高中数学近年来变化-高中数学必修一知识点总结框架图
第三章《导数及其应用》单元测试题
选择题（本大题共
10 小题，共
50 分，只有一个答案正确）
2
x
2
一、
1．函数
f
( x )
的导数是（
(B)
）
2
(A)
f
( x )
4
x
x
e
x
f
( x
)
4
x
(C)
f
( x)
8
2
x
(D)
f
( x )
16
x
2．函数
f
( x )
x
的一个单调递增区间是（
f
( x)， g ( x
)
）(A)
1,0
(B)
2 ,8
(C)
0
0
1,2
(D)
0,
2
3．已知对任意实数
0
时（
x ，有
f ( x )
g ( x )
，且
x
0
时，
f
( x)
0，
g ( x )
0
，则
） A．
f ( x)
C ．
f
( x )
x
3
3bx
0，
g ( x )
0
0， g ( x)
B．
f ( x )
0， g ( x )
D．
f ( x )
0， g ( x)
）
0
4．若函数
f ( x )
（ A）
0
b 1
3 b
在
0,1
内有极小值，则（
（ B）
b 1
（ C）
b 0
（
D）
b
1
2
4
5．若曲线
y
）
x
的一条切线
l
与直线
x
4
y
8 0
垂直，则
l
的方程为（
A．
4 x y 3 0
B ．
x 4
y 5 0
C ．
4 x y 3 0
D ．
x 4 y 3 0
e
x
在点
(2 ， e
2
)
处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（
6．曲线
y
）
Ａ．
9
e
2
4
Ｂ．
2 e
2
Ｃ．
e
2
Ｄ．
和
e
2
2
7．设
f ( x )
是函数
f
( x)
的导函数，将
y
能正确的是（
）
f
( x ) y
f ( x )
的图象画在同一个直角坐标系中，不可
8．已知二次函数
f ( x)
则
f
(1)
的最小值为（
ax
2
bx
c
的导数为
B．
f '( x )
，
f
'(0)
0
，对于任意实数
x 都有
f ( x )
0
，
） A．
3
5
2
f '(0)
．
2
C
．
3
D
2
9．设
p : f ( x )
e
x
ln
x
2 x
2
m x
1
在
(0 ，
)
内单调递增，
q : m
≥
5
，则
p
是
q
的（
）
Ａ．充分不必要条件
Ｂ．必要不充分条件Ｃ．充分必要条件
）
y
Ｄ．既不充分也不必要条件
10． 函数
f ( x )
的图像如图所示，下列数值排序正确的是（
（A） 0
（B）
0
（C） 0
（D） 0
f
(2 )
f
f
(3)
f
(3)
f
(3)
f
(3)
f
(3)
f
(2 )
f
f
(3)
f
(2)
(2)
(2)
f
(3)
f
(2 )
f
f (2
)
f
(2)
(3)
O
1 2 3
4
x
二．填空题（本大题共
11．函数
f ( x )
x
4 小题，共
20 分）
3
x ln
x ( x
0)
的单调递增区间是＿＿＿＿．
12 x
8
在区间
[ 3,3]
12．已知函数
f ( x )
13
．点 P 在曲线
y
上的最大值与最小值分别为
P
处的切线的倾斜角为为
M , m
，则
Mm
＿＿．
3
x
x
2
上移动，设在点
3
，则
的取值范围是
14 ． 已 知 函 数
y
)
上总是单调函数，则
a 的取值范围
是
（ 3）若函数在区间（ -3， 1）上单调递减，则实数
a 的取值范围是
1
x
3
x
2
ax
3
.
(2)若函数在
[1,
5
(1)若函数在,
总 是
单 调 函 数 ， 则 a 的 取 值 范 围
.
.
