上海国际高中数学考试大纲-陈省身杯全国高中数学竞赛
模块标准测评
(满分：150分 测试时间：120分钟)
(见学考测评P
13
)
第Ⅰ卷
一、选择题(本大题共12小题，
每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中为假命题的是( B )
A．?x∈R,2
x
1
>0
C．?x∈R，lg x<1
－
－
B．?x∈N
*
，(x－1)
2
>0
D．?x∈R，tan x＝2
解析 A中命题是全称命题，易知2
x
1<
br>>0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，
当x＝1时，(x－1)
2
＝
0，故是假命题；C中命题是特称命题，当x＝1时，lg
x＝0，故是真
命题；D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．
2．如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的( C )
A．充要条件
C．必要不充分条件
B．充分不必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos
y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，
B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos
y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”
的必要不充分条件．
3．下列说法错误的是( B )
A．命题“若m>0，则方程x
2
＋x－
m＝0有实根”的逆否命题为“若方程x
2
＋x－m＝0
无实根，则m≤0”
B．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
C．“x＝1”是“x
2
－3x＋2＝0”的充分不必要条件
D．已知命题
p：?x∈R，使得x
2
＋x＋1<0，则?p：?x∈R，均有x
2
＋x＋
1≥0
解析
对于选项B，若p∧q为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，不一定p，q均
为假命题，故选B．
4．曲线f(x)＝xln x在x＝e处的切线方程为( B )
A．y＝x－e
C．y＝x
B．y＝2x－e
D．y＝2x＋e
解析
f′(x)＝(xln x)′＝ln x＋1，f′(e)＝2，切点为(e，e)，切线方程为y－e＝2(
x－e)，
即y＝2x－e，故选B．
x
2
y
2
5．已知
椭圆E：
＋＝1的左、右焦点分别为F
1
，F
2
，点P为椭圆上一点
，若以(1,0)
84
为圆心的圆C与直线PF
1
，PF2
均相切，则点P的横坐标为( B )
A．5
C．3
B．2
D．1
解析 由已知得，PC为∠F
1
PF
2
的平分线，因此|PF
1
|∶|PF
2
|＝|F
1
C|∶|F
2
C|＝3∶1，又|PF
1
|
＋|PF
2|＝2a＝42，所以|PF
2
|＝2，设P(x，y)，则(x－2)
2
＋y
2
＝2，与椭圆方程联立可解得
x＝2或x＝6(舍去)，则P点横坐标为2，
故选B．
1
6．已知命题p：若方程ax
2
＋x－1＝0有实数根，则a≥
－且a≠0；命题q：函数y＝
4
x
2
－2x在[0,3]上的最大值与最小
值和为2.则下列为真命题的是( D )
A．p且q
C．p或?q
B．p且?q
D．p或q
解析 由于a＝0时，方程ax
2
＋x
－1＝0有实数解x＝1，故p是假命题；函数y＝x
2
－2x
在[0,3]上的最小
值为－1，最大值为3，最大值与最小值之和为2，故q是真命题，在四个选
项中，只有p或q是真命题
．
7．已知定义在R上的函数f(x)，其导函数f′(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确<
br>的是( C )
A．f(b)>f(c)>f(d)
C．f(c)>f(b)>f(a)
B．f(b)>f(a)>f(e)
D．f(c)>f(e)>f(d)
解析
依题意得，当x∈(－∞，c)时，f′(x)>0；
当x∈(c，e)时，f′(x)<0；
当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0.
因此，函数f(x)在(－∞，c)上是增函数，
在(c，e)上是减函数，在(e，＋∞)上是增函数，
又a
8．已知对任意m∈R，直线
x＋y＋m＝0都不是曲线f(x)＝x
3
－3ax(a∈R)的切线，则a
的取值范
围是( C )
1
，＋∞
?
A．
?
?
3
?
1
－∞，
?
C．
?
3
??
1
，＋∞
?
B．
?
?
3
?
1
－∞，
?
D．
?
3
??
1111
解析 由已知得f′(x)≠－1，∵f′(
x)＝3(x
2
－a)，∴x
2
－a≠－，即a≠x
2
＋，
∵x
2
＋≥，
3333
1
∴a<，故选C．
3
9．若ab≠0，则ax－y＋b＝0和bx
2
＋ay
2
＝ab 所表示的曲线只可能是下图中的( C )
x
2
y
2
解析 原方程可分别化为y＝ax＋b和＋＝1.从B，D 中的两椭圆看，a>0，b>0，但
ab
由B中的直线可得a<0，b<0，矛盾，应排除．从 D中的直线可得a<0，b>0，矛盾，应排
除．由A中的双曲线可得a<0，b>0，但由直线可得a >0，b>0，矛盾，应排除．由C中的
双曲线可得a>0，b<0，由直线可得a>0，b<0.故选 C．
10．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最
小值为( D )
A．1
C．2
B．2
D．22
1
解析 三角形面积最大时，三角形的另一顶点是椭圆的短轴端点，则S＝×2c×b＝bc< br>2
b
2
＋c
2
a
2
＝1≤＝，即a
2
≥2，所以长轴长2a≥22，故椭圆长轴长的最小值为22.
