0)=0;②
(log
a
x
)′=
x
ln
a
;③加速度是质点
的位移
s
对时间
t
的导数;④曲线
y
=
x
2
在点(0,0)处有切线.
1
【解析】 ①因为
f
′(
x
)=,当
x
趋近于0时平均变化率不存在极限,所以函数
f
(x
)
2
x
1
在
x
=0处不存在导数,故错误;
②(log
a
x
)′=,故错误;③瞬时速度是位移
s
对时间
x
ln
a
t
的导数,故错误;④曲线
y
=
x<
br>2
在点(0,0)处的切线方程为
y
=0,故正确.
【答案】 ④
15.已知直线
y
=
kx
是曲线
y
=
x<
br>3
+2的一条切线,则
k
的值为________.
【解析】 设切
点为
M
(
x
0
,
y
0
),则
y<
br>0
=
x
3
①
0
+2,
y
0
=
kx
0
, ②
≧
y
′=
3
x
2
,?
k
=3
x
2
③
0
,
将③代入②得
y
0
=3
x
3
④
0
,
将④代入①得
x
0
=1,
?
y
0
=3,代入②得
k
=3.
【答案】 3
?
π
?
16.(2016·临沂高二检测)设函数
f
(x
)的导数为
f
′(
x
),且
f
(
x
)=
f
′
??
sin
x
+cos
x<
br>,
?
2
?
?
π
?
则
f
′<
br>??
=________.
?
4
?
?
π
?
【解析】
因为
f
(
x
)=
f
′
??
sin
x
+cos
x
,
?
2
?
?
π
?
所以
f
′(
x
)=
f
′
??<
br>cos
x
-sin
x
,
?
2
?
ππ
?
π
??
π
?
所以
f
′
?
?
=
f
′
??
cos-sin.
22
?
2
??
2
?
?
π
?
即
f
′
??
=-1,所以
f
(
x
)=-sin
x
+cos
x
,
?
2
?
ππ
?
π
?
故
f
′
??
=-cos-sin=-2.
44
?
4
?
【答案】 -2
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
t<
br>-1
17.(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为
s
(
t
)=
2
+2
t
2
(路程单位:
t
m,
时间单位:s),求
s
′(3),并解释它的实际意义.
t
-1
t
111
22
【解】 ≧
s
(t
)=
2
+2
t
=
2
-
2
+
2
t
=-
2
+2
t
2
,
ttttt
p>
11
?
s
′(
t
)=-
2
+2
·
3
+4
t
,
tt
12323
?
s
′(3)=-++12=,
92727
323
即物体在
t
=3 s时的瞬时速度为 ms. <
br>27
?
π1
?
18.(本小题满分12分)求过曲线
y
=cos
x
上点
P
?
,
?
且与过这点的切线垂
直的直线
?
32
?
方程.
【解】 ≧
y
=cos
x
,?
y
′=-sin
x
.
?
π1<
br>?
曲线在点
P
?
,
?
处的切线斜率是
?
32
?
ππ3
y
′|
x
==-sin
=-.
332
2
?过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为.
3
π
?
12
?
?所求直线方程为
y
-=
?
x
-
?
.
3
?
2
3
?
19.(本小题满分12分)求满足下列条件的函数
f
(
x
).
(1)
f
(
x
)是三次函数,且
f
(0)=3,
f
′(0)=0,
f
′(1)=-3,
f
′(2)=0;
(
2)
f
(
x
)是二次函数,且
x
2
f
′(
x
)-(2
x
-1)
f
(
x
)=1.
【解】 (1)由题意设
f
(
x
)=
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d
(
a
≠0
),
则
f
′(
x
)=3
ax
2
+2bx
+
c
.
?
f
′?0?=
c
=0
,
由已知
?
f
′?1?=3
a
+2
b
+<
br>c
=-3,
?
f
′?2?=12
a
+4
b<
br>+
c
=0,
f
?0?=
d
=3,
解得
a
=1,
b
=-3,
c
=0,d
=3.
故
f
(
x
)=
x
3
-3
x
2
+3.
(2)由题意设
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠
0),
则
f
′(
x
)=2
ax
+
b
.
所以
x
2
(2
ax
+
b
)-(2
x
-1)(
ax
2
+
bx
+
c
)=1,
化简得(
a
-
b
)
x
2
+(
b<
br>-2
c
)
x
+
c
=1,
?
a=
b
,
此式对任意
x
都成立,所以
?
b
=2
c
,
?
c
=1,
得
a
=
2,
b
=2,
c
=1,即
f
(
x
)=2<
br>x
2
+2
x
+1.
20.(本小题满分12分)已知两曲线
f
(
x
)=
x
3
+
ax
和
g
(
x
)=
x
2
+
bx
+
c<
br>都经过点
P
(1,2),
且在点
P
处有公切线,试求
a
,
b
,
c
的值.
【解】 ≧点
P
(1
,2)在曲线
f
(
x
)=
x
3
+
ax上,
?2=1+
a
,?
a
=1,
函数
f<
br>(
x
)=
x
3
+
ax
和
g
(
x
)=
x
2
+
bx
+
c
的导数
分别为
f
′(
x
)=3
x
2
+
a
和
g
′(
x
)=2
x
+
b
,
且在
点
P
处有公切线,
?3〓1
2
+
a
=2〓1+
b
,得
b
=2,
又由点
P
(1,2
)在曲线
g
(
x
)=
x
2
+
bx
+
c
上可得2=1
2
+2〓1+
c
,得
c
=-1.
