新课标高中数学选修1-2全册学案

统计案例
1.1 回归分析的基本思想及初步应用
1.1.1线性回归的思想方法及应用
课前预习学案

一、课前预习
预习目标：回顾回归直线的求法，并利用回归直线进行总体估计。
二、预习内容
１ ．回归直线：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变
量之间具有线性 相关关系，这条直线叫作回归直线。
求回归直线方程的一般步骤：① ；② ；③
2．典型例题：
研究某灌溉渠道水的流速 与水深 之间的关系，测得一组数据如下：
水深
流速
（1）求


1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10
1.70 1.79 1.88 1.95 2.03 2.10 2.16 2.21
对 的回归直线方程；
时水的流速是多少？ （2）预测水深为1.95

课内探究学案
一、学习目标：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
学 习重点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－
相关指数和残差分析 .
学习难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.
二、学习过程
1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能教出厉害的学生
吗 ？这两者之间是否有关？
2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具
有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据
?作散点图
?
求
回归直线方程
?
利用方程进行预报.
3. 典型例题：
例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高165 165 157 170 175 165 155 170
cm
体重 48 57 50 54 64 61 43 59
kg
求根据一名女大学生的身 高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生
的体重. （分析思路
?
教师演示
?
学生整理）













评注：事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重
y
和身高
x< br>之间的关系并不
能用一次函数
y?bx?a
来严格刻画（因为所有的样本点不共 线，所以线性模型只能近似地
刻画身高和体重的关系）. 在数据表中身高为165cm的3名女大学生 的体重分别为48kg、
57kg和61kg，如果能用一次函数来描述体重与身高的关系，那么身高为 165cm的3名女在
学生的体重应相同. 这就说明体重不仅受身高的影响还受其他因素的影响，把这 种影响的结
果
e
（即残差变量或随机变量）引入到线性函数模型中，得到线性回归模型
y?bx?a?e
，
其中残差变量中包含体重不能由身高的线性函数解释的所有部分. 当残差变量恒等于0
时，线性回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，
线性回归模型是一次函数模型的一般形式.

4．相关系数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点< br>图越接近一条直线，这时用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是
有意义 .

5. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.

课后练习与提高
1.对具有相关关系的两个变量统计分析的一种常用的方法是（ ）
A．回归分析 B.相关系数分析 C.残差分析 D.相关指数分析
2.在画两个变量的散点图时，下面叙述正确的是（ ）
A．预报变量在 轴上，解释变量在 轴上
B.解释变量在 轴上，预报变量在 轴上
C.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
D.可以选择两个变量中任意一个变量在 轴上
3.两个变量相关性越强，相关系数 （ ）
A．越接近于0 B.越接近于1 C.越接近于－1 D.绝对值越接近1
4.若散点图中所有样本点都在一条直线上，解释变量与预报变量的相关系数为（ ）
A．0 B.1 C.－1 D.－1或1
5.一位母亲记录了她儿子3到9岁的身高，数据如下表：
年龄（岁）
身高（
3
94.8
4
104.2
5
108.7
6
117.8
7
124.3
8
130.8
9
139.0
由此她建立了身高与年龄的回归模型
的身高，则下面的叙述正确的是（ ）
A. 她儿子10岁时的身高一定是145.83
B.她儿子10岁时的身高在145.83
C.她儿 子10岁时的身高在145.83
D.她儿子10岁时的身高在145.83




，她用这个模型预测儿子10岁时
以上
左右
以下
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：金荣辉 审稿人：张林

统计案例
1.1回归分析的基本思想及初步应用
1.1.1线性回归的思想方法及应用
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重 点：了解线性回归模型与函数模型的差异，了解判断刻画模型拟合效果的方法－相关
指数和残差分析.
教学难点：解释残差变量的含义，了解偏差平方和分解的思想.
教学过程：
一、复习准备：
1. 提问：“名师出高徒”这句彦语的意思是什么？有名气的老师就一定能 教出厉害的学生
吗？这两者之间是否有关？
2. 复习：函数关系是一种确定性关系，而相关关系是一种非确定性关系. 回归分析是对具
有相关关系的两 个变量进行统计分析的一种常用方法，其步骤：收集数据
?
作散点图
?
求回归直线方程
?
利用方程进行预报.
二、讲授新课：
1. 教学例题：
① 例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：
编 号 1 2 3 4 5 6 7 8
身高165 165 157 170 175 165 155 170
cm
体重 48 57 50 54 64 61 43 59
kg
求根据一名女大学生的身 高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生
的体重. （分析思路
?
教师演示
?
学生整理）


70
60

50
40

30
20

10
0

150175180
身高cm



第一步：作散点图 第二步：求回归方程 第三步：代值计算
② 提问：身高为172cm的女大学生的体重一定是60.316kg吗？
不一定，但一般可以认为她的体重在60.316kg左右.
③ 解释线性回归模型与一次函数的不同
事实上，观察上述散点图，我们可以发现女大学生的体重
y
和身高
x
之间的关系并不能用一
次函数
y?bx?a
来严 格刻画（因为所有的样本点不共线，所以线性模型只能近似地刻画身
高和体重的关系）. 在数据表中身 高为165cm的3名女大学生的体重分别为48kg、57kg和
61kg，如果能用一次函数来描述 体重与身高的关系，那么身高为165cm的3名女在学生的体
重应相同. 这就说明体重不仅受身高的 影响还受其他因素的影响，把这种影响的结果
e
（即
残差变量或随机变量）引入到线性 函数模型中，得到线性回归模型，其中残
差变量
e
中包含体重不能由身高的线性函数解 释的所有部分. 当残差变量恒等于0时，线性
回归模型就变成一次函数模型. 因此，一次函数模型是线性回归模型的特殊形式，线性回
归模型是一次函数模型的一般形式.
7
6
5
4
3
2
1
0
体
重

k
g
01020
x
3040

2. 相关系 数：相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关关系越强，它们的散点
图越接近一条直线，这时 用线性回归模型拟合这组数据就越好，此时建立的线性回归模型是
有意义.
3. 小结：求线性回归方程的步骤、线性回归模型与一次函数的不同.



