高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试

一、 选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）
2
1．函 数
f(x)?
?
2
?
x
?
的导数是（ ）
(A)
f
?
(x)?4
?
x
(B)
f
?
(x)?4
?
x
(C)
f
?
(x)?8
?
x
(D)
f
?
(x)?16
?
x

2．函数
f(x)?x?e
?x
22
的一个单调递增区间是（ ） (A)
?
?1,0
?
(B)
?
2,8
?
(C)
?
1,2
?
(D)
?
0,2
?

3．已知对任意实数
x
，有
f(?x)??f(x)，g(?x)?g(x)
，且
x?0
时，
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0
，则
x?0
时（ ）A．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0
B．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0

C．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0
D．
f
?
(x)?0，g
?
(x)?0

3
4．若函数
f(x)?x?3bx?3b
在
?
0,1
?
内 有极小值，则（ ）
1
（A）
0?b?1
（B）
b?1
（C）
b?0
（D）
b?

2
4
5．若曲线
y?x
的一条切线
l
与直线
x?4y?8?0
垂直，则
l
的方程为（ ）
A．
4x?y?3?0
B．
x?4y?5?0
C．
4x?y?3?0
D．
x?4y?3?0

x2
6．曲线
y?e
在点
(2，e)
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
e
2
9
2
2
2
Ａ．
e
Ｂ．
2e
Ｃ．
e
Ｄ．
2
4
7．设
f
?
(x)
是函数
f(x)
的导函数，将
y?f(x)< br>和
y?f
?
(x)
的图象画在同一个直角坐标系中，不可
能正 确的是（ ）

2
8．已知二次函数
f(x)?ax?bx?c
的导数为
f'(x)
，
f'(0)?0
，对于任意实数
x
都 有
f(x)?0
，
f(1)
53
的最小值为（ ）A．
3
B． C．
2
D．
f'(0)
22
x2
9．设
p:f(x)?e?lnx?2x ?mx?1
在
(0，??)
内单调递增，
q:m≥?5
，则
p
是
q
的（ ）
则
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数
f(x)
的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
（A）
0?f(2)?f(3)?f(3)?f(2)
y
（B）
0?f(3)?f(3)?f(2)?f(2)

（C）
0?f(3)?f(2)?f(3)?f(2)

（D）
0?f(3)?f(2)?f(2)?f(3)
O 1 2 3 4 x
二．填空题（本大题共4小题，共20分）
11．函数
f(x)?xlnx(x?0)
的单调递增区间是＿＿＿＿．
1 2．已知函数
f(x)?x?12x?8
在区间
[?3,3]
上的最大值与最 小值分别为
M,m
，则
M?m?
＿＿．
13．点P在曲线
y?x?x?
14．已知函数
y?
3
3



< br>2
上移动，设在点P处的切线的倾斜角为为
?
，则
?
的取值范 围是
3
1
3
x?x
2
?ax?5
(1)若函数在
?
??,??
?
总是单调函数，则
a
的取 值范围
3
是 . (2)若函数在
[1,??)
上总是单调函数，则
a
的取值范围 .
（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数
a
的取值范围是 .
三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）
15．用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长 方
体的长、宽、高各为多少时，其体积最大最大体积是多少

32
16．设函数
f(x)?2x?3ax?3bx?8c
在
x?1
及
x?2
时取得极值．
（1）求
a、b
的值；（2）若对于任意的
x?[0，3]
，都有
f(x)?c
成立 ，求
c
的取值范围．




17．设函数分别 在处取得极小值、极大值.平面上点的坐标分别为、，该平面上动点满足,点是点关于
直线的对称点，. 求(Ⅰ)求点的坐标； (Ⅱ)求动点的轨迹方程.




32
18. 已知函数
f(x)?2x?3x?3.