综上,
a
=1,
b
=2,
c
=-1.
19
21.(本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)=x
在
x
=处的切线为
l
,直线
g
(
x
)=
kx
+与
l
44
平行,求
f
(
x
)的图像上的点到直线
g
(
x
)的最短距离.
1
【解】 因为
f
(
x
)=
x
,所以f
′(
x
)=.
2
x
?
1
?
所以切线
l
的斜率为
k
=
f
′
??
=1
,
?
4
?
?
11
?
切点为
T
?
,
?
.
?
42
?
1
所以切线
l
的方程为
x
-
y
+=0.
4
9
因为切线
l
与直线
g
(
x
)=
kx
+平行, 4
9
所以
k
=1,即
g
(
x
)=x
+.
4
919
f
(
x
)的图像上的点到直
线
g
(
x
)=
x
+的最短距离为切线
l
:
x
-
y
+=0与直线
x
-
y
+=
444
0之间的距离,
?
91
?
?
-
?
?
44
?
所以所求最短距离为=2.
2
22.(本小题满分12分
)已知直线
l
1
为曲线
f
(
x
)=
x2
+
x
-2在点
P
(1,0)处的切线,
l
2
为
曲线的另一条切线,且
l
2
⊥
l
1
.
(1)求直线
l
2
的方程;
(2)求直线
l
1<
br>,
l
2
与
x
轴所围成的三角形的面积
S
.
【解】 (1)设直线
l
1
,
l
2
的斜率分别为<
br>k
1
,
k
2
,由题意可知
k
1
=<
br>f
′(1)=3,故直线
l
1
的方程为
y
=3
x
-3,
1
由
l
1
⊥
l
2
,
可知直线
l
2
的斜率为-,设
l
2
与曲线相切于点
Q
(
x
0
,
y
0
),则
k
2=
f
′(
x
0
)=
3
1
-,
3
220
解得
x
0
=-,代入曲线方程解得
y
0
=-,
39
2
?
201
?
故直线
l2
的方程为
y
+=-
?
x
+
?
,化简
得到3
x
+9
y
+22=0.
3
?
93
?
?
22
?
(2)直线
l
1
,
l
2
与
x
轴交点坐标分别为(1,0),
?
-,0
?
,
?
3
?
?
3
x
-
y
-3=0
,
5
??
1
联立
?
解得两直线交点坐标为
?
,-
?
,
2
??
6
?
3
x
+
9
y
+22=0
1
?
22
??
5
?
125
故所求三角形的面积
S
=〓
?
--1
?
〓
?
-
?
=.
2
2
?
3
12
???
章末综合测评(四) 导数应用
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(
本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.函数
f
(
x
)=2
x
-cos
x
在(-≦,+≦)上( )
A.无最值 B.有极值
C.有最大值
D.有最小值
【解析】
≧
f
(
x
)=2
x
-cos
x
,
?
f
′(
x
)=2+sin
x
>0恒成立.
故
f
(
x
)=2
x
-cos
x
在(-≦,+≦)上是增加的,
既没有最大值也没有最小值.
【答案】
A
1
2.一质点运动方程为
s
=20+
gt
2
(
g
=9.8 ms
2
),则
t
=3秒时的瞬时速度为(
)
2
A.20 ms B.49.4 ms
C.29.4 ms
D.64.1 ms
【解析】
s
′=
gt
,?
t
=3时
s
′=3
g
=29.4 ms.
【答案】 C
3.如图1所示是函数
y
=
f
(
x
)的导函数
y<
br>=
f
′(
x
)的图像,则下面判断正确的是( )
图1
A.在区间(-2,1)内
f
(
x
)是增函数
B.在(1,3)内
f
(
x
)是减函数
C.在(4,5)内
f
(
x
)是增函数
D.在
x
=2时,
f
(
x
)取到极小值
【解析】 由图像可知,在(4,5)内,
f
′(
x
)>0,?这时
f
(
x
)是增函数.
【答案】 C
4.已知对任意实数
x
,有
f
(-
x
)=
f
(
x),且
x
>0时,
f
′(
x
)>0,则
x<0时( )
A.
f
′(
x
)>0
B.
f
′(
x
)<0
C.
f
′(
x
)=0 D.无法确定
【解析】 因为
f
(-
x
)=
f
(
x
),所以
f
(
x
)为偶函数.又
x
>0时,
f
′(
x
)>0,故
f
(
x
)在
x
>0时为增加的,由偶函
数在对称区间上单调性相反,可知当
x
<0时,
f
(
x
)为
减少的.
【答案】 B
5.函数
y
=
x
4
-2
x
2
+5的单调减区间为( )
A.(-≦,-1)和(0,1)
B.(-1,0)和(1,+≦)
C.(-1,1)
D.(-≦,-1)和(1,+≦)
【解析】
y
′=4
x
3
-4
x
=4
x
(
x
2
-1),令y
′<0得
x
<-1或0<
x
<1,故选A.
【答案】 A
6.设函数
f
(
x
)=
ax
3
+
bx
2
+
cx
+
d
(
a<
br>>0),则
f
(
x
)在R上为增加的充要条件是( )
A.
b
2
-4
ac
>0
B.
b
>0,
c
>0
C.
b
=0,
c
>0
D.
b
2
-3
ac
≤0
【解析】 要使
f
(
x
)在R上为增加的,则
f
′(
x
)=3
ax
2
+2
bx
+c
≥0在R上恒成立(但
f
(
x
)不恒等于零),故只需Δ=4
b
2
-12
ac
≤0,即
b
2
-3
ac
≤0.
