最新北师大版高中数学选修1-1测试题全套及答案

1
?
π
?
又
f
′
??
＝－1，?＝－1，
a
?
2
?
?
a
＝－1，故选A.
【答案】 A
6．(2016·淮北高二检测)若曲线
y
＝
f(
x
)＝
x
2
＋
ax
＋
b
在 点(0，
b
)处的切线方程是
x
－
y
＋1＝0，则( )
A．
a
＝1，
b
＝1 B．
a
＝－1，
b
＝1
C．
a
＝1，
b
＝－1 D．
a
＝－1，
b
＝－1
【解析】
y
′＝2< br>x
＋
a
，?
f
′(0)＝
a
＝1，
?
y
＝
x
2
＋
x
＋
b
，又点( 0，
b
)在切线上，故－
b
＋1＝0，
?
b
＝1.
【答案】 A
7．若函数
f
(x
)＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像的顶点 在第四象限，则函数
f
′(
x
)的图像是( )

?< br>－
b
4
c
－
b
?
，
?
在第 四象限．所以
b
<0，则
f
′【解析】
f
′(
x
)＝2
x
＋
b
，因为
f
(
x
)顶 点
?
24
??
(
x
)图像与
y
轴交于负半 轴．
【答案】 A
2
8．点
P
在曲线
y
＝x
3
－
x
＋上移动，设点
P
处切线的倾斜角为
α
，则
α
的取值范围是( )
3
π
?
π
??
3π
???
，π
?
A.
?
0，
?
B．
?
0，
?
∪
?
2
?
2
??
4
???
?
3π
? ?
π3π
?
，π
?
C.
?
D．
?
，
?

4
??
4
??
2
【解析】
y
′＝3
x
2
－1≥－1，则tan
α
≥－1.
π
??
3π
??
，π
?
. ≧
α
∈[0，π)，?
α
∈
?
0，
?
∪
?
2< br>??
4
??
【答案】 B
9．抛物线
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
在点(1,2)处的切线与其平行直线bx
＋
y
＋
c
＝0间的距离是
( )
22
A. B．
42
2
32
D．2
2
【解析】 ≧抛物线过点(1,2)，?
b
＋
c
＝1.
又≧
f
′(1)＝2＋
b
，由题意得2＋
b
＝－< br>b
，?
b
＝－1，
c
＝2.
?所求的切线方程为< br>y
－2＝
x
－1，即
x
－
y
＋1＝0， < br>|1＋2|32
?两平行直线
x
－
y
＋1＝0和
x< br>－
y
－2＝0间的距离
d
＝＝.
2
2
C.

【答案】 C
10．设函数
f
(
x
)＝
5π
?
sin
θ
3
3cos
θ
2
?
x
＋
x
＋tan
θ
，其 中
θ
∈
?
0，
?
，则导数
f
′(1)12
?
32
?
的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[2，3]
C．[3，2] D．[2，2]
【解析】 ≧
f
′(
x
)＝
x
2
sin
θ
＋3
x
cos
θ
，
π
??
?
f
′(1)＝sin
θ
＋3cos
θ
＝2sin
?
θ
＋
?

3
? ?
5π
?
π
?
π3π
??
因为
θ
∈
?
0，
?
，所以
θ
＋∈
?
，
?
，
12
?
4
?
3
?
3
?
π
?
?
2
?
?
所以sin
?
θ
＋
?
∈
?
，1
?
，故
f
′(1)∈[2 ，2]．
3
?
?
2
?
?
【答案】 D
11．过点(－1,0)作抛物线
y
＝
x
2
＋
x
＋ 1的切线，则其中一条切线为( )
A．2
x
＋
y
＋2＝0 B．3
x
－
y
＋3＝0
C．
x
＋
y
＋1＝0 D．
x
－
y
＋1＝0
【解析】
y
′＝2
x
＋1，设所求切线的切点为(
x
0
，
x
2
0< br>＋
x
0
＋1)．
2
x
0
＋
x0
＋1
则＝2
x
0
＋1，
x
0
＋1
?
x
0
＝0或
x
0
＝－2.
当
x
0
＝0时，曲线
y
＝
x
2
＋
x
＋1在点(0,1)处的切线斜率为1，方程为
y
－1＝
x
，即
x< br>－
y
＋1＝0.当
x
0
＝－2时，切线方程为3
x< br>＋
y
＋3＝0.
【答案】 D
12．点
P
是曲线
x
2
－
y
－2ln < br>x
＝0上任意一点，则点
P
到直线4
x
＋4
y
＋1＝0的最短距
离是( )
22
A.(1－ln 2) B．(1＋ln 2)
22
2
?
1
1
?
C.
?
＋ln 2
?
D．(1＋ln 2)
2
?
2
2
?
【解析】 将直线4
x
＋4< br>y
＋1＝0平移后得直线
l
：4
x
＋4
y
＋
b
＝0，使直线
l
与曲线切于
点
P
(
x< br>0
，
y
0
)，
1
由
x
2
－
y
－2ln
x
＝0得
y
′＝2
x
－，
x
1
?直线
l
的斜率
k
＝2
x
0
－＝－1
x
0
1
解得
x
0
＝或
x
0
＝－1( 舍去)，
2
?
11
?
?
P
?
，＋ln 2
?
，
?
24
?
?
11
?
所求 的最短距离即为点
P
?
，＋ln 2
?
到直线4
x
＋4
y
＋1＝0的距离
d
＝
?
24
?
|2 ＋?1＋4ln 2?＋1|2
＝(1＋ln 2)．
2
42