（1）求曲线
y?f(x)
在点
x?2
处的切线方程；
（ 2）若关于
x
的方程
f
?
x
?
?m?0
有 三个不同的实根，求实数
m
的取值范围.
2
ax
3
?(a ?1)x
2
?4x?1
?
a?R
?
19．已知
f(x)?
3
（1）当
a??1
时，求函数的单调区间。
（2）当
a?R
时，讨论函数的单调增区间。
（3）是否存在负实数
a
，使
x?
?
?1,0
?
，函数有最小值－3



a
2
20．已知函数
f
?
x
?
?x?
，
g
?
x
?
?x?lnx
，其中
a?0
．
x
（1）若
x?1
是函数
h
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
的极值点，求实数
a
的值；
（2）若对任意的
x
1< br>,x
2
?
?
1，e
?
（
e
为自然对 数的底数）都有
f
?
x
1
?
≥
g
?
x
2
?
成立，求实数
a
的
取值范围．



第三章《导数及其应用》单元测试题答案
一、选择题
CABAA DDCBB
?
1
?
?
3
?
?
14. (1)
a?1;(2)a??3;(3)a??3.
二、11．
?
,??
?
12．32 13．
?
0,
?
?
?,
?
??
?
?
e
?
?
2
?
?
?
4
?
三、解答题
18?12x3
??
?4.5?3x(m)
15. 解：设长方体的宽为x
（m），则长为2
x
(m)，高为
h?
?
0＜x＜< br>?
.
42
??
3
故长方体的体积为
V(x)?2x
2
(4.5?3x)?9x
2
?6x
3
(m
3)(0＜x＜).

2

从而
V?(x)?18x?18x
2
(4.5?3x)?18x(1?x).

令
V
′（x
）＝0，解得
x
=0（舍去）或
x
=1，因此
x=1.
2
当0＜
x
＜1时，
V
′（
x
）＞0；当1＜
x
＜时，
V
′（
x
）＜0，
3
故在
x
=1处
V
（
x
）取得极大值，并且这个极大 值就是
V
（
x
）的最大值。
233
从而最大体积
V
＝
V
′（
x
）＝9×1-6×1（m），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
3
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m。
2
16．解：（1）
f
?
(x)?6x?6ax?3b
，
因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值，则 有
f
?
(1)?0
，
f
?
(2)?0
．
即
?
?
6?6a?3b?0，
解得
a??3
，b?4
．
?
24?12a?3b?0
．
32
（2）由 （Ⅰ）可知，
f(x)?2x?9x?12x?8c
，
f
?
(x) ?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x?2)
．
当
x?(0 1)，
时，
f
?
(x)?0
；当
x?(1，2)
时 ，
f
?
(x)?0
；当
x?(2，3)
时，
f?
(x)?0
．
所以，当
x?1
时，
f(x)
取得极大值
f(1)?5?8c
，又
f(0)?8c
，
f(3)? 9?8c
．
则当
x?
?
0，3
?
时，
f (x)
的最大值为
f(3)?9?8c
．
因为对于任意的
x??
0，3
?
，有
f(x)?c
恒成立，所以
9?8c?c
2
，解得
c??1
或
c?9
，
2
因此
c
的取值范围为
(??，?1)U(9，??)
．
32
17．解: (1)令
f
?
(x)?(?x?3x?2)
?
??3x?3?0
解得
x?1或x??1

当
x??1
时,
f
?
(x)?0
, 当
?1?x?1
时,
f
?
(x)?0
,当
x?1
时,
f
?
(x)?0

所以,函数在< br>x??1
处取得极小值,在
x?1
取得极大值,故
x
1
??1,x
2
?1
,
f(?1)?0,f(1)?4

所以, 点A、B的坐标为
A(?1,0),B(1,4)
.
(2) 设< br>p(m,n)
，
Q(x,y)
，
PA?PB?
?
?1 ?m,?n
?
?
?
1?m,4?n
?
?m
2
?1?n
2
?4n?4

y?n
1y?n1
?
x ?m
?
?2
?
?4
?

k
PQ
? ?
，所以
??
，又PQ的中点在
y?2(x?4)
上，所以
2
2x?m2
?
2
?
22
消去
m,n
得< br>?
x?8
?
?
?
y?2
?
?9
.
2
另法：点P的轨迹方程为
m?
?
n?2
?
?9,
其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，
2
2）关于y=2(x-4 )的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由
b?21
??
，
a?02
b?2
?
a?0
?
?2
?
?4
?
得a=8,b=-2
2
?
2
?
2
18．解（1）
f
?
(x)?6x?6x,f
?
(2)?1 2,f(2)?7,
………………………2分
∴曲线
y?f(x)
在
x?2
处的切线方程为
y?7?12(x?2)
，即
12x?y?1 7?0
；……4分
322
（2）记
g(x)?2x?3x?m?3,g?
(x)?6x?6x?6x(x?1)

令
g
?
(x)?0,x?0
或1. …………………………………………………………6分
则
x,g
?
(x),g(x)
的变化情况如下表
(??,0)

0

(0,1)

1

(1,??)

x

g
?
(x)

?