三．解答题（本大题共
4 小题，共 12+12+14+14+14+14=80 分）
15．用长为
18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为
体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
2： 1，问该长方
16．设函数
f ( x ) 2 x
3
3 ax
2
3bx 8 c
在
x
1
及
x
2
时取得极值．
（ 1）求 a
、
b
的值；（ 2）若对于任意的
x
[0 ，3]
，都有
f ( x ) c
2
成立，求
c
的取值范围．
3
17．设函数
f ( x )
为
（ x
1
, f (
x
1
)）
、
（ x
2
x3 x 2
分别在
x
1
、 x
2
处取得极小值、极大值
.
xoy
平面上点
A、
B
的坐标分别
, f (
x
2
)）
，该平面上动点
P
满足
PA
? PB 4
,点
Q
是点
P
关于直线
y 2( x 4)
的对
称点， .求 (Ⅰ )求点
A、 B
的坐标；
(Ⅱ
)求动点
Q
的轨迹方程
.
3
2
18. 已知函数
f ( x
)
（ 1）求曲线
y
2 x3 x
3.
f ( x )
在点
x
2
处的切线方程；
（ 2）若关于 x 的方程
f
x
m
0 有三个不同的实根，求实数
m 的取值范围 .
19．已知
f (
x)
ax
3
(a 1) x
2
4 x
1 a R
（ 1）当
a
（ 2）当
a
3
1
时，求函数的单调区间。
R
时，讨论函数的单调增区间。
（
3）是否存在负实数
a ，使 x
1,0
，函数有最小值－
3？
20．已知函数 f
xx
a
2
x
， g
x
x
ln
x ，其中
a 0
．
（ 1）若
x
1
是函数
h
x
f x
g
x
的极值点，求实数
a 的值；
（2 ）若对任意的 x
1
, x
2
取值范围．
1， e （ e 为自然对数的底数）都有
f x
1
≥
g
x
2
成立，求实数
a
的
第三章《导数及其应用》单元测试题答案
一、选择题
CABAA
DDCBB
二、 11．
1
,
12． 32
13．
0,
3
,
14. (1)
a
18
1; ( 2 )a
3;
(3 )a
3 .
3
0＜ x ＜
e
2
4
12 x
三、解答题
15. 解：设长方体的宽为
x（ m），则长为
2x(m) ，高为
h
3
4
4 .5
3 x(m)
.
2
故长方体的体积为
V
x
x
2
(
)
2
x
2
x
(4.5 3
) 9
x
3
6
(m )
＜
x ＜ ).
( 0
2
3
从而
V
(
x
)
18
x
18
x
2
(4.5
3
x
)
18
x
(1
x
).
令 V′（ x）＝ 0，解得
x=0（舍去）或
x=1，因此
x=1.
当 0＜ x＜1 时， V ′（ x）＞ 0；当 1＜ x＜
时， V′（ x）＜ 0，
3
2
故在 x=1 处 V（
x）取得极大值，并且这个极大值就是
V（ x）的最大值。
2 3 3
从而最大体积 V＝ V′（
x）＝ 9×
1
-6× 1
（ m
），此时长方体的长为
2 m，高为 1.5 m.
答：当长方体的长为
2 m
时，宽为
1 m，高为
1.5 m 时，体积最大，最大体积为
2
3 m
3
。
16．解：（ 1）
f ( x ) 6 x
因为函数
f ( x
)
在
x
1
及
x
即
6
24
6 a
3b 0
6 ax
3b
，
2
取得极值，则有
f (1)
0
，
f
(2)
0
．
，
3 b
解得
a
3
，
b
4
．
12 a
0
．
f ( x )
3
2
（ 2）由（Ⅰ）可知，
f ( x )
6 x
2
18 x
12
(0 ，1)
时，
f ( x)
2
x
9 x
12 x
8c
，
6( x 1)(
x 2)
．
当
x
0
；当
x
(1，2)
时，
f
( x
)
0
；当
x
f
(1)
f
(3)
5
8c
，又
f (0)
(2 ，3)
时，
f
( x)
0
．
所以，当
x
则当
x
1
时，
f ( x )
取得极大值
8c
，
f (3)
9
8 c
．
0，3
时，
f ( x)
的最大值为
x
0，3
，有
f ( x )
， 1)
(9 ，
3
(
x
9
8 c
．
因为对于任意的
c
2
恒成立，所以
)
．
9
8c
c
2
，解得
c
1
或
c
9
，
因此 c
的取值范围为
(
17．解 : (1)令
f ( x
)
当
x
1
时
,
f
( x )
3 x
1
x
2
2 )
3x
3
0
解得
x
0
,当
x
1或
x
1
时
,
f ( x )
1
0
,
当
1
时
,
f ( x )
0
所以 ,函数在
x
1
处取得极小值
,在
x
1
取得极大值 ,故 x
1
1,0 ), B(1, 4)
.
