高中数学模块综合测试1北师大版选修1-1

模块综合测试(一)
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若命题p：?x∈R,2
x
＋1>0，则?
p
是( )
A．?
x
∈R,2
x
＋1≤0
B．?
x
∈R,2
x
＋1>0
C．?
x
∈R,2
x
＋1<0
D．?
x
∈R,2
x
＋1≤0
解析：?
p
：?
x
∈R,2
x
＋1≤0.
答案：D
1
2．不等式
x
－>0成立的一个充分不必要条件是( )
2
2
2
2
2
2
x
A. －1<
x
<0或
x
>1
B.
x
<－1或0<
x
<1
C.
x
>－1
D.
x
>1
解析：本题主要考查充要条件的概念、简单的不等式的解法． 画出直线
y
＝
x
与双曲线
y
＝的图像，两图像的交点为(1 ,1)、(－1，－1)，依图知
x
－>0?－1<
x
<0或
x>1 (*)，
xx
显然
x
>1?(*)；但(*)
x
>1，故选D.
答案：D
3．[2014·西安模拟]命题“若
a
>< br>b
，则
a
＋1>
b
”的逆否命题是( )
A．若
a
＋1≤
b
，则
a
>
b

B．若
a
＋1<
b
，则
a
>
b

C．若
a
＋1≤
b
，则
a
≤
b

D．若
a
＋1<
b
，则
a
<
b

解析：“若
a
>
b
，则
a
＋1>
b
”的逆否命题为“若
a
＋1≤
b
，则
a
≤
b”，故选C.
答案：C
4．[2014·山东省日照一中模考]下列命题中，为真命题的是( )
A. ?
x
∈R，
x
－
x
－1>0
B. ?
α
，
β
∈R，sin(
α
＋
β
)α
＋sin
β

π4
C. 函数
y
＝2sin(
x
＋)的图像的一条对称轴是
x
＝π
55
D. 若“?
x
0
∈R，
x
0
－ax
0
＋1≤0”为假命题，则
a
的取值范围为(－2,2)
2
2
11

1
2
5
2
解析：本题主要 考查命题的判定及其相关知识的理解．因为
x
－
x
－1＝(
x
－)－，所
24
4π
以A错误；当
α
＝
β
＝0时 ，有sin(
α
＋
β
)＝sin
α
＋sin
β，所以B错误；当
x
＝时，
5
y
＝0，故C错误；因为“?x
0
∈R，
x
2
所以“?
x
∈R，
x
2
－
ax
＋1>0”
0
－
ax
0
＋1≤0”为假命题，
为真命题，即
Δ
<0，即
a
－4<0，解得－ 2<
a
<2，即
a
的取值范围为(－2,2)．故选D.
答案：D
5．已知△
ABC
的顶点
B
、
C
在椭圆＋
y
＝1上，顶点
A
是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
3
外一个焦点在< br>BC
边上，则△
ABC
的周长是( )
A．23
C．43
B．6
D．12
2
x
2
2
解析：设椭圆的另一焦点为
F
，由椭圆的定义知|
BA
|＋|
BF< br>|＝23，且|
CF
|＋|
AC
|＝23，
所以△
ABC
的周长＝|
BA
|＋|
BC
|＋|
AC
|
＝|
BA
|＋|
BF
|＋|
CF
|＋|
A C
|＝43.
答案：C
6．过点(2，－2)与双曲线
x
－2
y
＝2有公共渐近线的双曲线方程为( )
A.－＝1
24
C.－＝1
42
22
x
2
y
2< br>y
2
x
2
B.－＝1
42
D.－＝1
2 4
x
2
y
2
y
2
x
2
解析：与双 曲线－
y
＝1有公共渐近线方程的双曲线方程可设为－
y
＝
λ
，
22
由过点(2，－2)，可解得
λ
＝－2.
所以所求的双曲线方程为－＝1.
24
答案：D
x
2
2
x
2
2
y
2
x
2
x
2
y
2
7．若双曲线
2
－
2
＝1(
a
>0，
b
>0)的右支上到原点和右焦点距离相等的点有两个，则双
ab
曲线离心率 的取值范围是( )
A．
e
>2
C．
e
>2
B．1<
e
<2
D．1<
e
<2
解析：由题意 ，以原点及右焦点为端点的线段的垂直平分线必与右支交于两个点，故>
a
，
2
∴>2.
c
c
a