【答案】 B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
13．若
y
＝－3cot
x
，则
y
′＝________.
－13
【解析】
y
′＝－3(cot
x
)′＝－3·.
2
＝
s in
x
sin
2
x
3
【答案】
2

sin
x
14．下列四个命题中，正确命题的序号为________．
① 若
f
(
x
)＝
x
，则
f
′(0)＝0；② (log
a
x
)′＝
x
ln
a
；③加速度是质点 的位移
s
对时间
t
的导数；④曲线
y
＝
x
2
在点(0,0)处有切线．
1
【解析】 ①因为
f
′(
x
)＝，当
x
趋近于0时平均变化率不存在极限，所以函数
f
(x
)
2
x
1
在
x
＝0处不存在导数，故错误； ②(log
a
x
)′＝，故错误；③瞬时速度是位移
s
对时间
x
ln
a
t
的导数，故错误；④曲线
y
＝
x< br>2
在点(0,0)处的切线方程为
y
＝0，故正确．
【答案】 ④
15．已知直线
y
＝
kx
是曲线
y
＝
x< br>3
＋2的一条切线，则
k
的值为________．
【解析】 设切 点为
M
(
x
0
，
y
0
)，则
y< br>0
＝
x
3
①
0
＋2，
y
0
＝
kx
0
， ②
≧
y
′＝ 3
x
2
，?
k
＝3
x
2
③
0
，
将③代入②得
y
0
＝3
x
3
④
0
，
将④代入①得
x
0
＝1，
?
y
0
＝3，代入②得
k
＝3.
【答案】 3
?
π
?
16．(2016·临沂高二检测)设函数
f
(x
)的导数为
f
′(
x
)，且
f
(
x
)＝
f
′
??
sin
x
＋cos
x< br>，
?
2
?
?
π
?
则
f
′< br>??
＝________.
?
4
?
?
π
?
【解析】 因为
f
(
x
)＝
f
′
??
sin
x
＋cos
x
，
?
2
?
?
π
?
所以
f
′(
x
)＝
f
′
??< br>cos
x
－sin
x
，
?
2
?
ππ
?
π
??
π
?
所以
f
′
? ?
＝
f
′
??
cos－sin.
22
?
2
??
2
?
?
π
?
即
f
′
??
＝－1，所以
f
(
x
)＝－sin
x
＋cos
x
，
?
2
?
ππ
?
π
?
故
f
′
??
＝－cos－sin＝－2.
44
?
4
?
【答案】 －2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
t< br>－1
17．(本小题满分10分)已知某运动着的物体的运动方程为
s
(
t
)＝
2
＋2
t
2
(路程单位：
t
m， 时间单位：s)，求
s
′(3)，并解释它的实际意义.
t
－1
t
111
22
【解】 ≧
s
(t
)＝
2
＋2
t
＝
2
－
2
＋ 2
t
＝－
2
＋2
t
2
，
ttttt