0

0

?

?

g(x)

Z

极大
]

极小
Z

当
x?0,g(x)
有极大值
m?3; x?1,g(x)
有极小值
m?2
. ………………………10分
?
g(0)?0
?
m?3?0
,
即
?
,?3?m?? 2
时，
?
g(1)?0
?
m?2?0
函数
g(x )
有三个不同零点，过点
A
可作三条不同切线.
所以若过点
A可作曲线
y?f(x)
的三条不同切线，
m
的范围是
(?3,? 2)
.…………14分
19．（1）
x?
?
??,?2
?
,
或
x?
?
2,??
?
,
f(x)
递减;
x?
?
?2,2
?
,
f(x)
递增; （2）1、当
a?0,

由
g(x)
的简图知，当且仅当
?
x?
?
??,?2
?
,
2
?
2
?
f(x)
递增;2、当
a?0,
x?
?
当
0?a? 1,
x?
?
??,2
?
,
或
x?
?
?
,2
?
,
f(x)
递增;3、
?
,??
?
,
f(x)
递
?
a
?
?
a
?
?
a
?
2
?
增; 当
a?1,
x?
?
??,??
?
,
f(x)
递增;当
a?1,
x ?
?
?
??,
?
,
或
x?
?
2, ??
?
,
f(x)
递增;（3）因
a?0,
由②分
两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
3
2
?
1、当
2
??1,?a??2,

x?
?
?1,0
?
?
?
?
,2
?
,
f(x)
递增，
f(x)
min
?f(?1)??3
，解 得
a????2,

4
a
?
a
?
2、当< br>2
??1,?a??2,
由单调性知：
f(x)
min
?f( )??3
，化简得：
3a
2
?3a?1?0
，解得
aa
3
?3?21
a???2,
不合要求；综上，
a??
为所求。
6
4
2
a
2
?lnx
，其定义域为?
0，
20．（1）解法1：∵
h
?
x
?
?2 x?
??
?
，
x
a
2
1
∴h
?
?
x
?
?2?
2
?
．
xx
2
∵
x?1
是函数
h
?
x
?
的极值点，∴
h
?
?
1
?
?0
，即
3?a?0
．
∵
a?0
，∴
a?
经检验当
a?
3
．
3
时，
x?1
是函数
h
?
x
?
的 极值点，∴
a?3
． < br>a
2
a
2
1
?lnx
，其定义域为
?
0，
解法2：∵
h
?
x
?
?2x?
??
?
，∴
h
?
?
x
?
?2?
2
?< br>．
xxx
a
2
1
22< br>令
h
?
?
x
?
?0
，即
2?
2
??0
，整理，得
2x?x?a?0
．
xx
2
∵
??1?8a?0
，
?1?1?8a
2
?1?1?8a
2
∴
h
?
?
x
?
?0
的两个实根
x
1
?
（舍去），
x
2
?
，
44
当
x
变化时，
h
?
x
?
，
h
?
?
x
?
的变化情况如下表：
x

?
0,x
2
?

—
x
2

0
极小值
?
x
2
,??
?

＋
h
?
?
x
?

h
?
x
?

]

Z

?1?1?8a
2
?1
，即
a
2
?3
， 依题意，
4
∵
a?0
，∴
a?3
．
（2）解：对任意的
x
1
,x
2
?
?
1， e
?
都有
f
?
x
1
?
≥
g
?
x
2
?
成立等价于对任意的
x
1
,x
2
?
?
1，e
?
都有