22
11．设函数 f(x)＝ax
2
＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数y＝f(x)e
x
的一个极值点，
则下列图象不可能为y＝f(x)的图象的是( D )
解析 [f(x)e
x
]′＝[ax
2
＋(2a＋b)x＋b＋c] e
x
，由x＝－1为函数y＝f(x)e
x
的一个极值点，
b
易得a＝c.选项A，B中，对称轴x＝－＝－1，∴b＝2a，∴f(x)＝a(x＋1)
2
，当a>0时，与
2a
b
A中图象相符，当a<0时，与B中图象相符；选项C中， 对称轴x＝－>0，且开口向下，
2a
b
∴a<0，b>0，∴f(－1)＝2a－b <0，与图象相符；选项D中，对称轴x＝－
<－1，且开口
2a
向上，∴a>0，b >2a，∴f(－1)＝2a－b<0，与图象不相符，故选D．
12．若点P为共焦点的椭圆C1
和双曲线C
2
的一个交点，F
1
，F
2
分别 是它们的左、右焦
11
→→
点，设椭圆的离心率为e
1
，双曲线的离 心率为e
2
，若PF
1
·PF
2
＝0，则
2
＋
2
＝( B )
e
1
e
2
A．1
C．3
B．2
D．4
x
2
y
2
x
2
y
2
解析 设椭圆 的方程为
2
＋
2
＝1(a
1
>b
1
>0) ，双曲线的方程为
2
－
2
＝1(a
2
>0，b
2< br>>0)，它
a
1
b
1
a
2
b
2
→→
们的半焦距为c，不妨设P为它们在第一象限的交点，因为PF
1·PF
2
＝0，
故|PF
1
|
2
＋|PF<
br>2
|
2
＝|F
1
F
2
|
2
＝4c
2
. ①
?
?
|PF
1
|＋|PF
2
|＝2a
1
，
由椭圆和双曲线的定义，知
?
?
|PF|－|PF|＝2a，
?
122
解得|PF1
|＝a
1
＋a
2
，|PF
2
|＝a
1
－a
2
，代入①式，
2
＋a
2
＝2c
2
， 得(a
1
＋a2
)
2
＋(a
1
－a
2
)
2
＝4c
2
，即a
12
2
a
2
11a
2a
2
1
＋a
2
12
所以
2
＋
2
＝
2
＋
2
＝
2
＝2.
e
1
e
2
ccc
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
1
13．f(x)＝x
3
－
x
2
－2x＋5，当x∈[－1,2]时，
f(x)
＋∞)____.
解析
f′(x)＝3x
2
－x－2，
2
令f′(x)＝0，得x
1
＝－
或x
2
＝1.
3
2
经检验x＝－是f(x)的极大值点．
3
2
157<
br>－
?
＝，f(2)＝7，∴f(x)
max
＝7.
∵f?
?
3
?
27
由题意知m＞f(x)
max
＝
7.
14．点P是抛物线y＝x
2
上到直线x＋y＋2＝0的距离最短的点，则点P
到抛物线焦点
1
的距离是____
____.
2
解析
设P(x，x
2
)，
则点P到直线x＋y＋2＝0的距离
d＝
?
x＋
1
?
2
＋
7
|x＋x
2
＋2
|
?
2
?
4
2
＝
2
，
1
所以，当x＝－时，d有最小值．
2
111
－，
?，而抛物线的焦点F
?
0，
?
， 此时P
?
?
24
??
4
?
1
所以|PF|＝
.
2
1
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，在(－∞，0)上有xf′(x)<0且f(－2)＝0，则不等式xf(x)<0的解集为____(－2,0)∪(0,2)____.
解析
由题意知，在(－∞，0)上，f′(x)＞0，f(x)单调递增，
又f(－2)＝0，
∴在(－∞，－2)上，f(x)＜0，在(－2,0)上，f(x)>0，
画出f(x)的图象可知xf(x)＜0的解集为(－2,0)∪(0,2)．
16．已知命
题p：?x∈[0,1]，a≥e
x
；命题q：?x
0
∈R，使x
2
0
＋4x
0
＋a＝0.若命题p∧q
是真命题，则实数a的取值范围
是____ [e,4] ____.