学校： 临清一中 学科：数学 编写人：金荣辉 审稿人： 贾志安

1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用
课前预习学案
一、预习目标：回归分析的基本思想、方法及初步应用.
二、预习内容：
1.两个变量有线性相关关系且正相关，则回归直线方程中，
A. B. C. D.
的系数 （ ）
2.两个变量有线性相关关系且残差的平方和等于0，则（ ）
A.样本点都在回归直线上 B.样本点都集中在回归直线附近
C.样本点比较分散 D.不存在规律
课内探究学案
一、学习要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
学习重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
学习难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
二、学习过程
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.

2．为了刻画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大
程度上与随机误差有关？我们引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方
和、回归平 方和.

3．教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
（1）总偏差平方和 ：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即
SST?
?
(y
i
?y )
2
.
i?1
n
残差平方和：回归值与样本值差的平方和，即SSE?
?
(y
i
?y
i
)
2
. < br>i?1
n
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即
SSR?
?
(y
i
?y)
2
.
i?1
n
（2）学 习要领：①注意
y
i
、
y
i
、
y
的区别； ②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量
引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即
?
(y
i
?y)?
?
(y
i
?y
i
)?
?
(y
i
?y)
2
；
22
i?1i? 1i?1
nnn
③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大，此时模型 的拟合效果

越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数
R
2
?1?
?
(y
i?1
n
i?1
n
i?y
i
)
2
来刻画回归
?
(y



4. 典型例题
例2 关于
x
与有如下数据：

x
2 4

y

30 40
i
?y)
2
的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率.
R
2
的值越大，说明残差平方和越小，
也就是说模型拟合的效果越好.
5
60
6
50
8
70
为了对
x
、
Y
两个变量进行统计分析，现有以下两种线性模型：y?6.5x?17.5
，
y?7x?17
，试比较哪一个模型拟合的效果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，也可分别求
出两种 模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.








5.小结：分清总偏差平方和、残差平方和、回归平方和，初步了解如 何评价两个不同模
型拟合效果的好坏.

课后练习与提高
假设美国10家最大的工业公司提供了以下数据：
公司
通用汽车
福特
埃克森
IBM
通用电气
美孚
菲利普·莫利斯
克莱斯勒
杜邦
德士古
销售总额经x
1
百万美元
126974
96933
86656
63438
55264
50976
39069
36156
35209
32416
利润x
2
百万美元
4224
3835
3510
3758
3939
1809
2946
359
2480
2413
（1）作销售总额和利润的散点图，根据该图猜想它们之间的关系应是什么形式；
（2） 建立销售总额为解释变量，利润为预报变量的回归模型，并计算残差；

（3） 你认为这个模型能较好地刻画销售总额和利润之间的关系吗？请说明理由。








学校： 临清一中 学科：数学 编写人：金荣辉 审稿人：张林

1.1.2 回归分析的基本思想及其初步应用
教学要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
教学重点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学难点：了解评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、回归平方和.
教学过程：
一、复习准备：
1．由例1知，预报变量（体重）的值受解释变量（身高）或随机误差的影响.
2．为了刻 画预报变量（体重）的变化在多大程度上与解释变量（身高）有关？在多大程度
上与随机误差有关？我们 引入了评价回归效果的三个统计量：总偏差平方和、残差平方和、
回归平方和.
二、讲授新课：
1. 教学总偏差平方和、残差平方和、回归平方和：
（1）总偏 差平方和：所有单个样本值与样本均值差的平方和，即
SST?
?
(y
i?y)
2
.
i?1
n
残差平方和：回归值与样本值差的平方和 ，即
SSE?
?
(y
i
?y
i
)
2
.
i?1
n
回归平方和：相应回归值与样本均值差的平方和，即
SSR?
?
(y
i
?y)
2
.
i?1
n
（2）学习要领：①注意
y
i
、
y
i
、
y
的区别；②预报变量的变化程度可以分解为由解释变量
引起的变化程度与残差变量的变化程度之和，即< br>?
(y
i
?y)?
?
(y
i
?y
i
)?
?
(y
i
?y)
2
；
22
i ?1i?1i?1
nnn
③当总偏差平方和相对固定时，残差平方和越小，则回归平方和越大， 此时模型的拟合效果
越好；④对于多个不同的模型，我们还可以引入相关指数
R
2?1?
?
(y
i?1
n
i?1
n
i
? y
i
)
2
来刻画回归
?
(y
2
i
?y)
2
的效果，它表示解释变量对预报变量变化的贡献率.
R
的值越大，说明残差平方和越小，
也就是说模型拟合的效果越好.
2. 教学例题：
例2 关于
x
与有如下数据：

x
2 4 5 6 8

y

30 40 60 50 70
为了对
x
、
Y
两个变量进行统计分析， 现有以下两种线性模型：
y?6.5x?17.5
，
y?7x?17
，试比较 哪一个模型拟合的效果更好.
分析：既可分别求出两种模型下的总偏差平方和、残差平方和、回归平方 和，也可分别求

出两种模型下的相关指数，然后再进行比较，从而得出结论.





