[2020高中数学]人教A版选修1-1教案：1.4全称量词与存在量词(含答案)

§1.4.1 全称量词与存在量词
【学情分析】：
1、 本 节内容主要是通过丰富的实例,使学生了解生活和数学中经常使用的两类量词(全称量词和存在
量词)的 含义, 会判断含有一个量词的全称或特称命题的真假,会正确写出他们的否定形式,为我们从量的形
式 和范围上认识和解决问题提供了新的思路和方法；
2.全称量词 ：日常生活和数学中所用的“一切的 ”,“所有的”,“每一个”,“任意的”,“凡”,“都”
等词可统称为全称量词,记作
?x
、
?y
等；
3.存在量词：日常生活和数学中所用的“存在”,“有一个” ,“有的”,“至少有一个”等词统称为存
在量词,记作
?x
,
?y
等；
4．含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性称命题；
全称命题的格式：“对M中的所有x,p(x)”的命题,记为:
?x?M,p(x)

存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x
0
,q(x
0
)”的命 题,记为:
?
x
0
∈M,p（ x
0
）
5.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义,能识别全称命题与特称命题.
6．培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义；
（2）过程与方法目标：
能准确地利用全称量词与存在量词叙述数学内容；
（3）情感与能力目标：
培养学生用所学知识解决综合数学问题的能力.
【教学重点】：
理解全称量词与存在量词的意义；
【教学难点】：
全称命题和特称命题真假的判定.
【教学过程设计】：
教
学
环
节
教学活动
问题1：
下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？
（1）x＞3；
（2）2x+1是整数；
（3）对所有的x∈
R
,x＞3；
（4）对任意一个x∈
Z
,2x+1是整数；
设计意图
通过数学实例,理
解全称量词的意义

情
境
引
入

知
识
建
构
定义： 引导学生通过
1．全称量词及表示：表示 全体的量词称为全称量词.表示形式为“所通过一些数学实例
有”、“任意”、“每一个”等.通常用符 号“
?x
”表示,读作“对任意
x
”.
分析,概括出一般特
征.
2．含有全称量词的命题 , 叫做全称命题.
一般用符号简记为“
?x?M,p(x)
”.读作“对任意的x属于M,有p
（x） 成立.（其中M为给定的集合,
p(x)
是关于x的命题.）例如“对
任意实数x,都 有
x
2
?0
”可表示为
?x?R,x?0
.
1、 引导学生阅读教科书P
22
上的例1中每组全称命题的真假,纠正可
能出现的逻辑错误 .

2
自
主
学
习
巩
固
练
习
学
生
探
究
知
识
建
构
：
自
主
学
习
习练堂课
1．课本P
23
练习2


规律：全称命题
?x?M,p(x)
为真,必 须对给定的集合的每一个元
素x,
p(x)
为真,但要判断一个全称命题为假,只要 在给定的集合内找
出一个
x
0
,使
p(x
0
)为假
课本P
23
练习1


问题2：
下列语句是命题吗？（1）与（3）、（2）与（4）之间有什么关系？
（1）2x+1=3；
（2）x能被2和整除；
（3）存在一个x
0
∈
R
,使2x
0
+1=3；
（4）至少有一个x
0
∈
Z
,x
0
能被2和3整除；
定义： 引导学生通过
（1）存在量词及表示:表 示部分的量称为存在量词.表示形式为“有一通过一些数学实例
个”,“存在一个”,“有点”,“有些 ” 、至少有一个等.通常用符号分析,概括出一般特
“
?x
”表示,读作“存在x
”.. 征.
（2）含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式
?
x
0
∈M,p（ x
0
）,
读作 “存 在一个x
0
属于M,有p（x
0
）成立.（其中M为给定的集合,p（x0
）
2
是关于x
0
的命题.）例如“存在有理数x
0< br>,使
x?2?0
” 可表示为
通过数学实例,理
解存在量词的意义




?x?Q,x
2
?2?0
. < br>1、引导学生阅读教科书P
23
上的例2,判断每组特称命题的真假,纠正可
能 出现的逻辑错误.
特称命题
?
x
0
∈M,p（ x
0）为真,只要在给定的集合M中找出一个元素
x
0
,使命题P（x
0）为真,否则为假；
通过实例,使学生
会判断每组特称命
题的真假
通过练习,反馈学

补充练习：
1．判断以下命题的真假：
生对本节课所学知
识理解和掌握的程
度
22
2
（1）
?x?R,x?x
（2）
?x?R,x?x
（3）
?x?Q,x?8?0
（4）

?x?R,x?2?0

2
分析：（1）真；（2）假；（3）假；（4）真；

2．指出下述推理过程的逻辑上的错误：
第一步：设a=b,则有a
2
=ab
第二步：等式两边都减去b
2
,得a
2
-b
2
=ab-b
2

第三步：因式分解得 (a+b)(a-b)=b(a-b)
第四步：等式两边都除以a- b得,a+b=b
第五步：由a=b代人得,2b=b
第六步：两边都除以b得,2=1
分析：第四步错：因a-b＝0,等式两边不能除以a-b
第六步错：因b可能为0,两边不能立即除以b,需讨论.
心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)
?
a+b=b是存在性命题,不是全称命题,由此得
到的结论不可靠.
同理,由2b=b
?
2=1是存在性命题,不是全称命题.