11
?
s
′(
t
)＝－
2
＋2 ·
3
＋4
t
，
tt
12323
?
s
′(3)＝－＋＋12＝，
92727
323
即物体在
t
＝3 s时的瞬时速度为 ms. < br>27
?
π1
?
18．(本小题满分12分)求过曲线
y
＝cos
x
上点
P
?
，
?
且与过这点的切线垂 直的直线
?
32
?
方程．
【解】 ≧
y
＝cos
x
，?
y
′＝－sin
x
.
?
π1< br>?
曲线在点
P
?
，
?
处的切线斜率是
?
32
?
ππ3
y
′|
x
＝＝－sin ＝－.
332
2
?过点
P
且与切线垂直的直线的斜率为.
3
π
?
12
?
?所求直线方程为
y
－＝
?
x
－
?
.
3
?
2
3
?
19．(本小题满分12分)求满足下列条件的函数
f
(
x
)．
(1)
f
(
x
)是三次函数，且
f
(0)＝3，
f
′(0)＝0，
f
′(1)＝－3，
f
′(2)＝0；
( 2)
f
(
x
)是二次函数，且
x
2
f
′(
x
)－(2
x
－1)
f
(
x
)＝1.
【解】 (1)由题意设
f
(
x
)＝
ax
3
＋
bx
2
＋
cx
＋
d
(
a
≠0 )，
则
f
′(
x
)＝3
ax
2
＋2bx
＋
c
.
?
f
′?0?＝
c
＝0 ，
由已知
?
f
′?1?＝3
a
＋2
b
＋< br>c
＝－3，
?
f
′?2?＝12
a
＋4
b< br>＋
c
＝0，
f
?0?＝
d
＝3，



解得
a
＝1，
b
＝－3，
c
＝0，d
＝3.
故
f
(
x
)＝
x
3
－3
x
2
＋3.
(2)由题意设
f
(
x
)＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠ 0)，
则
f
′(
x
)＝2
ax
＋
b
.
所以
x
2
(2
ax
＋
b
)－(2
x
－1)(
ax
2
＋
bx
＋
c
)＝1，
化简得(
a
－
b
)
x
2
＋(
b< br>－2
c
)
x
＋
c
＝1，
?
a＝
b
，
此式对任意
x
都成立，所以
?
b
＝2
c
，
?
c
＝1，

得
a
＝ 2，
b
＝2，
c
＝1，即
f
(
x
)＝2< br>x
2
＋2
x
＋1.
20．(本小题满分12分)已知两曲线
f
(
x
)＝
x
3
＋
ax
和
g
(
x
)＝
x
2
＋
bx
＋
c< br>都经过点
P
(1,2)，
且在点
P
处有公切线，试求
a
，
b
，
c
的值．
【解】 ≧点
P
(1 ,2)在曲线
f
(
x
)＝
x
3
＋
ax上，
?2＝1＋
a
，?
a
＝1，
函数
f< br>(
x
)＝
x
3
＋
ax
和
g
(
x
)＝
x
2
＋
bx
＋
c
的导数 分别为
f
′(
x
)＝3
x
2
＋
a
和
g
′(
x
)＝2
x
＋
b
，
且在 点
P
处有公切线，

?3〓1
2
＋
a
＝2〓1＋
b
，得
b
＝2，
又由点
P
(1,2 )在曲线
g
(
x
)＝
x
2
＋
bx
＋
c
上可得2＝1
2
＋2〓1＋
c
，得
c
＝－1.
综上，
a
＝1，
b
＝2，
c
＝－1.
19
21．(本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)＝x
在
x
＝处的切线为
l
，直线
g
(
x
)＝
kx
＋与
l
44
平行，求
f
(
x
)的图像上的点到直线
g
(
x
)的最短距离．
1
【解】 因为
f
(
x
)＝
x
，所以f
′(
x
)＝.
2
x
?
1
?
所以切线
l
的斜率为
k
＝
f
′
??
＝1 ，
?
4
?
?
11
?
切点为
T
?
，
?
.
?
42
?
1
所以切线
l
的方程为
x
－
y
＋＝0.
4
9
因为切线
l
与直线
g
(
x
)＝
kx
＋平行， 4
9
所以
k
＝1，即
g
(
x
)＝x
＋.
4
919
f
(
x
)的图像上的点到直 线
g
(
x
)＝
x
＋的最短距离为切线
l
：
x
－
y
＋＝0与直线
x
－
y
＋＝
444
0之间的距离，
?
91
?
?
－
?
?
44
?
所以所求最短距离为＝2.
2
22．(本小题满分12分 )已知直线
l
1
为曲线
f
(
x
)＝
x2
＋
x
－2在点
P
(1,0)处的切线，
l
2
为
曲线的另一条切线，且
l
2
⊥
l
1
.
(1)求直线
l
2
的方程；
(2)求直线
l
1< br>，
l
2
与
x
轴所围成的三角形的面积
S
.
【解】 (1)设直线
l
1
，
l
2
的斜率分别为< br>k
1
，
k
2
，由题意可知
k
1
＝< br>f
′(1)＝3，故直线
l
1
的方程为
y
＝3
x
－3，
1
由
l
1
⊥
l
2
， 可知直线
l
2
的斜率为－，设
l
2
与曲线相切于点
Q
(
x
0
，
y
0
)，则
k
2＝
f
′(
x
0
)＝
3
1
－，
3
220
解得
x
0
＝－，代入曲线方程解得
y
0
＝－，
39
2
?
201
?
故直线
l2
的方程为
y
＋＝－
?
x
＋
?
，化简 得到3
x
＋9
y
＋22＝0.
3
?
93
?
?
22
?
(2)直线
l
1
，
l
2
与
x
轴交点坐标分别为(1,0)，
?
－，0
?
，
?
3
?
?
3
x
－
y
－3＝0 ，
5
??
1
联立
?
解得两直线交点坐标为
?
，－
?
，
2
??
6
?
3
x
＋ 9
y
＋22＝0