1, x
2
1 ,
f (
1)
0 ,
f (1)
2
4
所以 ,
点 A、 B 的坐标为
A(
2
(2) 设
p (m , n)
，
Q ( x, y )
， PA
k
PQ
1
2
，所以
y
x
2
n
m
1
PB
1
m, n
1
2( x
m, 4
n
m
，又 PQ
的中点在
y
4)
上，所以
y
1
n
n
4 n
m
2
4
2
x
4
2
2
2
消去
m , n
得
x
8
y
2
另法：点 P
的轨迹方程为
2
9
.
n
2
2
9,
其轨迹为以（
， ）为圆心，半径为
的圆；设点（
0
2
3
，
0
2
）关于 y=2(x-4)
的对称点为 (a,b),则点 Q 的轨迹为以 (a,b), 为圆心，半径为
3
的圆，由
b
a
2
0
1
，
2
b 2
2
2
a
2
0
4
得 a=8,b=-2
2
18．解（
1）
f
( x )
6 x
6 x , f (2) 12,
f
(2)
∴曲线
y
f ( x)
在
x
2
处的切线方程为
y 7
（ 2）记
g ( x )
2 x
3x
令
g ( x)
0
或1.
0, x
3
2
2
,,,,,,,,,
12( x
2)
，即
12 x
7,
2 分
y
17 0
；,,
4 分
m
3, g ( x )
6 x
6 x 6 x ( x
1)
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
6
分
则
x , g ( x), g ( x)
的变化情况如下表
x
(
, 0)
0
0
(0,1)
1
0
(1,
)
g
( x )
g ( x )
极大
极小
0
0
m
m
当
x
0, g ( x )
有极大值
m
3;
x
1, g ( x)
有极小值
m
g (0)
2
.
,,,,,,,,,
10 分
由
g ( x )
的简图知，当且仅当
,
即
3
2
g (1)
0
,
3
m
0
2
时，
函数
g ( x )
有三个不同零点，过点
所以若过点
A
可作曲线
y
．（
）
x
A
可作三条不同切线
.
,
f (x)递减
x
2
, 2
,
或
x
f ( x )
的三条不同切线，
m 的范围是
(
2 ,
2 ,2
,
0 ,
x
f ( x)递增
（ 2） 1、当
a
3,
2)
. ,,,,
0,
,2 ,
或
x
14 分
19
x
1
2
a
,,
f (x)
递
,
2 ,
f (x)
递增
;2、当
a
1, x
,
,2
,
f (x)
递增
;3、当
0
a
a
1,
x
增
当
a
,
f
(x)递增
;当
a
1,
x
2
, ,
或
x
a
2 ,
,
f (x)递增
;（
3）因
a
0 , 由②分两
[-1,0] 上是分类“契机”：
类（依据：单调性，极小值点是否在区间
2
1、当
1,
a
2,
x
1 ,0
2
,2 ,
f
(x) 递增， f (x)
min
f (
1)
3，解得
a
a
1 ,
21
a
a
3
4
2,
2、当
a
2
2,
由单调性知：
f (x)
min
a
3
6
2
f (
)
3，化简得：
3 a
2
a
为所求。
3a
1
0
，解得
2,
不合要求；综上，
a
3
4
2
20． （ 1）解法 1：∵ h
x
2 x
a
x
ln x ，其定义域为
0，
，
a
2
2
1
∴ h
x
2
x
．
x
2
∵
x
∵
a
1
是函数
h
x
的极值点，∴
h
1
0，即
3
a
0
．
0
，∴
a
3
．
3
时，
x
x
经检验当
a
1
是函数
h
x 的极值点，∴
a
3
．
解法 2：∵ h
a
2
2 x
2
ln
x
，其定义域为
x
0 ，
a
2
2
2
1
x
，∴ h
a
2
x
．
x
令 h
x
0 ，即
2
a
x
2
2
1
0 ，整理，得
2 x
2
x
x
0
．
∵
1
8 a
0
，
2
2
∴ h
x
0 的两个实根
x
1
1
1
8 a
4
（舍去），
x
2
1
1
8 a
4
，
当 x 变化时， h
x
， h
x
的变化情况如下表：
2
x
h
x
h x
2
0, x
2
—
x
2
x
2
,
0
＋
极小值
依题意，
1
1
8a
4
1 ，即
a
3
，
∵
a
0
，∴
a
3
．
（ 2 ）解：对任意的
f
x
1
, x
2
．
max
1， e
都有
f
x
1
≥
g
x
2
成立等价于对任意的
x
1
, x
2
1，
e
都有
x
min
≥
g
x
1
1
当 x
［ 1， e ］时，
g
x
max
∴
．
x
0
．∴函数
g
x
x
ln
x 在 1， e
上是增函数．
g
x
g
e
e
1
2
∵ f
x
1
a
x
2
x
a
x
x
2
a
，且
x
1, e ，
a 0
．
2
①当
0
a 1
且 x
［1， e ］时， f
x
x
a
x
2
a
∴函数 f
x
x
a
2
x
0
，
在［ 1， e
］上是增函数，∴
f
x
min
f 1
1
a
x
.