解析 若命题p∧q是真命题，则p真且q真．由p真知a≥e
，由q真知16－4a≥0，即
a≤4.综上可知，a∈[e,4]．
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
11
17．(10分)设数列{a
n
}的各项都不为零，求证：对任意n∈N
*<
br>且n≥2，都有＋＋…
a
1
a
2
a
2
a3
＋
n－1
＝成立的充要条件是{a
n
}为等差数列．
a
n
－
1
a
n
a
1
a
n
1
证明 充分性：若{a
n
}为等差数列，设其公差为d，则
111
＋＋…＋
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
－
1
a
n
11
1
11
??
11
?
－
??
－
＋
－
＋…＋
?
＝
?
?
d
?
?
a1
a
2
??
a
2
a
3
?
?<
br>a
n
－
1
a
n
??
1
11
?
a
n
－a
1
n－1
－
＝＝
?
＝
.
d
?
a
1
a
n
?
da
1
a
n
a
1
a
n
n－1
111
必要性：若＋＋…＋＝，
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
－
1
a
n
a
1
a
n
则
1111n
＋＋…＋＋＝，
a
1
a
2a
2
a
3
a
n
－
1
a
na
n
a
n
＋
1
a
1
a
n＋
1
n－1
1n
两式相减得＝－，
a
n
a<
br>n
＋
1
a
1
a
n
＋
1
a<
br>1
a
n
即a
1
＝na
n
－(n－1)an
＋
1
.①
于是有a
1
＝(n＋1)a
n<
br>＋
1
－na
n
＋
2
，②
由①－②得na<
br>n
－2na
n
＋
1
＋na
n
＋
2<
br>＝0，
所以a
n
＋
1
－a
n
＝a
n
＋
2
－a
n
＋
1
(n≥2)．
又112
＋＝，所以a
3
－a
2
＝a
2
－a1
，
a
1
a
2
a
2
a
3<
br>a
1
a
3
所以对任意n∈N
*,
2a
n＋
1
＝a
n
＋
2
＋a
n
，故{an
}为等差数列．
x
2
y
2
5
18．(12
分)求与椭圆
＋＝1有公共焦点，并且离心率为的双曲线方程．
942
x
2
y
2
解析
由椭圆方程＋＝1，知长半轴长a
1
＝3，
94
2
短半轴长b1
＝2，焦距的一半c
1
＝a
2
1
－b
1＝5，
∴焦点是F
1
(－5，0)，F
2
(5，0)，
因此双曲线的焦点也是F
1
(－5，0)，F
2
(5，0
)，
x
2
y
2
设双曲线方程为
2
－
2<
br>＝1(a＞0，b＞0)，
ab
c＝5，
?
?
c
＝
a＋b，
由题设条件及双曲线的性质，得
?
c5
＝
?
?a2
，
222
?
?
a＝2，
解得
?
?
?
b＝1，
x
2
2
故所求双曲线的方程为－y＝1.
4
19．(12分)用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽
之比
为2∶1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
解析
设长方体的宽为x cm，则长为2x cm，
18－12x3
0
.
高为h＝＝4.5－3x(cm)<
br>?
2
??
4
3
0
.从而V′(x)
＝18x－18x
2
＝故长方体的体积为V(x)＝2x
2
(4.5－3x)
＝9x
2
－6x
3
?
2
??
18x(1－x)．
令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，因此x＝1.
3
当0
故在x＝1处，V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积V
max<
br>＝V(1)＝9×1
2
－6×1
3
＝3(cm
3
)，
此时长方体的长为2 cm，宽为1 cm，高为1.5 cm.
20．(12分)在△ABC中，已
知A(－2，0)，B(2，0)，CD⊥AB于D，△ABC的垂心
→→
是H，且CD＝2C
H
.
(1)求点H的轨迹方程E；
→
(2)若过定点F(0,2)的直线
l交曲线E于不同的两点M，N(点M在F，N之间)且满足FM
→
＝λFN，求λ的取值范围
．
解析 (1)设H(x，y)，则D(x,0)，C(x,2y)，
→→
∴AH＝(x＋2，y)，BC＝(x－2，2y)．
由题意可知，H是垂心，∴AH⊥BC，
→→
∴AH
·BC
＝0，
∴x
2
＋2y
2
＝2，
x
2
2
即H的轨迹方程E为＋y＝1(x≠±2)．
2
1
(2)当l的斜率不存在时，则M(0,1)，N(0，－1)，∴λ＝.
3
当l的斜率存在时，设l：y＝kx＋2，
y＝kx＋2，
?
?
联立
?
x
2
2
整理得(1＋2k
2
)x
2
＋8kx＋6＝0，
?
?
2
＋y＝1，<
br>3
Δ＝64k
2
－4×6×(1＋2k
2
)>0，∴k
2
>.