【答案】 D
7.函数
y
=2
x
3
-3
x
2
-12
x
+5在[0,3]上的最大值与最小值
分别是( )
A.5,-15 B.5,4
C.-4,-15 D.5,-16
【解析】
y
′=6
x
2
-6
x
-12,
令
y
′=0,得
x
=-1,2,
又
f
(2)=-
15,
f
(0)=5,
f
(3)=-4,
?最大值、最小值分别是5,-15.
【答案】 A
1
8.函数
y
=
x
-2sin
x
的图像大致是( )
2
111
【解析】
因为
y
′=-2cos
x
,所以令
y
′=-2cos
x
>0,得cos
x
<,此时原函数
224
是增函数;
11
令
y
′=-2cos
x
<0,得cos
x
>,此时原函数是减函数,结合余弦函数图像,可得选
24
项C正确.
【答案】 C
9.(2016·青岛高二检测)若
a
∈R,函数
y
=e
x
+
ax
,
x
∈R有大于零的极值点,则(
)
A.
a
<-1 B.
a
>-1
11
C.
a
>- D.
a
<-
ee
xx
【解析】 ≧
y
′=e+
a
,且函数y
=e+
ax
有大于零的极值点,?方程
y
′=e
x<
br>+
a
=0
有大于0的解,≧
x
>0时,-e
x
<-1,?
a
=-e
x
<-1.
【答案】 A
10.
(2016·福州高二检测)若
a
>0,
b
>0,且
f
(<
br>x
)=4
x
3
-
ax
2
+2-2
b
x
在
x
=1处有极
值,则
ab
的最大值为( )
A.2 B.3
C.6 D.9
2
【解析】
f
′(
x
)=12
x
-2
ax
-2
b
,?
f
′(1)=12-2
a
-2
b
=0,?
a
+
b
=6,又
a
>0,
b
>0,?
a
+
b
≥2
ab
,
?2
ab
≤6,?
ab<
br>≤9,当且仅当
a
=
b
=3时取“=”.
【答案】 D
11.若0<
x
1
<
x
2
<1,则( )
x
2
x
1
A.e-e>ln
x
2
-ln
x
1
x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
B.e-e
x
2
2
-ln
x
1
C.
x
2
e>
x
1
e
D.
x
2
e<
x
1
e
【解析】
设
f
(
x
)=e
x
-ln
x
(0<
x
<1),
1
x
e
x
-1
x
则
f
′(
x
)=e-=.
xx
令
f
′(
x
)=0,得
x
e
x
-1=0.
1
根据函数
y
=e
x
与
y
=的图像可知两
函数图像交点
x
0
∈(0,1),因此函数
f
(
x
)在(0,1)上
x
不是单调函数,故A,B选项不正确.
e
x
e
x
?
x
-1?
设
g
(
x
)=(0
<
x
<1),则
g
′(
x
)=.
2
xx
又0<
x
<1,所以
g
′(
x
)<0.
所以函数
g
(
x
)在(0,1)上是减函数.
又0<x
1
<
x
2
<1,所以
g
(
x
1
)>
g
(
x
2
),
x
1
x
2
所以
x
2
e>
x
1
e.
【答案】 C
12.要做一个圆锥形漏斗,其母线长为20
cm,要使其体积最大,则高应为( )
203
A. cm B.100 cm
3
20
C.20 cm D. cm
3
【解析】
设高为
h
,体积为
V
,
则底面半径
r
2
=20
2
-
h
2
=400-
h
2
, 1ππ
23
?
V
=π
rh
=(400
h
-
h
),
V
′=(400-3
h
2
),
333
令
V
′=0,得
h
=
则0<
h
<
故
h
=
203203
或
h
=-(舍),
33
203203
时,
V
′>0,
h
>时,
V′<0,
33
203
时
V
最大.
3
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)
2
??
32
13.已知函数
f
(
x
)=
x<
br>+
ax
+
?
a
-
?
x
+1有极大值
和极小值,则
a
的取值范围是________.
3
??
2
??
【解析】 令
f
′(
x)=3
x
2
+2
ax
+
?
a
-
?
=0,此方程应有两个不相等的实数根,所以Δ>0.
3
??
2
??
即4
a
2
-12
?
a
-
?
>0,
3
??
?
a
2
-3
a+2>0,?
a
>2或
a
<1.
【答案】
(-≦,1)∪(2,+≦)
14.已知函数
f
(
x
)=-
x
3
+
ax
在区间(-1,1)上是增函数,则实数
a
的
取值范围是
________.
【解析】 由题意应有
f
′(
x<
br>)=-3
x
2
+
a
≥0,在区间(-1,1)上恒成立,则<
br>a
≥3
x
2
,
x
∈(-1,1)恒成立,故
a
≥3.
【答案】 [3,+≦)
15
15.已知函数
y
=-
x
2
-2
x
+3在区间[
a,
2]上的最大
值为,则
a
等于________.
4
【解析】
y
=-
x
2
-2
x
+3=-(
x
+1)
2
+4,
当
a
≤-1时,最大值为4,不合题意;
当-1<
a<
br><2时,
f
(
x
)在[
a,
2]上是减函数, 1513
?
f
(
a
)最大,-
a
2
-
2
a
+3=,解得
a
=-或
a
=-(舍).