由
1
a
2
≥
e
1
，得 a ≥
②当 1≤ a ≤ e 时，
若 1≤ x ＜ a ，则 f
x
e
，又
0
a 1
，∴ a 不合题意．
x
a
x
2
x
a
0 ，若 a ＜ x ≤ e ，则 f
x
x
a
x
2
x a
0 ．
∴函数 f
x
x
a
2
在 1, a
上是减函数，在
a， e
上是增函数．
min
x
f
a
∴
f
x
2
a
.
由
2 a
≥
e 1
，得
a
≥
③当 a
e 且 x
e
1
，又 1 ≤ a ≤ e ，∴
e 1
x
2
≤ a ≤ e
．
2
2
x
a
x
a
［ 1， e ］时， f
∴函数 f
2
x
x
a
2
x
0
，
在 1，
e
上是减函数．∴
f
x
min
f
e
e
a
2
.
x
e
由
e
a
≥
e 1
，得
a
≥
e
，又
a
e ，∴ a e ．
e
综上所述， a
的取值范围为
e
1
2
,
．
第三章
导数及其应用
知识点总结
0
f
x
2
x
2
f
x
1
0
x
1
1、函数
f
x
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
2、导数定义：
f
x
在点
x
0
处的导数记作
y
x
x
f ( x
0
)
lim
x
0
f
( x
0
x ) f
x
(
x)
；．
3、函数 y
f
x
在点
x
0
处的
导数的几何意义是曲线
y
f
x
在点
x
0
, f
x
0
处的切线的斜率
．
4、常见函数的导数公式：
①
C
'
0
；②
( x
n
)
'
nx
n
1
；
③
(
sin x)
'
cos
x
；④
(cos
x )
'
sin
x
；
⑤
(a
x
)
'
a
x
ln a
；⑥
( e
x
)
'
e
x
；
⑦
(log
a
x
)
'
1
；⑧
(ln
x )
'
1
x ln a
x
5、导数运算法则：
1
f
x
g x
f
x
g
x
；
2
f x
g x
f x g x
f x g
x
；
f
x
f
x g
x
f
x
g
x
2
g
x
0
3
g
x
g
x
．
6、在某个区间
a,
b
内， 若 f
x
0 ，则函数 y
f
x 在这个区间内单调递增；
若
f
x
0 ，则函数 y
f
x
在这个区间内单调递减．
7、求函数
y
f
x
的极值的方法是：
解方程 f
x
0 ．当 f
x
0
0 时：
1
如果在
x
0
附近的 左侧 f
x
0 ，右侧 f
x
0
，那么 f
x
0
是极大值；
2
如果在
x
0
附近的 左侧
f
x
0 ，右侧 f
x
0 ，那么 f
x
0
是极小值．
8、求函数 y
f
x
在
a, b
上的最大值与最小值的步骤是：
1
求函数 y
f
x
在 a , b 内的极值；
2
将函数 y
f
x
的各极值与端点处的函数值
f
a
， f
b
比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：
最优化问题。
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【文科测试解答
】
一、选择题
1．
f
2
(
x
)
2
x
4
2
x
2
,
f ( x)
2 4
2
x
f ( x )
8
2
x
2．
f (
x)
x
x
x
1 e
x
x e
x
1 x e
x
e
x
.
f
( x )
，
2
0,
x
x
2
x
1
选(A)
e
e
e
3.(B) 数形结合
4.A 由
f
( x)
3 x
2
3b
3 x
2
b
,依题意，首先要求
b>0,
所以
f
( x )
3 x
b xb
由单调性分析，
x
b
有极小值，由
x
b
0 ,1
得 .