?
?
f
?
x
?
?
?
min
≥
?
?g
?
x
?
?
?
max
．
1
当
x
?
［1，
e
］时，
g
?< br>?
x
?
?1??0
．∴函数
g
?
x
?
?x?lnx
在
?
1，e
?
上是增函数．
x< br>∴
?
?
g
?
x
?
?
?
ma x
?g
?
e
?
?e?1
．
a
2
?
x?a
??
x?a
?
∵
f
?
?
x
?
?1?
2
?
，且
x?< br>?
1,e
?
，
a?0
．
2
xx
x ?a
??
x?a
??
?
xe
fx??0
，
?
①当
0?a?1
且［1，］时，
??
2
x
a< br>2
2
∴函数
f
?
x
?
?x?
在［1 ，
e
］上是增函数，∴
?
.
f
?
x
?< br>?
?f1?1?a
??
??
min
x
2
由< br>1?a
≥
e?1
，得
a
≥
e
，又
0 ?a?1
，∴
a
不合题意．
②当1≤
a
≤
e
时，
?
x?a
??x?a
?
?0
，若
a
＜
x
≤
e
，则
f
?
x?
?
x?a
??
x?a
?< br>?0
． 若1≤
x
＜
a
，则
f
?
?
x
?
?
??
2
xx
2
a
2
∴函数
f
?
x
?
?x?
在
?
1,a?
上是减函数，在
?
a，e
?
上是增函数．
x
∴
?
?
f
?
x
?
?
?
min< br>?f
?
a
?
?2a
.
e?1
e?1
，又1≤
a
≤
e
，∴≤
a
≤
e
．
2
2
x?a
??
x?a
??
?
?0
， ③当
a?e
且
x
?
［1，
e
］时，
f
?
x
?
?
x
2
a
2
a
2
f
?
x
?
?
?f
?
e
?
?e?
. ∴函数
f
?
x
?
?x?
在
?
1，e
?
上是减函数．∴
?
??
min
xe
a
2
由
e?
≥
e?1
，得
a
≥
e
，又
a?e
，∴
a?e
．
e
?
e?1
?
,??
?
． 综上所述，
a
的取值范围为
?
?
2
?

由
2a
≥
e?1
，得
a
≥
1、函数
f
?
x
?
第三章 导数及其应用 知识点总结
f
?
x< br>2
?
?f
?
x
1
?
从
x
到
x
的平均变化率：
1
2
x
2
?x
1< br>x?x
0
2、导数定义：
f
?
x
?
在点x
0
处的导数记作
y
?
?f
?
(x
0
)?lim
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；．
?x
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
4、常见函数的导数公式：
'①
C
?0
；②
(x)?nx
x'x
n'n?1'
y?f
?
x
?
在点
'
?
?
x
0
,f
?
x
0
?
?
处的切线的斜率．
； ③
(sinx)?cosx
；④
(cosx)??sinx
；
x'x
'
⑤
(a)?alna
；⑥
(e)?e
； ⑦
(log
a
x)?
11
'
；⑧
(lnx)?
xlnax
5、导数运算法则：

?
?f
?< br>?
x
?
?g
?
?
x
?
fx?gx< br>?
????
?
1
?

?
??
；
?
?
2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x?
g
?
?
x
?
；
?
f
?< br>x
?
?
?
f
?
?
x
?
g< br>?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
???
2
?
?
3
?
?
g
?
x?
?
?
g
?
x
?
?
?
． < br>6、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?< br>x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在 这个区间内单调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
7、求 函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?< br>?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?x
0
?
是极小值．
8、求函数
y?f
?
x< br>?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?< br>a,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。















【文科测试解答】
一、选择题
2
1．< br>f(x)?
?
2
?
x
?
?4
?
2< br>x
2
,?
f
?
(x)?2?4
?
2
x?
f
?
(x)?8
?
2
x
;
2．f(x)?x?e
?x
x
x
1?e
x
?x?e
x
，
?
1?x
?
?e
?
x
.?
f
?
(x)?
?0,?x?1
选(A)
?
2
2< br>x
x
e
e
?
e
?
??
3.(B)数 形结合
由单调性分析，
x?
22
由
f
?
(x)? 3x?3b?3x?b
,依题意，首先要求b>0, 所以
f
?
(x)?3x?bx?b

??
????
b
有极小值，由
x?b?
?
0,1
?
得.
45．解：与直线
x?4y?8?0
垂直的直线
l
为
4x?y?m ?0
，即
y?x
在某一点的导数为4，而
y
?
?4x
3
，所以
y?x
4
在(1，1)处导数为4，此点的切线为
4x? y?3?0
，故选A
6．（D）

7．（D）
8．（C）
9．（B）
10．B设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A处的切线为AT
点B处的切线为BQ， T
f(3)?f(2)
?k
AB
y B
3?2
?f
?
(3)?k
BQ< br>,
f
?
(2)?k
AT
,
A
?f(3)?f(2)?
如图所示，切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
?k
BQ
?
k
AB
?k
AT
O 1 2 3 4 x
所以选B
11．
?
,??
?