1
?
22
??
5
?
125
故所求三角形的面积
S
＝〓
?
－－1
?
〓
?
－
?
＝.
2
2
?
3
12
???

章末综合测评(四) 导数应用
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题( 本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．函数
f
(
x
)＝2
x
－cos
x
在(－≦，＋≦)上( )
A．无最值 B．有极值
C．有最大值 D．有最小值
【解析】 ≧
f
(
x
)＝2
x
－cos
x
，
?
f
′(
x
)＝2＋sin
x
>0恒成立．
故
f
(
x
)＝2
x
－cos
x
在(－≦，＋≦)上是增加的，
既没有最大值也没有最小值．
【答案】 A
1
2．一质点运动方程为
s
＝20＋
gt
2
(
g
＝9.8 ms
2
)，则
t
＝3秒时的瞬时速度为( )
2
A．20 ms B．49.4 ms
C．29.4 ms D．64.1 ms
【解析】
s
′＝
gt
，?
t
＝3时
s
′＝3
g
＝29.4 ms.
【答案】 C
3．如图1所示是函数
y
＝
f
(
x
)的导函数
y< br>＝
f
′(
x
)的图像，则下面判断正确的是( )
图1
A．在区间(－2,1)内
f
(
x
)是增函数
B．在(1,3)内
f
(
x
)是减函数
C．在(4,5)内
f
(
x
)是增函数
D．在
x
＝2时，
f
(
x
)取到极小值
【解析】 由图像可知，在(4,5)内，
f
′(
x
)>0，?这时
f
(
x
)是增函数．
【答案】 C
4．已知对任意实数
x
，有
f
(－
x
)＝
f
(
x)，且
x
>0时，
f
′(
x
)>0，则
x<0时( )
A．
f
′(
x
)>0 B．
f
′(
x
)<0
C．
f
′(
x
)＝0 D．无法确定
【解析】 因为
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，所以
f
(
x
)为偶函数．又
x
>0时，
f
′(
x
)>0，故
f
(
x
)在
x
>0时为增加的，由偶函 数在对称区间上单调性相反，可知当
x
<0时，
f
(
x
)为 减少的．
【答案】 B
5．函数
y
＝
x
4
－2
x
2
＋5的单调减区间为( )
A．(－≦，－1)和(0,1)
B．(－1,0)和(1，＋≦)
C．(－1,1)
D．(－≦，－1)和(1，＋≦)
【解析】
y
′＝4
x
3
－4
x
＝4
x
(
x
2
－1)，令y
′<0得
x
<－1或0<
x
<1，故选A.
【答案】 A
6．设函数
f
(
x
)＝
ax
3
＋
bx
2
＋
cx
＋
d
(
a< br>>0)，则
f
(
x
)在R上为增加的充要条件是( )
A．
b
2
－4
ac
>0 B．
b
>0，
c
>0
C．
b
＝0，
c
>0 D．
b
2
－3
ac
≤0

【解析】 要使
f
(
x
)在R上为增加的，则
f
′(
x
)＝3
ax
2
＋2
bx
＋c
≥0在R上恒成立(但
f
(
x
)不恒等于零)，故只需Δ＝4
b
2
－12
ac
≤0，即
b
2
－3
ac
≤0.
【答案】 D
7．函数
y
＝2
x
3
－3
x
2
－12
x
＋5在[0,3]上的最大值与最小值 分别是( )
A．5，－15 B．5,4
C．－4，－15 D．5，－16
【解析】
y
′＝6
x
2
－6
x
－12， 令
y
′＝0，得
x
＝－1,2，
又
f
(2)＝－ 15，
f
(0)＝5，
f
(3)＝－4，
?最大值、最小值分别是5，－15.
【答案】 A
1
8．函数
y
＝
x
－2sin
x
的图像大致是( )
2