3．判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题,如果是,用量词符号表
达出来.
（1）中国的所有江河都注入太平洋；
（2）0不能作除数；
（3）任何一个实数除以1,仍等于这个实数；
（4）每一个向量都有方向；
分析 ：（1）全称命题,
?
河流x∈{中国的河流},河流
x
注入太平洋；
（2）存在性命题,
?
0∈R,0不能作除数；
x
（3）全称命题,
?
x∈R,
?x
；
1
（4）全称命题,
?
a
,
a
有方向；

小结 1．全称量词及表示：表示全体的量词称为全称量词.表示形式为“所归纳整理本节课所
有”、“任意”、“每一个”等.通常用符号“
?x
”表示,读作“对任意
x
”.
学知识

2．含有全称量词的命题 , 叫做全称命题.
一般用 符号简记为“
?x?M,p(x)
”.读作“对任意的x属于M,有p
（x）成立.（ 其中M为给定的集合,
p(x)
是关于x的命题.）例如“对
2
任意实数x, 都有
x?0
”可表示为
?x?R,x?0
.
2
rr
（1）存在量词及表示:表示部分的量称为存在量词.表示形式为“有一
个”,“存在一个”,“有点 ”,“有些” 、至少有一个等.通常用符号

“
?x
”表示,读作“存在
x
”..
（2）含有存在量词的命题叫做特称命题, 一般形式
?
x
0
∈M,p（ x
0
）,
读作“存在 一个x
0
属于M,有p（x
0
）成立.（其中M为给定的集合,p（x
0
）
是关于x
0
的命题.）例如“存在有理数x
0
,使< br>x
2
?2?0
” 可表示为
?x?Q,x
2
?2?0
.
布置
作业

1． 课本P
26
A组1、2；
2． 完成课后练习

课后练习
1．判断下列全称命题的真假,其中真命题为（ ）
A．所有奇数都是质数 B．
?x?R,x?1?1

C．对每个无理数x,则x
2
也是无理数 D．每个函数都有反函数
2．将“x
2
+y
2
≥2xy”改写成全称命题,下列说法正确的是（ ）
A．
?x,y?R
,都有
x?y?2xy
B．
?x,y?R
,都有
x?y?2xy

C．
?x?0,y?0
,都有
x?y?2xy
D．
?x?0,y?0
,都有
x?y?2xy

3．判断下列命题的真假,其中为真命题的是
A．
?x?R,x?1?0
B．
?x?R,x?1?0

C．
?x?R,sinx?tanx
D．
?x?R,sinx?tanx

4．下列命题中的假命题是（ ）
A．存在实数α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
B．不存在无穷多个α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ
C．对任意α和β,使cos(α+β)=cosαcosβ－sinαsinβ
D．不存在这样的α和β,使cos(α+β) ≠cosαcosβ－sinαsinβ
5．下列全称命题中真命题的个数是（ ）
①末位是0的整数,可以被2整除；
②角平分线上的点到这个角的两边的距离相等；
③正四面体中两侧面的夹角相等；
A．1 B．2 C．3 D．4
6．下列存在性命题中假命题的个数是（ ）
①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形；
A．0 B．1 C．2 D．3
参考答案：
1．B 2．A 3．D 4．B 5．C 6．A
22
2222
2222
2

§1.4.2 全称量词与存在量词
【学情分析】：
（1）通过探究数学中的一些实例,使学生归纳总结出 含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变
化规律；

（2）在 探究的过程中,应引导学生根据全称量词和存在量词的含义,用简洁自然的语言表述含有一个
量词的命题 进行否定；
（3）通过例题和习题的教学,使学生能够根据含有一个量词的命题与它们的否定在形式上 的变化规律,
正确地对含有一个量词的命题进行否定.
【教学目标】：
（1）知识目标：
通过生活和数学中的实例,理解对含有一个量词的命题的否定的意义.能正 确地对含有一个量词的命
题进行否定；
（2）过程与方法目标：
进一步提高利用全称量词与存在量词准确、简洁地叙述数学内容的能力；
（3）情感与能力目标：
使学生体会从具体到一般的认知过程,培养学生抽象、概括的能力.
【教学重点】：
通过探究,了解含有一个量词的命题与他们的否定在形式上的变化规律,会正 确的对含有一个量词的
命题进行否定.
【教学难点】：
正确的对含有一个量词的命题进行否定.
【教学过程设计】：
教
学
环
节
教学活动
判断下列命题是全称命题,还是特称命题,并指出它们的关系.
(1)所有的人都喝水
(2)有的人不喝水
设计意图
回顾旧知,为问题的
引入做准备.
复
习
引
入
探
究
新
知