12．32
?
3
?
?
13．
?
0,
?
?< br>?,
?
??
??
?
2
??
4
?14. (1)
a?1;(2)a??3;(3)a??3.


三、解答题
15. 解：设长方体的宽为
x
（m），则长为2
x
(m)，高为
18?1 2x3
??
h??4.5?3x(m)
?
0＜x＜
?
.
42
??
故长方体的体积为
3
V(x)?2x
2
(4.5?3x)?9x
2
?6x
3
(m
3
)(0＜x＜) .

2
从而
V?(x)?18x?18x
2
(4.5?3x )?18x(1?x).

令
V
′（
x
）＝0，解得
x
=0（舍去）或
x
=1，因此
x
=1.
2
当 0＜
x
＜1时，
V
′（
x
）＞0；当1＜
x
＜时，
V
′（
x
）＜0，
3
故在
x
= 1处
V
（
x
）取得极大值，并且这个极大值就是
V
（
x
）的最大值。
233
从而最大体积
V
＝
V
′ （
x
）＝9×1-6×1（m），此时长方体的长为2 m，高为1.5 m.
3
答：当长方体的长为2 m时，宽为1 m，高为1.5 m时，体积最大，最大体积为3 m。
2
16．解：（1）
f
?
(x)?6x?6ax?3b
，
?
1
?
e
?
?
因为函数
f(x)
在
x?1
及
x?2
取得极值，则有
f
?
(1)?0
，
f
?
(2)?0
．
?
6?6a?3b?0，

?
24?12a?3b?0
．< br>解得
a??3
，
b?4
．
32
（2）由（Ⅰ）可知，
f(x)?2x?9x?12x?8c
，
f
?
(x)?6x
2
?18x?12?6(x?1)(x?2)
．
，
时，
f
?
(x)?0
； 当
x?(01)
，2)
时，
f
?
(x)?0
； 当
x?(1
3)
时，
f
?
(x)?0
． 当
x?(2，
即
?

所以，当
x?1
时，
f( x)
取得极大值
f(1)?5?8c
，又
f(0)?8c
，
f(3)?9?8c
．
则当
x?
?
0，3
?
时，
f(x)
的最大值为
f(3)?9?8c
．
因为对于任意的
x?
?
0，3
?
，有
f(x)?c
恒成立，
2
所以
9?8c?c
，
解得
c??1
或
c?9
，
因此
c
的取值范围为
(??，?1)U(9，??)
．
32
17．解: (1)令
f
?
(x)?(?x?3x?2)
?
??3x?3?0
解得
x?1或x??1

2
当
x??1
时,
f
?
(x)?0
, 当
?1?x?1
时,
f
?
(x)?0
,当
x?1
时,
f
?
(x)?0

所以,函数在< br>x??1
处取得极小值,在
x?1
取得极大值,故
x
1
??1,x
2
?1
,
f(?1)?0,f(1)?4

所以, 点A、B的坐标为
A(?1,0),B(1,4)
.
(2) 设< br>p(m,n)
，
Q(x,y)
，
PA?PB?
?
?1 ?m,?n
?
?
?
1?m,4?n
?
?m
2
?1?n
2
?4n?4

y?n
1y?n1
?
x ?m
?
?2
?
?4
?

k
PQ
? ?
，所以
??
，又PQ的中点在
y?2(x?4)
上，所以
2
2x?m2
?
2
?
22
消去
m,n
得< br>?
x?8
?
?
?
y?2
?
?9
.
2
另法：点P的轨迹方程为
m?
?
n?2
?
?9,
其轨迹为以（0，2）为圆心，半径为3的圆；设点（0，
2
2）关于y=2(x-4 )的对称点为(a,b),则点Q的轨迹为以(a,b),为圆心，半径为3的圆，由
b?21
??
，
a?02
b?2
?
a?0
?
?2
?
?4
?
得a=8,b=-2
2
?
2
?