5．解：与直线
x
4 y
8
0
垂直的直线
l
为
4 x y
m
0
，即
y
x
4
在某一点的导数为
y4 x
3
，所以
y
x
4
在(1 ， 1) 处导数为
4，此点的切线为
4 x y
3
0
，故选
A
6．（ D）
7．（ D）
8．（ C）
9．（
B）
10． B 设 x=2,x=3
时曲线上的点为
AB,点 A 处的切线为
AT
点 B 处的切线为
BQ，
T
f ( 3)
f (
2)
k
f (3)
f (
2)
3
2
AB
y
B
f ( 3)
k
BQ
,
f
( 2 )
k
AT
,
A
如图所示，切线
BQ
的倾斜角小于
直线 AB 的倾斜角小于
Q
切线 AT 的倾斜角
k
BQ
k
AB
k
AT
O
1234
x
所以选
B
11．
1
,
e
12． 32
13．
0,
3
,
2
4
14. (1)
a
1; (2 ) a3; ( 3)
a
3.
三、解答题
15.
解：设长方体的宽为 x（
m），则长为 2x(m) ，高为
h4 .5
3
18
12 x
3 x (m)
0＜ x＜
.
4
2
故长方体的体积为
V x
2
x
2
x
)
9
x
2
6
x
3
3
(
)
(4.5 3
(m )
( 0
＜ x ＜
3
).
2
从而
V
(
x
)
18
x
18
x
2
(4.5
3
x
)
18
x
(1
x
).
令 V′（ x）＝ 0，解得 x=0（舍去）或
x=1，因此
x=1.
当 0＜ x＜1 时， V ′（ x）＞ 0；当 1＜ x＜
2
时， V′（ x）＜ 0，
3
故在
x=1 处 V（ x）取得极大值，并且这个极大值就是
V（ x）的最大值。
4，而
2 3 3
从而最大体积
V＝
V′（ x）＝ 9×
1 -6× 1 （ m ），此时长方体的长为
2 m，高为 1.5 m.
答：当长方体的长为
2 m
时，宽为
1 m，高为 1.5 m 时，体积最大，最大体积为3
m
3
。
2
16．解：（ 1）
f
( x )
6 x
6 ax
3b
，
因为函数
f ( x )
在
x 1
及
x
2
取得极值，则有
f (1) 0
，
f (2)0
．
即
6 6 a
3b
，
0
24
12 a
3 b
0
．
解得
a
3
，
b
4
．
3
2
（ 2）由（Ⅰ）可知，
f ( x ) 2
x
12 x 8c
9 x
，
2
f ( x )
6 x
18
x 12
6( x 1)( x
2)
．
当
x
(0 ，1)
时，
f
( x)
0
；
当
x
(1，2)
时，
f
( x)
0
；
当
x (2 ，3)
时，
f ( x ) 0
．
所以，当
x 1
时，
f ( x )
取得极大值则当
f (1)
5
8c
，又
f (0)
8c
，
f (3)9 8
c
．
x 0，3
时，
f ( x)
的最大值为
f (3)
9
8 c
．
因为对于任意的
x
0，3
，有
f ( x )
c
2
恒成立，
所以
9
8
c
c
2
，
解得
c
1
或
c
9
，
因此 c
的取值范围为
(
， 1)
(9 ，
)
．
17．解 : (1)令
f ( x )
( x
3
3 x
2 )
3x
2
3
0
解得
x
1或 x
1
当
x
1
时
,
f ( x
)
0
,
当
1
x
1
时
,
f ( x )
0
,当
x
1
时
,
f
( x )
0
所以 ,函数在
x
1
处取得极小值
,在
x
1
取得极大值 ,故 x
1
1, x
2
1 ,
f (
1)
0 ,
f (1)
4
所以 , 点
A、B的坐标为
A(
1,0 ), B(1, 4)
.