答案：C
8．已知二次函数
f
(
x
)＝
ax
＋
bx
＋
c的导数为
f
′(
x
)，
f
′(0)>0，对于任意实数
x
都有
2
f
1
f
(
x
)≥0，则 的最小值为( )
f
′0
A. 3
C. 2
5
B.
2
3
D.
2
解析：
f′(
x
)＝2
ax
＋
b
，∵
f
′(0 )>0，∴
b
>0.
∵
f
(
x
)≥0，∴
a
>0，
b
－4
ac
≤0，
即
b
≤4
ac
.∴
c
>0.
∴
2
2
f
1
a
＋
b
＋
ca
＋
c
2
ac
＝＝＋1≥＋1≥2，即所求的最小值为2.
f
′0
bbb
答案：C
x
2
y
2x
2
y
2
9．[2014·山东高考]已知
a
>
b
>0，椭圆
C
1
的方程为
2
＋
2
＝1 ，双曲线
C
2
的方程为
2
－
2
abab
＝ 1，
C
1
与
C
2
的离心率之积为
A.
x
±2
y
＝0
C.
x
±2
y
＝0
3
，则
C
2
的渐近线方程为( )
2
B. 2
x
±
y
＝0
D. 2
x
±
y
＝0
a
2
－
b
2a
2
＋
b
2
a
2
－
b
2a
2
＋
b
2
解析：椭圆
C
1
的离心率 为，双曲线
C
2
的离心率为，所以·
aaaa
＝
33
4
1
4444
，所以
a
－
b
＝
a
，即
a
＝4
b
，所以
a
＝2
b
，所以双 曲线
C
2
的渐近线方程是
y
＝±
24
2
x
，即
x
±2
y
＝0.
答案：A
1
3 22
10．[2014·黑龙江质检]下列四个图像中，有一个是函数
f
(
x
)＝
x
＋
ax
＋(
a
－4)
x
＋
3
1(
a
∈R，
a
≠0)的导函数
y
＝< br>f
′(
x
)的图像则
f
(1)＝( )

10
A.
3
2
C. －
3
4
B.
3
D. 1

1
解析：
f
(
x)＝
x
3
＋
ax
2
＋(
a
2
－4)
x
＋1(
a
∈R，
a
≠0)，
f
′ (
x
)＝
x
2
＋2
ax
＋(
a
2
－4)，由
a
≠0，
3
结合导函数
y
＝
f
′(
x
)的图像，知导函数图像为③，从而可知
a
－4＝0，解得< br>a
＝－2或
a
1
3
2
2
＝2，再结合－a
>0知
a
＝－2，代入可得函数
f
(
x
)＝
x
＋(－2)
x
＋1，可得
f
(1)＝－，故
33
选C.
答案：C
11．已知抛物线
C
：
y
＝ 8
x
的焦点为
F
，准线与
x
轴的交点为
K
，点
A
在
C
上且|
AK
|＝2
|
AF|，则△
AFK
的面积为( )
A．4
C．16
2
2
2
B．8
D．32
解析：∵抛物线
C：
y
＝8
x
的焦点为
F
(2,0)，准线为
x
＝－2，∴
K
(－2,0)．
设
A
(
x
0
，
y
0
)，如右图所示，过点
A
向准线作垂线，垂足为< br>B
，则
B
(－
2，
y
0
)．
∵|
AK
|＝2|
AF
|，
又|
AF
| ＝|
AB
|＝
x
0
－(－2)＝
x
0
＋2 ，
∴由|
BK
|＝|
AK
|－|
AB
|，得y
0
＝(
x
0
＋2)，
即8
x
0< br>＝(
x
0
＋2)，解得
x
0
＝2，
y
0
＝±4.
11
∴△
AFK
的面积为|
KF
| ·|
y
0
|＝×4×4＝8，故选B.
22
答案：B
12．[2013·浙江高考]如图，
F
1
、
F
2
是椭圆< br>C
1
：＋
y
＝1与双曲线
C
2
的公共焦点，
A
、
4
2
22222
x
2
2
B< br>分别是
C
1
、
C
2
在第二、四象限的公共点．若四边 形
AF
1
BF
2
为矩形，则
C
2
的离心率 是( )