111
【解析】 因为
y
′＝－2cos
x
，所以令
y
′＝－2cos
x
>0，得cos
x
<，此时原函数
224
是增函数；
11
令
y
′＝－2cos
x
<0，得cos
x
>，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选
24
项C正确．
【答案】 C
9．(2016·青岛高二检测)若
a
∈R，函数
y
＝e
x
＋
ax
，
x
∈R有大于零的极值点，则( )
A．
a
＜－1 B．
a
＞－1
11
C．
a
＞－ D．
a
＜－
ee
xx
【解析】 ≧
y
′＝e＋
a
，且函数y
＝e＋
ax
有大于零的极值点，?方程
y
′＝e
x< br>＋
a
＝0
有大于0的解，≧
x
＞0时，－e
x
＜－1，?
a
＝－e
x
＜－1.
【答案】 A
10． (2016·福州高二检测)若
a
＞0，
b
＞0，且
f
(< br>x
)＝4
x
3
－
ax
2
＋2－2
b x
在
x
＝1处有极
值，则
ab
的最大值为( )
A．2 B．3
C．6 D．9
2
【解析】
f
′(
x
)＝12
x
－2
ax
－2
b
，?
f
′(1)＝12－2
a
－2
b
＝0，?
a
＋
b
＝6，又
a
＞0，
b
＞0，?
a
＋
b
≥2
ab
，
?2
ab
≤6，?
ab< br>≤9，当且仅当
a
＝
b
＝3时取“＝”．
【答案】 D
11．若0<
x
1
<
x
2
<1，则( )
x
2
x
1
A．e－e>ln
x
2
－ln
x
1

x
1
x
1
x
1
x
2
x
2
x
2
B．e－e
x
2
x
2
－ln
x
1

C．
x
2
e>
x
1
e
D．
x
2
e<
x
1
e
【解析】 设
f
(
x
)＝e
x
－ln
x
(0<
x
<1)，
1
x
e
x
－1
x
则
f
′(
x
)＝e－＝.
xx
令
f
′(
x
)＝0，得
x
e
x
－1＝0.
1
根据函数
y
＝e
x
与
y
＝的图像可知两 函数图像交点
x
0
∈(0,1)，因此函数
f
(
x
)在(0,1)上
x
不是单调函数，故A，B选项不正确．
e
x
e
x
?
x
－1?
设
g
(
x
)＝(0 <
x
<1)，则
g
′(
x
)＝.
2
xx
又0<
x
<1，所以
g
′(
x
)<0.
所以函数
g
(
x
)在(0,1)上是减函数．
又0<x
1
<
x
2
<1，所以
g
(
x
1
)>
g
(
x
2
)，
x
1
x
2
所以
x
2
e>
x
1
e.
【答案】 C
12．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为( )
203
A. cm B．100 cm
3
20
C．20 cm D. cm
3
【解析】 设高为
h
，体积为
V
，
则底面半径
r
2
＝20
2
－
h
2
＝400－
h
2
， 1ππ
23
?
V
＝π
rh
＝(400
h
－
h
)，
V
′＝(400－3
h
2
)，
333
令
V
′＝0，得
h
＝
则0<
h
<
故
h
＝
203203
或
h
＝－(舍)，
33
203203
时，
V
′>0，
h
>时，
V′<0，
33
203
时
V
最大．
3
【答案】 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中的横线上)
2
??
32
13．已知函数
f
(
x
)＝
x< br>＋
ax
＋
?
a
－
?
x
＋1有极大值 和极小值，则
a
的取值范围是________．
3
??
2
??
【解析】 令
f
′(
x)＝3
x
2
＋2
ax
＋
?
a
－
?
＝0，此方程应有两个不相等的实数根，所以Δ>0.
3
??
2
??
即4
a
2
－12
?
a
－
?
>0，
3
??