(2) 设
p (m , n)
，
Q ( x, y )
，
PA
PB
1 m,
n
1
m,
4
n
m
2
1
n
2
4 n
4
k
1
y
n
1
PQ
，所以
，又 PQ 的中点在
y
2( x
4)
上，所以
y
n
2
x
m
4
2
x
m
2
2
2
消去
m , n
得
x
的轨迹方程为
8
2
y
2
2
另法：点 P
n
2
9
.
2
m
2
9,
其轨迹为以（
，
）为圆心，半径为
的圆；设点（
0
2
3
2）关于
y=2(x-4) 的对称点为 (a,b),则点 Q 的轨迹为以 (a,b),
为圆心，半径为
3 的圆，由
b
2
a
0
b
2
4
2
a
0
得
a=8,b=-2
2
2
18．解（ 1）
f
( x )
6 x
2
6 x
, f
(2)
12,
f (2)
7,
,,,,,,,,,
2 分
∴曲线
y
f ( x)
在
x
2
处的切线方程为
y 7
12( x 2)
，即
12 x
y
17
0
；,,
4
分
（ 2）记
g ( x )
2 x
3
3x
2
m 3, g ( x )
6 x
2
6 x 6 x ( x 1)
令
g
( x)
0, x
0
或1.
,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,
6
分
则
x , g ( x), g (
x)
的变化情况如下表
x
(
,
0)
0
(0,1)
1
(1,
)
g ( x )
0
0
，
0
，
2
1
g ( x )
极大
0, g ( x )
有极大值
m 3; x
g (0)
g
(1)
极小
1, g ( x)
有极小值
m
2
.,,,,,,,,,
0
,
0
当
x
10
分
由
g ( x )
的简图知，当且仅当
m 3
即
0
, 3 m
m 2
函数
0
g ( x )
有三个不同零点，过点
A
可作曲线
y
2
时，
A
可作三条不同切线
.
所以若过点
f ( x )
的三条不同切线， m 的范围是
( 3, 2)
.
,,,,
14 分
19．（ 1）
x
x
, 2
,
或
x
2 ,
,
f (x)递减
x
2 ,2
,
f ( x)递增
;
（ 2） 1、当 a
0,
2
a
,
,
f (x)
递
,
2 ,
f (x)
递增
;2、当
a
a
1, x
,
0 ,
x
;
,2
,
f (x)
递增
;3、当
0
a
2
a
1,
x
2 ,
,
,
或
x
,2
增 当
a
,
f (x)
递增 当
1,
x
2
, ,
或
x
f (x)
递增 （ 3）因
a
0 ,
由②分两
a
[-1,0]
上是分类“契机”：
类（依据：单调性，极小值点是否在区间
2
1、当
1 ,0
2
,2
,
f (x) 递增， f
(x)
min
f ( 1)
3，解得
a
1,
a
2, x
a
1 ,
a
3
6
21
a
a
3
4
2,
2、当
a
2
2,
由单调性知：
f (x)
min
f
(
2
)
3，化简得：
3 a
2
3a 1
a
3
不合要求；综上，
为所求。
2,
a
0
，解得
4
2
20． （ 1）解法 1：∵ h
x
2 x
．
a
x
ln x
，其定义域为
0，
，
∴ h
x
2
a
2
2
1
∵
x
∵
a
x
x
1
是函数 h
x
的极值点，∴
h
1
0
，∴
a
3
0，即
3
a
2
0
．
．
经检验当
a
∴
a
3
时，
x
1
是函数
h
2
x
的极值点，
3
．
a
解法
2：∵ h
x
2
x
2
a
x
ln x ，其定义域为
0 ，
，
1
x
∴ h
x
2
x
2
．
2
令
h
x
0
，即
2
a
x
2
2
1
x
0
，整理，得
2 x
2
x
a
2
0
．
∵
1
8 a
0
，
∴ h
x
0 的两个实根
x
1
1
1
4
8
a
2
（舍去）， x
2
11 8
a
2
，
4
当 x 变化时， h x
，
h
x
的变化情况如下表：
2
x
2
0,
x
2
—
x
2
x
2
,
h
x
h
x
0
＋
极小值
1
1
8a
4
依题意，
1 ，即
a
3
，
∵
a
0
，∴
a
3
．
（ 2 ）解：对任意的
x
1
, x
2
1， e
都有
f
x
1
≥
g
x
2
成立等价于对任意的
x
1
, x
2
1， e 都有
≥
f
x
．
min
g x
max
当 x
［ 1， e ］时，
g
x
1
1
0
．
x
∴函数 g
x
x
ln
x 在
1， e
上是增函数．
∴
g
x
max
g
e
e
1
．
2
∵ f
x
1
a
2
xa
a
2
x
，且 x
1, e ，
a 0
．
x
x
x
a
x
a
①当
0
a
1
且
x
［1， e ］时，
f
x
0 ，
x
2
2
∴函数 f
x
x
a
在［ 1， e ］上是增函数，
x
∴
f
x
f
1
1
a
2
.