A. 2
3
C.
2
B. 3
D.
6

2
x
2
y
2
解析：本 题考查椭圆、双曲线的定义和简单的几何性质．设双曲线的方程为
2
－
2
＝< br>ab
1(
a
>0，
b
>0) ①，点
A
的坐标为(
x
0
，
y
0
)．
由题意
a
＋
b
＝3＝
c
②，|
OA
|＝|
OF
1
|＝3，
222

?
?
x
0
＋
y
0
＝3
∴
?
22
?
x
0
＋4
y
0
＝4
?< br>22

8
2
18
2
1
2222
，解 得
x
0
＝，
y
0
＝，又点
A
在双曲线C
2
上，代入①得，
b
－
a
＝
ab

3333
③，联立②③解得
a
＝2，所以
e
＝＝
答 案：D
c
a
6
，故选D.
2
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数
f
(
x
)＝
x
＋
bx
＋7(
b
为 常数)，
g
(
x
)＝
f
′(
x
)，且g
(1)＝1，则
b
＝________.
解析：∵
f
(
x
)＝
x
＋
bx
＋7，∴
f
′(x
)＝4
x
＋
b
.
又
g
(
x
)＝
f
′(
x
)， < br>∴
g
(
x
)＝4
x
＋
b
，则
g
(1)＝4＋
b
＝1，∴
b
＝－3.
答案：－3 < br>14．已知命题
p
：?
x
∈R，
x
＋2
ax
＋
a
≤0，若命题
p
是假命题，则实数
a
的取值范 围是
__________．
解析：
p
是假命题，则?
p
为真命题，?
p
为：?
x
∈R，
x
＋2
ax
＋
a
>0，所以有
Δ
＝4
a
－
4
a<0，即0<
a
<1.
答案：(0,1)
8
3
15．向高为8 m，底面边长为8 m的倒置正四棱锥形的容器内注水，其速度为每分钟 m，
3
则当水深为5 m时，水面上升的速度为________．
81
2
解析：设注水
t
min时，水的深度为
h
m，则容器内的体积为
t
＝
h
·
h
，
33
21
3
则
h
＝2
t
，所以
h
′(
t
)＝.
3
3
22
2
3
43
4
t
2
125
当
h
＝5时，
t
＝，
8
1258
故
v
＝
h
′()＝ mmin.
875
8
答案： mmin
75
16．[2014·河北省邢台一 中月考]
F
1
、
F
2
分别是双曲线－＝1的左、右焦点，< br>P
为双
169
x
2
y
2
曲线右支上一点，< br>I
是△
PF
1
F
2
的内心，且
S
△
IPF
2
＝
S
△
IPF
1
－
λS
△
IF
1
F
2
，则
λ
＝________ .
解析：本题主要考查双曲线定义及标准方程的应用．设△
PF
1
F
2
内切圆的半径为
r
，则
S
111
△
IPF2
＝
S
△
IPF
1
－
λS
△
IF
1
F
2
?×|
PF
2
|×
r
＝×|
PF
1
|×
r
－
λ
×|
F
1
F
2
|×
r
?|
PF
1
|－|
PF
2
|
222

a
4
＝
λ
|
F
1
F
2
|，根据双曲线的标准方程知2
a
＝< br>λ
·2
c
，∴
λ
＝＝.
c
5
4
答案：
5
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知全集
U
＝R，非空集合
A
＝{
x
|
题
p
：
x
∈
A
，命题
q
：
x
∈
B
.
1
(1)当
a
＝时，
p
是
q
的什么条件？
2
(2)若
q
是
p
的必要条件，求实数
a
的取值范围．
解：(1)
A
＝{
x
|
x
－2<0}，
B
＝{
x
|(
x
－
a
)(< br>x
－
a
2
－2)<0}．命
x
－3
x
－2
<0}＝{
x
|2<
x
<3}，
x
－3< br>119
当
a
＝时，
B
＝{
x
|<
x
<}，
224
故
p
是
q
的既不充分也不必要条件．
(2 )若
q
是
p
的必要条件，即
p
?
q
，可知
A
?
B
，
由
a
＋2>
a
，故< br>B
＝{
a
|
a
<
x
<
a
＋ 2}，
?
?
a
≤2，
∴
?
2
?
a
＋2≥3，
?
22