?
a
2
－3
a＋2>0，?
a
>2或
a
<1.
【答案】 (－≦，1)∪(2，＋≦)
14．已知函数
f
(
x
)＝－
x
3
＋
ax
在区间(－1,1)上是增函数，则实数
a
的 取值范围是
________.
【解析】 由题意应有
f
′(
x< br>)＝－3
x
2
＋
a
≥0，在区间(－1,1)上恒成立，则< br>a
≥3
x
2
，
x
∈(－1,1)恒成立，故
a
≥3.
【答案】 [3，＋≦)
15
15．已知函数
y
＝－
x
2
－2
x
＋3在区间[
a,
2]上的最大 值为，则
a
等于________．
4
【解析】
y
＝－
x
2
－2
x
＋3＝－(
x
＋1)
2
＋4，
当
a
≤－1时，最大值为4，不合题意；
当－1<
a< br><2时，
f
(
x
)在[
a,
2]上是减函数， 1513
?
f
(
a
)最大，－
a
2
－ 2
a
＋3＝，解得
a
＝－或
a
＝－(舍)．
422
1
【答案】 －
2
16．已知函数
f
(< br>x
)＝
ax
3
＋
bx
2
＋
cx，其导函数
y
＝
f
′(
x
)的图像如图2所示，则下列 说法
中不正确的是________．
图2
3
①当
x
＝时，函数取得极小值；
2
②函数有两个极值点；
③当
x
＝2时，函数取得极小值；
④当
x
＝1时，函数取得极大值．
【解析】 从图像上可以看到：
当
x
∈(－≦，1)时，
f
′(
x
)>0；
当
x
∈(1,2)时，
f
′(
x
)<0；
当
x
∈(2，＋≦)时，
f
′(
x
)>0时，
所以
f
(
x
)有两个极值点1和2，且当
x
＝2时 ，函数取得极小值；
当
x
＝1时，函数取得极大值．
只有①不正确．
【答案】 ①
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17 ．(本小题满分10分)设函数
f
(
x
)＝6
x
3
＋3(
a
＋2)
x
2
＋2
ax
.
(1) 若
f
(
x
)的两个极值点为
x
1
，
x2
，且
x
1
x
2
＝1，求实数
a
的值 ；
(2)是否存在实数
a
，使得
f
(
x
)是(－ ≦，＋≦)上的单调函数？若存在，求出
a
的值；若
不存在，说明理由．
【解】
f
′(
x
)＝18
x
2
＋6(< br>a
＋2)
x
＋2
a
.
2
a
(1) 由已知有
f
′(
x
1
)＝
f
′(
x
2
)＝0，从而
x
1
x
2
＝＝1，所以
a
＝9.
18
(2)因为Δ＝36(
a
＋2)
2
－4〓1 8〓2
a
＝36(
a
2
＋4)>0，

< br>所以不存在实数
a
，使得
f
(
x
)是(－≦，＋≦) 上的单调函数．
18．(本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)＝
x
3
＋
ax
2
＋
b
(
a
∈R，
b
∈R)．若
a
>0，且
f
(
x
) 的极
大值为5，极小值为1，求
f
(
x
)的解析式．
【解】 ≧
f
(
x
)＝
x
3
＋
a x
2
＋
b
，?
f
′(
x
)＝3
x
2
＋2
ax
.
2
a
令
f
′(< br>x
)＝0，得
x
＝0或
x
＝－.
3
2
a
又≧
a
>0，?－<0.
3
2< br>a
?当
x
<－或
x
>0时，
f
′(
x
)>0；
3
2
a
当－<
x
<0时，
f
′(
x
)<0.
3
2
a
??
?
f
(
x
)在
?
－≦，－
?
和(0，＋≦)上是增函 数，
3
??
?
2
a
?
在
?
－， 0
?
上是减函数．
?
3
?
?
2
a
?
?
f
?
－
?
是
f
(
x
)的极大值，
f
(0)是
f
(
x
)的极小值，
?
3
?
32
?
2
a
??
2
a??
2
a
?
即
f
?
－
?
＝< br>?
－
?
＋
a
?
－
?
＋
b< br>＝5；
f
(0)＝
b
＝1，解得
a
＝3，
b
＝1.
?
3
??
3
??
3
?
? 所求的函数解析式是
f
(
x
)＝
x
3
＋3
x
2
＋1.
1
3
1
2
19．(本小题满分12分 )若函数
f
(
x
)＝
x
－
ax
＋(
a
－1)
x
＋1，在区间(1,4)上为减函数，
32
在区间(6 ，＋≦)上为增函数，试求实数
a
的取值范围．
【解】 ≧
f
′(
x
)＝
x
2
－
ax
＋
a
－1，令
f
′(
x
)＝0，
解得
x
＝1或
x
＝
a
－1.
当
a
－1≤1，即
a
≤2时，函数
f
(
x
)在(1， ＋≦)上为增函数，不符合题意；
当
a
－1＞1，即
a
＞2时，函 数
f
(
x
)在(－≦，1)上为增函数，在(1，
a
－1) 上为减函数，
在(
a
－1，＋≦)上为增函数；
当
x
∈( 1,4)时，
f
′(
x
)＜0，当
x
∈(6，＋≦)时，< br>f
′(
x
)＞0.
?4≤
a
－1≤6,5≤
a
≤7.
?
a
的取值范围是[5,7]．
3
20．(本小题满分12分)设
f
(
x
)＝ln
x
＋
x
－1，证明：当
x
>1时，
f
(
x
)<(
x
－1)．
2
3
【证明】 记
g
(
x
)＝ln
x
＋
x
－1－(
x
－1)，
2
113< br>则当
x
>1时，
g
′(
x
)＝＋－<0，
x
2
x
2
即
g
(
x
)在(1，＋≦)上单 调递减．
3
又
g
(1)＝0，故
g
(
x
)<0，即
f
(
x
)<(
x
－1)．
2
21．(本小题满分12分)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)．设该蓄水池
的底面半 径为
r
米，高为
h
米，体积为
V
立方米．假设建造成本仅与 表面积有关，侧面的建
造成本为100元平方米，底面的建造成本为160元平方米，该蓄水池的总建造 成本为12 000
π元(π为圆周率)．