学校： 临清一中 学科：数学 编写人：金荣辉 审稿人： 贾志安

1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
课前预习学案
2 预习目标：能用所学的知识对实际问题进行回归分析，体会回归分析的实际 价值与基本
思想；了解判断刻画回归模型拟合好坏的方法――相关指数和残差分析。
二、预习内容
1. 给出例3：一只红铃虫的产卵数
y
和温度
x< br>有关，现收集了7组观测数据列于下表
中，试建立
y
与
x
之间 的回归方程.
21
温度
xC

产卵数
y
个
7
23
11
25
21
27
24
29
66
400
300
32
115
35
325
（学生描述步骤，教师演示）

2. 讨论：观察右图中的散点图，发现样本点并没有分布
在某个带状区域内，即两个变量不呈线性相关关系， 所以不
能直接用线性回归方程来建立两个变量之间的关系.


产
卵
数
200
100
0
01020
温度< br>3040

课内探究学案
一、学习要求：通过典型案例的探究，进一步了解回归分析的基本思想、方法及初步应用.
学 习重点：通过探究使学生体会有些非线性模型通过变换可以转化为线性回归模型，了
解在解决实际问题的 过程中寻找更好的模型的方法.
学习难点：了解常用函数的图象特点，选择不同的模型建模，并通过比 较相关指数对
不同的模型进行比较.
二、学习过程：
1.独立性检验
利用随机变量 来确定在多大程度上可以认为“两个分类变量有关系”的方法称为
两个分类变量的独立性检验。

2.判断结论成立的可能性的步骤：
（1）通过三维柱形图和二维 条形图，可以粗略地判断两个分类变量是否有关系，但是这
种判断无法精确地给出所得结论的可靠程度。
（2）可以利用独立性检验来考察两个分类变量是否有关系，并且能较精确地给出这种判断
的可 靠程度。

3.残差分析：
① 残差：样本值与回归值的差叫残差，即
e
i
?y
i
?y
i
.
② 残差分析：通过残差来判 断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这
方面的分析工作称为残差分析.
③ 残差图：以残差为横坐标，以样本编号，或身高数据，或体重估计值等为横坐标，作
出的图形称为残差图 . 观察残差图，如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明选
用的模型比较合适，这样的带状 区域的宽度越窄，模型拟合精度越高，回归方程的预报精度
越高.

4. 探究非线性回归方程的确定（结合例3）：
① 如果散点图中的点分布在一个直线状带形区域，可以选 线性回归模型来建模；如果散点
图中的点分布在一个曲线状带形区域，就需选择非线性回归模型来建模.
② 根据已有的函数知识，可以发现样本点分布在某一条指数函数曲线
y
=
C
1
e
C
2
x
的周围（其
中
c
1< br>,c
2
是待定的参数），故可用指数函数模型来拟合这两个变量.
③ 在上式 两边取对数，得
lny?c
2
x?lnc
1
，再令
z?ln y
，则
z?c
2
x?lnc
1
，而
z
与< br>x
间的
关系如下：
X 21 23 25 27 29 32 35
z 1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.745 5.784
观察
z
与
x
的散点图，可以发现变换后样本点分布在一条直线的附< br>近，因此可以用线性回归方程来拟合.
④ 利用计算器算得
a??3.843,b?0 .272
，
z
与
x
间的线性回归方程
为
z?0.2 72x?3.843
，因此红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方
程为
y?e
0.272x?3.843
7
6
5
4
z
3
2
1
0
01020
x
3040
.
⑤ 利用回归方程探究非 线性回归问题，可按“作散点图
?
建模
?
确定方程”这三个步骤进行.
其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题转化成线性回归问题.

例3中的残差分析：
计算两种模型下的残差

一般情况下，比较两个模型 的残差比较困难（某些样本点上一个模型的残差的绝对值比
另一个模型的小，而另一些样本点的情况则相 反），故通过比较两个模型的残差的平方和的
大小来判断模型的拟合效果. 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好.
由于两种模型下的残差平方和分别为1450.673 和15448.432，故选用指数函数模型的
拟合效果远远优于选用二次函数模型. （当然，还可用相关指数刻画回归效果）

5. 小结：用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤. 残差分析的步骤、作用。

课后练习与提高

为了研究某种细菌随时间
x
变化，繁殖的个数，收集数据如下：
天数
x
天 1 2 3 4 5
繁殖个数
y
个 6 12 25 49 95
6
190
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数据的散点图；
?
=e< br>0.69x?1.112
.）（2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.（答案：所求非线性 回归方程为
y


学校： 临清一中 学科：数学 编写人：栗永丽 审稿人：张林

第二章第1节 合情推理与演绎推理
一、 合情推理

课前预习学案
一，预习目标：
了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等方法进行简单的推理。
二，预习内容：
（1） 从______________推出___________的结论，这样的推理通常称为归纳推理.
归纳推理的思维过程大致是
试验、观察 —— 概括、推广 —— 猜测一般结论
（2） 已知数列
?
a
?
的每一项均为正数，
a
= 1，
a
n
1
n
2
?
a
n
?1
n?1
2
（n=1，2，……），试归纳数列
?
a
?
的一个通项公式。
（3） 根据两个对象之间在某些方面的____________,推演出它们在其他
方面也______________,这样的推理通常称为类比推理.类比推理的思维过程大致为
观察、比较 —— 联想、类推 —— 猜测新的结论
（4） 类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点









课内探究学案
一、学习目标
结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类 比进
行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用。
二、学习过程：
疑惑内容

例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交 ，最多有3
个交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？




例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若 干个图案，
则第n个图案中的正六边形地板砖有多少块？






小结归纳推理的特点：




例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。








练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。







小结类比推理的特点：

当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2 ），（2，1），（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），
（3，2），（4， 1）（1，5），（2，4），… …，则第60个数对是_______