解得
a
≤－1或1≤
a
≤2.
111
x
18．(12分)已知
c
>0，设
p
：
y
＝
c为减函数；
q
：函数
f
(
x
)＝
x
＋ >在
x
∈[，2]上恒
xc
2
成立，若“
p
∨q
”为真命题，“
p
∧
q
”为假命题，求
c
的 取值范围．
解：由
y
＝
c
为减函数，得0<
c
<1.
1111
当
x
∈[，2]时，由不等式
x
＋≥2(
x＝1时取等号)知：
f
(
x
)＝
x
＋在[，2]上的最 小
2
xx
2
1111
值为2，若
q
真，则<2，即
c
>.若
p
真
q
假，则0<
c
<1且c
≤，所以0<
c
≤.若
p
假
q
真，
c
222
11
则
c
≥1且
c
>，所以
c< br>≥1.综上：
c
∈(0，]∪[1，＋∞)．
22
19．(12分) [2014·石家庄模拟]已知函数
f
(
x
)＝e＋
ax
－ 1(e为自然对数的底数)．
(1)当
a
＝1时，求过点(1，
f
(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若
f
(
x
)≥
x
在(0,1)上恒成立，求实数
a
的取值范围．
解：(1) 当
a
＝1时，
f
(
x
)＝e＋
x
－1，< br>f
(1)＝e，
f
′(
x
)＝e＋1，
f
′ (1)＝e＋1，
所以函数
f
(
x
)在点(1，
f
(1))处的切线方程为
y
－e＝(e＋1)(
x
－1)，
即
y
＝(e＋1)
x
－1.
设切线与
x
，
y
轴的交点分别为
A
，
B
，
xx
2< br>x
x

1111
令
x
＝0，得
y
＝－1，令
y
＝0，得
x
＝，所以
A
(，0)，
B
(0，－1)，
S
△
OAB
＝×
e＋1e＋12e＋1< br>×1＝
2
1
.
e＋1
1
.
e＋1
所以函数
f
(
x
)在点(1，
f
(1))处的切线与坐标 轴围成的三角形的面积为
2
1＋
x
－e
(2)由
f
(
x
)≥
x
(
x
∈(0,1))得，
a
≥ ，
2
2
x
x
1＋
x
－e1e
令
h
(
x
)＝＝＋
x
－，
2
xx
xxx< br>e
则
h
′(
x
)＝1－
2
－
1x
x
x
－1
x
－1
＝
2
x
x
＋1－e
x
x
2
，
令
k
(
x
)＝
x
＋1－e，
则
k
′(
x
)＝1－e，
因为
x
∈(0 ,1)，所以
k
′(
x
)＝1－e<0，
k
(
x< br>)在(0,1)上为减函数，
所以
k
(
x
)<
k
(0)＝0.
又x
－1<0，
x
>0，所以
h
′(
x
)＝所以
h
(
x
)在(0,1)上为增函数，
2
x
x
x
x
－1
x
＋1－e
x
x
2
>0，
h
(
x
)<
h
(1)＝2－e，因此只需
a
≥2－e即可满足题意，所以
a
的取值范围为[2－e，＋∞)．
20． (12分)已知椭圆＋＝1，
F
1
、
F
2
分别是椭圆的左、 右焦点，点
A
(1,1)为椭圆内
95
一点，点
P
为椭圆上 一点．求|
PA
|＋|
PF
1
|的最大值．
解：由椭圆的 定义知|
PF
1
|＋|
PF
2
|＝2
a
＝ 6，
所以|
PF
1
|＝6－|
PF
2
|， 这样|
PA
|＋|
PF
1
|＝6＋|
PA
|－ |
PF
2
|.
求|
PA
|＋|
PF
1< br>|的最大值问题转化为6＋|
PA
|－|
PF
2
|的最大值问 题，
即求|
PA
|－|
PF
2
|的最大值问题，
如图在△
PAF
2
中，两边之差小于第三边，
即|
PA< br>|－|
PF
2
|<|
AF
2
|，
连接
AF
2
并延长交椭圆于
P
′点时，
此时|< br>P
′
A
|－|
P
′
F
2
|＝|AF
2
|达到最大值，易求|
AF
2
|＝2，
这样|
PA
|－|
PF
2
|的最大值为2，
故|
PA
|＋|
PF
1
|的最大值为6＋2.
x
2
y
2
x
2
y
2
21．(12分)[20 14·课标全国卷Ⅰ]已知点
A
(0，－2)，椭圆
E
：
2
＋
2
＝1(
a
>
b
>0)的离
ab