422
1
【答案】 -
2
16.已知函数
f
(<
br>x
)=
ax
3
+
bx
2
+
cx,其导函数
y
=
f
′(
x
)的图像如图2所示,则下列
说法
中不正确的是________.
图2
3
①当
x
=时,函数取得极小值;
2
②函数有两个极值点;
③当
x
=2时,函数取得极小值;
④当
x
=1时,函数取得极大值.
【解析】 从图像上可以看到:
当
x
∈(-≦,1)时,
f
′(
x
)>0;
当
x
∈(1,2)时,
f
′(
x
)<0;
当
x
∈(2,+≦)时,
f
′(
x
)>0时,
所以
f
(
x
)有两个极值点1和2,且当
x
=2时
,函数取得极小值;
当
x
=1时,函数取得极大值.
只有①不正确.
【答案】 ①
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
17
.(本小题满分10分)设函数
f
(
x
)=6
x
3
+3(
a
+2)
x
2
+2
ax
.
(1)
若
f
(
x
)的两个极值点为
x
1
,
x2
,且
x
1
x
2
=1,求实数
a
的值
;
(2)是否存在实数
a
,使得
f
(
x
)是(-
≦,+≦)上的单调函数?若存在,求出
a
的值;若
不存在,说明理由.
【解】
f
′(
x
)=18
x
2
+6(<
br>a
+2)
x
+2
a
.
2
a
(1)
由已知有
f
′(
x
1
)=
f
′(
x
2
)=0,从而
x
1
x
2
==1,所以
a
=9.
18
(2)因为Δ=36(
a
+2)
2
-4〓1
8〓2
a
=36(
a
2
+4)>0,
<
br>所以不存在实数
a
,使得
f
(
x
)是(-≦,+≦)
上的单调函数.
18.(本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)=
x
3
+
ax
2
+
b
(
a
∈R,
b
∈R).若
a
>0,且
f
(
x
)
的极
大值为5,极小值为1,求
f
(
x
)的解析式.
【解】 ≧
f
(
x
)=
x
3
+
a
x
2
+
b
,?
f
′(
x
)=3
x
2
+2
ax
.
2
a
令
f
′(<
br>x
)=0,得
x
=0或
x
=-.
3
2
a
又≧
a
>0,?-<0.
3
2<
br>a
?当
x
<-或
x
>0时,
f
′(
x
)>0;
3
2
a
当-<
x
<0时,
f
′(
x
)<0.
3
2
a
??
?
f
(
x
)在
?
-≦,-
?
和(0,+≦)上是增函
数,
3
??
?
2
a
?
在
?
-,
0
?
上是减函数.
?
3
?
?
2
a
?
?
f
?
-
?
是
f
(
x
)的极大值,
f
(0)是
f
(
x
)的极小值,
?
3
?
32
?
2
a
??
2
a??
2
a
?
即
f
?
-
?
=<
br>?
-
?
+
a
?
-
?
+
b<
br>=5;
f
(0)=
b
=1,解得
a
=3,
b
=1.
?
3
??
3
??
3
?
?
所求的函数解析式是
f
(
x
)=
x
3
+3
x
2
+1.
1
3
1
2
19.(本小题满分12分
)若函数
f
(
x
)=
x
-
ax
+(
a
-1)
x
+1,在区间(1,4)上为减函数,
32
在区间(6
,+≦)上为增函数,试求实数
a
的取值范围.
【解】 ≧
f
′(
x
)=
x
2
-
ax
+
a
-1,令
f
′(
x
)=0,
解得
x
=1或
x
=
a
-1.
当
a
-1≤1,即
a
≤2时,函数
f
(
x
)在(1,
+≦)上为增函数,不符合题意;
当
a
-1>1,即
a
>2时,函
数
f
(
x
)在(-≦,1)上为增函数,在(1,
a
-1)
上为减函数,
在(
a
-1,+≦)上为增函数;
当
x
∈(
1,4)时,
f
′(
x
)<0,当
x
∈(6,+≦)时,<
br>f
′(
x
)>0.
?4≤
a
-1≤6,5≤
a
≤7.
?
a
的取值范围是[5,7].
3
20.(本小题满分12分)设
f
(
x
)=ln
x
+
x
-1,证明:当
x
>1时,
f
(
x
)<(
x
-1).
2
3
【证明】
记
g
(
x
)=ln
x
+
x
-1-(
x
-1),
2
113<
br>则当
x
>1时,
g
′(
x
)=+-<0,
x
2
x
2
即
g
(
x
)在(1,+≦)上单
调递减.
3
又
g
(1)=0,故
g
(
x
)<0,即
f
(
x
)<(
x
-1).
2
21.(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池
的底面半
径为
r
米,高为
h
米,体积为
V
立方米.假设建造成本仅与
表面积有关,侧面的建
造成本为100元平方米,底面的建造成本为160元平方米,该蓄水池的总建造
成本为12 000
π元(π为圆周率).
(1)将
V
表示
成
r
的函数
V
(
r
),并求该函数的定义域;
(
2)讨论函数
V
(
r
)的单调性,并确定
r
和
h<
br>为何值时该蓄水池的体积最大.
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2π
rh
=200π
rh
(元),底面的总成本为160
π
r
2
元,
所以蓄水池的总成本为(200π
rh
+160π
r
2
)元.