2、在等差数列
?
a
?
中，
c
?
a
?
a
12
?????
a
n
n
n
n
也成等差数列，在等比数列
?
b
?
中，
n
d

n
=____________________ 也成等比数列
课后练习与提高

1 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，
a
所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8


2 下列推理正确的是
(A) 把
a(b?c)
与
7
6
5
4
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
3
2
1
0
01020
x
3040
类比， 则有：
log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y
．
(B) 把
a(b?c)
与
sin(x?y)
类比，则有：
sin(x?y)?sinx?siny
．
(C) 把
(ab)
与
(a?b)
类比，则有：
(x?y)?x?y
．
(D) 把
(a?b)?c
与
(xy)z
类比，则有：
(xy)z?x(yz)
．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔 、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一
次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位 ，…，这样交替进行下去，那么第2005
次互换座位后，小兔的座位对应的是

2
1
鼠
1
兔
猫
2
1
猴
鼠
2
1
猫兔
2
猴


兔
猫
猫
兔
猴
鼠猴
鼠
4
34
3
4
4
33


开始
第三次
第一次第二次

(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4

4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2）
2?
nnnnn
2345
，
3?
，
4?
，
5?
，（ ）．
381524

5、从
1?1
2
,2?3?4? 3
2
,3?4?5?6?7?5
2
中，得出的一般性结论

是 ．








学校： 临清一中 学科：数学 编写人：栗永丽 审稿人： 贾志安

2.1
合情推理
一、教材分析
数学归纳法是人教A版普通高中课程标准实验教科书 选修2-2第2章第三小节的内
容，此前学生刚学习了合情推理，合情推理用的是不完全归纳法，结论的 正确性有待证明。
通过本节课的学习，对培养学生的抽象思维能力和创新能力，深化不等式、数列等知识 ，
提高学生的数学素养，有重要作用。根据课程标准，本节分为两课时，此为第一课时。
二、教学目标
1，知识目标：
理解合情推理的原理和实质，并能初步运用。
2，能力目标：
学生经历发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程，提高创新能力。
3，情感、态度与价值观目标：
在愉悦的学习氛围中，通过理解数学归纳法的原理和本质，感受数学内在美，激发学习热
情。
三、教学重点难点
教学重点：能利用归纳进行简单的推理.
教学难点：用归纳进行推理，作出猜想.
四、教学方法
探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
例1、在同一个平面内，两条直线相交，有1个焦点；3条直线相交，最多有3
个交点；… …；从中归纳一般结论，n条直线相交，最多有几个交点？

例2、有菱形纹和无菱形纹的正六边形地板砖，按图所示的规律拼成若干个图案，
则第 n个图案中的正六边形地板砖有多少块？






小结归纳推理的特点：




例3、试将平面上的圆与空间的球进行类比。








练习：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间四面体性质的猜想。







小结类比推理的特点：




当堂检测：
1、已知数对如下：（1，1），（1，2），（2，1） ，（1，3）（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），
（3，2），（4，1）（1，5） ，（2，4），… …，则第60个数对是_______

2、在等差数列
?a
?
中，
c
?
a
?
a
12
? ????
a
n
n
n
n
也成等差数列，在等比数列
?
b
?
中，
n
d
n
=_____________ _______ 也成等比数列

课后练习与提高

1、 右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，
称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，
a
所表示的数是
(A)2 (B) 4 (C) 6 (D) 8


2、 下列推理正确的是
1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 a 4 1
1 5 10 10 5 1
(A) 把
a(b?c)
与
log
a
(x?y)
类比，则有：
log
a
(x?y)?log
a
x?log
a
y< br> ．
(B) 把
a(b?c)
与
sin(x?y)
类比，则有：
7
6
5
4
32
1
0
01020
x
3040
．
(C) 把
(ab)
n
与
(a?b)
n
类比，则有：
(x?y)
n
?x
n
?y
n
．
(D) 把
(a?b)?c
与
(xy)z
类比，则有：
(xy)z?x(yz)
．
3、四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔 、猫分别坐1，2，3，4号位子上（如图），第一
次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位 ，…，这样交替进行下去，那么第2005
次互换座位后，小兔的座位对应的是

2
1
鼠
1
兔
猫
2
1
猴
鼠
2
1
猫兔
2
猴


兔
猫
猫
兔
猴
鼠猴
鼠
4
34
3
4
4
33


开始
第三次
第一次第二次

(A)编号1 (B) 编号2 (C) 编号3 (D) 编号4

4、下列各列数都是依照一定的规律排列，在括号里填上适当的数
（1）1，5，9，13，17，（ ）；
（2）
2?
2
2345
，
3?
，
4?
，
5?
，（ ）．
381524
22
5、从
1?1,2?3?4?3,3?4?5?6? 7?5
中，得出的一般性结论

是 ．
七、板书设计
八、教学反思

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：栗永丽 审稿人：张林

第二章第1节 合情推理与演绎推理
二 、 演绎推理
课前预习学案
一、预习目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例， 体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基
本方法，并能运用它们进行一些简单的推理.
二，预习内容：
2
1， 对于任意正整数
n
，猜想（2
n
-1）与(
n
+1)的大小关系？




2， 讨论：以上推理属于什么推理，结论一定正确吗？


3，思考：有什么推理形式能使结论一定正确呢？

三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点








疑惑内容
课内探究学案
一，学习目标：
结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推 理的重要性，掌握演绎推理的基
本方法，并能运用它们进行一些简单推理。
二、学习过程：
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此 ；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .

2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？

3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称 为______
______.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？


③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部
分有什么特点？





小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
第二段：_________________________________________；
第三段：__________________________________________ __.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.



例1：证明函数

log
a
(x?y)?log
a
x?lo g
a
y
在

sin(x?y)
上是增函数.







