高中数学 指数-高中物理竞赛和高中数学竞赛难
第三章 3.2
1．函数y＝x
2
的斜率等于2的切线方程是( C )
A．2x－y＋1＝0
B．2x－y＋1＝0或2x－y－1＝0
C．2x－y－1＝0
D．2x－y＝0
解析
设切点为P(x
0
，y
0
)，∵y′＝(x
2
)′＝2x，
∴y′|x＝x
0
＝2x
0
.由题意得2x
0
＝2
，解得x
0
＝1，
而y
0
＝x
2
0
＝1，故切点为P(1,1)，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
2．若指数函数f(x)＝a
x
(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln
27，则f′(－1)＝( C )
A．2
ln 3
C．
3
B．ln 3
D．－ln 3
解析
f′(x)＝a
x
ln a，则f′(1)＝aln a＝ln 27，解得a＝3，
ln 3
－
∴f′(x)＝3
x
ln
3，故f′(－1)＝3
1
ln 3＝.
3
3．直线y＝kx是曲线y＝ln x的切线，则k＝( C )
A．e
1
C．
e
B．－e
1
D．－
e
1xx
解析
设切点坐标为(x
0
，y
0
)，则k＝(ln x)′|x＝x
0<
br>＝
，代入y＝kx得y＝，又y＝过
x
0
x
0
x0
1
(x
0
，y
0
)，故y
0
＝1，
又切点在曲线y＝ln x上，所以y
0
＝ln
x
0
＝1，所以x
0
＝e，∴k＝.
e
4．曲线f(x)＝aln
x(a>0)在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a
＝____8____.
a
解析 ∵f(x)＝aln x，∴f′(x)＝，∴f′(1)＝a.
x
又∵f(1)＝0，故切点坐标为(1,0)，
∴切线方程为y＝a(x－1)，令y＝0，得x＝1，
令x＝0，得y＝－a，又∵a>0，
1
∴切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×a×1＝4，∴a＝8.
2
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