又根据题意200π
rh
+160π
r
2
=12
000π,
1
所以
h
=(300-4
r
2
),
5
r
π
2
从而
V
(
r
)=πrh
=(300
r
-4
r
3
).
5
因为
r
>0,又由
h
>0,可得
r
<53,
故函数
V
(
r
)的定义域为(0,53).
π
3
(2)因为
V
(
r
)=(300
r
-4
r
),
5
π
故
V
′(
r
)=(300-1
2
r
2
).
5
令
V
′(
r
)=
0,解得
r
1
=5,
r
2
=-5(因为
r
2
=-5不在定义域内,舍去).
当
r
∈(0,5)时,
V
′(
r
)>0,故
V
(
r
)在(0,5)上为增函数;
当
r
∈(5,53)时,
V
′(
r
)<0,故V
(
r
)在(5,53)上为减函数.
由此可知,
V
(
r
)在
r
=5处取得最大值,此时
h
=8.
即当
r
=5,
h
=8时,该蓄水池的体积最大.
22.(
本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)=
x
3
+<
br>ax
2
+
b
的图像上一点
P
(1,0),且在点P
处
的切线与直线3
x
+
y
=0平行.
(1)求函数
f
(
x
)的解析式;
(2)求函数
f
(
x
)在区间[0,
t
](0<
t
<3)上的最
大值和最小值;
(3)在(1)的结论下,关于
x
的方程
f
(x
)=
c
在区间[1,3]上恰有两个相异的实根,求实数
c
的
取值范围.
【解】 (1)因为
f
′(
x
)=3
x
2
+2
ax
,
曲线在
P
(1,0)处的切线斜率为:<
br>f
′(1)=3+2
a
,
即3+2
a
=-3,
a
=-3.
又函数过(1,0)点,即-2+
b
=0,
b
=2.
所以
a
=-3,
b
=2,
f
(
x
)=
x
3
-3
x
2
+2.
(2)由
f
(x
)=
x
3
-3
x
2
+2,
f
′(
x
)=3
x
2
-6
x
.
由
f
′(
x
)=0得,
x
=0或
x
=2.
①当0<
t
≤2时,在区间(0,
t
)上
f
′(
x
)<0,
f
(
x
)在[0,
t
]上是减少的,所
以
f
(
x
)
max
=
f
(0)=2,f
(
x
)
min
=
f
(
t
)
=
t
3
-3
t
2
+2.
②当2<
t<3时,当
x
变化时,
f
′(
x
)、
f
(
x
)的变化状态见下表:
(0,(2,
x
0
2
t
2)
t
)
f
′
0
-
0
+
3
t
2
-6
t
(
x
)
-
t
3
-3
t
2
+
f
(
x
)
2
?
?
2
2
f
(
x
)
min
=
f
(2)=-2. <
br>f
(
x
)
max
为
f
(0)与
f<
br>(
t
)中较大的一个.
f
(
t
)-
f(0)=
t
3
-3
t
2
=
t
2
(
t
-3)<0.
所以
f
(
x
)
max
=
f
(0)=2.
(3)令
g
(
x
)=
f
(
x
)-
c
=
x
3<
br>-3
x
2
+2-
c
,
g
′(
x<
br>)=3
x
2
-6
x
=3
x
(
x-2).
在
x
∈[1,2)上,
g
′(
x
)
<0;在
x
∈(2,3]上,
g
′(
x
)>0.
要使
g
(
x
)=0在[1,3]上恰有两个相异的实根,
?
g
?1?≥0,
则
?
g
?2?<0,
?
g
?3?≥0,
解得-2<
c
≤0.
模块综合测评
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共12小题
,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只
有一项是符合题目要求的)
1.下列说法中正确的是( )
A.一个命题的逆命题为真,则它的逆否命题一定为真 <
br>B.“
a
>
b
”与“
a
+
c
>b
+
c
”不等价
2222
C.“
a
+
b
=0,则
a
,
b
全为0”的逆否命题是“若
a
,
b
全不为0,则
a
+
b
≠0”
D.一个命题的否命题为真,则它的逆命题一定为真
【解析】
否命题和逆命题是互为逆否命题,有着一致的真假性.
【答案】 D
2.设
a,
b
∈R,则“(
a
-
b
)·
a
2<
br><0”是“
a
<
b
”的( )
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】 由(
a
-
b
)
a
2
<0?a
≠0且
a
<
b
,?充分性成立;
由
a<
b
?
a
-
b
<0,当0=
a
<b
时?(
a
-
b
)·
a
2
<0,必要
性不成立.
【答案】 A
3.曲线
y
=
x
3
+
11在点
P
(1,12)处的切线与
y
轴交点的纵坐标是( )
A.-9 B.-3
C.9 D.15
【解析】
y
′
=3
x
2
,故曲线在点
P
(1,12)处的切线斜率是3,故切线方
程是
y
-12=3(
x
-1),令
x
=0得
y=9.
【答案】 C
4.如果命题“﹁
p
且﹁
q
”是真命题,那么下列结论中正确的是(
)
A.“
p
或
q
”是真命题
B.“
p
且
q
”是真命题
C.“﹁
p
”为真命题
D.以上都有可能
【解析】 若“﹁
p
且﹁
q
”是真命题,则﹁<
br>p
,﹁
q
均为真命题,即命题
p
、命题
q
都
是
假命题.