2
18．解（1）
f
?
(x)?6x?6x,f
?
(2)?12,f(2)?7,
………………………2分
∴曲线
y?f(x)
在
x?2
处的切线方程为
y?7?12(x?2)
，即
12 x?y?17?0
；……4分
（2）记
g(x)?2x?3x?m?3,g
?
(x)?6x?6x?6x(x?1)

令
g
?
(x)?0,x?0
或1. …………………………………………………………6分
则
x,g
?
(x),g(x)
的变化情况如下表
322
x

g
?
(x)

(??,0)

0

?

(0,1)

0

?

1

0

(1,??)

?

极大 极小
Z

]

Z

当
x?0,g(x)
有极大值
m ?3;x?1,g(x)
有极小值
m?2
. ………………………10分 ?
g(0)?0
由
g(x)
的简图知，当且仅当
?
,< br>
?
g(1)?0
?
m?3?0
即
?
,?3 ?m??2
时，
m?2?0
?
函数
g(x)
有三个不同零 点，过点
A
可作三条不同切线.
所以若过点
A
可作曲线
y ?f(x)
的三条不同切线，
m
的范围是
(?3,?2)
.………… 14分


19．（1）
x?
?
??,?2
?< br>,
或
x?
?
2,??
?
,
f(x)
递减;
x?
?
?2,2
?
,
f(x)
递增; （2）1、当
a?0,

2
?
2
?
当
a? 0,
x?
?
当
0?a?1,
x?
?
??,2
?
,
或
x?
?
x?
?
??,?2
?,
f(x)
递增;2、
?
,2
?
,
f(x)< br>递增;3、
?
,??
?
,
f(x)
递
?a
?
?
a
?
g(x)

2
?
增; 当
a?1,
x?
?
?? ,??
?
,
f(x)
递增;当
a?1,
x?
??
??,
?
,
或
x?
?
2,??
?< br>,
f(x)
递增;（3）因
a?0,
由②分
a
??< br>两类（依据：单调性，极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”：
3
2
?
1、当
2
??1,?a??2,

x?
?
?1,0
?
?
?
?
,2
?
,
f(x)
递增，
f(x)
min
?f(?1)??3
，解 得
a????2,

4
a
?
a
?
2、当< br>2
??1,?a??2,
由单调性知：
f(x)
min
?f( )??3
，化简得：
3a
2
?3a?1?0
，解得
aa
3
?3?21
a???2,
不合要求；综上，
a??
为所求。
6
4



2
a
2
? lnx
，其定义域为
?
0，
20．（1）解法1：∵
h
?< br>x
?
?2x?
??
?
，
x
a2
1
∴
h
?
?
x
?
?2?
2
?
．
xx
2
∵
x? 1
是函数
h
?
x
?
的极值点，∴
h
??
1
?
?0
，即
3?a?0
．
∵
a?0
，∴
a?
经检验当
a?
∴
a?< br>3
．
3
时，
x?1
是函数
h
?
x
?
的 极值点，
3
．
a
2
?lnx
，其定义域为
?
0，
解法2：∵h
?
x
?
?2x?
??
?
，
xa
2
1
∴
h
?
?
x
?
?2?
2
?
．
xx
a
21
22
令
h
?
?
x
?
?0
， 即
2?
2
??0
，整理，得
2x?x?a?0
．
xx
2
∵
??1?8a?0
，
?1?1?8a
2
?1?1?8a
2
∴
h
?
?
x
?
?0
的两个实根
x
1
?
（舍去），
x
2
?
，
44
当
x
变化时，
h
?
x
?
，
h
?
?
x
?
的变化情况如下表：
x

?
0,x
2
?

—
x
2

0
极小值
?
x
2
,??
?

＋
h
?
?
x
?

h
?
x
?

]

Z

?1?1?8a
2
?1
，即
a
2
?3
， 依题意，
4
∵
a?0
，∴
a?3
．
（2）解：对任意的
x
1
,x
2
?
?
1， e
?
都有
f
?
x
1
?
≥
g
?
x
2
?
成立等价于对任意的
x
1
,x
2
?
?
1，e
?
都有
?
?
f
?< br>x
?
?
?
min
≥
?
?
g
?
x
?
?
?
max
．