(1)将
V
表示 成
r
的函数
V
(
r
)，并求该函数的定义域；
( 2)讨论函数
V
(
r
)的单调性，并确定
r
和
h< br>为何值时该蓄水池的体积最大.
【解】 (1)因为蓄水池侧面的总成本为100·2π
rh
＝200π
rh
(元)，底面的总成本为160
π
r
2
元，
所以蓄水池的总成本为(200π
rh
＋160π
r
2
)元．
又根据题意200π
rh
＋160π
r
2
＝12 000π，
1
所以
h
＝(300－4
r
2
)，
5
r
π
2
从而
V
(
r
)＝πrh
＝(300
r
－4
r
3
)．
5
因为
r
>0，又由
h
>0，可得
r
<53，
故函数
V
(
r
)的定义域为(0,53)．
π
3
(2)因为
V
(
r
)＝(300
r
－4
r
)，
5
π
故
V
′(
r
)＝(300－1 2
r
2
)．
5
令
V
′(
r
)＝ 0，解得
r
1
＝5，
r
2
＝－5(因为
r
2
＝－5不在定义域内，舍去)．
当
r
∈(0,5)时，
V
′(
r
)>0，故
V
(
r
)在(0,5)上为增函数；
当
r
∈(5,53)时，
V
′(
r
)<0，故V
(
r
)在(5,53)上为减函数．
由此可知，
V
(
r
)在
r
＝5处取得最大值，此时
h
＝8.
即当
r
＝5，
h
＝8时，该蓄水池的体积最大．
22．( 本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)＝
x
3
＋< br>ax
2
＋
b
的图像上一点
P
(1,0)，且在点P
处
的切线与直线3
x
＋
y
＝0平行．
(1)求函数
f
(
x
)的解析式；
(2)求函数
f
(
x
)在区间[0，
t
](0<
t
<3)上的最 大值和最小值；
(3)在(1)的结论下，关于
x
的方程
f
(x
)＝
c
在区间[1,3]上恰有两个相异的实根，求实数
c
的 取值范围．
【解】 (1)因为
f
′(
x
)＝3
x
2
＋2
ax
，
曲线在
P
(1,0)处的切线斜率为：< br>f
′(1)＝3＋2
a
，
即3＋2
a
＝－3，
a
＝－3.
又函数过(1,0)点，即－2＋
b
＝0，
b
＝2.
所以
a
＝－3，
b
＝2，
f
(
x
)＝
x
3
－3
x
2
＋2.
(2)由
f
(x
)＝
x
3
－3
x
2
＋2，
f
′(
x
)＝3
x
2
－6
x
.
由
f
′(
x
)＝0得，
x
＝0或
x
＝2.
①当0<
t
≤2时，在区间(0，
t
)上
f
′(
x
)<0，
f
(
x
)在[0，
t
]上是减少的，所 以
f
(
x
)
max
＝
f
(0)＝2，f
(
x
)
min
＝
f
(
t
) ＝
t
3
－3
t
2
＋2.
②当2<
t<3时，当
x
变化时，
f
′(
x
)、
f
(
x
)的变化状态见下表：
(0,(2，
x
0

2
t

2)
t
)

f
′
0

－

0

＋

3
t
2
－6
t

(
x
)

－
t
3
－3
t
2
＋
f
(
x
)

2

?

?

2

2
f
(
x
)
min
＝
f
(2)＝－2. < br>f
(
x
)
max
为
f
(0)与
f< br>(
t
)中较大的一个．
f
(
t
)－
f(0)＝
t
3
－3
t
2
＝
t
2
(
t
－3)<0.