【答案】 C
5.下列命题的否定为假命题的是( )
A
.对任意
x
∈R,都有-
x
2
+
x
-1<0成立
B.对任意
x
∈R,都有|
x
|>
x
成立
C.对任意
x
,
y
∈Z,都有2
x
-5
y
≠12成立
D.存在
x
∈R,使sin
2
x
+sin
x
+1=0成立
【解析】 对于A选项命题的否定为“存在
x
∈R,使-
x
2
+
x
-1≥0成立”,显然,这是
一个假命题.
【答案】 A
6.抛物线
y
=12
x
的
准线与双曲线-=1的两条渐近线所围成的三角形面积等于
93
( )
A.33
B.23
C.2 D.3
3
【解析】 抛物线
y
2
=12
x
的准线为
x
=-3,双曲线的渐近线为
y
=〒x
,则准线与渐
3
近线交点为(-3,-3)、(-3, 3).
1
?所围成三角形面积
S
=〓3〓23=33.
2
【答案】 A
7.过抛物线
x
2
=4
y
的焦点
F
作直线,交抛物线于
P
1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,y
2
)两点,若
y
1
+
y
2
=6,则
|
P
1
P
2
|的值为( )
A.5 B.6
C.8 D.10
2
【解析】 抛物线
x
=4
y的准线为
y
=-1,因为
P
1
(
x
1
,
y
1
),
P
2
(
x
2
,
y
2
)两点是过抛物线
焦点的直线与抛物线的交点,所以
P
1(
x
1
,
y
1
),
P
2
(<
br>x
2
,
y
2
)两点到准线的距离分别是
y
1
+1,
y
2
+1,所以|
P
1
P
2
|的值为
y
1
+
y
2
+2=8.
【答案】 C
8.已知
F
1
,
F
2
是椭圆+=1的两个焦点,<
br>P
为椭圆上一点,则|
PF
1
|·|
PF
2
|有( )
3
A.最大值16 B.最小值16
C.最大值4
D.最小值4
【解析】 由椭圆的定义知
a
=4,|
PF
1
|+|
PF
2
|=2
a
=2〓4=8.由基本不等式知
1
6
?
|
PF
1
|+|
PF
2
|
?
?
8
?
?
=
??
=16,当且仅当|
PF
1
|=|
PF
2
|=4时等号成立,所以|
PF
1
|·|
PF
2
|≤
?
2
???
2
?
|
PF
1
|·|
PF
2
|有最大值16.
【答案】 A
9.如图1所示,四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像,其中
一定不正
确的序号是( )
22
2
x
2
y
2<
br>x
2
y
2
图1
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
【解析】 因为三次函数的导函数为二次函
数,其图像为抛物线,观察四图,由导函数
与原函数的关系可知,当导函数大于0时,其函数为增函数;
当导函数小于0时,其函数为
减函数,由此规律可判定③④不正确.
【答案】 B
x
2
y
2
10.已知双曲线
2
-
2
=1(
a
>0,
b
>0)的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
,若在双曲线的右支上
ab
存在一点
P
,使得|<
br>PF
1
|=3|
PF
2
|,则双曲线的离心率
e的取值范围为( )
A.[2,+≦) B.[2,+≦)
C.(1,2]
D.(1,2]
【解析】 由双曲线的定义知,
|
PF
1
|-|
PF
2
|=2
a
,
又|
PF
1
|=3|
PF
2
|,?|
PF
2
|=
a
.
即双曲线的右支上存在点
P
使得|
PF
2
|=
a<
br>.
设双曲线的右顶点为
A
,则|
AF
2
|=
c
-
a
.
由题意知
c
-
a
≤
a
,
?
c
≤2
a
.又
c
>
a
,
?
e
=≤2且
e
>1,即
e
∈(1,2].
【答案】 C
11.设
f
(
x
)是一个三次函数,
f
′(
x
)为其导函数,如图2所示的是
y
=
x
·
f
′(
x
)的图像
的一部分,则
f
(
x
)的极大值与极小值分别是( )
c
a
图2
A.
f
(1)与
f
(-1)
B.
f
(-1)与
f
(1)
C.
f
(-2)与
f
(2)
D.
f
(2)与
f
(-2)
【解析】 由图像知,
f′(2)=
f
′(-2)=0.≧
x
>2时,
y
=x
·
f
′(
x
)>0,?
f
′(
x<
br>)>0,
?
y
=
f
(
x
)在(2,+≦)
上单调递增;同理
f
(
x
)在(-≦,-2)上单调递增;在(-2,2)上
单调递减.
?
y
=
f
(
x
)的极大值为
f
(-2),极小值为
f
(2),故选C.
【答案】 C
12.设斜率为2的直线
l
过抛物线
y
2
=
ax
(
a
≠0)的焦点
F
,且和
y
轴交于点
A
,若△
OAF
(
O
为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A.
y
2
=〒4
x
B.
y
2
=〒8
x
C.
y
2
=4
x
D.
y
2
=8
x
【解析】
a
??
a
??
,0
x
-
?
,直线
l
方程为
y
=2
??
,
a
>0时,F
?
4
??
4
??
令
x
=0得
y
=-.
2
1
a
?
a
?
?
S
△
OAF
=··
?
-
?
=4.
24
?
2
?
解得
a
=8.
同理
a
<0时,得
a
=-8.
?抛物线方程为
y
2
=〒8
x
.
【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把正确答案填在题中的横线上)
x
2
y
2
1
13.若双曲线-
2
=1(
b<
br>>0)的渐近线方程为
y
=〒
x
,则右焦点坐标为________.