(3)存在有理数
x
,使
x?2?0
.
(4)不存在有理数
x
,使
x?2?0
.
(5)对于所有实数
a
,都有|a|≥0.
(6)并非对所有实数a.都有|a|≥0.
解:全称命题(1) (4) (5) 存在性命题(2) (3) (6)
(2)是(1)的否定. (4)是(3)的否定. (6)是(5)的否定.
例1、 你能写出下列命题的否定形式吗？
（1） 所有自然数的平方是正数；
（2）
?
x, 5x-12=0；
（3）
?
x,
?
y, x+y＞0.
（4） 有些质数是奇数.
解：（1）的否定：有些自然数的平方不是正数.
（2）的否定：存在实数x不是方程5x-12=0的根.
（3）的否定：存在实数x,对所有实数y,有x+y≤0.
（4）的否定：所有的质数都不是奇数.
引入本节课要讨论的
内容,激发学生探究
新知的兴趣.
2
2

定义：对含有一个量词的命题的否定的形式:
全称命题p：
?x?M,P(x)
的否 定为
?
x
0
∈M,
?
p（ x
0
）,
特称命题q：
?
x
0
∈M,p（ x
0
）,的否定为“
?
x∈M,
?
p（ x）.

通过观察,使学生归
纳总结出含一个量词
的命题与它们的否定
在形式上的变化 规
律.
注
意
与
区
别
(1)命题的否定与命题的否命题是不同的. 提醒学生注意命题的
(2)要正确使用否定词. 否定与命题的否命题
(3)常用否定词的否定. 是不同的
正面词: 等于、大于、 小于、是 、都是、至少一个、至多一个、小于
等于.
否定词:不等于、不大于、不小于、不是、不都是 、一个也没有、 至少
两个、 大于.
1、引导学生阅读教科书P
24
上的例3中每个全称命题,让学生尝试写出这
些全称命题的否定,纠正可能出现的逻辑错误.



2、引导学生阅读教 科书上的例4中每个特称命题,让学生尝试写出这些
特称命题的否定,纠正可能出现的逻辑错误.
1、课本P
26
练习题
2、写出下列命题的否定,判断真假：
（1）一切分数都是有理数；
（2）有些三角形是锐角三角形；
根据含一个量词的 命
题与它们的否定在形
式上的变化规律,学
习对含一个量词的命
题进行否定.
自
主
学
习
巩
固
与
练
习
课
堂
小
结
布
置
作
业

课后练习





通过练习,反馈学生
对本节课所学知识理
解和掌握的程度
（3）
?
x∈
R,
2x+4≥0
（4）
?
x∈
R,
使x+x=x+2
2
解：（1）存在一个分数不是有理数,假命题；
（2）所有的三角形都不是锐角三角形,假命题；
（3）
?
x∈
R,
使2x+4<0,真命题；
（4）
?
x∈
R,
x+x≠x+2,假命题.
2
1.回忆几个概念:全称量词,存在量词,全称命题的概念及表示法
2.含有一个量词的否定
3.语言运用转化,语言用词准确, 书写合理规范.
1、 课本P
26
A组1、2、3；
2、 B组.
3、 课本P
28
A组5、6
4、 B组2.
归纳整理本节课所学
知识

1．全称命题“所有被5整除的整数都是奇数”的否定（ ）
A．所有被5整除的整数都不是奇数
B．所有奇数都不能被5整除
C．存在一个被5整除的整数不是奇数
D．存在一个奇数,不能被5整除
2． 命题“所有自然数的平方都是正数”的否定为（ ）
A. 所有自然数的平方都不是正数 B. 有的自然数的平方是正数
C. 至少有一个自然数的平方是正数 D. 至少有一个自然数的平方不是正数
3． 命题“存在一个三角形,内角和不等于180
0
”的否定为（ B ）
A．存在一个三角形,内角和等于180
0
B．所有三角形,内角和都等于180
0
C．所有三角形,内角和都不等于180
0
D．很多三角形,内角和不等于180
0
4． “
a
2
?b
2
?0
”的含义是（ ）
A．
a,b
不全为0 B．
a,b
全不为0
C．
a,b
至少有一个为0 D．
a
不为0且< br>b
为0,或
b
不为0且
a
为0
5. 命题p：存在实数m,使方程x
2
＋mx＋1＝0有实数根,则“非p”形式的命题是（
A．存在实数m,使得方程x
2
＋mx＋1＝0无实根；
B．不存在实数m,使得方程x
2
＋mx＋1＝0有实根；
C．对任意的实数m,使得方程x
2
＋mx＋1＝0有实根；
D．至多有一个实数m,使得方程x
2
＋mx＋1＝0有实根；
6. “至多四个”的否定为 （ ）
A．至少有四个 B．至少有五个 C．有四个 D．有五个
参考答案：
1．C 2．D 3．B 4．A 5．B 6．B

）