例2：在锐角三角形
ABC
中，

sin(x?y)?sinx?siny
，
D
，
E
是垂足. 求证：
AB
的中点
M
到
D
，
E
的距离相等 .

当堂检测：
讨论：因为指数函数

(ab)
n
是增函数，





讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？




比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？



课堂小结





(a?b)
n
是指数函数，则结论是什么？
课后练习与提高

1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则； B.特定的命题；
C.一般的命题； D.定理、公式.

2.“因为对数函数
(x?y)
n
?x< br>n
?y
n
是增函数（大前提），而

所以
是对数函数（小前提），
(a?b)?c

是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
(xy)z

A.大前提错导致结论错； B.小前提错导致结论错；
C.推理形式错导致结论错； D.大前提和小前提都错导致结论错.
3.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B
=180°；B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；.
4.补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为

与

互为相反数且_________________
_______,所以

=8.
（2）因为_________________________________ ____，又因为

环小数，所以

是无理数.

























5?
5
24
是无限不循

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：栗永丽 审稿人： 贾志安


演绎推理
一、教材分析
推理是高考的重要的内容，推理包括合情推理与 演绎推理，由于解答高考题的过程就
是推理的过程，因此本部分内容的考察将会渗透到每一个高考题中， 考察推理的基本思想
和方法，既可能在选择题中和填空题中出现，也可能在解答题中出现。
二、教学目标
（
1）知识与能力：了解演绎推理的含义及特点，会将推理写成三段论的形式
（2）过程与方法：了解合情推理和演绎推理的区别与联系
（3）情感态度价值观：了解演绎 推理在数学证明中的重要地位和日常生活中的作用，养成
言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：演绎推理的含义与三段论推理及合情推理和演绎推理的区别与联系
教学难点：演绎推理的应用
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
1. 填一填：
① 所有的金属都能够导电，铜是金属，所以 ；
② 太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，冥王星是太阳系的大行星，因此
；
③ 奇数都不能被2整除，2007是奇数，所以 .
2.讨论：上述例子的推理形式与我们学过的合情推理一样吗？

3.小结：
① 概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为______
______.
要点：由_____到_____的推理.
② 讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？


③ 思考：“所有的金属都能够导电，铜是金属，所以铜能导电”，它由几部分组成，各部
分有什么特点？

小结：“三段论”是演绎推理的一般模式：
第一段：_________________________________________；
第二段：_________________________________________；
第三段：__________________________________________ __.
④ 举例：举出一些用“三段论”推理的例子.



例1：证明函数

log
a
(x?y)?log
a
x?lo g
a
y
在

sin(x?y)
上是增函数.







例2：在锐角三角形
ABC
中，

sin(x?y)?sinx?siny
，
D
，
E
是垂足. 求证：
AB
的中点
M
到
D
，
E
的距离相等 .






当堂检测：
讨论：因为指数函数

(ab)
是增函数，




讨论：演绎推理怎样才能使得结论正确？

n
n
是指数函数，则结论是什么？
(a?b)

比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？



课堂小结





课后练习与提高

1.演绎推理是以下列哪个为前提，推出某个特殊情况下的结论的推理方法（ ）
A.一般的原理原则； B.特定的命题；
C.一般的命题； D.定理、公式.
2.“因为对数函数
(x?y)
n
?x
n
?y
n
是增函数（大前提），而

所以
是对数函数（小前提），
(a?b)?c

是增函数（结论）.”上面的推理的错误是（ ）
(xy)z

A.大前提错导致结论错； B.小前提错导致结论错；
C.推理形式错导致结论错； D.大前提和小前提都错导致结论
错.
3.下面几种推理过程是演绎推理的是（ ）
A.两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角，则∠A+∠B
=180°；B.由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质；.
4.补充下列推理的三段论：
（1）因为互为相反数的两个数的和为0，又因为

________,所以

=8.
与

互为相反数且________________

（2）因为_____________________________________，又因 为

环小数，所以

是无理数.
七、板书设计
八、教学反思



5?
5
24
是无限不循

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：栗永丽 审稿人：张林

第二章第2节 直接证明与间接证明
一、综合法与分析法
课前预习学案
一、预习目标：
了解综合法与分析法的概念，并能简单应用。
二、预习内容：
证明方法可以分为直接证明和间接证明
1．直接证明分为 和
2．直接证明是从命题的 或 出发，根据以知的定义，
公里，定理， 推证结论的真实性。
3．综合法是从 推导到 的方法。而分析法是一种从
追溯到 的思维方法，具体的说，综合法是从已知的 条件出发，经
过逐步的推理，最后达到待证结论，分析法则是从待证的结论出发，一步一步寻求结论成立
的 条件，最后达到题设的以知条件或以被证明的事实。综合法是由 导 ，
分析法是执 索 。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点










疑惑内容
课内探究学案
一、学习目标
让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用
二、学习过程：

例1． 已知a,b∈R
+
，求证：






例2．已知a,b∈R
+
，求证：












例3.已知a,b,c∈R，求证（I）

课后练习与提高
?
sin
?
x
2
,?1?x?0;
1．（A级）函数
f(x)?
?
x?1
，若
f(1)?f(a)?2,

?
e,x?0
则
a
的所有可能值为 （ ）
A．
1
B．
?
2
2
2
C．
1,或?
D．
1,或

2
2
2
2．（A级）函数
y?xco sx?sinx
在下列哪个区间内是增函数 （ ）
?
3
?
A．
(,)
B．
(
?
,2
?
)

22
3
?
5
?
C．
(,)
D．
(2
?
,3
?
)

22
3．（A级） 设
a,b?R,a
2
?2b
2
?6,则a?b
的最小值是 （ ）
A．
?22
B．
?
7
53
C．－3 D．
?