4
b
2
a
22
?
c
2
=
a
2
+
b
2
=4+1=5,
?右焦点坐标为(5,0).
【答案】 (5,0)
14.函数
f
(
x
)=
x
3
-15
x
2
-33
x
+6的单调减区间为___
_____.
【解析】
f
′(
x
)=3
x
2<
br>-30
x
-33=3(
x
-11)(
x
+1), <
br>当
x
<-1或
x
>11时,
f
′(
x
)>0,
f
(
x
)增加;
当-1<
x
<11时
,
f
′(
x
)<0,
f
(
x
)减少.
【答案】 (-1,11)
15.已知命题
p
:对任意
x
∈[0,1],都有
a
≥e
x
成立,命题
q
:存在
x
∈R,使
x
2
+4
x
+
a
=0成立,若
命题“
p
且
q
”是真命题,则实数
a
的取值范围是____
________.
【解析】 因为对任意
x
∈[0,1],都有
a
≥e
x
成立,所以
a
≥e.由存在
x
∈R,使
x
2
+4
x
+
a
=0成立,可得判别式
Δ
=
16-4
a
≥0,即
a
≤4.若命题“
p
且
q”是真命题,所以
p
、
q
同
为真,所以e≤
a
≤4.
【答案】 [e,4]
x
2
y
2
b
【解析】
由-
2
=1得渐近线方程为
y
=〒
x
,
4
b
2
b
1
?=,
b
=1,
x
2
y
2
16.已知椭圆
C
1
:
2
+
2
=1(
a
>
b
>0)的右焦点与抛物线
C2
:
y
2
=4
x
的焦点
F
重合,椭圆
ab
5
3
【解析】 抛物线
C
2
的焦点
F
的坐标为(1,0),准线为
x
=-1,设点
P
的坐标为(
x
0
,
y
0
),
552
依据抛物线的定义,由|<
br>PF
|=,得1+
x
0
=,解得
x
0
=.因
为点
P
在抛物线
C
2
上,且在第一
333
?
226
?
26
x
2
y
2
4
?
.
因为点
P
在椭圆
C
1
:
2
+
2
=
1上,所以
2
象限,所以
y
0
=.所以点
P
的坐标
为
?
,
3
ab
9
a
3
??
38
x
2
y
2
2222
+
2
=1.又<
br>c
=1,所以
a
=
b
+1,联立解得
a
=4
,
b
=3.所以椭圆
C
1
的方程为+=1.
3
b
43
C
1
与抛物线
C
2
在第一象限的交点为
P
,|
PF
|=.则椭圆
C
1
的方程为________
.
【答案】 +=1
43
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
x
2
y
2
17.(本小题满分10分)求与⊙
C
1
:(
x
+1)
2
+
y
2
=
1相外切,且与⊙
C
2
:(
x
-1)
2
+
y
2
=9相
内切的动圆圆心
P
的轨迹方程.
【解】 设动
圆圆心
P
的坐标为(
x
,
y
),半径为
r
,
由题意得,|
PC
1
|=
r
+1,|
PC2
|=3-
r
,
?|
PC
1
|+|
PC
2
|=
r
+1+3-
r
=4>|
C
1
C
2
|=2,
由椭圆定义知,动圆圆心
P
的轨迹是以C
1
,
C
2
为焦点,长轴长为2
a
=4的椭圆
,椭圆方
程为+=1.
43
18.(本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)=
ax
2
+1(
a
>0),
g<
br>(
x
)=
x
3
+
bx
.若曲线
y<
br>=
f
(
x
)与
曲线
y
=
g
(
x
)在它们的交点(1,
c
)处具有公共切线,求
a
,<
br>b
的值.
【解】
f
′(
x
)=2
ax<
br>,
g
′(
x
)=3
x
2
+
b
.
≧曲线
y
=
f
(
x
)与曲线
y=
g
(
x
)在它们的交点(1,
c
)处具有公共切线,
?
?
f
′?1?=
g
′?1?
?
,
?<
br>f
?1?=
g
?1?
?
2
a
=3+
b
即
?
?
a
+1=1+
b
=
c
x
2
y
2
?
a
=3
,解得
?
?
b
=3
.
?
a
,
b
的值分别为3,3.
19.(本小
题满分12分)已知命题
p
:函数
f
(
x
)=
x<
br>3
+
ax
+5在区间(-2,1)上不单调,若
命题
p
的否定是一个真命题,求
a
的取值范围.
【解】 考虑命题
p
为
真命题时
a
的取值范围,因为
f
′(
x
)=3
x<
br>2
+
a
,令
f
′(
x
)=0,
得到
x
2
=-,
3
当
a
≥0时,
f
′(
x
)≥0,函数
f
(
x
)在区间(-2,1)上是增加
的,不合题意;
当
a
<0时,由
x
2
=-,得到
x
=〒
3
上不单调,则
a
a
-,要使函数
f
(
x
)=
x
3
+
ax
+5在区间(-2,1)<
br>3
a
-<1或-->-2,即
a
>-12,
33
综上可知-12<
a
<0,
故命题
p
的否定
是一个真命题时,
a
的取值范围是
a
≤-12或
a
≥0.
20.(本小题满分12分)某厂生产某种电子元件,如果生产出一件正品,可获利200元,
如果生产出一件次品,则损失100元.已知该厂制造电子元件过程中,次品率
p
与日产量x
3
x
的函数关系是:
p
=(
x
∈N
+
).