心率为
323
，
F
是椭圆
E
的右焦点，直线
AF
的斜率为，
O
为坐标原点．
23
(1)求
E
的方程；
(2)设过点
A
的动直 线
l
与
E
相交于
P
，
Q
两点．当△
OPQ
的面积最大时，求
l
的方程．
223
解：(1)设
F
(
c,
0)，由条件知，＝，得
c
＝3.
c
3
又＝
c
a
3
222
，所以
a
＝2，b
＝
a
－
c
＝1.
2
故
E
的方程为＋
y
＝1.
4
(2)当
l
⊥
x
轴时不合题意，故设
l
：
y
＝kx
－2，
P
(
x
1
，
y
1
)，
Q
(
x
2
，
y
2
)．
将< br>y
＝
kx
－2代入＋
y
＝1得(1＋4
k
)
x
－16
kx
＋12＝0.
4
38
k
± 24
k
－3
当
Δ
＝16(4
k
－3)>0，即k
>时，
x
1.2
＝.
2
44
k
＋ 1
22
2
x
2
2
x
2
222
4< br>k
＋1·4
k
－3
从而|
PQ
|＝
k
＋1|
x
1
－
x
2
|＝.
2
4
k
＋1
2
22
又点
O
到直线
PQ
的距离
d
＝
所以△
OPQ
的面积
144
k
－3
S
△
OPQ
＝
d
·|
PQ
|＝.
2
24
k
＋1
2
2
k
2
＋1
.
设4
k
－3＝
t
，则
t
>0，
S
△
OPQ
＝
2
4
t
4
＝.
t
＋ 44
t
＋
2
t
47
因为
t
＋≥4，当且仅 当
t
＝2，即
k
＝±时等号成立，且满足
Δ
>0.
t
2
所以，当△
OPQ
的面积最大时，
l
的方程为
y
＝
77
x
－2或
y
＝－
x
－2. < br>22
22．(12分)[2014·山西四校联考]已知
f
(
x
)＝ln
x
－
x
＋
a
＋1.
(1)若存在x
∈(0，＋∞)使得
f
(
x
)≥0成立，求
a
的范围；
1
2
1
(2)求证：当
x
>1时，在(1)的 条件下，
x
＋
ax
－
a
>
x
ln
x
＋成立．
22
解：
f
(
x
)＝ln
x
－
x
＋
a
＋1(
x
>0)．
(1)原题 即为存在
x
使得ln
x
－
x
＋
a
＋1≥0 ，
∴
a
≥－ln
x
＋
x
－1，令
g(
x
)＝－ln
x
＋
x
－1，

1
x
－1
则
g
′(
x
)＝－＋1＝.
xx
令
g
′(
x
)＝0，解得
x
＝1.
∵当0<
x
<1时，
g
′(
x
)<0，∴
g
(
x
)为减函数，
当
x
>1时，
g
′ (
x
)>0，∴
g
(
x
)为增函数，
∴
g
(
x
)
min
＝
g
(1)＝0.
∴
a
≥
g
(1)＝0.
∴
a
≥0. < br>1
2
1
(2)原不等式可化为
x
＋
ax
－< br>x
ln
x
－
a
－>0(
x
>1，
a
≥0)．
22
1
2
1
令
G
(
x
)＝
x
＋
ax
－
x
ln
x
－a
－，则
G
(1)＝0.
22
由(1)可知
x
－ln
x
－1>0，
则G
′(
x
)＝
x
＋
a
－ln
x
－1≥
x
－ln
x
－1>0，
∴
G
(
x
)在(1，＋∞)上单调递增，
∴
G
(
x
)≥
G
(1)＝0成立，
1< br>2
1
∴
x
＋
ax
－
x
ln
x
－
a
－>0成立．
22