2
3
4．（A级）下列函数中,在
(0,??)
上为增函数的是 （ ）
A．
y?sin
2
x
B．
y?xe
x

C．
y?x
3
?x
D．
y?ln(1?x)?x

5．（A级）设
a,b,c
三数成等 比数列，而
x,y
分别为
a,b
和
b,c
的等差中项，则< br>ac
??

xy
（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．不确定
1
6．（A级）已知实数
a?0
，且函数
f(x)?a (x
2
?1)?(2x?)
有最小值
?1
，则
a
a
=__________。
7．（A级）已知
a,b
是不相等的正数，x?
系是_________。
a?b
2
,y?a?b
，则< br>x,y
的大小关
____.(lg2?0.3010)
8．（B）若正整数< br>m
满足
10
m?1
?2
512
?10
m，则
m?__________
9．（B）设
f(x)?sin(2x?
?
)(?
?
?
?
?0),f(x)
图像的一条对称轴是x?
?
8
.

（1）求
?
的值；
（2）求
y?f(x)
的增区间；
（3）证明直线
5x?2y?c?0
与函数
y?f(x)
的图象不相切。




10．（B）
?ABC
的三个内角
A,B,C
成等差数列，求证：





























1
a?b
?
1
b?c
?< br>3
a?b?c

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：栗永丽 审稿人： 贾志安
综合法与分析法
一、教材分析
综合法与 分析法作为高中数学中常用的两种基本方法，一直被学生所熟悉和应用，
通过这节课的学习，学生将对这 两种方法的掌握更加系统。同时也复习了有关的其他数学
知识。
二、教学目标
知识目标：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
能力目标：提高证明问题的能力。
情感、态度、价值观：养成言之有理论证有据的习惯。
三、教学重点难点
教学重点：让学生理解分析法与综合法的概念并能够应用。
教学难点：提高证明问题的能力。
四、教学方法：探究法
五、课时安排：1课时
六、教学过程
二、 已知a,b∈R
+
，求证：







例2．已知a,b∈R
+
，求证：

例3.已知a,b,c∈R，求证（I）











课后练习与提高
1．（A 级）函数
f(x)?
?
?
sin
?
x
2
, ?1?x?0;
x?1
,x?0
，若
f(1)?f(a)?2,

?
e
则
a
的所有可能值为 （
A．
1
B．
?
2
2
C．
1,或?
2
2
D．
1,或
2
2

2．（A级）函数
y?xcosx?sinx
在下列哪个区间内是增函数
A．
(
?
,
3
?
22
)
B．
(
?
,2
?
)

7
6
C．
5
4
z
3
2
1
0
D．
(2
?
,3
?
)

010203040
x
3．（A级）设
a,b?R,a
2
?2b
2
?6,则a ?b
的最小值是
A．
?22
B．
?
53
3
C．－3 D．
?
7
2

4．（A级）下列函数中,在
(0,??)
上为增函数的是
）
（ ）
（ ）
（ ）

A．
y?sin
2
x
B．
y?xe
x

C．
y?x
3
?x
D．
y?ln(1?x)?x

5．（A级）设
a,b,c
三数成等 比数列，而
x,y
分别为
a,b
和
b,c
的等差中项，则< br>（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．不确定
2
6．（A级）已知实数
a?0< br>，且函数
f(x)?a(x?1)?(2x?
ac
??

xy
1
)
有最小值
?1
，则
a
a
=_____ _____。
7．（A级）已知
a,b
是不相等的正数，
x?
__ _______。
8．（B）若正整数
m
满足
10
m?1
a?b
2
,y?a?b
，则
x,y
的大小关系是
?2
512
?10
m
，则
m?______________.(lg2?0. 3010)

9．（B）设
f(x)?sin(2x?
?
)(??
?
?
?0),f(x)
图像的一条对称轴是
x?
（1）求
?
的值；
（2）求
y?f(x)
的增区间；
（3）证明直线
5x?2y?c?0
与函数
y?f(x)
的图象不相切。




10．（B）
?ABC
的三个内角
A,B,C
成等差数列，求证：




七、板书设计
八、教学反思



?
8
.
113
??

a?bb?ca?b?c
学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杜学云 审稿人：张林

2.2.2反证法

课前预习学案
一、预习目标：
使学生了解反证法的基本原理；掌握运用反证法的一般步骤；学会用反证法证明一些
典型问题.
二、预习内容：
提出问题：
问题1：桌面上有3枚正面朝上的硬币，每次用双手同 时翻转2枚硬币，那么无论怎么
翻转，都不能使硬币全部反面朝上。你能解释这种现象吗？
学生尝试用直接证明的方法解释。
采用反证法证明：假设经过若干次翻转可以使硬币全部反面 向上，由于每枚硬币从正
面朝上变为反面朝上都需要翻转奇数次，所以 3 枚硬币全部反面朝上时，需要翻转 3 个
奇数之和次，即要翻转奇数次．但由于每次用双手同时翻转 2 枚硬币， 3 枚硬币被翻转
的次数只能是 2 的倍数，即偶数次．这个矛盾说明假设错误，原结论正确，即无论怎样翻
转都不能使 3 枚硬币全部反面朝上．
问题2：A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则 C必定
是在撒谎，为什么？
分析:假设C没有撒谎, 则C真.那么A假且B假;由A假, 知B真. 这与B假矛盾.那么
假设C没有撒谎不成立;则C必定是在撒谎.
推进新课
在解决某些数学问题时，我们会不自觉地使用反证法
反证法是一种间接证法，它是先提 出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设
出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的 假设，达到肯定原命题正确的一种方
法。
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点