4
x
+32
(1)将该厂的日盈利额
T
(
元)表示为日产量
x
(件)的函数;
(2)为获最大盈利,该厂的日产量应定为多少件?
【解】 (1)由题意可知次品率
p
=日产次品数日产量,每天生产
x
件,次品数为
xp
,
正品数为
x
(1-
p
).
3
x
因为次品率
p
=,
4
x
+323
x
当每天生产
x
件时,有
x
·件次品,
4
x
+32
3
x
??
?
件正品. 有x
?
1-
4
x
+32
??
aa
3
x
?
3
x
?
1-
?
-100<
br>x
·所以
T
=200
x
?
4
x<
br>+32
?
4
x
+32
?
64
x
-<
br>x
2
=25·(
x
∈N
+
).
x
+8
?
x
+32??
x
-16?
(2)
T
′=-25·,
?
x
+8?
2
由
T
′=0,得<
br>x
=16或
x
=-32(舍去).
当0<
x
<16时,
T
′>0;
当
x
>16时,
T
′<0;
所以当
x
=16时,
T
最大.
即该厂的日产量定为16件,能获得最大盈利.
21.(本小题满分12分)设函数
f
(
x
)=
x
2
-2
tx
+4
t
3
+
t
2
-3
t
+3,其中
x
∈
R,
t
∈R,将
f
(
x
)的最小值记为
g
(
t
).
(1)求
g
(
t
)的表达式;
(2)讨论
g
(
t
)在区间[-1,1]内的单调性;
(
3)若当
t
∈[-1,1]时,|
g
(
t
)|≤
k
恒成立,其中
k
为正数,求
k
的取值范围.
【解】 (1
)
f
(
x
)=(
x
-
t
)
2+4
t
3
-3
t
+3,当
x
=
t时,
f
(
x
)取得其最小值
g
(
t
)
,即
g
(
t
)
=4
t
3
-3
t<
br>+3.
(2)≧
g
′(
t
)=12
t
2<
br>-3=3(2
t
+1)(2
t
-1),
列表如下:
1
??
-1,-
??
2
??
1
-
2
?
1
?
-,
?
2
t
1
?
?
2
?
1
2
?
1
?
?
,1
?
?
2
?
g
′
(
t
)
+
0
极大值
?
1
?
g
?
-
?
?
2
?
-
0
+
极小
值
g
(
t
)
?
? ?
?
1
?
g
??
?
2<
br>?
1
??
1
???
11
?
由此可见,
g
(
t
)在区间
?
-1,-
?
和
?,1
?
上单调递增,在区间
?
-,
?
上单调递减. <
br>2
??
2
???
22
?
?
1
??<
br>1
?
-
??
(3)≧
g
(1)=
g
=4,
g
(-1)=
g
??
=2,
2
???2
?
?
g
(
t
)
最大值
=4,
g
(
t
)
最小值
=2,
又≧|
g
(
t
)|≤
k
恒成立,
?k
≥4,
?-
k
≤
g
(
t
)≤
k
恒成立,?
?
?
k
≥4.
?
-
k
≤2,
x
2
y
2
22.(本小题满分12分)已知椭圆
C
:
2
+
2
=1(
a
>
b
>0)的短轴长为23,右焦点
F
与抛
ab
物线
y
2
=4
x
的焦点重合,
O
为坐标原
点.
(1)求椭圆
C
的方程;
?
31
?
→→<
br>(2)设
A
、
B
是椭圆
C
上的不同两点,点
D
(-4,0),且满足
DA
=
λDB
,若
λ
∈<
br>?
,
?
,求
?
82
?
直线<
br>AB
的斜率的取值范围.
【解】
(1)由已知得
b
=3,
c
=1,
a
=2,
所以椭圆的方程为+=1.
43
→→
(2)≧
DA
=λDB
,?
D
,
A
,
B
三点共线,而
D
(-4,0),且直线
AB
的斜率一定存在,所以
设
AB
的方程为
y
=
k
(
x
+4),与椭圆的方程+=1联立得
43
(3+4
k
2
)
y
2
-24
ky
+36
k
2
=0,
222
1
由Δ=144<
br>k
(1-4
k
)>0,得
k
<.
4
24<
br>k
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
),
y
1
+
y
2
=,
3+4
k
2
2
3
6
k
y
1
·
y
2
=, ①
3+4
k
2
→→
又由
DA
=
λDB
得:(
x<
br>1
+4,
y
1
)=
λ
(
x
2
+4,
y
2
),
?
y
1
=
λy
2
②
24
k<
br>?
?1+
λ
?
y
=,
?
3+4
k<
br>将②式代入①式得:
?
36
k
λy
=,
?
3
+4
k
?
2
2
2
2
2
2
x
2
y
2
x
2
y
2
16?1
+
λ
?
2
1
消去
y
2
得:==+
λ
+2.
3+4
k
2
λλ
1
?
31?
当
λ
∈
?
,
?
时,
h
(<
br>λ
)=+
λ
+2是减函数,
λ
?
82
?<
br>9121
?≤
h
(
λ
)≤,
224
916121215
2
?≤≤,解得≤
k
≤, 23+4
k
2
2448436
1215
又因为
k
2
<,所以≤
k
2
≤,
448436
521215
≤
k
≤-或≤
k
≤.
622226
?直线
AB
的斜率的取值范围是
?
521<
br>??
215
?
?
-,-
?
∪
?
,<
br>?
.
622226
????
即-