min
由
1 a
2
≥
e
1
，得
a
≥
e
，
又
0
a
1
，∴
a
不合题意．
②当 1≤ a ≤
e 时，
若 1≤ x ＜ a ，则
f
x
a
x
a
0 ，
x
2
x
若 a ＜
x ≤ e ，则 f x
x
a
x
a
x
2
0 ．
2
∴函数 f
x
x
a
在 1, a
上是减函数，在
a， e
上是增函数．
x
∴
f
x
f
a
2 a
.
min
e
1
由
2 a
≥
e
1
，得
a
≥
，
2
又 1≤ a ≤ e ，∴
e
1
≤ a ≤ e ．
2
③当 a
e 且 x
［ 1， e ］时，
x a
x
a
f
x
2
0
，
x
2
∴函数
f x
x
a
在
1， e
上是减函数．
x
2
∴
f
x
f
e
e
a
.
min
e
由
e
a
2
≥
e
1
，得
a
≥
e
，
e
又 a
e ，∴
a
e ．
综上所述， a
的取值范围为
e
1
,
．
2
导数及其应用
知识点总结
f x
2
f
x
1
1、函数
f
x
从
x
1
到
x
2
的平均变化率：
x
2
x
1
2、导数定义：
f
x
在点
x
0
处的导数记作
y
xx
f ( x
0
)
lim
f
( x
0
x ) f
( x
0
)
；．
0
x
0
x
3、函数 y
f
x
在点
x
0
处的
导数的几何意义是曲线
y
f x
, f
x
0
在点
x
0
处的切线的斜率
4、常见函数的导数公式：
①
C
'
0
；②
( x
n
)
'
nx
n
1
；
③
(
sin x)
'
cos
x
；④
(cos
x )
'
sin x
；
⑤
(a
x
)
'
a
x
；⑥
( e
)
e
；
ln a
x
'
x
⑦
(log
1
a
x )
'
；⑧
(ln
x )
'
1
x ln a
x
5、导数运算法则：
1
f
x
g
x
f
x
g
x
；
2
f x g x
f x
g x
f x g x
；
f
x
f
x
g
x
f
x
g
x
2
g
x
0
3
g
x
g
x
．
6、在某个区间
a,
b
内， 若 f
x
0 ，则函数 y
f x
在这个区间内单调递增；
若 f
x
0 ，则函数 y
f
x
在这个区间内单调递减．
7、求函数 y
f
x
的极值的方法是：
解方程 f
x
0 ．当 f
x
0
0 时：
1
如果在
x
0
附近的 左侧
f
x
0 ，右侧 f
x
0 ，那么 f
x
0
是极大值；
2
如果在
x
0
附近的 左侧
f
x
0 ，右侧 f
x
0 ，那么 f
x
0
是极小值．
8、求函数 y
f
x
在
a, b
上的最大值与最小值的步骤是：
1
求函数 y
f
x
在 a ,
b
内的极值；
．
2
将函数 y
f x
的各极值与端点处的函数值
最优化问题。
f a
， f
b
比较，其中最大的一个是最大值，最
小的一个是最小值．
9、导数在实际问题中的应用：
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