课内探究学案
3 学习目标
（1）使学生了解反证法的基本原理；
（2）掌握运用反证法的一般步骤；
（3）学会用反证法证明一些典型问题.
二、学习过程：
例1、已知直线
a,b
和平面
?
，如果< br>a?
?
,b?
?
，且
a||b
，求证
a||
?
。
解析：让学生理解反证法的严密性和合理性；




疑惑内容

证明：因为
a||b
,
所以经过直线a , b 确定一个平面
?
。
因为
a?
?
，而
a?
?
，
所以
?
与
所以
?
是两个不同的平面．
因为
b?
?
，且
b?
?
，
?
?b
.
下面用反证法证明直线a与平面
?
没有公共点．假设直线a 与平面
?
有公共点
P
，则
P?
??
?b
，即点
P
是直线 a 与b的公共点，这与
a||b
矛盾．所以
a||
?
.
点评：用反证法的基本步骤：
第一步 分清欲证不等式所涉及到的条件和结论；
第二步 作出与所证不等式相反的假定；
第三步 从条件和假定出发，应用证确的推理方法，推出矛盾结果；
第四步 断定产生矛盾结果的原因，在于开始所作的假定不正确，于是原证不等利
变式训练1.求证：圆的两条不全是直径的相交弦不能互相平分.



例2、求证：
2
不是有理数

例3、设二次函数
f(x)?x
2
?px?q
， 求证：
f(1),f(2),f(3)
中至少有一个不小
于
1
. < br>2
解析：直接证明
f(1),f(2),f(3)
中至少有一个不小于
1
.比较困难，我们应采用反证
2
法
证明：假设
f(1),f(2),f(3)
都小于
1
，则
2

f(1)?2f(2)?f(3)?2.
（1）
另一方面，由绝对值不等式的性质，有

f( 1)?2f(2)?f(3)?f(1)?2f(2)?f(3)
?(1?p?q)?2(4?2p?q )?(9?3p?q)?2
（2）
（1）、（2）两式的结果矛盾，所以假设不成立，原来的结论正确。
点评：结论为“至少”、“至多”等时，我们应考虑用反证法解决。
变式训练3、设0 < a, b, c < 1，求证：(1 ? a)b, (1 ? b)c, (1 ? c)a,不可能同时大于









反思总结：
1.反证法的基本步骤：
（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；
（2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；
（3）从矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确
2.归缪矛盾：
（1）与已知条件矛盾；
（2）与已有公理、定理、定义矛盾；
（3）自相矛盾。
3.应用反证法的情形：
(1)直接证明困难;
(2)需分成很多类进行讨论；
（3)结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个” 类命题；
（4结论为 “唯一”类命题；
当堂检测：
1. 证明
3，5，7
不可能成等差数列．

1

4

2．设
a?b?2
，求证
a?b?2.

证明：假设
a?b?2
，则有
a?2?b
，从而

33
a
3
?8?12b?6b
2
?b
3
,
a?b?6b?12b?8?6(b?1)?2.
33
3322

33
因为
6(b?1)
2
?2?2
，所以
a?b?2
，这与题设条件
a?b?2
矛盾，所以，
原不等式
a?b ?2
成立。
课后练习与提高
一、选择题
1．用反证法证明命题：若整系 数一元二次方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
有有理根，那么
a ，b，c
中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）
Ａ．假设
a，b，c
都是偶数
Ｂ．假设
a，b，c
都不是偶数
Ｃ．假设
a，b，c
至多有一个是偶数
Ｄ．假设
a，b，c
至多有两个是偶数
2．（1）已知
p
3
?q
3
?2
，求证
p?q
≤
2
，用反证 法证明时，可假设
p?q
≥
2
，（2）
已知
a，b?R，
a?b?1
，求证方程
x
2
?ax?b?0
的两根的 绝对值都小于1．用反证法证
明时可假设方程有一根
x
1
的绝对值大于或等于 1，即假设
x
1
≥
1
，以下结论正确的是（ ）
Ａ．
(1)
与
(2)
的假设都错误
Ｂ．
(1)
与
(2)
的假设都正确
Ｃ．
(1)
的假设正确；
(2)
的假设错误
Ｄ．
(1)
的假设错误；
(2)
的假设正确
3．命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（ ）
Ａ．有两个内角是钝角 Ｂ．有三个内角是钝角
Ｃ．至少有两个内角是钝角 Ｄ．没有一个内角是钝角
二、填空题
4．.三角形ABC中，∠A，∠B，∠C至少有1个大于或等于60的反面为_______．
5. 已知A为平面BCD外的一点，则AB、CD是异面直线的反面为_______．

三、解答题
6．已知实数
a，b，c，d
满足
a?b?c?d?1
，
ac?bd?1
，求证
a，b，c，d
中至少有
一个是负 数．



?

学校： 临清一中 学科：数学 编写人：杜学云 审稿人：张林

2.3数学归纳法
课前预习学案
一、预习目标：
理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法． 能较好地理解“归纳奠基”
和“归纳递推”两者缺一不可。
二、预习内容：
提出问题：
问题1：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列，已知
，(
n
=1,2,3…)，通过对
n
=1,2,3,4前4项的归 纳，猜想出其通项公式
，但却没有进一步的检验和证明．
问题2：大家玩过多米诺骨牌游戏吗？这个游戏有怎样的规划？(多媒体演示多米诺骨
牌游戏)
这是一个码放骨牌游戏，码放时保证任意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则一定导
致后 一块骨牌倒下．只要推倒第一块骨牌，就必然导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，
就必然导致第三 块骨牌倒下…最后，不论有多少块骨牌都能全部倒下．
讨论问题：
问题1、问题2有什么共同的特征？其结论成立的条件的共同特征是什么