当
x
?
［1，
e
］时，
g
?
?
x
?
?1?
∴函数
g
?
x
?
?x?lnx
在
?
1，e
?
上是增函数．
∴?
?
g
?
x
?
?
?
max
1
?0
．
x
?g
?
e
?
?e?1
．
a
2
?
x?a
??
x?a
?
∵
f
?
?
x
?
?1?
2
?
，且
x?< br>?
1,e
?
，
a?0
．
2
xx
?
x?a
??
x?a
?
?0
， ①当
0?a?1且
x
?
［1，
e
］时，
f
?
?
x
?
?
x
2
a
2
∴函数
f
?< br>x
?
?x?
在［1，
e
］上是增函数，
x
2
∴
?
.
fx?f1?1?a
?
?? ??
??
min
由
1?a
≥
e?1
，得
a
≥
e
，
又
0?a?1
，∴
a
不合题意．

②当1≤
a
≤
e
时，
若1≤
x
＜
a
，则
f
?
?
x
?
?
2x
2
?
x?a
??
x?a
?
?0
若< br>a
＜
x
≤
e
，则
f
?
?
x
?
?
．
2
x
a
2
∴函数
f?
x
?
?x?
在
?
1,a
?
上是减函 数，在
?
a，e
?
上是增函数．
x
∴
?
?
f
?
x
?
?
?
min
?f
?< br>a
?
?2a
.
由
2a
≥
e?1
， 得
a
≥
又1≤
a
≤
e
，∴
?
x? a
??
x?a
?
?0
，
e?1
，
2
e?1
≤
a
≤
e
．
2
③当
a?e
且
x
?
［1，
e
］ 时，
f
?
?
x
?
?
?
x?a
??
x?a
?
?0
x
2
，
a
2
∴函 数
f
?
x
?
?x?
在
?
1，e
?
上是减函数．
x
a
2
∴
?
?
f
?
x
?
?
?
min
?f
?
e
?< br>?e?
e
.
a
2
由
e?
≥
e?1
，得
a
≥
e
，
e
又
a?e
，∴
a?e
．
?
e?1
?
,??
?
． 综上所述，
a
的取值范围为
?
?
2
?

1、函数
f
?
x
?
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
导数及其应用 知识点总结
f
?
x
2
?
?f
?< br>x
1
?
x
2
?x
1
x?x
0

2、导数定义：
f
?
x
?
在点
x
0
处的导数记作
y
?
?f
?
(x
0
)?li m
?x?0
f(x
0
??x)?f(x
0
)
；．
?x
3、函数
y?f
?
x
?
在点
x
0
处的导数的几何意义是曲线
4、常见函数的导数公式：
'
①
C
?0
；②
(x)?nx
x'x
n'n?1'
y?f
?
x
?
在点
'
?
?
x
0
,f?
x
0
?
?
处的切线的斜率．
； ③
(sinx)?cosx
；④
(cosx)??sinx
；
x'x
'
⑤
(a)?alna
；⑥
(e)?e
； ⑦
(log
a
x)?
11
'
；⑧
(lnx)?
xlnax
5、导数运算法则：
?
?f
?
?
x
?
?g
?
?
x
?
fx?gx
?
????
?
1
?

?
??
；
?
?
2
?

?
?
f
?
x
?
?g
?
x
?
?
?
?f
?
?
x
?
g
?
x
?
?f
?
x?
g
?
?
x
?
；
?
f
?< br>x
?
?
?
f
?
?
x
?
g< br>?
x
?
?f
?
x
?
g
?
?
x
?
g
?
x
?
?0
??
???
2
?
?
3
?
?
g
?
x?
?
?
g
?
x
?
?
?
． < br>6、在某个区间
?
a,b
?
内，若
f
?
?< br>x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在 这个区间内单调递增；
若
f
?
?
x
?
?0
，则函数
y?f
?
x
?
在这个区间内单调递减．
7、求 函数
y?f
?
x
?
的极值的方法是：解方程
f
?< br>?
x
?
?0
．当
f
?
?
x
0
?
?0
时：
?
1
?
如果在
x
0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?
x
0
?
是极大值；
?
2
?
如果在
x0
附近的左侧
f
?
?
x
?
?0
，右侧
f
?
?
x
?
?0
，那么
f
?x
0
?
是极小值．
8、求函数
y?f
?
x< br>?
在
?
a,b
?
上的最大值与最小值的步骤是：
?
1
?
求函数
y?f
?
x
?
在
?< br>a,b
?
内的极值；
?
2
?
将函数
y?f
?
x
?
的各极值与端点处的函数值
f
?
a
?
，
f
?
b
?
比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。


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