2
由题意可知，|x
M
|＝λ|x
N
|，
xM
∴λ＝|，∵M，N在y轴同侧，不妨设x
M
，x
N
>0，
x
N
2
1x
M
x
N
x
2
32k
2
M
＋x
N
∴λ＋＝＋＝＝－2
λx
N<
br>x
M
x
M
x
N
3?1＋2k
2
?<
br>
＝
10
32
2，
?
， －2∈
?
3
??
1
?
＋2
3
?
?
k
2?
1101
∴2<λ＋
<
，∴
<λ<3且λ≠1.
λ
33
1
?
∵M在F，N之间，∴λ<1，∴λ的取值范围是
?
?3
，1
?
.
21．(12分)设函数f(x)＝ax
3
＋bx
2
－3a
2
x＋1(a，b∈R)在x＝x
1
，x
＝x
2
处取得极值，且|x
1
－x
2
|＝2.
(1)若a＝1，求b的值，并求f(x)的单调区间；
(2)若a>0，求b的取值范围．
解析 (1)当a＝1时，f′(x)＝3x
2
＋2bx－3，
由题意知x
1
，x
2
为方程3x
2
＋2bx－3＝0的两根，
4b
2
＋36
所以|x
1
－x
2
|＝.由|x<
br>1
－x
2
|＝2，得b＝0，
3
从而f(x)＝x
3
－3x＋1，f′(x)＝3x
2
－3＝3(x＋1)(x－1)．
当x∈(－1,1)时，f′(x)<0；
当x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f′(x)>0.
故f(x)在(－1,1)上单调递减；
在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增． <
br>(2)由题意知x
1
，x
2
为方程3ax
2
＋2bx
－3a
2
＝0
4b
2
＋36a
3
的两根，所以|x
1
－x
2
|＝.
3a
从而|x
1
－x<
br>2
|＝2?b
2
＝9a
2
(1－a)，由上式及题设知0b
2
＝9a
2
(1－a)＝
99
?a＋a
＋2－2a?
3
4
a×a×(2－2a)≤
×＝，
222734
－23
23
0，
?
，即b的取值范围为所以b
2∈
?
，
.,22.(12分)已知动点M到点F(1,0)
?
3
?
33
的距离等于它到直线x＝－1的距离．,(1)求点M的轨迹C的方程；,(2
)过点F任意作互相垂
直的两条直线l
1
，l
2
，分
别交曲线C于点A，B和M，N.设线段AB，MN的中点分别为P，
Q，求证：直线PQ恒过一个定点
；,(3)在(2)的条件下，求△FPQ面积的最小值．
解析 (1)设动点M的坐标为(x，y)
，,由题意得?x－1?
2
＋y
2
＝|x＋1|，化简得y
2
＝4x，,
∴点M的轨迹C的方程为y
2
＝4x.,(2)设A，B两点坐标分别为
(x
1
，y
1
)，(x
2
，y
2
)，,则
点P的
坐标为
?
x
1
＋x
2
y
1
＋y
2
?
?
2
，
2
?
.
由题意可设直线l
1
的方程为y＝k(x－1)(k≠0)，
2
?
?
y
＝4x，
由
?
得k
2
x
2<
br>－(2k
2
＋4)x＋k
2
＝0，
?
?
y＝k?x－1?，
Δ＝(2k
2
＋4)<
br>2
－4k
4
＝16k
2
＋16>0.
∵直线l
1
与曲线C交于A，B两点，
44
∴x
1
＋x
2
＝2＋
2
，y
1
＋y
2
＝k(x
1
＋x
2
－2)＝.
kk
22
1＋
2
，
?
.
∴点P的坐标为
?
?
kk
?
1
由题意知，直线l
2
的斜率
为－
，
k
同理可得点Q的坐标为(1＋2k
2
，－2k)．
2
当k≠±1时，有1＋
2
≠1＋2k
2
，
k<
br>2
＋2k
k
k
此时直线PQ的斜率k
PQ
＝
＝
.
2
1－k
2
2
1＋
2
－1－2k<
br>k
∴直线PQ的方程为y＋2k＝
k
(x－1－2k
2
)，
2
1－k
k
整理得y＝
(x－3)，于是，直线PQ恒过定点E(3
,0)；
1－k
2
当k＝±1时，直线PQ的方程为x＝3，也过点E(3,0)．
综上所述，直线PQ恒过定点E(3,0)．
(3)可求得|EF|＝2，
21<
br>1
＋2|k|
?
＝2
?
＋|k|
?
≥4，
∴S
△
FPQ
＝
|FE|
?
?
|k|
??
|k|
?
2
当且仅当k＝±1时，“＝”成立，
∴△FPQ面积的最小值为4.
由Ruize收集整理。
感谢您的支持！