结论 成立的条件：结论对第一个值成立；结论对前一个值成立，则对紧接着的下一个值也
成立．
上 面两个条件分别起怎样的作用？它们之间有怎样的关系？我们能否去掉其中的一
个？你能举反例说明吗？
在上述两个条件中，第一个条件是归纳递推的前提和基础，没有它，后面的递推将无从
谈起；第 二个步骤是核心和关键，是实现无限问题向有限问题转化的桥梁与纽带．
如在前面的问题1中，如果不 是1，而是2，那么就不可能得出，因此第一
步看似简单，但却是不可缺少的．而第二步显然更加不可缺 少．这一点在多米诺骨牌游戏中
也可清楚地看出．
解决问题：
由上，证明一个与自然数
n
有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)证明当
n
取第一个值
(2)假设n=k(k≥,
()时命题成立；
)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．
对从开始的所有正整数
n
都成立． 由以上两个步骤，可以断定命题
这种证明 方法叫做数学归纳法，它是证明与正整数n(n取无限多个值)有关、具有内在递推
关系的数学命题的重 要工具．
三、提出疑惑
同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中
疑惑点























疑惑内容

课内探究学案
一、 学习目标
（1）了解由有限多个特殊事例得出的一般结论不一定正确。
（2）初步理解数学归纳法原理。
（3）理解和记住用数学归纳法证明数学命题的两个步骤。
（4）初步会用数学归纳法证明一些简单的与正整数有关的恒等式。
二、学习过程：
例1、证明等差数列通项公式
a
n
?a
1
?(n?1)d
：
解析：（1）让学生理解数学归纳法的严密性和合理性；（2）掌握从
时等式左边的变化情况。
证明：(1) 当
n
＝1时等式成立；
(2) 假设当
n
＝
k
时等式成立, 即
a
k
?a
1
?(k?1)d
, 则
a
k ?1
?a
k
?d
=
a
1
?[(k?1)?1]d< br>,
即
n
＝
k
＋1时等式也成立
由 （1）、（2）可知， 等差数列的通项公式
a
n
?a
1
?(n? 1)d
对任何
n
∈
N
都成立．
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练1 .在数列{
a
n
}中,
a
1
＝1,
a
n?1
?
*
到
a
n
*
(
n
∈N
), 先计算
a
2
，
a
3
，
a4
的
1?a
n
值，再推测通项
a
n
的公式, 最后证明你的结论．

例2、 用数学归纳法证明
()．
解析：（1）进一步让学生理解数学归纳法的严密性和合理性，从而从感性认识
上升为理性认识；
（2）掌握从到时等式左边的变化情况，合理的进行添项、拆项
合并项等。
证明：（1）时：左边，右边，左边=右边，等式成立。
?
(k?1)[(k?1)?1][2(k?1)?1]
?右边

6

∴当时等式也成立。
由 （1）、（2）可知，对一切 ，原等式均成立
点评：利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意以下三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
变式训练2：用数学归纳法证明：1＋ 3＋5＋…＋（2
n
－1）＝
n
．








反思总结：
1．归纳法是一种由特殊 到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不
完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须 用数学归纳法进行严格证明；
2．数学归纳法作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关数学命题，它的基本
2
思想是递推思想，它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；
3．递推 归纳时从
明等式时第一步中
证明
到，必须用到归纳假设，并进行适当的恒等变换。注意
时应增加的式子；第二步中
时的形式（这
时左右两边的形式，第二步中
命题成 立是全局的主体，主要注意两个“凑”：一是“凑”
样才好利用归纳假设），二是“凑”目标式。
当堂检测：
1．观察式子：
1?
为（ ）
Ａ．
1?< br>131151117
，，
?1???1????
，
2
2
22
2
3
2
32
2
3
2
4
2< br>4
，则可归纳出式子
11
??
2
2
3
2?
11
?(n
≥
2)

n
2
2n?1

Ｂ．
1?
Ｃ．
1?
Ｄ．
1?
11< br>??
2
2
3
2
11
??
2
2
3
2
?
?
?
11
?(n
≥
2)

2
n2n?1
12n?1
?(n
≥
2)

n
2
n
12n
?(n
≥
2)

n
2
2n?1
11
??
2
2
3
2
答 案：Ｃ
2．用数学归纳法证明：首项是
a
1
，公比是
q
的 等比数列的通项公式是
a
n
?a
1
q
n?1
a< br>1
(1?q
n
)
，前n项和公式是
s
n
?( q?1).

1?q
课后练习与提高


一、选择题

1．用数学归纳法证明
1?3?5???(2n?1)?
到
n=k+1
时，不等式左边增加的项为 （ ）
A.
(2k)
2
B.
(2k?3)
2
C.
(2k?1)
2
D.
(2k?2)
2

2．凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线 的条数f(n+1)为 （ ）
A. f(n)+n+1 B. f(n)+n

C.

f(n)+n-1 D. f(n)+n-2
3．用数学归纳法证明不等式
2222
1
n(4n
2
?1)
过程中，由
n=k
递推
3
111113
???
?
?(n?2)
的过程中，n?1n?2n?32n24
由
n=k
递推到
n=k+1
时，不 等式左边 （ ）
A.增加了一项
1

2(k?1)
11
?

2k?12(k?1)
B.增加了一 项
C.增加了“
1
11
?
”，又减少了“”
k?1
2k?12(k?1)
1
1
”，又减少了“”
k?1
2(k?1)
D.增加了“
二、填空题
4．已知数列
123
1111
,,
?
，计算得
s
1
?,s2
?,s
3
?
,?
，由此
234
1?22?3 3?4,n(n?1)
可猜测
s
n
?
_______．