所以
f
(
x
)
max
＝
f
(0)＝2.
(3)令
g
(
x
)＝
f
(
x
)－
c
＝
x
3< br>－3
x
2
＋2－
c
，
g
′(
x< br>)＝3
x
2
－6
x
＝3
x
(
x－2)．
在
x
∈[1,2)上，
g
′(
x
) <0；在
x
∈(2,3]上，
g
′(
x
)>0.
要使
g
(
x
)＝0在[1,3]上恰有两个相异的实根，
?
g
?1?≥0，
则
?
g
?2?<0，
?
g
?3?≥0，


解得－2<
c
≤0.
模块综合测评
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共12小题 ，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中正确的是( )
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真 < br>B．“
a
>
b
”与“
a
＋
c
>b
＋
c
”不等价
2222
C．“
a
＋
b
＝0，则
a
，
b
全为0”的逆否命题是“若
a
，
b
全不为0，则
a
＋
b
≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
【解析】 否命题和逆命题是互为逆否命题，有着一致的真假性．
【答案】 D
2．设
a，
b
∈R，则“(
a
－
b
)·
a
2< br><0”是“
a
<
b
”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】 由(
a
－
b
)
a
2
<0?a
≠0且
a
<
b
，?充分性成立；
由
a<
b
?
a
－
b
<0，当0＝
a
<b
时?(
a
－
b
)·
a
2
<0，必要 性不成立．
【答案】 A
3．曲线
y
＝
x
3
＋ 11在点
P
(1,12)处的切线与
y
轴交点的纵坐标是( )
A．－9 B．－3
C．9 D．15
【解析】
y
′ ＝3
x
2
，故曲线在点
P
(1,12)处的切线斜率是3，故切线方 程是
y
－12＝3(
x
－1)，令
x
＝0得
y＝9.
【答案】 C
4．如果命题“﹁
p
且﹁
q
”是真命题，那么下列结论中正确的是( )
A．“
p
或
q
”是真命题 B．“
p
且
q
”是真命题
C．“﹁
p
”为真命题 D．以上都有可能
【解析】 若“﹁
p
且﹁
q
”是真命题，则﹁< br>p
，﹁
q
均为真命题，即命题
p
、命题
q
都 是
假命题．
【答案】 C
5．下列命题的否定为假命题的是( )
A ．对任意
x
∈R，都有－
x
2
＋
x
－1<0成立
B．对任意
x
∈R，都有|
x
|>
x
成立
C．对任意
x
，
y
∈Z，都有2
x
－5
y
≠12成立
D．存在
x
∈R，使sin
2
x
＋sin
x
＋1＝0成立

【解析】 对于A选项命题的否定为“存在
x
∈R，使－
x
2
＋
x
－1≥0成立”，显然，这是
一个假命题．
【答案】 A
6．抛物线
y
＝12
x
的 准线与双曲线－＝1的两条渐近线所围成的三角形面积等于
93
( )
A．33 B．23
C．2 D.3
3
【解析】 抛物线
y
2
＝12
x
的准线为
x
＝－3，双曲线的渐近线为
y
＝〒x
，则准线与渐
3
近线交点为(－3，－3)、(－3, 3)．
1
?所围成三角形面积
S
＝〓3〓23＝33.
2
【答案】 A
7．过抛物线
x
2
＝4
y
的焦点
F
作直线，交抛物线于
P
1
(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，y
2
)两点，若
y
1
＋
y
2
＝6，则 |
P
1
P
2
|的值为( )
A．5 B．6
C．8 D．10
2
【解析】 抛物线
x
＝4
y的准线为
y
＝－1，因为
P
1
(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(
x
2
，
y
2
)两点是过抛物线
焦点的直线与抛物线的交点，所以
P
1(
x
1
，
y
1
)，
P
2
(< br>x
2
，
y
2
)两点到准线的距离分别是
y
1
＋1，
y
2
＋1，所以|
P
1
P
2
|的值为
y
1
＋
y
2
＋2＝8.
【答案】 C
8．已知
F
1
，
F
2
是椭圆＋＝1的两个焦点，< br>P
为椭圆上一点，则|
PF
1
|·|
PF
2
|有( )
3
A．最大值16 B．最小值16
C．最大值4 D．最小值4
【解析】 由椭圆的定义知
a
＝4，|
PF
1
|＋|
PF
2
|＝2
a
＝2〓4＝8.由基本不等式知
1 6
?
|
PF
1
|＋|
PF
2
|
? ?
8
?
?
＝
??
＝16，当且仅当|
PF
1
|＝|
PF
2
|＝4时等号成立，所以|
PF
1
|·|
PF
2
|≤
?
2
???
2
?
|
PF
1
|·|
PF
2
|有最大值16.
【答案】 A
9．如图1所示，四图都是在同一坐标系中某三次函数及其导函数的图像，其中 一定不正
确的序号是( )
22
2
x
2
y
2< br>x
2
y
2